BT DS 7 phan 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (154.4 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN ĐẠI SỐ

Bài 1.

§1. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ :

Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số có
cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng trừ phân số.

Cụ thể :

a b a b

x y

m m m


   

;

a b a b

x y

m m m


   

(với a, b, m   và m > 0) ;
Chú ý : Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số. Cụ thể :

a) Tính chất giao hốn : x y y x    ;

b) Tính chất kết hợp :



x y



  z x



y z



;
c) Cộng với số 0 : x 0 x  ;

d) Với x  , x  0 thì số đối của x là  x.

2. Quy tắc “ chuyển vê” : Khi chuyển vế một hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng
thức ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Cụ thể : Với x, y, z   : x y z   x z x  .

3. Chú ý : Trong Q ta cũng có những đại số, trong đó có thể đổi chỗ các hạng tử, đặt dấu
ngoặc để nhóm các hạng tử một cách tùy ý như các tổng đại số trong Z.

B. CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNH
1. Dạng 1. CỘNG, TRỪ HAI SỐ HỮU TỈ.

Phương pháp giải : Để cộng, trừ hai số hữu tỉ người ta thường thực hiện :

+ Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc
cộng trừ phân số.

a b a b

x y

m m m



   

;

a b a b

x y

m m m


   

(với a, b, m   và m > 0) ;
+ Rút gọn kết quả ( nếu có thể).

Ví dụ 1. Tính :
a)

1 1

21 28

 


; b)

8 15

18 27




; c)

0,75
12




; d)

2
3,5

 
  
 .
Đáp số : a)

1
12



; b) 1; c)

3 ; d)

53 11

3
14  14.

2. Dạng 2. VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TỔNG HOẶC HIỆU CỦA HAI
SỐ HỮU TỈ.

Phương pháp giải : Một trong các phương pháp giải có thể là :
+ Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.

+ Viết tử của phân số thành tổng hoặc hiệu của hai số nguyên.
+ “Tách ra hai phân số có tử là các số nguyên tìm được ;
+ Rút gọn phân số (nếu có thể).

Ví dụ 2. Ta có thể viết số hữu tỉ



dưới các dạng sau đây :
a) Tổng của hai số hữu tỉ âm. Ví dụ :



 



5 1 2

16 16 16 8

  

  

  

;
b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương. Ví dụ :

5 3 8 3 1

16 16 16 2

 

  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

c) Tổng của một số hữu tỉ dương với một số hữu tỉ âm. Ví dụ :





5 3 1

16 16 16 2

 

  

.
Dạng 3. TÍNH TỔNG HOẶC HIỆU CỦA NHIỀU SỐ HỮU TỈ.

Phương pháp giải :

+ Áp dụng quy tắc “dấu ngoặc” đối với các số hữu tỉ.
Cụ thể : Với x, y, z  , ta có : 



x y z 



x y z  .

+ Nếu có dấu ngoặc trịn, ngoặc vng, ngoặc nhọn thì ta làm theo thứ tự :

 



 



 

.
+ Có thể bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử một cách thích hợp.

Ví dụ. Tính :
a)

3 5 3

7 2 5

   
    

    ; b)

4 2 3

3 5 2

     
    
     
      ;
c)

4 2 7

5 7 10

 
  

  ; d)

2 7 1 3

3 4 2 8

   
     

   

  .

Đáp số : 
a)

187 47

70 70





; b)

97 7

30 30





; c)

70; d)

79 7

24 24

Dạng 4. TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT TRONG MỘT TỔN HOẶC MỘT HIỆU.
Phương pháp giải :

Ví dụ 4. Tìm x, biết :
a)

1 3

3 4

 

; b)

2 5

5 7

 

; c)

2 6

3 7

  

; d)

4 1

x
7 3.

Đáp số : a)

5
x



; b)

39 4

x 1

35 35

 

; c)

4
x



; d)

5
x


.

Dạng 5. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CÓ NHIỀU DẤU NGOẶC.

