Toán 10 Bài 3 PHƯƠNG SAI, độ LỆCH CHUẨN

CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ
BÀI 3. PHƯƠNG SAI, ĐỘ LỆCH CHUẨN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn.
+

Hiểu được ý nghĩa của phương sai, độ lệch chuẩn.

+ Nắm được phương thức tính phương sai, độ lệch chuẩn.
 Kĩ năng
+

Giải thành thạo các bài toán về phương sai, độ lệch chuẩn.

+

Vận dụng kiến thức để giải các bài toán thống kê trong thực tế.

Trang 1


I.

LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương sai

Giá trị trung bình x =

Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn

1
( n1 x1 + n2 x2 + ... + nk xk ) .
n

vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau

Phương sai được tính theo các cơng thức sau:

( x − x) + ( x
=
2

s

1

2

2

−x

)

2

hoặc xấp xỉ nhau, nếu phương sai càng

(

)

+ ... + xn − x

nhỏ thì mức độ phân tán ( so với trung

2

.

bình cộng ) của các số liệu càng bé.

N

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

s2 =

(

)

(

2

)

(

2

n1 x1 − x + n2 x2 − x + ... + nk xk − x

)

2

N

(

)

(

2

)

(

2

= f1 x1 − x + f 2 x2 − x + ... + f k xk − x

)

2

trong đó ni , f i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi ; N
là các số liệu thống kê: N = n1 + n2 + ... + nk .
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

s2 =

1
N

(

)

(

n c − x 2 + n c − x
2
2
 1 1

(

)

(

2

)

)

2

2

(

)

2
+ ... + nk ck − x 


(

= f1 c1 − x + f 2 c2 − x + ... + f k ck − x

)

2

Trong đó ci , ni , f i là các giá trị đại diện của lớp thứ i; N
là số các số liệu thống kê:

N = n1 + n2 + ... + nk .

Độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn được tính bởi cơng thức s =

Phương sai và độ lệch chuẩn đều dùng để
đánh giá mức độ phân tán của các số liệu
thống kê (so với số trung bình cộng).

s2

Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta
dùng s vì s có cùng đơn vị đo với dấu
hiệu được nghiên cứu.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tính phương sai, độ lệch chuẩn của một bảng số liệu
Phương pháp giải

Trang 2


Ví dụ: Kết quả bài kiểm tra mơn tốn của 24 học
sinh được cho trong mẫu số liệu sau:
2
6,5
4,5
9,5

4
7
5
7

6

7,5
8,5
6

7,5
5,5
3
8

8,5
7
7
5,5

9
2,5
5,5
7

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
Hướng dẫn giải
+ Ta có giá trị trung bình của mẫu số liệu là
Bước 1. Tính giá trị trung bình x của mẫu số
liệu

x=

x1 + x2 + ... + xn 149, 5
=
≈ 6, 2 .

N
24

+ Phương sai của mẫu số liệu là

( x − x) + ( x
=
2

Bước 2. Tùy từng trường hợp ta áp dụng một

s2

trong các cơng thức tính phương sai.

1

( 2 − 6, 2 )
=

2

)

(

2

+ ... + xn − x
2 −x

)

2

N

+ ( 4 − 6, 2 ) + ... + ( 7 − 6, 2 )
24
2

2

≈ 3,8
+ Độ lệch chuẩn là s = s 2 = 3,8 ≈ 1,95 .
+ Độ lệch chuẩn được tính bởi cơng thức:

s = s2 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Kết quả thống kê điểm mơn Tốn của 30 học sinh được cho trong bảng sau:

9

8,5

6

4,5

6

6,5

5,5

5,5

7

8

2

1,5

1

6

6,5

5

0,5

8

9

9,5

6

6,5

5,5

3

3,5

6

5

4

5

5,5

Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
+) Ta có giá trị trung bình của mẫu số liệu là

x=

x1 + x2 +... + xn 166, 5
=
= 5,55 .

