Toán 10 Bài 1 bất ĐẲNG THỨC

CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm bất đẳng thức.
+ Nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ quả của bất đẳng thức
Cơ-si và bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Kĩ năng
+ Biết cách giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất và định nghĩa.
+

Biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng bất
đẳng thức Cô-si.

+ Vận dụng được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong các bài toán về cực trị.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khái niệm bất đẳng thức
-

Ví dụ:

Các mệnh đề dạng " a �b " hoặc " a �b " được gọi là bất đẳng

3  5 ;  a  1 �0 ; a 2  2  0 .
2

thức.
Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương.
-

Nếu mệnh đề " a  b � c  d " đúng thì ta nói bất đẳng thức

c  d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a  b và

cũng viết là a  b � c  d .
-

Nếu bất đẳng thức a  b là hệ quả của bất đẳng thức c  d và
ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau
và viết là a  b � c  d .
Tính chất của bất đẳng thức
Điều
kiện

c0
c0

Tính chất
Nội dung

c0
n ��*

a b � ac bc
a  b � ac  bc
a  b � ac  bc

a  b�
�� ac  bd
c  d�
ab� a

2 n 1

b

Từ 3  6 � 2.3  2.6 � 6  12 .
Bất đẳng thức 6  12 là bất đẳng thức
hệ quả của bất đẳng thức 3  6 .
Chứng minh tương tự, ta thu được kết
quả hai bất đẳng thức 3  6 và 6  12
tương đương với nhau.

Tên gọi

a  b�
�� a  c  b  d
c  d�

a 0,

Ví dụ:

Cộng hai vế của bất
đẳng thức với một số
Nhân hai vế của bất
đẳng thức với một số
Cộng hai bất đẳng
thức cùng chiều
Nhân hai bất đẳng
thức cùng chiều

2 n 1

Trang 1


a  b � a 2n  b2n

n ��* ,

Nhân hai vế của bất

a0

đẳng thức lên một

a0

ab� a  b

lũy thừa
Khai căn hai vế của

ab� 3 a  3 b

một bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si
-

Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm

ab
� ab .
2

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  b .
-

Hệ quả:
Tổng của một số dương và nghịch đảo của nó ln lớn hơn

Ví dụ:
-

hoặc bằng 2.

mãn xy  9 . Khi đó, ta có

1
a  �2 , a  0 .
a


Nếu x , y cùng dương và có tổng khơng đổi thì tích
xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x  y .



x 2  y 2 �2 x 2 y 2  2 xy  18
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi

�x 2  y 2
�x  y  3
��
.
�
�x  y  3
�xy  9

Nếu x , y cùng dương và có tích khơng đổi thì tổng
x  y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x  y .
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

-

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất sau
Điều kiện
a0

Chứng minh: a  b �a  b .  1

Nội dung
x �0 , x �x , x � x .
x �a � a �x �a .
x �a
�
x �a � �
.
x �a
�
a  b �a  b �a  b .

Cho hai số thực x , y thỏa

-

Nếu a  b thì  1 đúng.

-

Nếu a  b , bình phương hai
vế, ta được

a 2  2 ab  b 2 �a 2  b 2  2ab
۳ ab

 ab (bất đẳng thức này luôn

đúng).
Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi ab �0 .
Chứng minh tương tự với bất đẳng
thức a  b �a  b .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất
Phương pháp giải
Trang 2


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức

a 3  b3 �a 2b  ab 2 với mọi a �0 , b �0 .

A  B  A �B  .
1. Chứng minh

A  B  0  A  B �0 

hoặc

dùng các phép biến đổi tương đương để
chứng minh A  B  A �B  tương đương
với một bất đẳng thức đúng.
2. Xuất phát từ một bất đẳng thức đúng.
3. Biến đổi một vế của bất đẳng thức.
�A  C
� A B.
4. Sử dụng tính chất bắc cầu �
CB
�

Hướng dẫn giải
Cách 1. Xét hiệu
a 3  b3   a 2b  ab 2    a 3  a 2b    ab 2  b3 
 a2  a  b   b2  a  b 
  a  b   a 2  b2    a  b 

2

 a  b .