Phương pháp giải : Để tính giá trị của biểu thức có nhiều dấu ngoặc ta có thể sử dụng một
trong hai cách sau :

+ Có thể tính giá trị của từng biểu thức trong ngoặc rồi tính tổng hoặc hiệu của các kết quả.
+ Có thể mở dấu ngoặc rồi nhóm các số thích hợp bằng các áp dụng tính chất giao hốn và
kết hợp.

Ví dụ 5. Cho biểu thức :

2 1 5 3 7 5

A 6 5 3

3 2 3 2 3 2

     

           

     

Tính giá trị của biểu thức A theo hai cách.
Đáp số :

1 1

A 2 2

2 2

  
.
Ví dụ 6. Tính nhanh :

1 3 1 1 2 4 7

2 5 9 131 7 35 18

       

          

       

Đáp số :

1
B

131


.

C. LUYỆN TẬP

Bài 1. (Dạng 1 ). Tính :
a)

3 1

5 3




; b)

2 11

13 26

 


; c)

5
2


 

;

1 1

39 52

 


; e)

6 12

9 16

 


</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đáp số : a)

15 ; b)

15
26

; c)
21 5
2

8 8


; d)
7
156

; e)
17
12

.
Bài 2. (Dạng 1 ). Tính :

13 1

30 5 ; b)

2 1
21 28


; c)
1 1
3 2
2 4
 
; d)

2 3
5 11
 

.
Đáp số : a)

30 ; b)

7 1

84 12 ; c)

23 3
5
4 4


; d)
7
55

.
Bài 3. (Dạng 2 ). Tìm ba cách viết số hữu tỉ

8
15



dưới dạng :
a) Tổng của hai số hữu tỉ âm ;

b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương ;

c) Tổng của một số hữu tỉ dương với một số hữu tỉ âm ;
d) Hiệu của một số hữu tỉ âm và một số hữu tỉ dương.
Bài 4. (Dạng 3 ). Tính :

1 1 1

2 3 10

 

   

  ; b)

1 1 1

12 6 4

 

   

  ; d)

1 1 1 1

2 3 23 6



  

Đáp số : a)

2 1

30 15 ; b)

6 1

122 ; c)

24 1

1
23 23.

Bài 5. (Dạng 3 ). Tính :
a)

2 4 1

5 3 2

   
     

    ; b)

1 5 1 3

3 4 4 8

   
      

   

 

Đáp số : a)

43 13
A 1
30 30

 

; b)
53 5
B 2
24 24
 
;
Bài 6. (Dạng 4 ). Tìm x, biết :

a)
1 1
x
15 10
 
; b)
2 3
x
15 10
 
 
; c)

1 2 1

3 5 3

 
    

  ;
d)

3 1 3

7 4 5

 
    

 ; e)

11 2 2

12 5 3

 

   

 

Đáp số : a)

1
x

6

; b)
1
x
6

; c)
2
x
5


; d)

7
x
10


; e)
3
x
20


.
Bài 7. (Dạng 5 ). Tính giá trị của biểu thức :

1 2 1 6 7 3

A 3 5 6

4 3 3 5 4 2

     

           

     

;

Đáp số :

97 7
A 6
15 15

 
 ;
Bài 8. (Dạng 5 ). Tính nhanh :
a)

1 3 3 1 2 1 1

3 4 5 64 9 36 15

 

       

  ;

1 3 5 7 9 11 13 9 7 5 3 1

3 5 7 9 11 13 15 11 9 7 5 3

           
;
c)

1 1 1 1 1 1

99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1

     

.
Đáp số : a)

M
64

 ; b)
13
P
15

 ; c). 
97
Q
99


.
Bài 9. (Dạng 5). Tìm số nguyên x, biết :

1 1 3 1 1 1

2 3 4 48 16 6

   

        

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Đáp số : Giải ra ta được : 4 x7. Mà x x 0 .
Bài 2.

