Bài giảng Giải tích mạch - Chương 2: Mạch xác lập điều hòa

Chương 2: Mạch xác lập điều hịa
 2.1.Phân

tích mạch tuyến tính ở trạng thái xác

lập.
 2.2.Phương pháp ảnh phức
 2.3.Quan hệ dòng áp trên các phần tử R,L,C .
Định luật Ohm dạng phức
 2.4.Trở kháng và dẩn nạp
 2.5.Định luật Kirchhoff dạng phức
 2.6.Đồ thị véc tơ
 2.7.Công suất xoay chiều (AC).
 2.8.Phối hợp trở kháng giữa tải và nguồn
CuuDuongThanCong.com

/>

2.1.Phân tích mạch tuyến tính ở trạng thái xác lập
t=0
Asin(ωt)

Mạch
tuyến
tính

+
v0
-

Xét mạch như hình. Tại t = 0 khóa đóng, đáp ứng ngõ ra v0

gồm 2 thành phần:
 *Thành phần xác lập vẫn được duy trì khi t → ∞
 *Thành phần quá độ tiến tới 0 khi t → ∞
 Trong chương này ta xét các phương pháp phân tích mạch
tuyến tính, thơng số tập trung ở trạng thái xác lập. Các kích
thích là các nguồn áp, nguồn dịng biến thiên hình sin theo thời
gian với cùng tần số góc ω. Các đáp ứng là dòng điện, điện áp
trên các nhánh, các phần tử cũng có dạng sin với cùng ω.


CuuDuongThanCong.com

/>

2.2.phương pháp ảnh phức
*Đối với mạch kích thích điều hịa, các dòng điện, các
điện áp trên các nhánh, trên các phần tử đều biến thiên
hình sin cùng tần số ω với nguồn kích thích và chúng
chỉ khác nhau về biên độ và góc pha ban đầu.
*Khi phân tích mạch tuyến tính xác lập điều hịa, có thể
tránh việc giải hệ phương trình vi phân bằng cách dùng
phương pháp ảnh phức. Theo phương pháp này, mỗi
đại lượng điều hòa sẽ được biểu diễn bằng một số phức
(gọi là ảnh phức của nó) có mơ-đun bằng biên độ và
argumen bằng góc pha ban đầu của đại lượng điều hòa,
như vậy việc giải hệ phương trình vi phân sẽ được qui
về giải hệ phương trình đại số tuyến tính đối với các ảnh
phức của các biến tức thời
A cos(  t   )  A  

CuuDuongThanCong.com

/>

Ôn lại số phức
*Dạng đại số:z = x + jy; j   1
x là phần thực của z: x = Re{z}; y là phần ảo của z: y = Im{z}
*Dạng tọa độ cực: z  r    re j 
r 

x

2

 y ;   angle ( x , y )
2

Công thức Euler: e±jФ = cosФ±jsinФ
Re{e±jФ } = cosФ; Im{e±jФ } = sinФ
*
*
*Số phức liên hợp z *  x  jy
z  r  
z  re
e

j

 e

 j

 2 cos   cos  

1

 j

e

j

 e

 j



e

j

 e

 j



2

e

j

 e

 j

 2 j sin   sin  

CuuDuongThanCong.com

1
2 j

/>

Mặt phẳng phức
z  x  jy

z  r 

Trục o (y)

z  re

j

z
r

Ф

y
Trục thực (x)

x

Tìm biểu thức tương đương của:
1
1  135
e

j 270

1   180
CuuDuongThanCong.com

0

0

0

e

 j 90

0



0



1  180

0



1  90

0





1  45




/>

c

2.

m sô

1.Cho c1 = 2 + j; c2 = - 2 + j3. nh:
a) c1 + c2
b) c1 - c2
c) c1c2
d) c1 / c2
c
2 ng i sô va c) trong c
sau:
a) z2 = 1 + j
b) z  4 j
c) z = (1+2j)3

CuuDuongThanCong.com

/>
ng

p


Biến đổi ảnh phức (phasor)
Cho hàm điều hòa: v(t) = Acos(ωt + Ф)
*Biến đổi ảnh phức của hàm điều hòa được cho bởi:
V = P{v(t)}
= P{Acos(ωt + Ф)}
= AejФ
*Biến đổi ngược của 1 ảnh phức được cho bởi:
v(t) = P-1 V 

