Dạy thêm toán 11 1D4 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (473.88 KB, 68 trang )
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN
lim f ( x ) = 2
Câu 1.
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho các giới hạn:
lim g ( x ) = 3
x → x0
A.
5
;
lim 3 f ( x ) − 4 g ( x )
, hỏi
.
x → x0
bằng
B.
2
−6
C.
.
Lời giải
.
3
D.
.
lim 3 f ( x ) − 4 g ( x ) = lim 3 f ( x ) − lim 4 g ( x ) = 3 lim f ( x ) − 4 lim g ( x )
Ta có
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
= −6
.
lim ( 2 x 2 − 3 x + 1)
Câu 2.
(THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị của
+∞
2
1
A. .
B. .
C.
.
Lời giải
Chọn D
lim ( 2 x 2 − 3 x + 1) = 0
x →1
Ta có:
.
x →1
bằng
0
D.
.
L = lim
x →3
Câu 3.
(THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn
L=0
L = −∞
L = +∞
L =1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
x−3
x+3
Chọn B
L = lim
x →3
Ta có
x −3 3−3
=
=0
x +3 3+3
.
lim ( 3 x 2 − 2 x + 1)
Câu 4.
x →1
(THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của
3
2
1
+∞
A.
.
B. .
C. .
D. .
Lời giải.
bằng:
Chọn B
lim ( 3 x 2 − 2 x + 1) = 3.12 − 2.1 + 1 = 2.
x →1
lim ( x 2 − x + 7 )
Câu 5.
(THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hịa Bình năm 2017-2018) Giới hạn
bằng?
5
9
0
7
A. .
B. .
C. .
D. .
1
x →−1
Lời giải
Chọn B
lim ( x 2 − x + 7 ) = ( −1) 2 − ( −1) + 7 = 9
x →−1
Ta có
.
lim
x →1
Câu 6.
(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Giới hạn
0
3
1
A. .
B. .
C. .
x 2 − 2x + 3
x +1
bằng?
2
D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
x 2 − 2x + 3 12 − 2.1 + 3
lim
=
=1
x →1
x +1
1+1
lim
x→2
Câu 7.
Tính giới hạn
4
A. .
x+2
x −1
.
ta được kết quả
1
B. .
C.
2
.
3
D. .
Lời giải
Chọn A
lim
x →2
Dễ thấy
lim x 2 − 4
Câu 8.
x+2 2+2
=
=4
x −1 2 −1
x→ 3
A.
−5
bằng
.
1
B. .
5
C. .
Lời giải
1
2
2
3
D.
−1
.
Chọn B
lim x 2 − 4 = 3 − 4 = 1
x→ 3
lim
x →1
Câu 9.
A.
x +1
x+2
+∞
bằng
.
B.
.
C. .
Lời giải
Chọn C
lim
x →1
x +1 2
=
x+2 3
2
D.
−∞
.
lim
x →1
Câu 10.
Tính
0
A. .
x 3 − 2 x 2 + 2020
2x −1
.
B.
−∞
.
+∞
C.
D.
2019
.
Lời giải
Chọn D
lim
x →1
x 3 − 2 x 2 + 2020 13 − 2.12 + 2020
=
= 2019
2x −1
2.1 − 1
2 x + 1 − 5 x2 − 3
lim
2x + 3
x →−2
Câu 11.
A.
1
3
.
.
bằng.
1
7
B. .
C.
7
.
D.
3
.
Lời giải
Chọn D
lim
2 x + 1 − 5 x2 − 3
2x + 3
x →−2
Ta có
=
2−5
=3
−1
.
x +1
x →−2 x + x + 4
A = lim
Câu 12.
(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm giới hạn
1
−
6
−∞
+∞
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
2
.
1
D. .
Chọn A
x = −2 x 2 + x + 4 ≠ 0
Ta có: Với
;
( −2 ) + 1 = − 1
x +1
=
2
x →−2 x + x + 4
( −2 ) + ( − 2 ) + 4 6
A = lim
Nên
Câu 13.
2
Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng
x −3
x−2
lim
lim
2
2
x →1
x →1
( x − 1)
( x − 1)
A.
B.
.
+∞ ?
lim
x →1
C.
Lời giải
Chọn D
3
− x −1
( x − 1)
lim
2
x →1
D.
x +1
( x − 1)
2
( x − 1)
Ta có
2
≥ 0, ∀x ≠ 1
Do đó để giới hạn bằng
lim
x →1
Vậy
x +1
( x − 1)
2
+∞
= +∞.
lim f ( x ) = −2
Câu 14.
Cho
5
A. .
thì giới hạn của tử phải dương
x →3
. Tính
B.
lim f ( x ) + 4 x − 1
x →3
6
.
.
C.
11
.
D.
9
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
lim f ( x ) + 4 x − 1 = 9
x →3
lim
Câu 15.
Biểu thức
A.
0
π
x→
2
.
sin x
x
bằng
.
B.
2
π
π
2
.