30
N

Trang 3


+) Phương sai của bảng số liệu trên

x − x) + ( x
(
=
2

s2

1

2

( 9 − 5,55)
=

2

)

(

2

− x + ... + xn − x

)

2

N

+ ( 8,5 − 5,55 ) + ... + ( 5,5 − 5,55 ) + ... + ( 5, 5 − 5,55 )
30
2

2

2

≈ 5, 2
+) Độ lệch chuẩn s = s 2 ≈ 5, 2 ≈ 2,3
Ví dụ 2. Sản lượng lúa (tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng
tần số sau:
Sản lượng ( x )

20

21

22

23

24

Tần số ( n )

5

8

11

10

6

N = 40

a) Tính sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
a) Ta có sản lượng trung bình của mẫu số liệu là

x1.n1 + x2 .n2 + ... + xk .nk
N

x=
=

20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6
.
40

=

884
= 22,1 .
40

b) Phương sai của mẫu số liệu

s2 =

(

)

(

2

n1 x1 − x + n2 x2 − x

2

(

+ ... + nk xk − x

)

2

N
5. ( 20 − 22,1) + 8. ( 21 − 22,1) + 11. ( 22 − 22.1) + 10. ( 23 − 22,1) + 6. ( 24 − 22,1)
2

=

)

2

2

2

2

40

= 1,54 .
+) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: s = s 2 = 1,54 ≈ 1, 24 .

Trang 4


Ví dụ 3. Có 100 học sinh dự thi học sinh giỏi Toán ( thang điểm 20). Kết quả như sau:
Điểm

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Tần số

1

1

3

5

8

13

19

24

14

10

2

a) Tính số trung bình.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
a) Ta có số trung bình là

x=

x1.n1 + x2 .n2 + ... + xk .nk 1523
=
= 15, 23 .
n
100

b) Phương sai là

s2 =

(

)

(

2

n1 x1 − x + n2 x2 − x

)

2

(

+ ... + nk xk − x

)

2

N

1. ( 9 − 15, 23) + 1. ( 10 − 15, 23) + .... + 2. ( 19 − 15, 23 )
=
100
2

2

2

= 3,96 .
+) Độ lệch chuẩn là s = s 2 = 3,96 ≈ 1, 99 .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Chọn câu đúng trong bốn phương án sau đây. Độ lệch chuẩn là:
A. Bình phương của phương sai.

B. Một nửa của phương sai.

C. Căn bậc hai của phương sai.

D. Hiệu của số trung bình và số trung vị.

Câu 2: Theo dõi thời gian làm một bài tốn (tính bằng phút) của 40 học sinh, giáo viên lập được bảng
sau:
Thời gian ( x )

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Tần số ( n )

6

3

4

2

7

5

5

7

1

N = 40

a) Mốt của dấu hiệu là
A. 7.

B. 9;10.

C. 8;11.

D. 12.

C. 10.

D. 3.

b) Tần số 3 là của giá trị nào sau đây?
A. 9.

B. 5.

c) Số trung bình của mẫu số liệu trên gần với số nào nhất?
A. 6.

B. 9.

C. 8.

D. 7.

d) Phương sai của mẫu số liệu trên gần với số nào nhất?
A. 6.

B. 12.

C. 40.

D. 9.
Trang 5


Câu 3: Giá bán ( đơn vị: nghìn đồng ) của 60 mặt hàng ở một cửa hàng được thống kê trong bảng sau:
Lớp

Tần số

[ 40;50 )

3

[ 50;60 )

6

[ 60;70 )

19

[ 70;80 )

23

[ 80;90]

9
N = 60

a) Số trung bình của bảng số liệu trên là
A. 70.

B. 80.

C. 90.

D. 85.

b) Độ lệch chuẩn của bảng số liệu trên gần với số nào nhất?
A. 13.

B. 15.

C. 16.

D. 10.

Câu 4: Một cửa hàng ăn ghi lại số tiền (nghìn đồng) mà mỗi khách hàng trả cho cửa hàng. Các số liệu
được trình bày trong bảng sau:
Lớp

Tần số

[ 0;100 )

25

[ 100; 200 )

70

[ 200;300 )

60

[ 300; 400 )

30

[ 400;500]

15
N = 200

a) Tính số trung bình.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Câu 5: Tiền lương hàng tháng của 30 công nhân ở một xưởng may được cho trong bảng sau.
Tiền lương

300

500

700

800

900

1000

Cộng

Tần số

3

5

6

5

6

5

N = 30

a) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
b) Tính số trung bình.
c) Tìm phương sai, độ lệch chuẩn.

