Toán 10 Bài 1 CUNG LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. CUNG LƯỢNG GIÁC
Mục tiêu
 Kiến thức
1. Nắm vững được cung lượng giác; biểu diễn cung hay góc trên đường tròn lượng giác; số đo đơn vị
độ, rađian; mối quan hệ giữa các đơn vị này.
2. Phát hiện được các vấn đề trong toán học từ những bài toán thực tế.
 Kĩ năng
1. Đổi được đơn vị từ độ sang rađian và ngược lại.
2. Biểu diễn được cung lượng giác trên đường trịn lượng giác.
3. Tính được độ dài cung tròn, số đo cung theo dữ kiện cho trước.
4. Xác định được điểm cuối của một cung lượng giác và tia cuối của một góc lượng giác

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khái niệm cung và góc lượng giác
- Đường trịn định hướng là đường trịn trên đó ta đã chọn
một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là
chiều âm. Ta quy ước chiều ngược với chiều quay của kim đồng
hồ là chiều dương (Hình 1).
- Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B
thì có vơ số cung lượng giác có điểm đầu là A , điểm cuối là B ,
Ð
kí hiệu AB . Lưu ý: kí hiệu »AB chỉ cung hình học xác định bởi
A, B.
Ð
- Trên đường trịn định hướng cho một cung lượng giác CD
. Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến D tạo nên
Ð

cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh
gốc O từ vị trí OC đến OD . Ta nói tia OM tạo ra một góc
lượng giác, có tia đầu là OC , tia cuối là OD . Kí hiệu góc lượng

Hình 1

giác đó là ( OC , OD ) (Hình 1).
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường trịn định hướng
tâm O bán kính R = 1 . Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn
điểm A ( 1;0 ) , A′ ( −1;0 ) , B ( 0;1) , B′ ( 0; −1) . Ta lấy A ( 1;0 ) làm
điểm gốc của đường tròn. Đường tròn được xác định như trên
được gọi là đường trịn lượng giác gốc A (Hình 2)
Hình 2
Số đo cung và góc lượng giác
- Trên đường trịn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính
25π
π
= 8π +
Ví dụ: Vì
nên điểm
được gọi là cung có số đo 1 rad .
3
3
- Quy tắc đổi từ độ sang rad và từ rad sang độ:
25π
cuối của cung
là điểm M
°
π
180 

3
1° =
rad và 1 rad = 
÷
180
 π 
thuộc cung nhỏ »AB sao cho
- Độ dài cung có số đo α rad của đường tròn bán kinh R
·AOM = π = 60°
được tính theo cơng thức: I = α .R
3
Ð
25π
- Số đo của một cung lượng giác AM ( A ≠ M ) là một số
Biểu diễn cung lượng giác
trên
3
Ð
Ð
thực âm hay dương. Kí hiệu số đo cung AM là sđ AM
đường trịn lượng giác như hình vẽ:
- Số đo của góc lượng giác ( OA, OC ) là số đo của cung
Ð
lượng giác AC tương ứng.
- Để biểu diễn một cung lượng giác trên đường tròn lượng
giác ta chọn điểm gốc A ( 1;0 ) làm điểm đầu, điểm cuối là điểm
Ð
M được xác định bằng hệ thức sđ AM = α

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Đơn vị đo độ và rađian
 Phương pháp giải
Dùng mối quan hệ giữ độ và rađian: 180° = π rad
•

180°
Đổi cung a có số đo từ rađian sang độ a.
π

•

Đổi cung x° có số đo từ độ ra rađian x°.

π
180°

Ví dụ:
a) Đổi cung

3π
có số đo từ rađian sang độ
4
3π
3π 180°
rad =
.
= 135°

4
4 π

b) Đổi các cung 50°;11°15′ có số đo từ độ sang rađian

π
5π
rad =
rad
180°
18

15  π
π
11°15′ =  11+ ÷.
rad =
rad
60  180°
16

50° = 50°.

 Ví dụ mẫu
′ °30′ từ độ ra rađian.
Ví dụ 1. Đổi số đo các cung sau đây: 25°;30°;24°15;80
Hướng dẫn giải

π
5π
=

rad
180° 36

15  π
97π
24°15′ =  24 + ÷.
=
rad
60  180° 720


π
π
= rad
180° 6

30  π
161π
80°30′ =  80 + ÷.
=
rad
60  180° 360


Ta có 25° = 25°.