1
D. .
C. .
Lời giải
Chọn B
Vì
π
sin = 1
2
lim
x→
nên
π
2
sin x 2
=
x
π
.
I = lim
2
x →0
Câu 16.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho
x2 − x − 2
J = lim
x →−1
x +1
. Tính
A. 6.
x →0
.
−6
C.
.
Lời giải
B. 3.
Ta có
I = lim
I −J
2
(
) = lim
3x + 1 − 1
x
x →0
x
(
6x
)
3x + 1 + 1
= lim
x →0
D. 0.
6
=3
3x + 1 + 1
.
4
(
)
3x + 1 − 1
x
và
( x + 1) ( x − 2 ) = lim x − 2 = −3
x2 − x − 2
= lim
(
)
x →−1
x →−1
x →−1
x +1
x +1
J = lim
Khi đó
Câu 17.
I −J =6
.
.
(THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Gọi
f ( x) =
số
x + x 2 + x3 + ... + x50 − 50
x −1
khi
A = 1725
B.
.
A. A không tồn tại.
Có:
x
A
là giới hạn của hàm
A.
tiến đến 1. Tính giá trị của
A = 1527
A = 1275
C.
.
D.
.
Lời giải
x + x 2 + x 3 + ... + x50 − 50
lim f ( x ) = lim
x →1
x →1
x −1
= lim 1 + ( x + 1) + ( x 2 + x + 1) + .... + ( x 49 + x 48 + ... + 1)
x →1
= 1 + 2 + 3 + ..... + 50 = 25 ( 1 + 50 ) = 1275.
lim f ( x ) = 1275
Vậy
x →1
.
DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
Câu 18.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
y = f ( x)
( a; b )
[ a; b ]
liên tục trên khoảng
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn
là?
lim f ( x ) = f ( a )
lim f ( x ) = f ( b )
lim f ( x ) = f ( a )
lim f ( x ) = f ( b )
x→ a+
x →b −
x →a−
x →b +
A.
và
.
B.
và
.
lim f ( x ) = f ( a )
lim f ( x ) = f ( b )
lim f ( x ) = f ( a )
lim f ( x ) = f ( b )
x→ a+
x →b +
x →a−
x →b −
C.
và
.
D.
và
.
Lời giải
[ a; b ]
[ a; b ]
f
Hàm số
xác định trên đoạn
được gọi là liên tục trên đoạn
nếu nó liên tục trên
( a; b ) ,
lim f ( x ) = f ( a )
x→ a+
lim f ( x ) = f ( b )
x →b −
khoảng
đồng thời
và
.
Câu 19. (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào sai?
1
1
1
1
lim+
= +∞
lim+ = +∞
lim+ = −∞
lim+ 5 = +∞
x →0
x →0 x
x →0 x
x →0 x
x
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
5
lim+
Ta có:
x →0
1
= +∞
x
lim x = 0
do
x →0+
và
x>0
. Vậy đáp án A đúng.
Suy ra đáp án B sai.
Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án
Câu 20.
A.
(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Trong bốn giới hạn sau
−∞
đây, giới hạn nào bằng
?
−3 x + 4
−3 x + 4
−3 x + 4
−3 x + 4
lim
lim−
lim+
lim
x →+∞ x − 2
x →−∞ x − 2
x →2
x →2
x−2
x−2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
−3 x + 4
= −3
x →+∞ x − 2
lim
Dễ thấy
−3 x + 4
= −3
x →−∞ x − 2
lim
;
(loại).
lim+ ( −3x + 4 ) = −2; lim+ ( x − 2 ) = 0; x − 2 > 0, ∀x > 2
x →2
x →2
nên
Vì
Câu 21.
lim+
x →2
−3 x + 4
= −∞
x−2
+¥
Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là
?
2x - 1
x 2 +x +1
3
limlim
lim - x +2 x +3
x đ- Ơ
x ®4 4 - x
x ®+¥
x-1
A.
.
B.
. C.
.
Lời giải
(
)
lim+
x ®4
D.
2x - 1
4- x
.
Chọn A
lim-
x ®4
Xét
2x - 1
4- x
lim ( 2 x - 1) =7 >0 lim- ( 4 - x) =0
Ta có
x ®4-
lim-
x ®4
Do đó
,
2x - 1
=+¥
4- x
x ®4
và
4 - x >0
với mọi
x <4
.
lim+
Câu 22.
(THPT Đơng Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Giới hạn
2
1
.
.
3
3
+∞.
−∞.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
6
x →1
−2 x + 1
x −1
bằng
lim ( −2 x + 1) = −1 < 0 lim+ ( x − 1) = 0
x −1 > 0
x → 1+
x →1
Ta có
,
,
khi
.
−2 x + 1
lim+
= −∞
x →1
x −1
Suy ra
.
x →1+
x+2
x −1
lim−
Câu 23.
x →1
+∞
A.
bằng:
.
B.
1
2
.
−∞
C.
−
D.
1
2
.
Lời giải
Chọn C
lim−
x →1
x+2
= −∞
x −1
3x 2 + 1 − x
x −1
lim +
Câu 24.
x →( −1)
A.
