Bài giảng Cơ học kỹ thuật (Phần Tĩnh học vật rắn): Chương 2 – ĐH Bách Khoa Hà Nội

CƠ HỌC KỸ THUẬT

TĨNH HỌC VẬT RẮN

CHƯƠNG

2

Hệ lực phẳng và cân
bằng của vật rắn phẳng

CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

Nội dung

§1. Hai đại lượng đặc trưng của hệ lực phẳng
§2. Thu gọn hệ lực phẳng
§3. Các điều kiện cân bằng của vật rắn phẳng
§4. Các bài tốn cơ bản của tĩnh học

§5. Cân bằng của hệ vật rắn phẳng

CuuDuongThanCong.com

/>
2-2

Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§1. Hai đại lượng đặc trưng của hệ lực phẳng
• Hệ lực gồm các lực cùng nằm trong một mặt phẳng được
gọi là hệ lực phẳng.
• Nhiều hệ thống kỹ thuật có thể mơ hình hóa thành hệ các
vật rắn phẳng chịu tác dụng của hệ lực phẳng.
• Phương pháp nghiên cứu hệ lực phẳng cơ sở quan trọng
để nghiên cứu các hệ lực bất kỳ.
• Hai đại lượng đặc trưng của hệ lực phẳng là Véc tơ chính
và Mơ men chính

CuuDuongThanCong.com

/>
2- 3


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§1. Hai đại lượng đặc trưng của hệ lực phẳng
1.1 Véc tơ chính
Định nghĩa. Véctơ chính của hệ lực
phẳng  F1 , F2 ,..., Fn  , ký hiệu là R  , là
tổng hình học các véctơ lực thành
phần của hệ .
n

R  F1  F2  ...  Fn   Fk

y

F2

F3
Fk

F1

Fn

k 1

x

Cách xác định: Áp dụng phương pháp chiếu véctơ lực
n

n

k 1

k 1

Rx   Fkx , Ry   Fky

CuuDuongThanCong.com

/>

2- 4


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§1. Hai đại lượng đặc trưng của hệ lực phẳng
1.2 Mơ men chính với một điểm
• Mơmen đại số của lực đối với một điểm được
xác định bởi:

mO (F )

O
d

F

Fd,

trong đó ta quy ước dấu cộng (+) nếu lực quay
quanh O ngược chiều kim đồng hồ, dấu trừ (-)
nếu lực quay quanh O thuận chiều kim đồng hồ.



• Mơmen chính của hệ lực phẳng F1, F2 ,..., Fn
đối với điểm O:

A



n

MO

mO (Fk )
k 1

CuuDuongThanCong.com

/>
2-5


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§1. Hai đại lượng đặc trưng của hệ lực phẳng
Thí dụ

F3

Hình vng ABCD có cạnh 2a

C

a
3

Rx   Fkx   F2 cos 60  F3 cos30

0

0

y

B

a

300

k 1
3

Ry   Fky F1  F2 sin 600  F3 sin 300

D

k 1

a
A

3

a
M O   mO ( Fk )  F1  aF2  aF3 .
2
k 1

CuuDuongThanCong.com

a/2

F1

O1

/>
F2
x

2-6


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§2. Thu gọn hệ lực phẳng
2.1 Thu gọn hệ lực phẳng đồng qui
Định lý 1. Thu gọn hệ lực phẳng đồng qui ta
được một hợp lực. Hợp lực đặt tại điểm
đồng qui và được biểu diễn bằng véctơ
chính của hệ lực đã cho
n

F1
O

F2

R   Fk

R

k 1

Chứng minh

R1

Fn

( F1 , F2 )  R1 , ( R1 , F3 )  R2 , ... , ( Rn2 , Fn )  R
R1  F1  F2 , R2  F1  F2  F3 , ... , R  Rn  F1  F2  ...  Fn
Định lý 2 (Định lý Varignon). Khi hệ lực phẳng có hợp lực, mômen của hợp
lực đối với một tâm O bất kỳ bằng tổng mômen của các lực thành phần đối
n
với tâm O đó.
F1 , F2 ,..., Fn  R  mO ( R)   mO ( Fk )



CuuDuongThanCong.com



k 1

/>

2- 7


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§2. Thu gọn hệ lực phẳng
2.2 Thu gọn hệ ngẫu lực phẳng
• Mơmen đại số của ngẫu lực m

m

Fd

Fd

m
F

F

d

• Định lý 3. Hai ngẫu lực nằm trong cùng một
mặt phẳng là tương đương khi mômen đại số
của chúng bằng nhau
• Hệ quả. Ta có thể di chuyển tuỳ ý một ngẫu
lực trong mặt phẳng tác dụng của nó.
• Định lý 4. Thu gọn hệ ngẫu lực phẳng ta được
một ngẫu lực tổng hợp nằm trong mặt phẳng
và có mơmen đại số bằng tổng các mômen đại

số của các ngẫu lực thành phần.
CuuDuongThanCong.com

n

M   mk
k 1

/>
2-8


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§2. Thu gọn hệ lực phẳng
2.3 Thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ
Phép dời lực song song
• Định lý 5. Lực FA đặt tại A tương đương
với lực FB  FA đặt tại B và một ngẫu lực
có mơmen bằng mômen của lực FA lấy đối
với điểm B.



