Phương sai - độ lệch chuẩn

Biên soạn: Đặng Trung Hiếu – Giáo viên trường THPT Long Thạnh - Email::0939.239.628
Những thông tin cần biết
Xao xuyến mùa giải Nobel
Theo những số liệu thống kê, trung bình mỗi quốc gia
phải bỏ ra ít nhất khoảng 30 năm mới hi vọng có
được một giải Nobel về khoa học
Vậy, tính đến thời điểm này, Việt nam đã có
giải Nobel nào chưa?
Vậy, kết quả thống kê này sai chăng?
Kết quả này không sai! Nó chỉ đề cập
đến “TRUNG BÌNH” .
Cần phải có một đại lượng nào đó, phản
ánh độ tin cậy của kết quả thống kê!?
Hiện nay dân số thế giới có khoảng 6.5 tỷ
người phân bố ở 192 quốc gia.
Các em hãy tính xem, trong thế kỷ XXI mỗi
quốc gia có bao nhiêu người chết vì thuốc lá?
Có khoảng: 1 (tỷ)/192≈5 208 333 người chết.
Kết quả này có đúng cho tất cả 192 quốc gia không?
Kết quả thống kê cần một đại lượng
nào đó thể hiện độ tin cậy.
Có bao nhiêu người đang thiếu nước sạch?
17% của 6.5 tỷ ~ 1,105 triệu
17% dân số đó có phân bố đều ở khắp
nơi trên thế giới không?
Không! Chẳng hạn sẽ có nhiều
người ở Châu Phi hơn các nơi khác
Rõ ràng, cần phải có những đại lượng đặc trưng
thể hiện độ tin cậy của kết quả thống kê.
Học bài hôm nay, chúng ta sẽ
biết các đại lượng đó

PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
ĐẠI SỐ
I. PHƯƠNG SAI
I. PHƯƠNG SAI
§4 Phương Sai Và Độ Lệch Chuẩn
I. Phương sai
II. Độ lệch chuẩn
2 2 2
2
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k k
x
k k
n x x n x x n x x
s
n
f x x f x x f x x
− + − + + −
=
= − + − + + −
2
x x
s s=
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:
Trong đó n

i
, f
i
lần lượt là tần số, tần suất của giá trị x
i
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
2 2 2
2
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k k
x
k k
n c x n c x n c x
s
n
f c x f c x f c x
− + − + + −
=
= − + − + + −
Trong đó c
i
, n
i
, f
i
lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần

suất của lớp thứ i
Các nhà Toán học còn chứng minh được công thức:
2 2 2
( )
x
s x x= −
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
( )
k k k k
x n x n x n x f x f x f x
n
= + + + = + + +
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
( )
k k k k
x n c n c n c f c f c f c
n
= + + + = + + +
Ý nghĩa: Phương sai và độ lệch chuẩn dùng để đánh giá mức độ phân tán
của số liệu thống kê.

Bài toán 1: Điểm trung bình từng môn học của hai học sinh
An và Bình trong năm học vừa qua được cho trong bảng sau:
Môn Điểm của An Điểm của Bình
Toán
Vật lí

Hóa học
Sinh học
Ngữ văn
Lịch sử
Địa lí
Tiếng Anh
Thể dục
Công nghệ
Giáo dục
CD
8,0
7,5
7,8
8,3
7,0
8,0
8,2
9,0
8,0
8,3
9,0
8,5
9,5
9,5
8,5
5,0
5,5
6,0
9,0
9,0

8,5
10
Hãy tính điểm
trung bình
môn của An và
Bình?
(Không kể hệ
số)
Nhận xét học
lực của hai bạn
Điểm TB của An:
8 7,5 7,8 8,3 7 8 8, 2 9 8 8,3 9
8,1
11
x
+ + + + + + + + + +
= =
An:8,1
Điểm TB của Bình:
8,5 9,5 9,5 8,5 5 5,5 6 9 9 8,5 10
8,1
11
x
+ + + + + + + + + + +
= ≈
Bình:8,1
Dựa vào bảng điểm ta thấy ngay An học đều các môn hơn Bình.
Điểm trung bình của họ lại bằng nhau.
Trong Thống Kê người ta dùng:
Phương sai và độ lệch chuẩn để thể hiện

sự chênh lệch giữa các giá trị của bảng
số liệu.
I. PHƯƠNG SAi
I. PHƯƠNG SAi

Trường hợp số liệu được cho dưới dạng bảng phân bố tần số, tần
suất:
Định nghĩa
nTổng
n
1
n
2
…
…
n
k
x
1

x
2

…
…
x
k
n
i
x

i
Bảng tần số
Phương sai được kí hiệu là và tính theo công thức:
2
x
s
2 2 2
2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
k k
x
n x x n x x n x x
s
n
− + − + + −
=
Từ định nghĩa trên, hãy chứng minh công thức sau:
2 2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
x k k
s f x x f x x f x x= − + − + + −
I. PHƯƠNG SAi
I. PHƯƠNG SAi

Ví dụ 1:
Một cửa hàng bán gạo, thống kê số Kg gạo mà cửa hàng bán
được mỗi ngày trong 30 ngày được bảng phân bố tần số sau:
30Tổng