1
2
vì
lim ( x + 2 ) = 3 > 0
x→1
( x − 1) = 0
lim
x →1
x − 1 < 0, ∀x < 1
bằng?
−
.
.
B.
1
2
.
3
2
C.
−
D.
3
2
.
Lời giải
Chọn D
lim +
Ta có:
x →( −1)
lim−
Câu 25.
x →3
Tính
1
−
6
A.
.
3x 2 + 1 − x
4 +1
3
=
=−
x −1
−1 − 1
2
1
x−3
.
.
B.
−∞
.
C.
0
Lời giải
Chọn B
lim ( x − 3) = 0, x − 3 < 0, ∀x < 3
Ta có
x →3−
lim−
Câu 26.
Tính
x →1
.
x +1
x −1
.
7
.
D.
+∞
.
A.
0
.
B.
+∞
1
C. .
.
D.
−∞
.
Lời giải
Chọn D
x +1
lim−
= −∞
x →1 x − 1
lim−
Câu 27.
Giới hạn
1
−
2a
A.
.
x →a
lim ( x + 1) = 2 > 0 lim− ( x − 1) = 0 và ( x − 1) < 0
do
x →1−
1
x−a
,
x →1
với
x <1
.
bằng:
B.
0
.
C.
Lời giải
+∞
.
D.
−∞
.
Chọn D
lim− 1 = 1 > 0
x →a
(1− a) = 0
xlim
−
→a
−
x − a < 0 khi x → a
Ta có:
1
lim−
= −∞
x →a x − a
Vậy
.
lim+ ( x − 2 )
x→2
Câu 28.
Giới hạn
A.
+∞
x
x −4
.
2
B.
0
bằng:
1
2
.
C. .
Lời giải
D. Kết quả khác.
Chọn B
lim+ ( x − 2 )
x→2
Ta có
lim+
Câu 29.
Tính
A.
+∞
x →1
.
−2 x + 1
x −1
x x−2
=0
x+2
x
= lim
x − 4 x → 2+
2
.
bằng
B.
−∞
2
3
.
C. .
Lời giải
Chọn B
8
D.
1
3
.
lim+ ( −2 x + 1) = −1
x →1
−2 x + 1
x − 1) = 0
⇒ lim+
= −∞
(
xlim
+
→1
x →1
x
−
1
x → 1+ ⇒ x − 1 > 0
lim+ ( x − 2)
x→2
Câu 30.
Cho
+∞
x
x −4
2
.
. Tính giới hạn đó.
B. 1
C. 0.
D.
−∞
A.
Lời giải
Chọn C
x
lim+ ( x − 2) 2
x→2
x −4
lim+
Câu 31.
x →1
A.
x +1
x −1
+∞
lim
x → 2+
=
x( x − 2) 2
( x − 2) x
= lim+
=0
2
x →2
x −4
x+2
bằng
.
B.
−∞
1
.
C. .
Lời giải
D.
0
Chọn A
Đặt
f ( x ) = x + 1; g ( x ) = x − 1
lim+
Vậy
x →1
lim+
Câu 32.
x →1
Tìm
−∞
A.
.
x +1
= +∞
x −1
1− 2x
x −1
lim f ( x ) = 2; lim+ g ( x ) = 0; g ( x ) > 0 khi x → 1+
. Ta có
x →1+
x →1
.
.
B.
−2
0
C. .
Lời giải
.
D.
+∞
Chọn A
lim ( 1 − 2 x ) = −1 lim+ ( x − 1) = 0
x − 1 > 0, ∀x > 1
x →1
Ta có
;
và
1− 2x
⇒ lim+
= −∞
x →1 x − 1
.
x →1+
Câu 33.
(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên lần 3 - 2019) Tính giới hạn
0
+∞
−∞
A. .
B.
.
C.
.
9
x2 + 1
lim−
x →1 x − 1
.
1
D. .
.
Lời giải
Chọn C
lim− ( x 2 + 1) = 2 > 0; lim− ( x − 1) = 0
x →1
Ta có:
⇒ lim−
x →1
Câu 34.
x →1
x +1
= −∞
x −1
và
x − 1 < 0, ∀x < 1
(do
x → 1−
)
2
.
(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai
3
3x + 2
lim x 2 − x + 1 + x − 2 = −
lim−
= −∞
x →−∞
x →−1 x + 1
2
A.
.
B.
.
3x + 2
lim+
= −∞
lim x 2 − x + 1 + x − 2 = +∞
x →−1 x + 1
x →+∞
C.
.
D.
.
Lời giải
(
)
(
)
lim
Ta có:
x →−∞
(
x2 − x + 1 + x − 2
)
= lim
x →−∞
3
x
= lim
x →−∞
3
1 1
2
− 1− + 2 −1+ = −
x x
x
2⇒
x2 − x + 1 − ( x − 2 )
2
x − x +1 − ( x − 2)
2
= lim
x →−∞
3x − 3
x2 − x + 1 − x + 2
3−
lim
x →+∞
(
)
1 1
2
x 2 − x + 1 + x − 2 = lim x 1 − + 2 + 1 − ÷
x →+∞
x x
x÷
lim x = +∞
x →+∞
Do
và
đáp án C đúng.