§2. NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Nhân, chia hai số hữu tỉ :

Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số
rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

Cụ thể :

a b a.b

x.y

m n m.n

  

; (với a, b, m, n   và m, n  0) ;

a b a n a.n

x : y :

m n m b m.b

   

(với a, b, m, n   và m, b, n  0) ;
Chú ý : Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất của phép nhân phân số. Cụ thể :

a) Tính chất giao hoán : x . y y . x  ;

b) Tính chất kết hợp :



x.y .z x. y.z









;
c) Cộng với số 0 : x.1 x ;

d) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng : x y z







xy xz ;
e) Với mỗi số x  , x  0 thì số nghịch đảo của x là

1
x.

2. Tỉ số : Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y 0 ) gọi là tỉ số của hai
số x và y. Kí hiệu

y hay x : y.

B. CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNH
1. Dạng 1. NHÂN, CHIA HAI SỐ HỮU TỈ.

Phương pháp giải : Để nhân, chia hai số hữu tỉ người ta thường thực hiện : 
+ Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân sô.

+ Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

a b a.b

x.y

m n m.n

  

; (với a, b, m, n   và m, n  0) ;

a b a n a.n

x : y :

m n m b m.b

   

(với a, b, m, n   và m, b, n  0) ;
+ Rút gọn kết quả (nếu có thể).

Ví dụ 1. Tính :
a)

2 21
.
7 8



; b)





7
2 .

 
  

  ; c)

15
0, 24.


;
d)

2
3,5. 1

 

 

 ; e)





5
: 2
23




; f)

3
: 6
25

 



 

 

Đáp số : a)

3
4



; b)

7 1

6  6 ; c) 
9
10



; d)

49
10



46 ; f)

1
50


.
2. Dạng 2. VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TÍCH HOẶC THƯƠNG CỦA
HAI SỐ HỮU TỈ.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

+ Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên.
+ “Tách ra hai phân số có tử và mẫu là các số ngun tìm được ;
+ Lập tích hoặc thương của các phân số đó.

Ví dụ 2. Ta có thể viết số hữu tỉ

5
16



dưới các dạng sau đây :
a) Tích của hai số hữu tỉ. Ví dụ :



5 .1



5 5 1

16 2.8 2 8



 

  

;
b) Thương của hai số hữu tỉ Ví dụ

5 5
: 8
16 2
 


.

Dạng 3. THỰC HIỆN PHÉP TÍNH VỚI NHIỀU SỐ HỮU TỈ.
Phương pháp giải :

+ Nắm vững quy tắc thực hiện các phép tính, chú ý đến dấu của kết quả ;
+ Đảm bảo thứ tự thực hiện các phép tính ;

+ Chú ý vận dụng tính chất các phép tính trong trường hợp có thể.
Ví dụ 3. Tính :

3 12 25

4 5 6

  

   

   ; b)





38 7 3

21 4 8

   
     

  ;
c)

11 33 3
:

12 16 5

 



 

  ; d)

7 8 45

23 6 18

  
 
 
 
 
  .

Đáp số : a)

15
2



; b)

8 ; c)

15 ; d)

7
6


.
Ví dụ 4. Tính :

2 3 4 1 4 4

: :

3 7 5 3 7 5

 

   

 

   

    b)

9 1 5 9 1 2

: :

5 11 22 5 15 3

   

  

   

   

Đáp số : a) 0 ; b) 5.

C. LUYỆN TẬP

Bài 1. (Dạng 1). Tính :
a)
9 17
34 4


; b)
20 4
41 5
 

; c)
2
15
3
 
;
d)
8 1
1
15 4


; e)
2 3
1
5 4


; f)

1 1
1 1

17 24 
Đáp số : a)

9
8



; b)

41; c) 10 ; d) 
2
3



; e)

21
20

; f)
75
68

Bài 2. (Dạng 1). Tính :
a)

17 4
:

15 3 ; b)

12 34
:
21 43



; c)





9
: 3

7  ; d)

14
11:

37

Đáp số : a)

20 ; b)

86
119

; c)
3
7

; d)
407 1
29

14  14

Bài 3. (Dạng 1). Tính :
a)
5 3
:
2 4

; b)
1 4

4 : 2

5 5

 



 

  ; c)

4 3
1 :
5 4
 

 

  ; d)





6 : 3

11  

Đáp số : a)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 4. (Dạng2 ). a) Viết số hữu tỉ 42 thành tích của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
b) Viết số hữu tỉ

66 thành thương của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.