7
4
2
8
3
2
4
100
120
130
160
180
200
250
Tần số (n
i
)Số kg g
ạ
o(x
i
)
Bảng tần số
a) Hãy tính số trung bình
(làm tròn đến hàng đơn vị)
b) Hãy tính phương sai
x
2
x
s
155x ≈

2 2 2
2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
k k
x
n x x n x x n x x
s
n
− + − + + −
=
2
x =
3
x =
4
x =
5
x =
6
x =
7
x =
2
n =
3
n =
4
n =
5

n =
6
n =
7
n =
n =
1
x =
1
n =
2 2 2 2 2 2 2
2
7(100 155) 4(120 155) 2(130 155) 8(160 155) 3(180 155) 2(200 155) 4(250 155)
2318
30
x
s
− + − + − + − + − + − + −
≈ ≈
Hãy cho biết đơn vị của phương sai trong trường hợp này?
I. PHƯƠNG SAI
I. PHƯƠNG SAI

Trường hợp bảng tần số, tần suất ghép lớp:
Định nghĩa
2
x
s
Hoặc:
2 2 2 2

1 1 2 2
( ) ( ) ( )
x k k
s f c x f c x f c x= − + − + + −
nTổng
n
1
n
2
…
…
n
k
[a
1
;b
1
)
[a
2
;b
2
)
…
…
[a
k
;b
k
)

n
i
Lớp
Bảng tần số ghép lớp
Phương sai được kí hiệu là và tính theo công thức:
2 2 2
2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
k k
x
n c x n c x n c x
s
n
− + − + + −
=
2
x
s
I. PHƯƠNG SAi
I. PHƯƠNG SAi

Ví dụ 2:
Nhiệt độ trung bình 12 tháng tại thành phố Vinh từ 1961 đến
1990 (30 năm), được cho trong bảng tần suất ghép lớp sau:
100%Tổng
16,7
43,3
36,7
3,3

[15 ; 17)
[17 ; 19)
[19 ; 21)
[21 ; 23)
Tần suất (%)Lớp nhiệt độ(
o
C)
Bảng tần suất ghép lớp
Biết rằng
Hãy tính phương sai
19x ≈
2
x
s
2 2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
x k k
s f c x f c x f c x= − + − + + −
2 2 2
2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
k k
x
n c x n c x n c x
s
n
− + − + + −
=

Tần suất
2
2,6
x
s =
Hãy cho biết đơn vị của phương sai trong trường hợp này?
I. PHƯƠNG SAI
I. PHƯƠNG SAI

Ví dụ 3:Hãy tính phương sai của An, của Bình?:
Môn Điểm của An Điểm của Bình
Toán
Vật lí
Hóa học
Sinh học
Ngữ văn
Lịch sử
Địa lí
Tiếng Anh
Thể dục
Công nghệ
Giáo dục
CD
8,0
7,5
7,8
8,3
7,0
8,0
8,2

9,0
8,0
8,3
9,0
8,5
9,5
9,5
8,5
5,0
5,5
6,0
9,0
9,0
8,5
10
8.1x =
2
0,309
An
s ≈
2
Bình
2,764s ≈
Hãy cho biết
ý nghĩa của
Phương sai?
I. PHƯƠNG SAI
I. PHƯƠNG SAI
Xem lại vấn đề trong Ví dụ 2 và 3


Trong ví dụ 2, 3:
2 2
2318 ( )
x
s kg≈
2 2
2,6 ( )
o
x
s C≈
Đơn vị này có phù
hợp thực tế ?
Làm sao để không còn bình phương nữa.
II. ĐỘ LỆCH CHUẨN
II. ĐỘ LỆCH CHUẨN
§4 Phương Sai Và Độ Lệch Chuẩn
I. Phương sai
II. Độ lệch chuẩn
2 2 2
2
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k k
x
k k
n x x n x x n x x
s

n
f x x f x x f x x
− + − + + −
=
= − + − + + −
2
x x
s s=
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:
Trong đó n
i
, f
i
lần lượt là tần số, tần suất của giá trị x
i
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
2 2 2
2
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k k
x
k k
n c x n c x n c x
s
n
f c x f c x f c x

− + − + + −
=
= − + − + + −
Trong đó c
i
, n
i
, f
i
lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần
suất của lớp thứ i
Các nhà Toán học còn chứng minh được công thức:
2 2 2
( )
x
s x x= −
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
( )
k k k k
x n x n x n x f x f x f x
n
= + + + = + + +
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
( )
k k k k
x n c n c n c f c f c f c

n
= + + + = + + +
Ý nghĩa: Phương sai và độ lệch chuẩn dùng để đánh giá mức độ phân tán
của số liệu thống kê.
Định nghĩa
Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn. Kí hiệu là
Vậy:
x
s
2
x x
s s=
2
Bình
2,764s ≈
2
0,309
An
s ≈
2
0,309 0,56
An An
s s⇒ = = ≈
2
Bình Bình
2,764 1,66s s⇒ = = ≈
Ví dụ
Hãy cho biết ý nghĩa của độ lệch chuẩn?
Khi nào thì dùng phương sai, khi nào
dùng độ lệch chuẩn?