1 1
2
lim 1 − + 2 + 1 − ÷
=2>0
x →+∞
x x
x÷
lim− ( 3x + 2 ) = −1 < 0
Do
x →−1
và
lim ( 3 x + 2 ) = −1 < 0
Do
đáp án A đúng.
x →−1+
và
x +1 < 0
x +1 > 0
với
với
∀x < −1
∀x > −1
.
nên
1 1
2
lim x 1 − + 2 + 1 − ÷
= +∞
x →+∞
x x
x÷
⇒
lim
nên
nên
x →−1−
3x + 2
= +∞
⇒
x +1
3x + 2
lim−
= −∞
x →−1 x + 1
⇒
lim+
Câu 35.
(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giới hạn
+∞
−∞
2
A.
.
B. .
C.
.
Lời giải
lim+
Ta có
x →1
4x − 3
= +∞
x −1
x →1
đáp án B sai.
đáp án D đúng.
4x − 3
x −1
D.
−2
.
lim ( 4 x − 3) = 1 lim+ ( x − 1) = 0
x −1 > 0
x → 1+
x →1
vì
,
,
khi
.
10
x →1+
lim−
Câu 36.
A.
−∞
.
B.
lim−
Xét
x → −2
lim−
x →−2
Câu 37.
x → −2
(THPT CHUYÊN BIÊN HỊA - HÀ NAM - 2018) Tính giới hạn
3 + 2x
x+2
2
.
C.
Lời giải
lim ( 3 + 2 x ) = −1
thấy:
3 + 2x
= +∞
x+2
x →−2−
+∞
.
D.
lim ( x + 2 ) = 0
,
x →−2−
và
x+2<0
.
(THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hàm số
( −2;1) ( 1; +∞ )
,
,
khẳng định đúng.
f ( x)
không xác định tại
x = −2
lim f ( x ) = −∞
A.
C.
lim f ( x ) = +∞
x →1−
1
,
,
lim f ( x ) = −∞
x →−2+
2
.
B.
.
với mọi
lim f ( x ) = +∞
x →1−
Ta thấy
và
nên
( −∞; −2 )
D.
lim f ( x ) = −∞
x →1−
lim f ( x ) = +∞
x →−2+
,
lim f ( x ) = −∞
,
x →−2+
lim f ( x ) = +∞
x →−2+
x < −2
liên tục trên
Lời giải
x →1−
.
3 4
lim f ( x ) = +∞
lim f ( x ) = +∞
x →−2+
f ( x)
3
2
.
,
x = 1 f ( x)
và
,
có đồ thị như hình vẽ. Chọn
-4 -3 -2 -1 O
x →1−
3 + 2x
x+2
.
x2 − 2x − 3
lim
x →−1
x +1
Câu 38. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018)
0
−3
−4
A. .
B.
.
C.
.
Lời giải
11
bằng
1
D. .
.
.
( x + 1) ( x − 3) = lim x − 3 = −4
x2 − 2x − 3
= lim
(
)
x →−1
x →−1
x →−1
x +1
x +1
lim
Ta có
.
f ( x) =
Câu 39. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính giới hạn bên phải của hàm số
7
3
2
−∞
A.
.
B. .
C. .
Lời giải
lim ( 3x − 7 ) = −1 < 0
x → 2+
3x − 7
⇒ lim+
= −∞
lim+ ( x − 2 ) = 0
x
→
2
x
→
2
x
−
2
x → 2+ ⇒ x − 2 > 0
Câu 40. (SGD
Vĩnh
Phúc-KSCL
2 − x + 3
khi x ≠ 1
2
y = f ( x) = x −1
1
khi x = 1
8
A.
1
8
.
B.
+∞
.
D.
3x − 7
x−2
−∞
khi
x→2
.
.
.
lần
1
năm
2017-2018)
Cho
hàm
số
lim− f ( x )
. Tính
x →1
.
1
8
−
0
C. .
Lời giải
D.
.
Chọn B
lim f ( x ) = lim−
x →1−
x →1
2− x+3
4− x−3
−1
= lim−
= lim−
= +∞
2
x
→
1
x
→
1
x −1
x
−
1
x
+
1
2
+
x
+
3
x
+
1
2
+
x
+
3
( )( )
( )
(
Ta có
)
(
lim
lim f ( x) = 4
Câu 41.
x →−1
(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Biết
−∞
4
+∞
A.
.
B. .
C.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
lim f ( x ) = 4 > 0
Ta có: +
x →−1
.
12
f ( x)
x →−1
. Khi đó
D.
0
)
( x + 1)
.
4
bằng:
.
lim ( x + 1) = 0
4
+
x →−1
và với
lim
x →−1
Suy ra
Câu 42.
f ( x)
( x + 1)
4
∀x ≠ −1
thì
( x + 1)
4
>0
.