Dạng 2. Dạng tốn tổng hợp
Ví dụ mẫu

Trang 6


Ví dụ 1. Điểm số 30 lần bắn của xạ thủ A (mỗi lần bắn một viên đạn) được cho trong bảng:
7

6

8

9

10

8

10

9

7

8

8

10

7

9

8

7

9

6

8

9

7

8

9

6

10

8

7

10

9

8

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và bảng phân bố tần suất của số liệu thống kê trên.
b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị và mốt.
c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
a) Ta có bảng phân bố tần số, tần suất của mẫu số liệu trên
Tần số ( n )
3
6
9
7
5
N = 30

Điểm
6
7
8
9
10

b) Số trung bình là x =

Tần suất ( % )
10
20
30

23
17
100 %

x1.n1 + x2 .n2 + ... + xk .nk
≈ 8, 2 .
N

+) Kích thước mẫu là 30 nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí 15 và 16:

Me =
+ Giá trị có tần số lớn nhất là 8. Vậy mốt

c) Phương sai là s 2 =
+) Độ lệch chuẩn là

(

n1 x1 − x

)

2

x15 + x16
=8.
2

M0 = 8 .

(

)

(

2

+ n2 x2 − x + ... + nk xk − x
N

)

2

≈ 1,5 .

s = s 2 = 1, 2 .

Ví dụ 2. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau:
Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày.
21

22

24

19

23

26

25

Trang 7


22

19

23

20

23

27

26

22

20

24

21

24

28

25

21

20

23

22

23

29

26

23

21

26

21

24

28

25

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp:

[ 19, 21) ; [ 21; 23) ; [ 23; 25) ; [ 25; 27 ) ; [ 27; 29 ) .
b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị và mốt.
c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
a) Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp:
Các lớp (phút)

Tần số ( n )

Tần suất ( % )

[ 19, 21)

5

14,3

[ 21; 23)

9

25,7

[ 23; 25)

10

28,6

[ 25; 27 )

7

20

[ 27; 29 )

4

11,4

N = 35

100 %

b) Giá trị trung bình của bảng là

x=

c1.n1 + c2 .n2 + ... + ck .nk 20.5 + 22.9 + ... + 28.4 832
=
=
≈ 23,8 .
N

35
35

+) Bảng trên có kích thước 35 nên số trung vị là

M e = x18 = 23 .

+) Giá trị có tần số lớn nhất là 23. Vậy mốt M 0 = 23 .
c) Phương sai là s 2 =

(

)

2

(

n1 c1 − x + n2 c2 − x

+) Độ lệch chuẩn là s =

)

N

2

(

+ ... + nk ck − x

)

2

≈ 5, 9 .

s 2 = 5,9 ≈ 2, 4 .

Ví dụ 3. Cho bảng số liệu thống kê thời gian (phút) hoàn thành một bài tập toán của một học sinh lớp 10.

Trang 8


20,8

20,7

23,1

20,7

20,9

20,9

23,9

21,6

25,3

21,5

23,8

20,7

23,3

19,8

20,9

20,1

21,3

24,2

22,0

23,8

24,1

21,1

22,8

19,5

19,7

21,9

21,2

21,2

24,3

22,2

23,5

23,9

22,8

22,5

19,9

23,8

25,0

22,9

22,8

22,7

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp với các lớp như sau:

[ 19,5; 20,5) ; [ 20,5; 21,5 ) ; [ 21,5; 22,5 ) ; [ 22,5; 23,5 ) ; [ 23,5; 24,5 ) , [ 24,5; 25,5] .
b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị.
c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp

Lớp (phút)

Tần số ( n )

Tần suất ( % )

[ 19,5; 20,5 )

5

12,5

[ 20,5; 21,5 )

10

25

[ 21,5; 22,5 )

5

12,5

[ 22,5; 23,5)

8

20

[ 23,5; 24,5)

10

25

[ 24,5; 25,5]

2

5

N = 40

100 %

b) Giá trị trung bình là x =

c1.n1 + c2 .n2 + ... + ck .nk 894
=
≈ 22,35 .
N
40

Vì kích thước mẫu là 40 nên số trung vị là M e =
c) Phương sai là s 2 =

(

)

2

(

)

2

x20 + x21
= 22,35 .
2

(

n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk ck − x
N

)

2

≈ 2,3 .