Ví dụ 2. Đổi số đo các cung sau đây:

30° = 30°.

π π
; ;0,75π ;3,75 từ rađian sang độ.
9 24

Hướng dẫn giải
Ta có

π
π 180°
rad= .
= 20°
9
9 π

0,75π rad = 0,75π .

180°
= 135°
π

π
π 180°
rad = .
= 7,5° = 7°30′
24
24 π
3,75 rad = 3,75.

180° 675°
=

≈ 214,9°
π
π

Ví dụ 3. Số đo cung 10,5( rad) từ rađian sang độ, phút, giây là
′ ′′
A. 601°3619

′ ′′
B. 601°3620

′ ′′
C. 601°3621

′ ′′
D. 601°3622

Hướng dẫn giải
180° 1890°
nên để kết quả chính xác đến giây, chúng ta sẽ sử dụng máy tính bỏ túi
=
π
π
(CASIO-fx-570ES PLUS) và ấn như sau
Do 10,5rad=10,5.

Trang 3


′

′′
Ta được kết quả là 601°3620.47

′ ′′
Vậy góc lượng giác có số đo 10,5( rad) thì có số đo theo độ làm tròn đến giây là 601°3620

Chọn B.
′ ′′ từ độ sang rađian là (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
Ví dụ 4. Đổi số đo cung 138°3222
A. 2,416

B. 2,417

C. 2,418

D. 2,419

Hướng dẫn giải

π
( rad) nên để kết quả chính xác đến giây, chúng ta sẽ sử dụng máy tính
180°
bỏ túi (CASIO-fx-570ES PLUS) và ấn như sau
′ ′′ = 138°32′22′′.
Do 138°3222

Ta được kết quả là 2,417969449
Vậy góc lượng giác có số đo 138°32′22′′ thì có số đo theo rađian làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba là
2,418.
Chọn C.

Ví dụ 5. Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ 3 giờ. Hỏi sau bao nhiêu lâu hai kim lại vng góc với
nhau? Lúc đó tổng số đo góc hai kim quay được theo rađian hoặc độ là bao nhiêu? (Độ: chính xác đến
giây; rađian: chính xác đến chữ số thập phân thứ ba).
′ ′′
A. 212°8337

B. 3,724( rad)

C. 3,713( rad)

′ ′′
D. 213°8337

Hướng dẫn giải
1
vòng đồng hồ. Để kim phút
4
vng góc với kim giờ một lần nữa thì kim phút phải đuổi kịp kim giờ và đi tiếp đến khi khoảng cách
Lúc 3 giờ hai kim vng góc với nhau nên khoảng cách giữa hai kim là

1
vòng đồng hồ một lần nữa.
4
Ở đây chúng ta sẽ sử dụng cơng thức quen thuộc là
giữa hai kim là

Thờ
i gian = ( Quã
ng đườ
ng) : ( Vậ

n tố
c)

1 11
(vịng đồng hồ/giờ)
=
12 12
1
Vào lúc 3 giờ khoảng cách giữa hai kim là
vòng đồng hồ. Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút
4
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là 1−

 1 1  11 6
lại vng góc với kim giờ là  + ÷: = (giờ).
 4 4  12 11
Trong một giờ kim phút quay được một vòng 360° , còn kim giờ quay được 30° cho nên tổng số đo góc
°

6
 2340 
6
hai kim quay được trong
giờ là .( 360° + 30° ) = 
÷
11
11
 11 
Tiếp theo ta dùng máy tính bỏ túi và thực hiện giống như Ví dụ 3 và Ví dụ 4 thì ta có được kết quả như
′ ′′ và 3,713( rad)

sau 212°4338
Chọn C.
Trang 4


Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Góc lượng giác có số đo −2880° thì có số đo theo rađian là
A. 16( rad)

B. 16π ( rad)

C. −16π ( rad)

π
rad thì có số đo theo độ là
36
B. 5°
C. 6°

D. −16( rad)

Câu 2: Góc lượng giác có số đo
A. 4°

D. 7°

49
rad thì có số đo theo độ làm trịn đến phút là
5

B. 561°30′
C. 561°31′
D. 561°32′

Câu 3: Góc lượng giác có số đo
A. 561°29′

Câu 4: Góc lượng giác có số đo 78° thì có số đo theo rađian là
13π
13
C.
rad)
(
( rad)
30
30
Câu 5: Góc lượng giác có số đo 22°30′ đổi ra rađian là
A.