= +∞
.
1
1
−
3
x − 2 x − 8 khi x > 2
f ( x) =
2
x + m − 2m khi x ≤ 2
2
Cho hàm số
. Với giá trị nào của tham số
x=2
giới hạn tại
.
m=3
m = −2
m =1
m=3
A.
hoặc
. B.
hoặc
.
m=0
m =1
m=2
m =1
C.
hoặc
. D.
hoặc
.
m
thì hàm số có
Lời giải
Chọn B
Ta có :
= lim+
x →2
x2 + 2x − 8
( x − 2) ( x + 4)
12 = lim
1
=
lim
lim+ f ( x ) = lim+
− 3
+
2
+
2
÷
x →2
x →2 x − 2
x − 8 x →2 ( x − 2 ) ( x + 2 x + 4 ) x →2 ( x − 2 ) ( x + 2 x + 4 )
x+4
1
=
x + 2x + 4 2
2
m2
m2
lim− f ( x ) = lim− x +
− 2m ÷ =
− 2m + 2
x →2
x →2
2
2
Hàm só có giới hạn tại
x=2
lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔
khi chỉ khi
m = 3
m2
3
⇔
− 2m + = 0 ⇔
m = 1
2
2
.
Câu 43.
Gọi
a, b
là các giá trị để hàm số
3a − b
−2
tới
. Tính
?
A. 8.
B. 4.
x →2
x →2
x 2 + ax + b
, x < −2
f ( x ) = x2 − 4
x + 1, x ≥ −2
C. 24.
Lời giải
Chọn D
13
m2
1
− 2m + 2 =
2
2
có giới hạn hữu hạn khi
D. 12.
x
dần
Do hàm số
trình
f ( x)
có giới hạn hữu hạn khi
x 2 + ax + b = 0
, do đó ta
x
4 − 2a + b = 0
dần tới
−2
nên
x = −2
là nghiệm của phương
.
x−2+a
, x < −2
f ( x) = x − 2
x + 1, x ≥ −2
Ta viết lại hàm số
Mặt khác hàm số tồn tại giới hạn
⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( 2 ) ⇔
x →−2
3a − b = 12
Do đó
Câu 44.
x →−2
−2 − 2 + a
= −1 ⇔ a = 8 ⇒ b = 12
−2 − 2
.
(THPT Đơng Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Tìm
a
để hàm số
2
x + ax + 1 khi x > 2
f ( x) = 2
2 x − x + 1 khi x ≤ 2
A.
−1
x = 2.
có giới hạn tại
−2
2
B.
.
C. .
Lời giải
.
1
D. .
Chọn D
D=¡ .
lim f ( x ) = lim+ ( x 2 + ax + 1) = 2a + 5; lim− f ( x ) = lim− ( 2 x 2 − x + 1) = 7.
Xét:
x → 2+
Hàm số
x →2
y = f ( x)
có giới hạn tại
x→2
x=2
x→2
khi và chỉ khi
lim f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ 2 x + 5 = 7 ⇔ a = 1.
x → 2+
x→ 2
.
x+4−2
x
f ( x) =
mx + m + 1
4
Câu 45. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
m
m
x=0
là tham số. Tìm giá trị của
để hàm số có giới hạn tại
.
1
m=
m=0
m =1
2
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải:
Ta có:
14
m=−
D.
khi x > 0
khi x ≤ 0
,
1
2
.
( x + 4 ) − 22
x + 4 − 2 = lim+
x →0
x
x
lim+ f ( x ) = lim+
x →0
x →0
(
x+4 +2
)
= lim+
x →0
x
(
x
1
1
=
x+4 +2 4
)
x + 4 + 2 = xlim
→ 0+
.
1
1
lim− f ( x ) = lim− mx + m + ÷ = m +
x →0
x →0
4
4
Hàm số đã cho có giới hạn tại
⇔
1
1
= m+ ⇔ m=0
4
4
x=0
lim f ( x ) = lim− f ( x )
khi và chỉ khi
x → 0+
x →0
.
DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC
lim f ( x ) = a
Câu 46.
(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Giả sử ta có
x →+∞
và
lim g ( x ) = b
x →+∞
A.
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
lim f ( x ) .g ( x ) = a. b
x →+∞
lim
x →+∞
C.
f ( x) a
=
g ( x) b
.
.
D.
B.
lim f ( x ) − g ( x ) = a − b
x →+∞
lim f ( x ) + g ( x ) = a + b
x →+∞
.
.
Lời giải
Vì có thể
b=0
.
Câu 47. (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Chọn kết quả đúng của
lim ( −4 x5 − 3 x 3 + x + 1)
x →−∞
A.
0
.
.
B.
+∞
−∞
.
C.
Lời giải
.
D.
−4
Chọn B
3
1 1
5
=
lim
x
−
4
−
+
+ 5÷
2
4
lim ( −4 x − 3 x + x + 1) x→−∞
x
x
x = +∞
x →−∞
5
Ta có
Vì
3
3 1 1
lim
−
4
−
+ 4 + 5 ÷ = −4 < 0
2
x→−∞
x
x
x
lim x5 = −∞
x→−∞
.