Độ lệch chuẩn là s = s 2 = 2,3 ≈ 1,5
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho bảng phân bố tần số ghép lớp
Trang 9


Cân nặng của các học sinh lớp 10A và 10B của một trường THPT C
Tần số

Lớp cân nặng
(kg)

10A

10B

[ 30,36 )

1

2

[ 36, 42 )

2

7

[ 42, 48)

5

12

[ 48,54 )

15

13

[ 54, 60 )

9

7

[ 60, 66]

6

5

N = 38

N = 46

a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ở bảng trên.
b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn ở bảng trên.
c) Học sinh ở lớp 10A hay lớp 10B có cân nặng trung bình lớn hơn?
Câu 2: Để điều tra chiều cao của học sinh nữ lớp 10 trong một trường THPT người ta đo chiều cao của
30 học sinh nữ và thu được mẫu số liệu sau (cm).
151

160

159

152

160

158

157

162

165

164

152

150

150

160

160

152

154

156

156

160

164

162

150

152

165

165

159

157

162

150

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp gồm 8 lớp sau:

[ 150,152 ) ; [ 152,154 ) ; [ 158,160 ) ; [ 160,162 ) ; [ 162,164 ) ; [ 164,166] .
b) Tính giá trị trung bình.
c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Câu 3: Số cuộn phim mà 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư sử dụng trong một tháng được thống kê trong bảng
sau.
5

3

3

1

4

3

4

3

6

8

4

2

4

6

8

9

6

2

10

11

15

1

2

5

13

7

7

2

4

9

3

8

8

10

14

16

17

6

6

12

a) Với các lớp [ 0;3) , [ 4;7 ] , [ 8;11] , [ 12;15] , [ 16;17 ] , lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp.
b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị.
c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Câu 4: Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở các bảng
sau:
Điểm số của xạ thủ A
Trang 10


8

9

10

9

9

10

8

7

6

8

10

7

10

9

8

10

8

9

8

6

10

9

7

9

9

9

6

8

6

8

Điểm số của xạ thủ B
9

9

10

6

9

10

8

8

5

9

9

10

6

10

7

8

10

9

10

9

9

10

7

7

8

9

8

7

8

8

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất của các số liệu thống kê ở hai bảng trên.
b) Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê ở hai
bảng trên.
c) Xét xem trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắn chụm hơn?
Câu 5: Hai lớp 10C, 10D của một trường THPT đồng thời làm bài thi môn Văn theo cùng một đề thi. Kết
quả thi được trình bày ở hai bảng phân bố sau đây:
Điểm thi Văn của lớp 10C
Điểm thi

5

6

7

8

9

10

Cộng

Tần số

5

7

12

14

3

4

N = 45

Điểm thi Văn của lớp 10D
Điểm thi

6

7

8

9

Cộng

Tần số

9

18

12

6

N = 45

a) Tính các số trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của hai bảng trên.
b) Xét xem kết quả làm bài thi của môn Văn ở lớp nào là đồng đều hơn?
THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 6
ĐÁP ÁN
BÀI 3. PHƯƠNG SAI ĐỘ LỆCH CHUẨN
Dạng 1. Tính phương sai, độ lệch chuẩn của một bảng số liệu
1–C

2a- C

2b- B

2c- C

2d- A

3a- A

3b- D

HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN
Câu 4.
Lập bảng giá trị đại diện của từng lớp
Lớp

Tần số

Giá trị đại diện

[ 0;100 )

25

50

70

150

60

250

30

350

15

450

[ 100; 200 )
[ 200;300 )
[ 300; 400 )
[ 400;500]

Trang 11


N = 200
a) Số trung bình của mẫu số liệu: x =

n1.c1 + n2 .c2 + ... + nk .c k
N

25.50 + 70.150 + 60.250 + 30.350 + 15.450
200

=

= 220 .

b) Phương sai là
s =
2

(

)

(

2

)

(

2

n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk ck − x

)

2

N

25. ( 50 − 220 ) + 70. ( 150 − 220 ) + ... + 15. ( 450 − 220 )
=
200
2

2

2

= 20000.