2
Mà  a  b  �0 với mọi a , b và a �0 , b �0 nên

 a  b   a  b  �0 .
2

Dấu "  " xảy ra khi a  b .
Vậy a 3  b3 �a 2b  ab 2 với mọi a �0 , b �0 .
Cách 2. Biến đổi tương đương

a

3

 b3  � a 2b  ab 2 

�  a 3  a 2b    ab 2  b3  �0
� a 2  a  b   b 2  a  b  �0
�  a  b   a 2  b 2  �0
�  a  b

2

 a  b  �0 .  *

Lập luận tương tự như Cách 1, ta suy ra bất đẳng
thức  * là một bất đẳng thức đúng với a �0 ,
b �0 . Vì vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho a , b là hai số thực thỏa mãn ab �1 .
Chứng minh rằng

1
1
2

�
.
2
2
1  a 1  b 1  ab

Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
1
1
2
1
1
1
1


�0 �



�0
2

2
2
2
1  a 1  b 1  ab
1  a 1  ab 1  b 1  ab

Nhận xét: Khi chứng minh
bất đẳng thức dạng A �B
ta nên chỉ ra trường hợp
Trang 3


�

�

dấu đẳng thức (dấu "  " )

ab  a 2
ab  b 2

�0
 1  a 2   1  ab   1  b2   1  ab 
a  b  a



b  a  b

 1  a   1  ab   1  b   1  ab 

2

ba � a
��۳ � 2
1  ab �
1 a

2

�0

b  a a  ab 2  b  a 2b
.
1  ab  1  a 2   1  b 2 

b �
�0
1  b2 �

b  a  a  b   ab  b  a 
۳
.
1  ab  1  a 2   1  b 2 

xảy ra.

0

 b  a   ab  1
 1  ab   1  a 2   1  b2 

2

0۳

0.

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ab �1 .
Dấu "  " xảy ra khi a  b hoặc ab  1 .
Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho a , b thỏa mãn a  b �0 .
�a 2  b2 �
a 3  b3 �a  b �
��
Chứng minh rằng
�
�.
�
2
�2 �
� 2 �
Hướng dẫn giải
Ta có
2
2
�a 2  b2 �  a  b   a  ab  b  �a  b �
�a 2  b2 �
a 3  b3 �a  b �
�
�
�

�
�
�
�
�
2
2
�2 �
�2 �
� 2 �
� 2 �

�2
�a 2  2ab  b 2 �
a 2  b 2 � �a  b �
�a  b �
2
�
a

ab

b


�
��
�
�
�

�
2 ��2 �
2
�2 �
�
�
�

 a  b  a  b


2

4

�0 (luôn đúng vì a  b �0 và  a  b  �0 ).
2

Dấu "  " xảy ra khi a  b hoặc a  b .
Vậy

�a 2  b2 �
a 3  b3 �a  b �
��
�
�với a  b �0 .
�
2
�2 �
� 2 �

2
2
2
Ví dụ 3. Cho a , b , c  0 thỏa mãn a  b  c 

Chứng minh

35
.
33

1 1 1
1
  
.
a b c abc

Hướng dẫn giải
Ta có 0 � a  b  c   a 2  b 2  c 2  2  ab  ac  bc 
2

� 2  ac  bc  ab  �a 2  b 2  c 2

Trang 4


1
� ac  bc  ab �  a 2  b 2  c 2 
2

35
� ac  bc  ab �  1 hay ac  bc  ab  1 .
66
Vì abc  0 nên chia cả hai vế cho abc , ta được
�

ac  bc  ab
1

abc
abc

1 1 1
1 (điều phải chứng minh).
  
a b c abc

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi a , b , c  0 ta có 1 

a
b
c


 2.
ab bc ca

Hướng dẫn giải
Ta có a  b  a  b  c �
Tương tự ta có

1
1
a
a

�

.  1
ab a bc
a b a bc

b
b

bc abc

 2 ;

c
c

.  3
ca abc

Cộng theo vế các bất đẳng thức  1 ,  2  ,  3 ta được
a
b
c



 1 .  *
ab bc c a
2
2
Ta có a  a  b  c   a  ab  ac  a  ab  ac  bc   a  b   a  c 

�

a
ac

.
a b a b c

 4

Tương tự ta có
b
ba

.
bc abc

 5

c
cb

.