15
.
.
Câu 48.
(THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn
lim ( 2 x 3 − x 2 + 1)
x →−∞
A.
+∞
.
B.
−∞
.
2
C. .
Lời giải
D.
0
.
Chọn B
Ta có
1 1
lim ( 2 x 3 − x 2 + 1) = lim x 3 2 − 2 + 3 ÷ = − ∞
x →−∞
x →−∞
x
x
.
(
lim 3 x3 + 5 x 2 − 9 2 x − 2017
Câu 49. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Giới hạn
bằng
3
−3
−∞
A.
.
B. .
C.
.
Lời giải
x →−∞
D.
1
1
1
x 3 3 + 5 − 9 2 2 − 2017 3 ÷
lim 3x3 + 5 x 2 − 9 2 x − 2017 = xlim
→−∞
x
x
x = −∞
x →−∞
(
)
2 x −1
x →+∞ 4 x + 2
+∞
)
.
.
lim
Câu 50. (THPT HÀM RỒNG - THANH HĨA - 2018) Tính giới hạn
1
−1
2
4
1
A. .
B. .
C.
.
.
D.
−1
2
Lời giải
1
2−
2x −1
x =1
lim
= lim
x →+∞ 4 x + 2
x →+∞
2 2
4+
x
.
y=
Câu 51.
(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho bảng biến thiên hàm số:
nào sau đây là đúng:
16
3− x
x−2
, phát biểu
A.
lim y
a
là
x →+∞
.
B.
b
lim y
x →−∞
là
.
C.
b
lim y
x →1+
là
.
D.
lim y
a
là
Lời giải
Chọn D
a = lim y
Ta có
x →−∞
.
−1
x →−∞ 2 x + 5
lim
Câu 52.
(SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018)
A.
0
.
B.
+∞
.
C.
Lời giải
−∞
bằng:
−
.
D.
−1
−1
= lim
=0
x →−∞ 2 x + 5
x →−∞
5
x2 + ÷
x
1
2
.
lim
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn, ta có:
.
1− x
x →−∞ 3 x + 2
lim
Câu 53.
(THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018)
1
1
3
2
A. .
B. .
Ta có
1
−1
1− x
1
lim
= lim x
=−
x →−∞ 3 x + 2
x →−∞
2
3
3+
x
bằng:
1
−
3
C.
.
Lời giải
−
D.
1
2
.
3x − 1
x →−∞ x + 5
lim
Câu 54.
(THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018)
A.
3
.
B.
−3
−
.
1
x =3
= lim
3x − 1 x →−∞
5
lim
1+
x →−∞ x + 5
x
C.
Lời giải
1
5
bằng:
5
D. .
.
3−
Ta có
.
3 − 4x
x →−∞ 5 x + 2
lim
Câu 55. (HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)
17
bằng
.
x →−∞
.
A.
5
4
−
.
B.
5
4
.
C.
Lời giải
.
D.
bằng
−4
C.
.
D.
3
3
x − 4÷
− 4÷
x
x
= lim
= lim
x
→−∞
x
→−
∞
2
2
−4
3 − 4x
x5+ ÷
lim
5 + ÷ =
x →−∞ 5 x + 2
x
x
5
lim
x →+∞
Câu 56.
4
5
−
(SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018)
−2
4
A.
.
B. .
2x + 8
x−2
4
5
.
.
2
.
Lời giải
8
8
x2+ ÷
2+
x
x =2
= lim
= lim
2 x + 8 x →+∞ x 1 − 2 x →+∞
2
lim
1−
÷
x →+∞ x − 2
x
x
.
2x +1
x →−∞ x + 1
L = lim
Câu 57. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Tính
A.
L = −2
Ta có
.
B.
L = −1
.
L=−
.
C.
Lời giải
1
2
.
1
1
x2+ ÷
2+
2x +1
x
x = 2+0 = 2
L = lim
= lim
= lim
x →−∞ x + 1
x →−∞
1 x→−∞
1
1+ 0
x 1 + ÷
1+
x
x
2 x −1
x →−∞ 3 − x
D.
L=2
.
lim
Câu 58.
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018)
2
3
−2
A.
.
B. .
Ta có:
2x −1
lim
x →−∞ 3 − x
= lim
x →−∞
2−
1
C. .
Lời giải
1
x
3
−1
x
= −2
bằng.
.
18
D.
2
.
.
x 2 − 2018 x + 3
x →+∞ 2 x 2 + 2018 x
lim
Câu 59.
(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Tính giới hạn
1
2018.
2.
2
B. .
C.
A.
Lời giải
được.
D.
1
.
2018
Chọn B
x 2 − 2018 x + 3
lim
x →+∞ 2 x 2 + 2018 x
= lim
2018 3
+ 2
x
x
1
2018
=
2+
x
2
1−
x →+∞
x 2 − 3x + 2
x →+∞
2 x2 + 1
lim
Câu 60.