Suy ra độ lệch chuẩn là s = s 2 = 20000 ≈ 141, 4 .
Câu 5.
a) Mốt của mẫu số liệu trên là: 700;900 .
b) Số trung bình là x =

300.3 + 500.5 + ... + 1000.5
≈ 733 .
30

c) Áp dụng cơng thức tính phương sai: s =
2

(

)

2

(

)

(

2

n1 x1 − x + n2 x2 − x + ... + nk xk − x

)

2

N

,

Ta tính được phương sai là s 2 = 46222 .
Suy ra độ lệch chuẩn là s = 214
Dạng 2. Dạng toán tổng hợp
Câu 1.
a) Bảng phân bố tần suất ghép lớp
Tần số ( n )

Tần suất (%)

Lớp cân nặng (kg)
10A

10B

10A

10B

[ 30,36 )

1

2

2,63

4,35

[ 36, 42 )

2

7

5,26

15,22

[ 42, 48)

5

12

13,16

26,08

[ 48,54 )

15

13

39,48

28,26

[ 54, 60 )

9

7

23,68

15,22

Trang 12


[ 60, 66]

6

5

15,79

10,87

N = 38

N = 46

100%

100%

b) Số trung bình cộng:
x=
=

n1.c1 + n2 .c2 + n3 .c3 + n 4 .c 4 + n 5 .c5 + n6 .c 6
N
1.33 + 2.39 + 5.45 + 15.51 + 9.57 + 6.63
≈ 52, 4 .
38

y=
=

n1.c1 + n2 .c2 + n3 .c3 + n 4 .c 4 + n 5 .c5 + n6 .c 6
N

2.33 + 7.39 + 12.45 + 13.51 + 7.57 + 5.63
≈ 49 .

46

+) Phương sai:
Áp dụng cơng thức tính phương sai:
s2 =

(

)

2

(

)

2

(

)

(

2

)

2

(

n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk xk − x + n5 c5 − x + n6 c6 − x

)

2

n

Ta tính được phương sai của cân nặng học sinh lớp 10A và lớp 10B lần lượt là
sx2 ≈ 50, 41 ; s 2y ≈ 62, 41 .
Suy ra độ lệch chuẩn: s = sx2 ≈ 50, 41 ≈ 7,1 ; s = s 2y ≈ 62, 41 ≈ 7,9 .
c) Ta thấy x > y , nên học sinh ở lớp 10A có cân nặng trung bình lớn hơn lớp 10B.
Câu 2. a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp
Lớp

Tần số ( n )

Tần suất (%)

[ 150;152 )

5

16,7

[ 152;154 )

4

13,3

[ 154;156 )

1

3,3

[ 156;158)

4

13,3

[ 158;160 )

3

10

[ 160;162 )

5

16,7

[ 162;164 )

4

13,3

[ 164;166]

4

13,3

N = 30

100%

(chiều cao học sinh)

Trang 13


a) Bảng các giá trị đại diện tương ứng
Tần số ( n )

Lớp

Tần suất

(chiều cao học sinh)

Giá trị đại diện

(100%)

[ 150;152 )

5

16,7

151

[ 152;154 )

4

13,3

153

[ 154;156 )

1

3,3

155

[ 156;158 )

4

13,3

157

[ 158;160 )

3

10

159

[ 160;162 )

5

16,7

161

[ 162;164 )

4

13,3

163

[ 164;166]

4

13,3

165

N = 30

100%

Khi đó số trung bình là x =

151.5 + 153.4 + ... + 165.4 4744
=
≈ 158 .
30
30

Do N = 30 nên số trung vị là M e =

x15 + x16 158 + 159
=
= 158,5 .
2
2

b) Phương sai là
s =
2

(

n1 c1 − x

)

2

(

+ n2 c2 − x

)

2

(

+ ... + n8 c8 − x

30

)

2

=

702
= 23, 4 .
30

Suy ra độ lệch chuẩn s ≈ 4,84 .
Câu 3.
a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp
Tần số ( n )
11

Tần suất (%)
27,5

Giá trị đại diện
1,5

14

35

5,5

9

22,5

9,5

4

10 10

13,5

2
5
N = 40
100%
1,5.11 + 5,5.14 + ... + 16,5.2
= 6, 65 .
b) Số trung bình là x =
40

16,5

Lớp (số cuộn phim)
[ 0;3]

[ 4;7]
[ 8;11]

[ 12;15]
[ 16;17 ]

Trang 14


c) Áp dụng cơng thức tính phương sai: s 2 =

(

)

(

2

)

(

2

n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk ck − x

)