Bài 5. (Dạng3 ). Tính :
a)

2 1 3

4. ;

3 2 4

 

   

  b)

1 5
.11 7
3 6
 
  
 
  .

Đáp số : a)

13
3

; b)
3

2

.

Bài 6. (Dạng 3). Tính giá trị của biểu thức : A 12 x y







theo cách hợp lý nhất.
a) x = 6,99, y = -1,01 ; b)

1 2

x 3 , y 2

4 3

 

Đáp số : a) A = 96 ; b) A = 7.

Bài 7. (Dạng3 ). Tính giá trị của biểu thức :

7 7 7 7

4 5 7 11
P

13 13 13 13

4 5 7 11

  

  
; b)
3 3
0,75 0,6
7 13
Q
11 11
2,75 2, 2

7 13

  


  

Đáp số : a)

7
P



; b)

3
Q

 
Bài 8. (Dạng 3). Tính giá trị của các biểu thức sau :





5 7 11

A 30

11 15 5



   

    


    ; b)

1 15 38

B .

6 19 45

   
     

    ;
c)

5 3 13 3

9 11 18 11

   

     

    ; d)

2 9 3 3

D 2 :

15 17 32 17

   

     

   .

Đáp số : a) A14; b)

1
B
9

; c)
23
C
66


; d)
3
D
5



Bài 9. Cho

1 5 7 3

P x

2 9 13 5

     

        

      (với x ). Hãy xác định dấu của x khi P > 0,
P = 0, P < 0.

Bài 10. Dùng dấu các phép tính và các số hữu tỉ

3
,
4
2
,
5
5
,
7
 6

7để lập một biểu thức có giá

trị là
19
2
28

.
Đáp số :

3 5 6 2

4 7 7 5


 

Bài 11. Viết các thương sau thành tích :
a)
1 2
:
5 3
 

 

  ; b)





1
3 :



; c) 12 :13.

Bài 12. Tìm x, biết :
a)
2 4
x
3 15
 
; b)
21 7
x

13  26 ; c)

7 35
x
18 24
 
;
d)

2 5 3

3 7 10 ; e)

3 1 3

4  2 7 ; f)

21 1 2

13 3 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Đáp số : 
a)

2
x




; b)

1
x



; c)



; d)

87
x

140




; e)

26
x



; f)

13
x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 3.

BẤT ĐẲNG THỨC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Định nghĩa : a > b  a – b > 0.

2. Tính chất :

a) Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức : a b  a c b c   .
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương :

a b

ac bc
c 0




 





c) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương và đổi chiều bất đẳng thức :

a b

ac bc
c 0




 





3. Quy tắc “chuyển vế” : Với x, y, z  , ta có : x y z   x z y 
B. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH

I. KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƯƠNG HOẶC GIÁ TRỊ ÂM.
Dạng 1. Biểu thức có dạng tổng , hiệu :

Phương pháp giải :

- Áp dụng qui tắc “chuyển vế” để biến đổi bất đẳng thức về dạng : ax > b hoặc ax < b.
- Tiếp theo áp dụng tính chất của bất đẳng thức để tìm x.

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của x, sao cho :

a) Biểu thức A = 2x – 1 có giá trị dương ;
b) Biểu thức B = 8 – 2x có giá trị âm.
Giải.

a) Ta có : A = 2x – 1 có giá trị dương

2x 1 0 2x 1 x

      

.
Với mọi

1
x



thì A > 0.

b) 8 2x 0   x 4 . Với mọi x > 4 thì B < 0.
Dạng 2. Biểu thức có dạng tích :

Phương pháp giải :

Bất đẳng thức dạng tích thường có dạng : A(x).B(x) > 0 hoặc A(x).B(x) > 0
+) Ta có : A(x).B(x) > 0  A(x), B(x) cùng dấu.