c  a a b c

 6

Cộng theo vế các bất đẳng thức  4  ,  5  ,  6  ta được
a
b
c


2.
ab bc ca
Từ  * và  ** ta được 1 

 **
a
b
c


 2 (điều phải chứng minh).
a b bc ca

Ví dụ 5. Cho a , b , c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng

a
b
c



 3.
1  bc 1  ca 1  ab

a
b
c
3


� .
1  a  bc 1  b  ca 1  c  ab 4

Hướng dẫn giải
Ta có

Trang 5


a
b
c
a
b
c
3
3


� � 1  bc  1  ca  1  ab � .

a
b
c
1  a  bc 1  b  ca 1  c  ab 4
4
1
1
1
1  bc
1  ca
1  ab
Đặt x 

a
b
c
; y
; z
.
1  bc
1  ca
1  ab

Suy ra x , y , z �0 và thỏa mãn x  y  z  3 .
Ta cần phải chứng minh
Dễ thấy

x
y
z

3


� .
1 x 1 y 1 z 4

x
x
y
y
z
z
�
�
�
;
;
.
1 x 1 x  y  z 1 y 1 y  x  z 1 z 1 z  x  y

Cộng vế với vế các bất đẳng thức, ta được
x
y
z
x yz
3


�
 (vì x  y  z  3 ).

1 x 1 y 1 z 1 x  y  z 4
Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Dấu "  " xảy ra khi trong 3 số a , b , c có một số bằng 3 và hai số cịn lại cùng bằng 0.
Ví dụ 6. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x �y �z .
�1 1 � 1
�1 1 �
 x  z .
Chứng minh rằng y �  �  x  z  ��  �
�x z � y
�x z �
Hướng dẫn giải
Bắt đẳng thức đã cho tương đương với

 x  z

2

xz
�

y  x  z x  z
�

xz
y

xz y 1
  �0 (vì x  z  0 )
xz
xz y

� xy  yz  y 2  xz �0
� x  y  z   y  y  z  �0
�  x  y   y  z  �0
Bất đẳng thức này ln đúng vì 0  x �y �z .
Vây bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Dấu "  " xảy ra khi x  y hoặc y  z .
Ví dụ 7. Cho abc  1 và a 3  36 . Chứng minh rằng

a2
 b 2  c 2  ab  bc  ca .
3

Hướng dẫn giải
Xét hiệu

Trang 6


�a 2
� a2
a2
2
2
2
2
 b  c   ab  bc  ca   �  b  c  ab  ca  2bc �
  3bc
3
�4

� 12
2

2

2
3
�a
� a  36bc �a
� a  36abc
 �  b  c �
 �  b  c �
12
12a
�2
�
�2
�
2

3
�a
� a  36
.
 �  b  c �
�2
� 12a

a 3  36
Ta có a  36 � a  36  0 và a  36  0 nên

0;
12a
3

3

3

2

�a
�
Lại có �  b  c ��0 .
�2
�
2

3
�a
� a  36
Do đó �  b  c �
0.
�2
� 12a

Vậy

a2
a2
 b2  c 2   ab  bc  ca   0 �

 b 2  c 2  ab  bc  ca (điều phải chứng minh).
3
3

Ví dụ 8. Cho hai số thực dương a , b . Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.

a2
1
� .
4
a 1 2

B.

C.

a2  1 1
� .
a2  2 2

D. Tất cả đều đúng.

ab 1
� .
ab  1 2

Hướng dẫn giải
a 2  1


a2
1 2a 2  a 4  1
 

�0 , a ��. Do đó A sai, D sai.
a4  1 2
2  a 4  1
2  a 4  1
2



ab 1 2 ab  ab  1

�
ab  1 2
2  ab  1

a 1 1 2 a 1  a  2

�
a2  2 2
2  a2  2
2

2

2



2

ab  1

2  ab  1



ab
ab  1

0



a2  1 1
2  a  2
2

1 , a, b  0 . Do đó B sai.
2

2

0

a2  1
a2  2

1 , a . Do đó C đúng.
2

Chọn C.
Ví dụ 9. Nếu 0  a  1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.