13π
( rad)
30

B. −

D.

30
( rad)
13

π
7π
π
π
B.
C. ( rad)
D. ( rad)
rad)
rad)
(
(
8
12
5
6
·
·
Câu 6: Cho ( OA,OM ) = 23°15′ + k360°; k ∈ ¢ . Với k bằng bao nhiêu thì ( OA,OM ) = 3263°15′ ?
A.

A. 8

B. 9

C. 16

D. 18

Câu 7: Đường tròn lượng giác cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A ( 1;0 ) , A′ ( −1;0 ) , B ( 0;1) , B′ ( 0; −1) . Ta

thường chọn điểm gốc của đường tròn lượng giác tại điểm nào?
A. A ( 1;0 )

B. O ( 0;0 )

C. B ( 0;1)

D. A′ ( −1;0 )

Câu 8: Một bánh xe có 108 bánh răng. Góc mà bánh xe quy được khi di chuyển 30 bánh răng là
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
Bài tập nâng cao
Câu 9: Người ta muốn xây dựng một cây cầu bằng sắt có chiều cao MN = 5m qua sơng (như hình vẽ).
Biết rằng AB = 50m . Số đo cung ¼
AMB theo rad gần bằng số nào trong các số sau?

A. 0,25π ( rad)

B. 0,35π ( rad)

C. 0,45π ( rad)

D. 0,55π ( rad)

Trang 5

Dạng 2: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
 Phương pháp giải
Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên
Ví dụ: Biểu diễn trên đường trịn lượng giác các
đường tròn lượng giác ta thực hiện như sau:
25π
điểm
ngọn
của
cung
lượng
giác
có
số
đo
là
- Chọn điểm A ( 1;0 ) làm điểm đầu của
4
-

cung.
Xác định điểm cuối M của cung sao
Ð
cho AM = α

Lưu ý:
+ Số đo của các cung lượng giác có cùng
điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một
bội của 2π là:
Ð

sñ AM = α + k2π ; k ∈ ¢
Ngồi ra, ta cũng có thể viết số đo bằng độ:
Ð
sđ AM = x° + k360°, k ∈ ¢
Ð
2π
+ Nếu ta có AM = α + k ; k, n∈ ¢ thì sẽ
n
n
có điểm ngọn.

Ta có
Ð
25π π 24π π
π
sđ AM =
= +
= + 6π = + 2.3.π
4
4
4
4
4
Ð
Vậy điểm cuối M của cung AM sẽ trùng với

π
. Suy ra M là điểm chính
4
» .

giữa của cung nhỏ AB
điểm ngọn của cung

 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường trịn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là −1485°
Hướng dẫn giải
Ð
Ta có sđ AM = −1485° = −45° + ( −4) .360°
Ð
Vậy điểm cuối M của cung AM sẽ trùng với điểm ngọn của cung −45° .
Suy ra M là điểm chính giữa của cung nhỏ ¼
AB′ .

Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường trịn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là

π
π
+ k ; k∈ ¢
6
2
Trang 6


Hướng dẫn giải
Ð
π
2π
Ta có sđ AM = + k
nên có 4 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác.
6

4
Ð
π
k = 0 ⇒ sđ AM = có điểm ngọn là M
6
Ð π π
k = 1⇒ sđ AN = + có điểm ngọn là N
6 2
Ð π
k = 2 ⇒ sñ AP = + π có điểm ngọn là P
6
Ð π 3π
có điểm ngọn là Q
k = 3 ⇒ sñ AQ = +
6 2
Ð π
k = 4 ⇒ sñ AR = + 2π có điểm ngọn là R . Lúc này điểm ngọn R trùng với M
6
Vậy bốn điểm M , N, P ,Q tạo thành một hình vng nội tiếp đường trịn lượng giác.