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1 :

 

A x 0

B x 0

 









Trường hợp 2 :

 

A x 0

B x 0

 









+) Ta có : A(x).B(x) < 0  A(x), B(x) khác dấu.
Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1 :

 

A x 0

B x 0

 









Trường hợp 2 :

 

A x 0

B x 0

 







</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của x để biểu thức A



x 1 x 3

 





có giá trị âm.
Giải

Cách 1.



 



A x 1 x 3  0 khi các thừa số x – 1 và x + 3 khác dấu.

Xét hai trường hợp :
Trường hợp 1 :

x 1 0 x 1

x 3 0 x 3

  

 



 

   

  không xảy ra (1)
Trường hợp 2 :

x 1 0 x 1

3 x 1

x 3 0 x 3

  

 

    

 

   

  (2)

Vậy nếu  3 x 1 thì A < 0.

Ví dụ 3. Khi nào thì biểu thức B x 2 5x có giá trị dương ?
Giải

Biến đổi biểu thức B thành một tích : B x 2 5x x x 5







B > 0 khi các thừa số x và x – 5 cùng dấu.

Xét hai trường hợp :
Trường hợp 1 :

x 0 x 0

x 5

x 5 0 x 5

 

 

  

 

  

  (1)

Trường hợp 2 :

x 0 x 0

x 0

x 5 0 x 5

 

 

  

 

  

  (2)

Vậy nếu x < 0 hoặc x > 5 thì B > 0.
Dạng 3. Biểu thức có dạng thương :
Phương pháp giải :

Bất đẳng thức dạng tích có dạng :

 

 









Ví dụ 4. Tìm các giá trị của x để biểu thức

x 1
A

x 3




 có giá trị âm.
Giải :

Ta có :

x 1
0
x 3




 khi các thừa số x – 1 và x + 3 khác dấu. 
Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1 :

x 1 0 x 1

x 3 0 x 3

  

 



 

   

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Trường hợp 2 :

3 x 1

x 3 0 x 3

 

    

 

   

  (2)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Dạng 4. Tìm GTNN, GTLN.

*) Muốn tìm GTNN của f(x) ta phải thực
hiện hai yêu cầu :

+ Chứng tỏ rằng f(x)  m với mọi x (m 
là hằng số).

+ Chỉ ra rằng dấu “=” được xảy ra.

*) Muốn tìm GTLN của f(x) ta phải thực
hiện hai yêu cầu :

+ Chứng tỏ rằng f(x)  m với mọi x (m 
là hằng số).

+ Chỉ ra rằng dấu “=” được xảy ra.
Ví dụ 5. Tìm GTNN của biểu thức

Ví dụ 6. Với giá trị nào nguyên của x thi biểu thức

14 x
P

4 x




 có giá trị lớn nhất.

Giải : Biến đổi

14 x 10

P 1

4 x 4 x



  

  . Ta thấy P lớn nhất khi

4 x lớn nhất. Vì x 
nguyên nên

4 x lớn nhất bằng 10 khi x = 3. Vậy P có GTLN bằng 11 khi x = 3.
C. LUYỆN TẬP

Bài 1. Tìm x sao cho :



x x 3
0
x 9




 ; f)

5
1
x 1  .
Bài 2. Tìm các giá trị của x để :

x 5
1
x 3




 ; b)

x 2
1
x 1




 ; c)

x 3
1
x 7




 d)

x 2
1
x 5




Bài 3. Tìm các số nguyên a, sao cho :



 



2 2 2 2

a  1 a  4 a  7 a  10 0

Giải

Nhận xét : Tích của 4 số : a2 1, a2 4, a2 7, a2 10 là số âm nên trong bốn thừa số
phải có một số âm hoặc ba số âm

Ta có : a2 10 < a2 7 < a2 4 < a2 1.
Xét hai trường hợp :



2 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12></div>

BT DS 7 phan 1

§1. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ











 











 

 

 

<b>C. LUYỆN TẬP</b>

<b> §2. NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ</b>





























<b>C. LUYỆN TẬP</b>





















<b>BẤT ĐẲNG THỨC</b>

 

 

 

 

 

 

 

 



 





 







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