1
 a.
a

B. a 

C. a  a .

1
.
a

D. a 3  a 2 .

Hướng dẫn giải







1 a 1 a  a

1
1 a a
1
 a

 0 �  a , a � 0;1 . Do đó A đúng.
a
a
a
a
Trang 7


a

1 a 2  1  a  1  a  1
1


 0 � a  , a � 0;1 . Do đó B sai.
a
a
a
a

a a  a





a  1  0 � a  a , a � 0;1 . Do đó C sai.

a 3  a 2  a 2  a  1  0 � a3  a 2 , a � 0;1 . Do đó D sai.
Chọn A.
Ví dụ 10. Cho a  b  0 và x 
A. x  y .
C. x  y .

1 a
1 b
y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2 ;
1 a  a
1  b  b2
B. x  y .
D. Không so sánh được.

Hướng dẫn giải
Giả sử x  y �

1 a
1 b

�  1  a   1  b  b2    1  b   1  a  a2 
2
2
1 a  a 1 b  b

� 1  b  b 2  a  ab  ab 2  1  a  a 2  b  ab  a 2b
� b 2  ab 2  a 2  a 2b � a 2  b 2  ab  a  b   0
�  a  b   a  b  ab   0 luôn đúng với mọi a  b  0 .
Do đó x  y .
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
2

a 2  b2 �a  b �
a
b
Câu 1: Hai số , thỏa mãn bất đẳng thức
��
� thì
2
�2 �
A. a  b .

B. a  b .

C. a  b .

D. a �b .

3
3
Câu 2: Với m , n  0 , bất đẳng thức mn  m  n   m  n tương đương với bất đẳng thức
2
2

A.  m  n   m  n  �0 .

2
2
B.  m  n   m  n  mn  �0 .

C.  m  n   m  n   0 .

2
2
D.  m  n   m  2n  �0 .

2

Câu 3: Cho x , y  0 . Bất đẳng thức nào sau đây sai?
1 1
4
 
.
x y x y

A.  x  y  �4 xy .

B.

1
4
C. xy �
2 .
 x  y

2
2
D.  x  y  �2  x  y  .

2

2

Câu 4: Với mỗi x  2 , trong các biểu thức
A.

2
.
x

B.

2
.
x 1

2 2
2 x 1 x
,
,
,
, giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?
x x  1 x 1 2 2
C.

2
.
x 1

D.

x
.
2
Trang 8


Câu 5: Cho các mệnh đề sau
(I): a 2  b 2 �2ab , a, b .
3
3
(II): ab  a  b  �a  b , a, b .

(III): ab  4 �4 ab , a, b .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. (I) và (III).

D. (I), (II) và (III).

Câu 6: Cho các mệnh đề

(I):

a2
1
� .
4
a 1 2

(II):

ab 1
� .
ab  1 2

(III):

a2  1 1
� .
a2  2 2

(IV):

2 ab
�1 .
ab

Số mệnh đề đúng là
A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y   x 2  5 x  6 trên đoạn  2;3 là
A.

5
.
2

B.

Câu 8: Cho hàm số f  x  

1
.
4

C. 1.

1
x2  1

D.

3

4.

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 0, giá trị lớn nhất bằng 1.
B. f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1.
C. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2.
D. f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
Câu 9: Cho a , b , c , d là các số dương. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu

a c
ab cd
 thì

.
b d
a
c

C. a  b  c � ab  bc  ca .

B. Nếu

a c
ab cd
 thì
�
.
b d
b

d

D. 2 ab





a  b �2ab  a  b .

Câu 10: Cho a , b , c , d là các số thực trong đó a , c �0 . Nghiệm của phương trình ax  b  0 nhỏ hơn
nghiệm của phương trình cx  d  0 khi và chỉ khi
A.

b c
 .
a d

B.

b c
 .
a d

C.

b a
 .
d c

D.

b d
 .
a c

Bài tập nâng cao
�x  y  1
Câu 11: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình �
có nghiệm  x; y  với x. y lớn nhất?
�x  y  2a  1
A. a 

1
.
4

B. a 

1
.
2

1
C. a   .
2

D. a  1 .

Câu 12: Cho a 2  b 2  c 2  1 . Hãy chọn mệnh đề đúng.