 

FA  FB , mB FA

• Chứng minh

FA

FA

B

A

B

A

FB



 FA , FB , FB

FA
CuuDuongThanCong.com

FB

FB



A

B



 

 FB , mB FA
/>
2-9


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§2. Thu gọn hệ lực phẳng
Định lý Poinsot (Poanh-xơ) về thu gọn hệ lực

F2

Định lý 6. Thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ về tâm
O tuỳ ý ta được một lực và một ngẫu lực. Lực
đặt tại tâm O và được biểu diễn bằng véctơ
chính của hệ, ngẫu lực có mơmen bằng mơmen
chính của hệ lực lấy đối với tâm O.
Chứng minh: Sử dụng phép dời lực song
song, thu gọn hệ lực đồng qui và hệ ngẫu lực.
Fk
F1

O

Fn

F1

O

Fk



Fn

MO

O

RO , M O 

F1, F2 ,..., Fn 
CuuDuongThanCong.com

O

RO
mO ( Fk )

F1

Fk

F1, F2 ,..., Fn   RO , M O 

Fn



F3

/>
2- 10


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§2. Thu gọn hệ lực phẳng

RA

Ảnh hưởng của tâm thu gọn

Thu gọn hệ lực phẳng về hai tâm thu gọn O và A
khác nhau:
• Véctơ chính khơng phụ thuộc vào tâm thu gọn
• Mơ men chính phụ thuộc vào tâm thu gọn theo
quy luật biến thiên mơmen chính (Định lý 7) :

MA

O

A

M O  M A  m( RA )
Các dạng chuẩn của hệ lực phẳng (dạng tối giản khi thu gọn về tâm O)

• Hợp lực khi RO  0
• Một ngẫu lực khi RO  0, M O  0
• Một cặp lực cân bằng khi RO  0, M O  0.

CuuDuongThanCong.com

/>
2 - 11


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§2. Thu gọn hệ lực phẳng
Thí dụ. Hợp lực của hệ lực phân bố song song cùng chiều
• Hệ lực phân bố được xác định bởi cường độ q và quy luật phân
bố của các lực thành phần.
• Hệ lực phân bố song song có hợp lực Q đặt tại trọng tâm C của
diện tích phân bố.

Phân bố đều

CuuDuongThanCong.com

Phân bố theo luật tam giác

/>

2 - 12


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§3. Các điều kiện cân bằng của vật rắn phẳng
3.1 Điều kiện cân bằng tổng quát
Định lý 8. Điều kiện cần và đủ để cho vật rắn phẳng tự
do cân bằng là:
• Véctơ chính của hệ lực tác dụng lên vật rắn bằng 0,
• Mơmen chính của hệ lực tác dụng lên vật rắn lấy đối
với một điểm O tuỳ ý bằng 0.

RO  0,
M O  0.

Hệ quả. Điều kiện cần và đủ để cho hệ lực tác dụng lên một vật
rắn phẳng tự do, cân bằng là:
• Véctơ chính của hệ lực bằng 0,
• Mơmen chính của hệ lực lấy đối với một điểm O tuỳ ý bằng 0.

CuuDuongThanCong.com

/>
2- 13


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§3. Các điều kiện cân bằng của vật rắn phẳng

3.2 Các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ

F1 , F2 ,..., Fn   0

 RO  0, M O  0

(x khơng vng góc với AB)

 Fkx  0,
 Fky  0,
 mO  Fk   0.
Dạng 1

 Fkx  0,
 mA  Fk   0.
 mB  Fk   0.
Dạng 2

CuuDuongThanCong.com

(ABC không thẳng hàng)

 mA  Fk   0.
 mB  Fk   0.
 mC  Fk   0.
Dạng 3

/>
2 - 14

Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§3. Các điều kiện cân bằng của vật rắn phẳng
3.3 Các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng đặc biệt
Hệ lực đồng qui phẳng

y

Hệ lực song song với trục y

 Fkx  0,

 Fky  0,

 Fky  0.

 mO  Fk   0.
y

Fk

Hệ ngẫu lực phẳng

 mk  0

Fk
O

mk

O

x

x
CuuDuongThanCong.com

/>
2 - 15


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§4. Các bài tốn cơ bản của tĩnh học
4.1 Bài tốn xác định phản lực liên kết
• Giải phóng liên kết , thay liên kết
bằng các phản lực liên kết tương
ứng.
• Thiết lập các phương trình cân
bằng cho hệ lực tác dụng lên vật
rắn tự do.
• Giải các phương trình cân bằng,
xác định các ẩn cần tìm.