π
Ví dụ 3: Biểu diễn trên đường trịn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là k ; k ∈ ¢
3
Hướng dẫn giải
Ð
2π
Ta có sđ AM = k
nên có 6 điểm ngọn trên
6
đường trịn lượng giác.

Ð
k = 0 ⇒ sđ AM = 0 có điểm ngọn là M
Ð π
k = 1⇒ sñ AN = có điểm ngọn là N
3
Ð 2π
có điểm ngọn là P
k = 2 ⇒ sñ AP =
3
Ð
k = 3 ⇒ sñ AQ = π có điểm ngọn là Q

Ð 5π
có điểm ngọn là S
k = 5 ⇒ sđ AS =
3

Ð 4π
có điểm ngọn là R
k = 4 ⇒ sñ AR =
3
Ð
k = 6 ⇒ sđ AT = 2π có điểm ngọn là T
Lúc này điểm ngọn T trùng với M
Vậy sáu điểm M; N; P;Q; R; S tạo thành một lục giác đều nội tiếp đường trịn lượng giác.
Ví dụ 4: Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ 3 giờ. Hỏi sau bao nhiêu lâu hai kim lại vuông góc với
nhau?
A.

6

giờ
11

B.

7
giờ
11

C.

8
giờ
11

D.

9
giờ
11

Câu này ta thấy giống Dạng 1. Ví dụ 5. Nhưng giờ ta sẽ giải theo một cách tư duy khác như sau.
Hướng dẫn giải
Trang 7


Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2π ; kim giờ quét được một góc

π
. Hiệu vận tốc giữa

6

π 11π
=
6
6

kim phút và kim giờ là 2π −

Vào lúc 3 giờ hai kim vng góc với nhau cho nên khoảng cách giữa hai kim là

π
. Sau đó kim phút phải
2

quay để bắt kịp kim giờ và tạo thành một góc vng nữa nên kim phút cần phải quay thêm

π
nữa.
2

 π π  11π 6
= ( h)
Khoảng thời gian để hai kim vng góc với nhau lần nữa là  + ÷:
 2 2  6 11
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1: Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối trùng với cung
lượng giác có số đo là

A.

π
5

7π
5

B.

12π
5

C.

−13π
5

D.

31π
5

Câu 2: Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường trịn lượng giác, khi nào xảy ra
trường hợp các điểm đầu, cuối của chúng trùng nhau?
A. Khi các số đo hơn kém nhau một bội của 2π
B. Khi các số đo hơn kém nhau một ước của 2π
C. Khi các số đo hơn kém nhau một bội của π
D. Khi các số đo hơn kém nhau một ước của π
Câu 3: Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối khơng trùng với

cung lượng giác có số đo là
A.

5π
7

−23π
7

B.

19π
7

C.

34π
7

D.

47π
7

Câu 4: Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối trùng với cung
lượng giác có số đo là 1756° ?
A. 452°

C. 726°
D. 244°

Câu 5: Cung nào sau đây có điểm cuối trùng với M ? Biết M là điểm chính giữa của cung AB
A. α =

π
+ k2π ; k ∈ ¢
2

B. α =

π
+ k2π ; k ∈ ¢
3

C. α =

π
+ k2π ; k ∈ ¢
4

B. 4636°

D. α =

π
+ k2π ; k ∈ ¢
5

Trang 8

Câu 6: Cung nào sau đây có điểm đầu là điểm B và điểm cuối trùng với M ? Biết M là điểm chính giữa
của cung A′B′ .
A. α =

3π
+ kπ ; k ∈ ¢
4

B. α =

5π
+ kπ ; k ∈ ¢
4

C. α =

3π
+ k2π ; k ∈ ¢
4

D. α =

5π
+ k2π ; k ∈ ¢
4

Câu 7: Biết tam giác OCB′ và ODB′ là hai tam giác đều. Cung nào sau đây có điểm đầu là điểm A và
điểm cuối trùng với B,C, D
A. α =

π
+ k2π ; k ∈ ¢
2

B. α = −

π
+ k2π ; k ∈ ¢
2

C. α =

π
2π
+ k ;k∈ ¢
2
3

D. α =

π
2π
+ k ;k∈ ¢
6
3

π
π 5π 5π 13π −11π 7π 7π
Câu 8: Cho ·AOB = . Cho các góc lượng giác có số đo ; ; − ;
. Trong các