A. ab  bc  ca �0 .

1
B. ab  bc  ca � .
2
Trang 9


C. ab  bc  ca  1 .

D. ab  bc  ca �1 .

2
2
2
2
2
Câu 13: Bất đẳng thức a  b  c  d  e �a  b  c  d  e  , a, b, c, d , e tương đương với bất đẳng

thức nào sau đây?
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

� b� � c� � d � � e�
A. �
a  � �
a  � �
a  � �
a  ��0 .
� 2� � 2� � 2 � � 2�
� a� � a� � a� � a�
B. �
b  � �
c  � �
d  � �
e  ��0 .
� 2� � 2� � 2� � 2�
� a� � a� � a� � a�
C. �

b  � �
c  � �
d  � �
e  ��0 .
� 2� � 2� � 2� � 2�
D.  a  b    a  c    a  d    a  e  �0 .
2

2

2

2

Câu 14: Cho 3 số a, b, c bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. a  b �2 ab .

2
2
2
B.  a  2b  3c  �14  a  b  c  .

C. ab  bc  ca �a 2  b 2  c 2 .

D.

2

1 1
4

 �
.
a b ab

2
Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x  3 x với x �� là

9
A.  .
4

3
B.  .
2

C. 0.

D.

3
.
2

ĐÁP ÁN
Dạng 1. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất
1-C

2-C

3-B

4-B

5 -A

11 - A

12 - B

13 - B

14 - C

15 - C

6-D

7-B

8-B

9 -A

10 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 11. Chọn B.
�x  a
Hệ phương trình có nghiệm là �
.

�y  1  a
2

1 1 1� � 1� 1 1
�2
Ta có xy  a  1  a   a  a 2   �
a  2a.   �  �
a  � � , a ��.
2 4 4� � 2� 4 4
�
Đẳng thức xảy ra khi a 

1
.
2

1
Vậy xy lớn nhất khi a  .
2
Câu 12. Chọn B.
Ta có a 2  b 2 �2ab ; b 2  c 2 �2bc ; c 2  a 2 �2ac .
2
2
2
Cộng vế theo vế ta có 2  a  b  c  �2  ab  bc  ca  � ab  bc  ca �1 .

Trang 10


2

2
2
Ta có  a  b  c  �0 � a  b  c  2  ab  bc  ca  �0 � ab  bc  ca �
2

1
.
2

Câu 13. Chọn B.
a 2  b 2  c 2  d 2  e2 �a  b  c  d  e 
�a 2
�
a2
a2
a2
2��
2��
2��
� �  ab  b � �  ac  c � �  ad  d � �  ae  e2 ��0
�4
� �4
� �4
� �4
�
2

2

2

2

� a� � a� � a� � a�
��
b  � �
c  � �
d  � �
e  ��0 .
� 2� � 2� � 2� � 2�
Câu 14. Chọn C.
Đáp án C. đúng vì ab  bc  ca �a 2  b 2  c 2 �  a  b    b  c    c  a  �0 .
2

2

2

Câu 15. Chọn C.
2
Ta có x 2 �0 ; x �0 � x  3 x �0 , x ��.

Vây giá trị nhỏ nhất là 0 đạt được khi x  0 .
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô-si
Phương pháp giải
1. Bất đẳng thức Cơ-si (AM-GM) cho hai số
Ví dụ 1. Cho a, b, c �0 . Chứng minh

không âm:
Với a, b �0 , ta ln có

ab
� ab .
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b .
Các dạng tương đương của bất đẳng thức trên

 a  b

ab �

2

4

và a 2  b 2 �

a  b
.
2
2

 a  b   b  c   c  a  �8abc .
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
a  b �2 ab ;
b  c �2 bc ;
c  a �2 ca .
Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

 a  b   b  c   c  a  �8

a 2b 2c 2  8abc .

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
Ví dụ 2. Cho a, b, c  0 . Chứng minh
2. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho ba số
không âm:
Với a, b, c �0 , ta ln có

a bc 3
� abc .
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Dạng tương đương của bất đẳng thức trên

a b c
  �3 .
b c a
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có
a b c
a b c
  �3 3 . .  3 .
b c a
b c a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Trang 11

 a  b  c
abc �

3

27

.

3. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho n số
không âm.
Với a1 , a2 ,..., an �0 , ta ln có
a1  a2  ...  an n
� a1.a2 ...an .
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta có

1 1
4
 �
.
a b ab

Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có a  b �2 ab ,

1 1
2
 �
.
a b
ab

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được
1
�a

 a  b �
�

1�
1 1
4
.
��4 �  �
b�
a b a b

Đẳng thức xảy ra khi a  b .
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c 
3

3
. Chứng minh rằng
4

a  3b  3 b  3c  3 c  3a �3 .

Hướng dẫn giải
Cách 1.
Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có
3

1
3

1
3

 a  3b  .1.1 �  a  3b  1  1   a  3b  2 

1
� 3 a  3b �  a  3b  2  .
3

 1

Chứng minh tương tự ta cũng có
3

3

1
b  3c �  b  3c  2  ,
3

 2

1
c  3a �  c  3a  2  .
3

 3

Cộng từng vế các bất đẳng thức  1 ,  2  ,  3 , ta được
3

1
a  3b  3 b  3c  3 c  3a � �
4  a  b  c   6�
�
3�
Trang 12


1� 3 �
� 3 a  3b  3 b  3c  3 c  3a � �
4.  6  3 .
3� 4 �
�
3
�
abc 
1
�
� abc .

4
Đẳng thức xảy ra khi �
4
�
a  3b  b  3c  c  3a  1
�
Cách 2.
3
3
3
Đặt x  3 a  3b , y  3 b  3c , z  3 c  3a ta có x  y  z  4  a  b  c   3 .

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x  y  z �3 .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có x 3  1  1 �3 3 x 3 .1.1  3 x .
Chứng minh tương tự, ta được y 3  1  1 �3 y , z 3  1  1 �3 z .
Cộng từng vế các bất đẳng thức tương tự, ta được
9 �3  x  y  z  � x  y  z �3 .
Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1 � a  b  c 

1
.
4

Ví dụ 3. (Đề thi đại học khối D – 2005).
Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz  1 . Chứng minh rằng
1  x3  y3
1  y3  z3
1  z 3  x3



�3 3 .
xy
yz
zx
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho ba số dương, ta có
1  x3  y 3 �3 3 1.x 3 . y 3  3xy
۳

1  x3  y 3
xy

3
.
xy

 1

Chứng minh tương tự ta được
1  y3  z3
3
�
;
yz
yz

 2

1  z 3  x3
3

.
�
zx
zx

 3

Cộng từng vế các bất đẳng thức  1 ,  2  và  3 , ta được
1  x3  y3
1  y3  z 3
1  z 3  x3
3


�

xy
yz
zx
xy
�3 3

3
3

yz
zx

3
3

3
.
.
3 3.
xy yz zx
Trang 13


Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1 .
Ví dụ 4. Cho a, b, c  0 . Chứng minh

a3
b3
c3
abc


�
.
b  c  a c  a  b a  b  c
2

Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được
a3
b ca
a3
b ca
�۳ 3 3
. .

b c  a 2
4
b c  a 2 4

a3
b c  a

3a
2

5a
4

b
2

c
.
4

Tương tự, ta chứng minh được
b3
5b c a
c3
5c a b
�   ;
�   .
c  a  b
4 2 4 a  b  c 4 2 4
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được

a3
b3
c3
abc


�
.
b  c  a c  a  b a  b  c
2
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
x2
y2
z2
3
x
,
y
,
z


� .
Ví dụ 5. Cho
là các số dương và xyz  1 . Chứng minh rằng
1 y 1 z 1 x 2
Hướng dẫn giải
Ta có

x 2 1 y

x 2 1 y
�۳2
.
1 y
4
1 y 4

y2
z 1
Tương tự
�y  
1 z
4 4

 2

x2
1 y

x

y
4

x

1
.  1
4

z2
x 1
và
�z   .  3
1 x
4 4

Mẹo ta cần quan tâm dấu
"  " xảy ra khi nào để
thêm bớt cho phù hợp.