(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Giới hạn
A.
+∞
B.
−∞
2
C.
Lời giải
có kết quả là
1
2
D.
Chọn D
3 2
1− + 2
x − 3x + 2
x x =1
lim
= lim
2
x →+∞
x
→+∞
1
2x +1
2
2+ 2
x
2
Ta có
2 x5 − 3x 3 + 1
lim
x →+∞ 4 x 3 − 2 x 4 − x 5 − 3
Câu 61. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Giới hạn
1
−3
2
−2
A.
.
B. .
C.
.
Lời giải
3 1
2− 2 + 5
x
x
= lim
x →+∞ 4
2 x5 − 3x 3 + 1
2
3
lim
− −1− 5
2
x →+∞ 4 x 3 − 2 x 4 − x 5 − 3
x
x
x = −2
.
( x − 1) ( x + 2 )
lim
x →−∞
x2 + 9
Câu 62. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018)
bằng
2
9
1
−1
A. .
B. .
C. .
Lời giải
19
D.
3
2
−
D.
.
1
9
.
bằng
1 2
1 − ÷ 1 + ÷
x x
= lim
=1
x − 1) ( x + 2 ) x →−∞
(
9
1+ 2
lim
x →−∞
x
x2 + 9
lim
x →+∞
Câu 63.
Tính
1
2
A. .
x + s inx
x
.
?
B.
+∞
1
C. .
Lời giải
.
D.
0
.
ChọnC
x + s inx
x
sin x
sin x
= lim + lim
= 1 + lim
= 1+ 0 = 1
x →+∞
x →+∞ x
x →+∞
x →+∞
x
x
x
lim
Ta có
sin x 1
≤
x
x
( Do
khi
x→∞
lim
x →+∞
, mà
1
sin x
= 0 ⇒ lim
=0
x
→+∞
x
x
lim
Câu 64.
(Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Tính
+∞
−1
A.
.
B.
.
x →−∞
(
2x 2 + x + x
C.
Lời giải
−∞
)
.
).
?
.
D.
0
.
Chọn A
lim
x →−∞
(
1
= lim x 2 2 + ÷ + x ÷
÷
2x + x + x x→−∞
x
2
)
Ta có
1
1
= lim x − 2 + + 1÷
= lim − x 2 + + x ÷
÷ .
÷ x →−∞
x →−∞
x
x
lim x = −∞
Vì
x →−∞
và
1
= lim − 2 + + 1÷
÷= 1 − 2 < 0
x →−∞
x
lim
nên
x →−∞
lim
(
x →−∞
Câu 65. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm
1
−
0
4
1
A.
.
B. .
C. .
Lời giải
20
)
2x 2 + x + x = +∞.
x 2 + 3x + 5
4x −1
D.
.
1
4
.
lim
x →−∞
Ta có
x 2 + 3x + 5
4x −1
= lim
3 5
+
x x2 = − 1
1
4
4−
x
− 1+
x →−∞
.
2x −1
lim
x2 + 1 − 1
x →−∞
Câu 66.
(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Giá trị của
0
−∞
−2
A. .
B.
.
C.
.
Lời giải
lim
x →−∞
Ta có:
bằng
2
D. .
1
2−
2x −1
x
= lim
= lim
x →−∞
x
→−∞
2x − 1
1
1 1
−x 1 + 2 −1
− 1+ 2 −
2
x + 1 −1
x
x
x = −2
x−2
x →+∞ x + 3
.
lim
Câu 67. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018)
2
−
3
1
A.
.
B. .
bằng
2
C. .
Lời giải
D.
−3
.
Chọn B
2
x
= lim
x − 2 x →+∞
3 1
lim
1+ =
x →+∞ x + 3
x 1 =1
1−
Chia cả tử và mẫu cho
x
, ta có
.
3x − 2
x →−∞ 2 x + 1
I = lim
Câu 68. (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Tính giới hạn
3
I =−
2
I = −2
I =2
A.
.
B.
.
C.
.
.
I=
D.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
3−
3x − 2
x =3
I = lim
= lim
x →−∞ 2 x + 1
x →−∞
1 2
2+
x
.
lim
x →−∞
Câu 69.
(Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018)
−∞
1
+∞
A.
.
B. .
C.
.
Hướng dẫn giải
21
x
x +1
2
bằng.
0
D. .
3
2
.
Chọn D
Ta có:
x
lim
x →−∞ x 2 + 1
= lim
1
x
x →−∞
1
1+ 2
x
=0
.
lim
x →+∞
Câu 70.
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Chọn kết quả đúng của
−
A.
3 2
2
−
.
B.
2
2
.
C.
Lời giải
3 2
2
.
D.
2
2
1 + 3x
2 x2 + 3
.
.
Chọn C
Ta có:
1
1
x + 3÷
+3
1 + 3x
x
x
lim
= lim
= lim
x →+∞
2 x 2 + 3 x →+∞ x 2 + 3 x →+∞ 2 + 3 = 3 = 3 2
2
2
x2
x2
.