;
; ;−
6
6 6
6 6
6
6
6
góc lượng giác có số đo trên, có bao nhiêu góc lượng giác có tia đầu là OA , tia cuối là OB
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Trang 9


Bài tập nâng cao
Câu 9: Kim giờ và kim phút chỉ thời gian lúc 12 giờ. Người ta để ý rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vng
góc với nhau hai lần. Hỏi thời gian để hai kim vuông góc với nhau lần đầu tiên gần với số nào sau đây?
A. 15 phút

B. 16 phút

C. 17 phút

D. 18 phút

Câu 10: Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ thời gian lúc 12 giờ. Hỏi thời gian để hai kim trùng nhau
lần thứ hai là bao lâu (khơng tính lúc 12 giờ)?

A.

23
giờ
11

B.

24
giờ
11

C.

25
giờ
11

D. 2 giờ

Câu 11: Kim giờ và kim phút chỉ thời gian lúc 12 giờ. Người ta để ý rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vng
góc với nhau hai lần. Số lần hai kim vng góc với nhau từ 12 giờ đến 15 giờ và 16 giờ là
A. 6 và 7 lần

B. 6 và 8 lần

Dạng 3. Độ dài của một cung tròn
 Phương pháp giải
Cung có số đo α rad của đường trịn bán kính
R có độ dài là I = R.α

C. 5 và 7 lần

D. 5 và 8 lần

Ví dụ: Một đường trịn có bán kính 30 cm. Tìm
độ dài của các cung trên đường trịn có số đo sau

π
rad;70°
15
Hướng dẫn giải
Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung
và bán kính của đường trịn. Khi đó R = 30 cm
π
Độ dài cung có số đo
rad là:
15
π
I = R.α = 30. = 2π ( cm)
15
Độ dài cung có số đo 70°
π
7π
Chuyển từ độ sang rađian: 70° = 70°.
=
180° 18
7π 35π
Độ dài cung: I = R.α = 30.
=

( cm)
18
3
đây:

 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Trên đường trịn định hướng có bán kính bằng 3 lấy một cung có độ dài là 2π . Số đo theo độ
của cung đó là
A. 120°
B. 150°
C. 180°
D. 210°
Hướng dẫn giải
Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường trịn
Khi đó R = 3; I = 2π
Ta có I = R.α ⇒ α =

I 2π 2π 180°
=
=
.
= 120°
R 3
3 π

Chọn A.
Ví dụ 2: Một cung lượng giác trên đường trịn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo
rađian của cung đó là

Trang 10

A.

1
rad
2

B. 1 rad

C.

3
rad
2

D. 2 rad

Hướng dẫn giải
Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường trịn
Vì độ dài bằng nửa bán kính nên I =

1
R
2

1
.R
I 2
1

Ta có
I = R.α ⇒ α = =
= ( rad)
R
R
2
Chọn A.
Ví dụ 3: Biết độ dài của xích đạo là 40000 km. Bán kính của Trái Đất là
A. 6166,2 km

B. 6266,2 km

C. 6366,2 km

D. 6466,2 km

Hướng dẫn giải
Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường trịn
Khi đó I = 40000( km)
Ta có I = R.α ⇒ R =

I 40000 20000
=
=
≈ 6366,2( km)
α
2π
π

Chọn C.

Ví dụ 4: Kim giờ dài 5,5 cm và kim phút dài 11 cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi sau bao nhiêu lâu 2 kim
lại vng góc với nhau? Lúc đó tổng quãng đường 2 đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?
A. 5,54 cm
B. 6,54 cm
C. 7,54 cm
D. 8,54 cm
Câu này ta thấy giống Ví dụ 5. Dạng 1 nhưng giờ ta sẽ giải theo 1 cách khác như sau.
Hướng dẫn giải
- Một giờ, kim phút quét được 1 góc lượng giác 2π ; kim giờ quét được một góc
- Vào lúc 4 giờ hai kim cách nhau

π
.
6

1
2π
đồng hồ cho nên khoảng cách giữa hai kim là
. Sau đó kim
3
3

phút phải quay để tạo thành 1 góc vng với kim giờ nên kim phút cần cách kim giờ 1 khoảng
- Trong 1 giờ kim giờ vng góc với kim phút 2 lần nên ta có 2 ngọn cung ⇒ k
-

π
nữa.
2

2π
= kπ
2

Lưu ý chiều dương lượng giác là chiều ngược kim đồng hồ.
Gọi x là thời gian để hai kim vng góc với nhau.