Cộng theo vế các bất đẳng thức  1 ,  2  ,  3 ta được
x2
y2
z2
3 x yz


� 
  x  y  z
1 y 1 z 1 x
4
4






3

3
 x  y  z  � 3 3 xyz  1
4
4


3
3
 3  1 
4
2

Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1 .
Ví dụ 6. (Đề thi đại học khối A – 2005)
Cho x, y , z là các số dương thỏa mãn

1 1 1
   4 . Chứng minh rằng
x y z

1
1
1


�1 .
2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z
Hướng dẫn giải
Trang 14

+ a b 
Trước hết với a, b  0 , ta có 4ab �+

ab
4ab

1
ab

2

1
ab

1 �1
�
4 �a

1�
�.
b�

Đẳng thức xảy ra khi a  b .
Sử dụng kết quả trên, ta có
� 1 �1 1
1
1 �1
1 � 1 �1 1 �1 1 �
1 �

� � 
 �.
� � 
�� �  �  �
2 x  y  z 4 �2 x y  z � 4 �
2 x 4 �y z �
� 8 �x 2 y 2 z �
Tương tự
1
1 �1 1
1 �
1
1 �1 1
1 �
� �   �;
� �

�.
x  2 y  z 8 �y 2 z 2 x � x  y  2 z 8 �z 2 x 2 y �
Vậy

1
1
1
1 �1 1 1 �


� �   � 1 .
2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z 4 �x y z �

Đẳng thức xảy ra khi x  y  z 

3
.
4

�1 5�
 ;
Ví dụ 7. Giá trị lớn nhất M của hàm số f  x    6 x  3  5  2 x  , với x ��
là
� 2 2�
�
A. M   0 .

B. M   24 .

C. M   27 .

D. M   30 .

Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si: ab �
f  x  3�
x 1  5 2 x 
 2

 2x 1  5  2x 
3.

a  b

, ta được
4
2

2

4

27

f  x

27 .

5
�1
 �x �
�
2 � x  1.
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi � 2
�
2x 1  5  2x
�
Vậy M   27 .
Chọn C.
x 1
với x  1 là
x

Ví dụ 8. Giá trị lớn nhất M của hàm số f  x  

1
.
2

A. M  0 .

B. M 

C. M  1 .

D. M  2 .

Hướng dẫn giải
Ta có f  x  

x 1
x 1


x
x 11



x 1



2

x 1 1

.

Trang 15




Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có





2

x  1  1 �2



2

x  1 .1  2 x  1 .

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  2 .
x 1 1
 .
Do đó f  x  �

2. x  1 2
Vậy M 

1
.
2

Chọn B.
Ví dụ 9. Giá trị lớn nhất M của hàm số f  x  

 x  1

2

, với x  0 là

B. M 

A. M  0 .
C. M 

x

1
.
2

1
.
4

D. M  1 .

Hướng dẫn giải
Ta có f  x  

x

 x  1



2

x
x  2x 1 .
2

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có x 2  1 �2 x 2 .1  2 x .
2
x 1 4 x
Do đó x 2�

f  x

x
4x

1
.

4

Dấu "  " xảy ra khi x  1 .
Vậy M 

1
.
4

Chọn B.
Ví dụ 10. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f  x   x  3  6  x lần lượt là
A. m  2 ; M  3 .

B. m  3 ; M  3 2 .

C. m  2 ; M  3 2 .

D. m  3 ; M  3 .

Hướng dẫn giải
Hàm số xác định khi 3 �x �6 . Tập xác định D   3; 6 .
2
Ta có f  x   9  2

Vì

 x  3  6  x 

 x  3  6  x  .

9
�0 , x � 3;6 nên f 2  x  �

f  x

3.

Dấu "  " xảy ra khi x  3 hoặc x  6 . Vậy m  3 .
Lại có 2

3  6 �
x
 x 


3 x 6 x 9

Dấu "  " xảy ra khi x  3  6  x � x 

f 2  x

18

f  x

3 2.

3
. Vậy M  3 2 .
2

Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 2
Trang 16


Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho x, y là hai số thực bất kì thỏa mãn xy  2 . Giá trị nhỏ nhất của A  x 2  y 2 là
A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 4.

a b
a b c
1 1 1
9
 �2 (I);   �3 (II);   �
(III) (với a, b, c  0
b a
b c a
a b c abc
). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?
Câu 2: Cho các bất đẳng thức

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Chỉ (III) đúng.

D. (I), (II), (III) đều đúng.

C.  2 �S � 2 .

D. 1 �S �1 .

Câu 3: Cho x 2  y 2  1 . Gọi S  x  y , khi đó ta có
A. S � 2 .