1− x
x →−∞ 3 x + 2
lim
Câu 71. (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018)
1
1
1
1
−
−
3
2
3
2
A. .
B. .
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1
−1
1− x
1
lim
= lim x
=−
x →−∞ 3 x + 2
x →−∞
2
3
3+
x
.
3x − 1
x →−∞ x + 5
lim
Câu 72.
(THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018)
1
−
3
−3
5
A. .
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn A
1
x =3
= lim
3x − 1 x →−∞
5
lim
1+
x →−∞ x + 5
x
3−
Ta có
.
22
bằng
5
D. .
bằng
cx 2 + a
x →+∞ x 2 + b
lim
Câu 73.
(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Giới hạn
A.
a
.
B.
b
c
C. .
Lời giải
.
bằng?
a+b
c
D.
.
Chọn C
Ta có
a
c+ 2
cx 2 + a
x = c+0 =c
lim 2
= lim
x →+∞ x + b
x →+∞
b
1+ 2 1+ 0
x
.
4x +1
x →−∞ − x + 1
lim
Câu 74. (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018)
2
4
−1
A. .
B. .
C. .
Lời giải
Chọn D
1
4+
x
= lim
4 x + 1 x →−∞
1
lim
−1 +
x →−∞ − x + 1
x = −4
.
x +1
lim
x →−∞ 6 x − 2
Câu 75. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018)
bằng
1
1
1
2
6
3
A. .
B. .
C. .
Lời giải
Chọn B
1
1+
x =
lim
x + 1 x →−∞
2 1
lim
=
6−
x →−∞ 6 x − 2
x 6
• Ta có
.
x +1
lim
x →+∞ 4 x + 3
Câu 76. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018)
bằng
1
1
3
3
4
A. .
B. .
C. .
Lời giải
Chọn B
23
bằng
−4
D.
.
1
D. .
1
D. .
1
x +1
x =1
lim
= lim
x →+∞ 4 x + 3
x →+∞
3 4
4+
x
1+
Ta có
x2 + 2 − 2
x−2
lim
x →+∞
Câu 77.
Giới hạn
−∞
A.
.
.
bằng
B. 1.
C.
+∞
D. -1
.
Lời giải
Chọn D
x +2−2
= lim
x →+∞
x−2
2
lim
x →+∞
2
2 2
−2
1+ 2 −
2
x
x
x
= lim
=1
x →+∞
2
x−2
1−
x
x 1+
lim
x →−∞
Câu 78.
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Giá trị của
+∞
−∞
−1
A.
.
B. .
C.
.
Lời giải
x2 − 3
x+3
bằng
1
D. .
Chọn B
x −3
= lim
x →−∞
x+3
2
lim
x →−∞
Câu 79.
3
3
3
x 2 1 − 2 ÷
x 1− 2
− 1− 2
x
x = lim
x = −1
= lim
x
→−∞
x
→−∞
3
x+3
x+3
1+
x
(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Giá trị của
−∞
A.
.
−1
B.
.
C.
D.
+∞
.
1
Lờigiải
Chọn B
3
3
− 1−
x −3
x = lim
x = −1
= lim
x →−∞
x →−∞
3
3
x+3
x(1 + )
(1 + )
x
x
2
lim
x →−∞
Ta có:
x 1−
24
.
x2 − 3
lim
x →−∞ x + 3
.
là.
x4 + x2 + 2
( x3 + 1) ( 3x − 1)
lim
x →+∞
Câu 80.
Giới hạn
− 3
A.
Lời giải
B.
có kết quả là
3
3
−
3
C.
D.
3
3
Chọn B
x +x +2
= lim
( x + 1) ( 3x − 1) x→+∞
4
lim
x →+∞
2
3
Ta có:
1
2
1
2
x 4 1 + 2 + 4 ÷
1 + 2 + 4 ÷
3
x
x
x
x
= lim
=
1
1 x→+∞
1
1
3
x 4 1 + 3 ÷ 3 − ÷
1 + 3 ÷ 3 − ÷
x
x
x
x
Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính Casio
+ Bước 1: Nhập biểu thức vào màn hình máy tính:
+ Bước 2: Nhấn phím
+ Bước 3: Nhập giá trị của X:
và nhấn phím
+ Bước 4: Kết quả
. Vậy chọn đáp án B
( 4 x + 1) ( 2 x + 1)
f ( x) =
7
( 3 + 2x)
3
Câu 81.
Cho hàm số
2
A. .
B.
8
4
lim f ( x )
. Tính
.
x →−∞
C.
.
4
0
D. .
.
Lời giải
Chọn B
3
( 4 x + 1) ( 2 x + 1)
lim f ( x ) = lim
7
x →−∞
x →−∞
( 3 + 2x)
3
Câu 82.
4
4
1
1
4 + ÷ 2 + ÷
x
x
= lim
= 23 = 8
7
x →−∞
3
+ 2÷
x
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn
25
.
m x2 − 7 x + 5
lim
= −4.
x →−∞ 2 x 2 + 8 x − 1
.