Ta có
−π
2π π
2π
11x 1
1 6k
x = −2π x +
− +k
⇒
= + k ⇒ x = + ; k ∈ ¢; k ≥ 0
6
3
2
2
6 6
11 11
1
- Chọn k = 0 ⇒ x = (giờ)
11
1
(giờ) hai kim sẽ lại vng góc với nhau.
11
- Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là

Vậy sau

Trang 11


I = R.α =

1 π
1
25π
. .5,5+ .2π .11=
≈ 6,54( cm)
11 6
11
12

Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1. Điền vào chỗ cịn trống sau
Cung có độ dài bằng … độ dài đường trịn là cung có số đo 1°
A.

1
90

B.

1

180

C.

1
360

D.

1
720

Câu 2. Điền vào chỗ cịn trống sau
Cung có độ dài bằng bán kính đường trịn là cung có số đo … rađian
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 3. Trên đường trịn có diện tích là 16π cm2 . Độ dài cung 75° trên đường tròn gần bằng
A. 5 cm

B. 5,1 cm

C. 5,2 cm

Câu 4. Trên đường trịn có bán kính R = 20 cm . Độ dài cung

A. 9π cm

B. 10π cm

D. 5,3 cm

π
rad trên đường tròn bằng
2

C. 9 cm

D. 10 cm

Câu 5. Cung lượng giác có số đo x° của đường trịn bán kính R có độ dài là
A. I = R.x°

B. I = R.x°.

π
180°

C. I =

R
x°

D. I =

x°

R

Câu 6. Bánh xe máy có đường kính 60 cm. Nếu chạy với vận tốc 30 km/h thì trong 1 giây bánh xe quay
được 1 góc là bao nhiêu (làm tròn đến độ, phút)?
A. 1591°33′

B. 1491°33′

C. 1691°33′

D. 1791°33′

Câu 7. Máy kéo nơng nghiệp có bánh xe sau to hơn bánh trước. Bánh xe sau có đường kính là 1,892 m;
bánh xe trước có đường kính là 95 cm. Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn được 10
vịng thì xe di chuyển được bao nhiêu mét và khi đó bánh trước lăn được một góc bao nhiêu độ?
A. 7169°41′

B. 7069°41′

C. 7569°41′

D. 7969°41′

Ð
Câu 8. Bánh xe của một rịng rọc có chu vi 0,54m. Dây cua roa bao bánh xe trên cung AB có độ dài là
0,2m. Số đo góc ·AOB bằng
A. 127°
B. 130°
C. 133°20′
D. 136°

Trang 12


Câu 9. Kim giờ của đồng hồ dài 5,5 cm , kim phút dài 11 cm và chỉ thời gian lúc 12 giờ. Hỏi khi hai kim
trùng nhau lần thứ ba thì tổng quãng đường của hai kim đã quay là bao nhiêu?
A. 25π cm

B. 50π cm

C. 75π cm

D. 100π cm

Câu 10. Kim giờ của đồng hồ dài 11 cm , kim phút dài 22 cm và chỉ thời gian lúc 12 giờ. Người ta để ý
rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vng góc với nhau hai lần. Khi hai kim vng góc với nhau lần thứ ba thì
tổng quãng đường của hai kim đã quay là
A. 60π cm

B. 62,5π cm

C. 65π cm

D. 67,5π cm

Bài tập nâng cao
Câu 11. Người ta muốn xây dựng một cây cầu bằng sắt có chiều cao MN = 5m qua sơng (như hình vẽ).
Biết rằng AM = 25m . Độ dài cung ¼
AMB gần bằng