F
F
m

kx

ky
C

Thí dụ
Tìm phản lực liên kết tại A và lực
căng dây BC

F  3ql

 X A  T cos   0

 YA  T sin   Q  F  0
(Fk )  4lYA  3l Q  6l F  0

Q  6l q, cos  

4
3
, sin   .
5
5

CuuDuongThanCong.com

XA  24ql

YA  9ql
/>
T  30ql .
2 - 16

Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§4. Các bài tốn cơ bản của tĩnh học
4.2 Bài tốn xác định điều kiện cân bằng
• Trong bài tốn này, ẩn là những đại
lượng xác định vị trí của vật rắn (và một
số lực).
• Nếu chọn được các phương trình cân
bằng thích hợp, việc giải sẽ tương đối
nhanh gọn.

Thí dụ
Xác định điều kiện cân bằng
của tấm đồng chất có trọng lượng Q

Phương trình cân bằng mơmen

 mA(Fk )  P

a
b
cos  Q sin  0
2
2

Điều kiện cân bằng của vật
a
Q


tan 
b
P
CuuDuongThanCong.com

/>
2 - 17


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§4. Các bài tốn cơ bản của tĩnh học
4.3 Bài tốn vật lật
S

A

• Vật rắn phẳng S chịu tác dụng của một hệ
lực và chịu liên kết tựa tại hai điểm A và B.
• Phân chia các lực thành hai nhóm: Các lực
gây lật quanh A F at và các lực giữ Fgiu.
• Điều kiện để vật khơng bị lật quanh A:

B

Thí dụ

 

 mA Fk

giu

 

  mA Fi

lat

Xác định điều kiện để cần cẩu không bị lật quanh A

• Lực gây lật: Q
• Lực giữ: P và G

Q

CuuDuongThanCong.com

(a  b) P  bG
c
/>
2 - 18


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§4. Các bài tốn cơ bản của tĩnh học
4.4 Bài toán xác định nội lực

CuuDuongThanCong.com

/>
2 - 19


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rn phng

Đ5. Cõn bng ca h vt rn phng
ã Mt hệ nhiều vật rắn được gọi là cân
bằng nếu mỗi vật rắn thuộc hệ cân bằng.
• Hệ p vật rắn chịu liên kết cân bằng có thể
khảo sát như p vật rắn cân bằng hoặc một
số nhóm nhỏ các vật rắn (tách cấu trúc),
hoặc xem như là một vật rắn cân bằng
duy nhất (hóa rắn).

Hóa rắn

• Với mỗi vật rắn phẳng được tách ra sẽ có
tối đa 3 phương trình cân bằng độc lập.
• Để tính tốn cân bằng cho hệ nhiều vật
rắn, số phương trình cân bằng tĩnh học
thiết lập được phải bằng số ẩn cần tìm.

CuuDuongThanCong.com

Tách cấu trúc

/>

2- 20


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§5. Cân bằng của hệ vật rắn phẳng
Thí dụ
Một dầm liên tục gồm hai nhịp với
a = 0,5m; q = 60 kN/m; F= 80 kN;
M = 10 kNm.
Xác định các phản lực liên kết tại A,
B và lực liên kết tại C.

Xét cân bằng của DC

CuuDuongThanCong.com

Xét cân bằng của CB

/>
2- 21


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

§5. Cân bằng của hệ vật rắn phẳng
Thí dụ (tiếp)
Xét cân bằng của DC

Xét cân bằng của CB

 Fkx   X C  0,

 Fkx  X C  X B  0,
 Fky  YC  F  YB  0,

2
m
(
F
)

 A k 3 aqa  M  a 2qa  2aYC  0,
8
m
(
F
)

 C k 3 aqa  M  2aN A  a 2qa  0.

 mB ( Fk )  2aYC  aF  mB  0,

Giải hệ 6 phương trình trên ta tìm được 6 ẩn số:
7
M
2
M
YC  qa 
 10kN N A  qa   80kN

3
2a
3
2a
4
mB   qa 2  M  aF  50kNm
3
CuuDuongThanCong.com

2
M
YB  qa 
 F  90kN
3
2a

X B   XC  0
/>
2- 22


Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn phẳng

Chương tiếp theo
• Chương 1. Các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề tĩnh
học
• Chương 2. Hệ lực phẳng và cân bằng của vật rắn
phẳng
• Chương 3. Hệ lực khơng gian và cân bằng của vật
rắn khơng gian

• Chương 4. Trọng tâm vật rắn
• Chương 5. Ma sát giữa các vật rắn

CuuDuongThanCong.com

/>
2 - 23