B. S � 2 .

Câu 4: Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x  y  2 . Gọi m  x 2  y 2 , khi đó ta có
A. Giá trị nhỏ nhất của m là 2.
C. Giá trị lớn nhất của m là 2.

B. Giá trị nhỏ nhất của m là 4.
D. Giá trị nhỏ lớn của m là 4.

Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  
A. 2.

B.

x
2


với x  1 là
2 x 1

5
.
2

C. 2 2 .

Câu 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2 x 
A. 2.

B.

1
.
2

D. 3.

1
với x  0 là
x
C.

2.

D. 2 2 .

Câu 7: Cho a, b, c  0 . Bất đẳng thức nào đúng?

� a�
� b�
� c�
1 �
1 �
1  ��8 .
A. �
�
�
� b�
� c�
� a�

� a�
� b�
� c�
1 �
1 �
1  ��3 .
B. �
�
�
� c�
� a�
� b�

� b�
� c�
� a�
1 �

1 �
1  ��3 .
C. �
�
�
� c�
� a�
� b�

D.  a  b   b  c   c  a  �6abc .

Câu 8: Cho x �3 . Giá trị lớn nhất của hàm số f  x  
A.

1
2 3

.

B.

2
.
3

C.

x3
bằng
x

3
.
2

D.

1
.
3

Bài tập nâng cao
Câu 9: Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  xy 
A.

1
là
xy

17
.
4

B. 2.

Câu 10: Với a, b, c  0 . Biểu thức P 
3
A. 0  P � .
2

B.

3
 P.
2

C. 4.

D.

1
.
2

a
b
c


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
bc ca ab
C.

4
�P .
3

D.

3

�P .
2
Trang 17


Câu 11: Cho a, b, c  0 . Khẳng định nào sau đây sai?
A.  1  2a   2a  3b   3b  1 �48ab .
C.

B.  1  2b   2b  3a   3a  1 �48ab .

1
1
1
1 �1 1 1 �


� �   �.
2
2
2
1 a 1 b 1 c
2 �a b c �

Câu 12: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x  
A. m  4 .

�a �
�b �
�c �

D. �  1�
�  1�
�  1��8 .
�b �
�c �
�a �
4
x

với 0  x  1 là
x 1 x

B. m  2 .

C. m  6 .

D. m  8 .

ĐÁP ÁN
Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức sử dụng đẳng thức Cô-si
1-D
11 - C

2-D
12 - D

3-C

4-A

5-B

6-D

7-A

8 -A

9-A

10 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 9. Chọn A.
2

�x  y �
Ta có xy �
�
�
�2 �

xy

1
.
4

1
Đặt xy  t , điều kiện 0  t � .

4
1 � 1 � 15
1 15
1 15 17
t
�2 t.
 .4    .
Khi đó P  t   �
�
t � 16t � 16t
16t 16
2 4
4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

1
1
hay x  y  .
4
2

17
.
4

Câu 10. Chọn D.
1
1 �
�1



Ta có P  3   a  b  c  �
.
�
�b  c c  a a  b �
Áp dụng bất đẳng thức
3
Do đó P �۳

9
2

P

1
1
1
9
1 1 1
9


�
  �
, suy ra
.
b  c c  a a  b 2 a  b  c
x y z x yz
3

.
2

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
Câu 11. Chọn C.
Đáp án A. đúng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si 1  2a �2 2a ; 2a  3b �2 6ab ; 3b  1 �2 3b .
Đáp án B. đúng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si 1  2b �2 2b ; 2b  3a �2 6ab ; 3a  1 �2 3a .
Đáp án C. sai với a  1 ; b  2 ; c  3 .
Trang 18


Đáp án D. đúng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si

a
a b
b c
c
;  1 �2
;  1 �2
.
 1 �2
b
b c
c a
a

Câu 12. Chọn D.
Ta có f  x   4 
Vì x � 0;1 �

4 1 x
4
x
4 4x
x
x
.

4 



x 1 x
x x 1 x
x
1 x

x
 0 nên theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có
1 x

4 1 x
f  x  
4 �۳
x

x
1 x

2

4 1 x x
.
x
1 x

4

f  x

8.

1 x  0
�
2
�
Dấu "  " xảy ra khi � �4  1  x 
x � x  . Vậy m  8 .
3

�
1 x
� x

Trang 19