A. 49m

B. 50m

C. 51m

D. 52m

Câu 12. Từ một miếng tơn hình trịn có bán kính R = 8 cm, người ta muốn cắt thành 1 hình chữ nhật có
diện tích lớn nhất. Khi đó diện tích của hình chữ nhật đó là bao nhiêu? Độ dài của cung AB là bao nhiêu?
A. S = 128 cm2; I AB = 4π
B. S = 4 cm2; I AB = 128π
C. S = 128 cm2; I AB = 128π
D. S = 4 cm2; I AB = 4π
Đề bài sử dụng cho câu 13, 14, 15. Để vẽ hình quả trứng, bạn Bình vẽ bốn cung trịn chắp nối với nhau
như hình vẽ dưới đây: nửa đường trịn ACB có đường kính AB, cung BE có tâm A bán kính AB, cung
FA có tâm B bán kính BA và cung EF có tâm D bán kính DE . Biết rằng AB = 4 cm
Câu 13. Độ dài cung EF bằng bao nhiêu?
A. 1,6 cm

B. 1,84 cm

C. 2,04 cm

D. 2,24 cm

Câu 14. Độ dài cung BE bằng bao nhiêu?
A. 3,14 cm

B. 3 cm

C. 3,24 cm

D. 3,41 cm

Câu 15. Diện tích của quả trứng là bao nhiêu?
A. 14,9cm2

B. 15,9cm2

C. 16,9cm2

D. 17,9cm2
Trang 13


ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Đơn vị đo độ và rađian
1- C
2- B
3- B
4- A

5- A

6- B

7- A

8- C

9- A

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 9. Chọn A.

Gọi O là tâm của đường trịn chứa cung ¼
AMB , MK là đường kính của đường trịn tâm ( O;OA)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ∆AMK vuông tại A , đường cao AN
AN 2 252
Ta có AN 2 = MN.NK ⇒ NK =
=
= 125( m)
MN
5
AN 25
·
·
·
·
Xét ∆ANK có tan AKN
=
=
⇒ AKN
≈ 11,3° ⇒ AKB
= 2AKN
= 22,6°
NK 125
1

AMB = 45,2° ≈ 0,251π ( rad)
số đo cung bị chắn nên ¼
2
Dạng 2. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
1- D
2- A
3- C
4- B
5- C
6- C
7- C
8- C
9- B
11- A
Do tính chất góc nội tiếp bằng

10- B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 9. Chọn B.
Xét chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Trong 1 giờ, kim phút quay được 1 vòng là −2π rad
và kim giờ quay được

1
π
vòng là − rad
12
6

π

rad
2
- Nhận thấy rằng trong 1 giờ, hai kim vng góc với nhau 2 lần nên chu kỳ của phương trình dưới
sẽ là kπ
Gọi x là thời gian để hai kim vng góc với nhau. Ta có phương trình như sau
π
π
−x
1
11x 1
3 6.k
− .x = −2π x + + kπ ; k ∈ ¢; k ≥ 0 ⇒
= −2x + + k ⇒
= + k⇒ x= +
6
2
6
2
6 2
11 11
3
Chọn k = 0 ⇒ x = ( giờ) ≈ 16,3( phú
t)
11
Vậy sau 16,3 phút thì hai kim vng góc với nhau lần đầu tiên.
-

Hai kim vng góc với nhau thì hai kim cách nhau một khoảng là

Trang 14

Câu 10. Chọn B.
Xét chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Trong 1 giờ, kim phút quay được 1 vòng là
1
π
vòng là − ( rad)
12
6
Nhận thấy rằng cứ cách hơn 1 giờ thì 2 kim sẽ gặp lại nhau nên chu kỳ của phương trình dưới sẽ là k2π
Gọi x là thời gian để 2 kim trùng nhau. Ta có phương trình như sau
π
−x
11x
12.k
− .x = −2π .x + k2π ; k ∈ ¢; k > 0 ⇒
= −2x + k.2 ⇒
= 2.k ⇒ x =
6
6
6
11
−2π ( rad) và kim giờ quay được

Chọn k = 2 ⇒ x =

24
( giờ)
11

24
( giờ) thì 2 kim gặp nhau lần thứ 2.
11
Câu 11. Chọn A.
Vậy sau

-

Phương trình hai kim vng góc với nhau là x =

-

Vào lúc 15 giờ cách 12 giờ 3 tiếng nên 3 =

Vì k là số nguyên nên k = { 0,1,2,3,4,5}

3 6.k
+
; k ∈ ¢; k ≥ 0 (áp dụng kết quả câu 9).
11 11

3 6.k
+
⇒ k= 5
11 11

Vậy vào lúc 15 giờ hai kim vuông góc với nhau 6 lần.
3 6.k
- Vào lúc 16 giờ cách 12 giờ 4 tiếng nên 4 = +
⇒ k = 6,8⇒ k = { 0,1,2,3,4,5,6}

11 11
Vậy vào lúc 16 giờ 2 kim vng góc với nhau 7 lần.