N

2

, ta tính được

phương sai là s 2 = 26 .
Suy ra độ lệch chuẩn là s ≈ 5 .
Câu 4.
a) Bảng phân bố tần số, tần suất:
Xạ thủ A

Xạ thủ B

Điểm số
6

Tần số
4

Tần suất
13,3

Điểm số
5

Tần số
1

Tần suất
3,3

7

3

10,0

6

2

6,7

8

8

26,7

7

4

13,4

9

9

30,0

8

7

23,3

10
Cộng

6
N = 30

20,0
100%

9

9

30,0

10
Cộng

7
N = 30

23,3
100%

b)
+) Số trung bình cộng:
xA =

n1.x1 + n2 .x2 + n3 .x3 + n 4 .x4 + n 5 .x5 4.6 + 3.7 + 8.8 + 9.9 + 6.10
=
≈ 8,33.
n
30

xB =

n1.x1 + n2 .x2 + n3 .x3 + n 4 .x4 + n 5 .x5 + n6 .x6 1.5 + 2.6 + 4.7 + 7.8 + 9.9 + 7.10
=

≈ 8, 4.
n
30

+) Số trung vị: M e ( A ) =

8+9
= 8,5; M e ( B ) = 9
2

+) Mốt: M 0 ( A ) = 9; M 0 ( B ) = 9
+)Phương sai:

sx2 ( A ) =

(

)

2

(

)

2

(

)

2

(

)

2

(

n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x + n5 x5 − x

)

2

n

4 ( 6 − 8,3) + 3 ( 7 − 8,3) + 8 ( 8 − 8,3 ) + 9 ( 9 − 8,3) + 6 ( 10 − 8,3 )
=
≈ 1, 61 .
30
2

2

2

2

2

Trang 15


sx2 ( B ) =

(

)

(

2

)

(

2

)

(

2

)

(

2

)

(

2

n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x + n5 x5 − x + n6 x6 − x

)

2

n

1( 5 − 8, 4 ) + 2 ( 6 − 8, 4 ) + 4 ( 7 − 8, 4 ) + 7 ( 8 − 8, 4 ) + 9 ( 9 − 8, 4 ) + 7 ( 10 − 8, 4 )
=
≈ 1, 77 .
30
2

2

2

2

2

2

+) Độ lệch chuẩn: sx ( A ) ≈ 1, 27; sx ( B ) ≈ 1,33 .
2
2
c) Do x A ≈ xB ; sx ( A ) < s x ( B ) nên trong lần bắn này, xạ thủ A bắn chụm hơn xạ thủ B.

Câu 5.
a)

Số trung bình cộng:
x=

n1.x1 + n2 .x2 + n3 .x3 + n 4 .x4 + n 5 .x5 + n6 .x6 5.5 + 7.6 + 12.7 + 14.8 + 3.9 + 4.10
=
≈ 7,3.
n
45

y=

n1.x1 + n2 .x2 + n3 .x3 + n 4 .x4 9.6 + 18.7 + 12.8 + 6.9
=
≈ 7,3.
n
45

+) Số trung vị: M e (10C ) = 7; M e (10 D) = 7 .

+) Mốt: M 0 ( 10C ) = 8; M 0 ( 10 D ) = 7 .
+) Phương sai:

s =
2
x

(

)

(

2

)

(

2

)

(

2

)

(

2

)

(

2

n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x + n5 x5 − x + n6 x6 − x

)

2

n

5 ( 5 − 7,3) + 7 ( 6 − 7,3) + 12 ( 7 − 7,3) + 14 ( 8 − 7,3 ) + 3 ( 9 − 7,3 ) + 4 ( 10 − 7,3 )
=
≈ 1,87 .
45
2

s 2y =

(

)

2

2

(

)

2

(

2

)

2

(

2

n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x

)

2

2

2

n

9 ( 6 − 7,3) + 18 ( 7 − 7,3 ) + 12 ( 8 − 7,3) + 6 ( 9 − 7,3 )
=
≈ 0,89 .
45
2

2

2

2

+) Độ lệch chuẩn: sx ≈ 1,87 ≈ 1,37; s y ≈ 0,89 ≈ 0,94 .

Trang 16


b)

2
2
Vì x = y ≈ 7,3; sx > s y nên điểm số của các bài thi ở lớp 10D là đồng đều hơn.

Trang 17