Dạng 3. Độ dài của một cung tròn
1- C
2- A
3- C
4- B
11- C
12- A
13- B
14- A

5- B
15- B

6- A

7- A

8- C

9- C

10- B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 11. Chọn C.

Gọi O là tâm của đường trịn chứa cung ¼

AMB , MK là đường kính của đường trịn tâm ( O;OM )
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ∆AMK vuông tại A , đường cao AN , ta có
AM 2 = MN.MK ⇒ MK =

AM 2 252
=
= 125( m)
MN
5

AM 25
·
·
·
=
⇒ AKN
≈ 11,54° ⇒ AKB
= 2AKM
= 23,1°
MK 125
1
AMB = 46,2° ≈ 0,26π ( rad)
Do tính chất góc nội tiếp bằng
số đo cung bị chắn nên ¼
2
·
Xét ∆AMK có sin AKM
=

MK

= 62,5( m)
2
Độ dài cung ¼
AMB là I = R.α = 62,5.0,26π ≈ 51,1 m
Vậy độ dài cung ¼
AMB là 51,1 m
MK = 125( m) ⇒ OM =

Trang 15


Câu 12. Chọn A.
Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính.
Đặt cạnh AB = x( cm)

( x > 0) . Suy ra AC =

BC 2 − AB2 = 162 − x2

Diện tích của hình chữ nhật là S = AB.AC = x. 162 − x2
x 2 + 162 − x 2
= 128 cm2
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 cạnh của hình chữ nhật bằng nhau nên ABCD trở thành hình vng

(

Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: x. 162 − x2 ≤

⇒ ·AOB = 90o =

)

π
( rad)
2

π
= 4π ( cm)
2
Vậy hình nhữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 128cm2 và độ dài cung AB là 4π cm
Câu 13. Chọn B.
π
·
·
D nằm trên đường tròn đường kính AB ⇒ ·ADB = 90o ⇒ EDF
= ADB
= 90o = ( rad)
2
4
∆ODA vuông cân tại O ⇒ AD = OA. 2 = . 2 = 2 2 ( cm)
2
Độ dài cung AB là I = R.α = 8.

Cung BE có tâm A bán kính AB ⇒ AE = AB = 4( cm) . Suy ra DE = AE − AD = 4 − 2 2 ( cm)

(

)

π
·
Vậy độ dài của cung EF là I = DE.EDF
= 4 − 2 2 ≈ 1,84( cm)
2
Câu 14. Chọn A.
π
·
·
Vì tính chất đối xứng nên dễ dàng thấy ∆ADB vuông cân tại D ⇒ DAB
= DBA
= 45° = ( rad)
4
Vậy độ dài của cung BE là I = AE.α = 4.

π
= π ≈ 3,14( cm)
4

Câu 15. Chọn B.

(

1
1
Diện tích hình quạt ACB là S = π R2 = π .22 = 2π cm2
2
2
2
1

1
Diện tích ∆ABD là S = DA.DB = 2 2 = 4 cm2
2
2

(

)

(

)

)

Trang 16


Diện tích hình quạt ABE là S = π .R2.

45°
45°
= π .42.
= 2π cm2
360°
360°

(

(

)

)

(

) ( )

2
90°
90°
= π . 4− 2 2 .
= 6 − 4 2 π cm2
360°
360°
Khi cộng các diện tích lại các em cần chú ý rằng tổng diện tích hình quạt ABE và hình quạt BAF dư ra
diện tích ∆ABD

Diện tích hình quạt DEF là S = π .R2.

(

)

(

2
Vậy diện tích cần tìm là S = 2π + ( 2π ) .2 − 4 + 6 − 4 2 π ≈ 15,9 cm

)

Trang 17