= P-1 {AejФ }
= Re {AejФ ejωt }
= Re {Aej(ωt+Ф) }
= Acos(ωt + Ф)
CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ về biến đổi ảnh phức
A cos(  t   )  A    Ae

j

Asin(ωt + Ф) = Acos(ωt + Ф - 900 )
 A  (   90 )
0

 Ae

j (   90

 Ae

j

 Ae

j

e

0

)

 j 90

(cos

0



 j sin

2
  jAe

CuuDuongThanCong.com


2

j

/>
)


Ví dụ dùng ảnh phức tìm tổng của các hàm điều hòa

Cho y1 = 20cos(ωt – 300 )
y2 = 40cos(ωt + 600 )
Tìm y1 + y2 ?
Giải:
Ta có: Y  Y1  Y2
Y  20   30
Y

0

 40  60

0

= (17,32 – j10) +(20 + j34,64)
Y = 37,32 + j24,64
Y  44 , 72  33 , 43

0

Vậy y = 44,72cos(ωt + 33,430 )
CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ tìm ảnh phức các hàm điều hịa
Tìm ảnh phức các hàm điều hòa sau:
a)v = 170cos(377t – 400 ) V
b) i = 10sin(1000t + 200 ) A
c) i = [5cos(ωt +36,870 )+ 10cos(ωt – 53,130 )] A

d) v = [300cos(20000Лt + 450 ) – 100sin (20000Лt + 300 )] mV
Trả lời:
a ) 170   40
b ) 10   70

0

0

V

A

c )11 ,18   26 , 57
d ) 339 , 90  61 , 51
CuuDuongThanCong.com

0

0

A
mV
/>

biến đổi ngược của 1 ảnh phức
t ω = 100π rad/s
a)

b)

c)

V  1  j
j 0,4

V e
 j / 4

V  2e
 3e

i: a) v(t) = √2 cos(100π t – π/4)
b) v(t) = cos(100π t + 22,920)
c) v(t) = 4,31cos(100π t - 7,030)
CuuDuongThanCong.com

/>
j 0 ,3


2.3.Quan hệ giữa điện áp và dòng điện
trên các phần tử R,L,C
*Để sử dụng phương pháp ảnh phức trong việc
phân tích mạch, ta cần biết áp dụng các định luật
phân tích mạch trong miền số phức như thế
nào?
*Định luật Ohm được viết cho các phần tử
mạch ?
*Định luật Kirchhoff được áp dụng ra sao?

CuuDuongThanCong.com

/>

Quan hệ ảnh phức trong trường hợp cuộn dây
+ v(t) i(t)
L

I

+ V ?

Giả sử: i(t) = Acos(ωt + Ф); v(t)?
v(t) = L(di/dt)
= L(-ωAsin(ωt + Ф))
= - ωLAcos(ωt + Ф – 900 )
Sự liên hệ giữa ảnh phức V và I ?
I = AejФ
V = -ωLAej(Ф-90) = - ωLAejФ e-j90
V = - ωLAejФ (-j) = jωL(AejФ )
V = jωL I
CuuDuongThanCong.com

/>

Quan hệ ảnh phức trong trường hợp điện trở
+ v(t) i(t)

I

+ V -

R

?

Giả sử: i(t) = Acos(ωt + Ф); v(t)?
v(t) = Ri(t)
= RAcos(ωt + Ф)
Sự liên hệ giữa ảnh phức
I = AejФ
V = R(AejФ)
V = R I

CuuDuongThanCong.com

I

và V ?

/>

Quan hệ ảnh phức trong trường hợp tụ điện
+ V -

+ v(t) i(t)

I

C

?

Giả sử: v(t) = Acos(ωt + Ф); i(t)?
i(t) = C(dv/dt)
= C(-ωAsin(ωt + Ф))
= - ωCAcos(ωt + Ф – 900 )
Sự liên hệ giữa ảnh phức I và V ?
V = AejФ
I = -ωCAej(Ф-90) = - ωCAejФ e-j90
I = - ωCAejФ (-j) = jωC(AejФ)
I = jωCV → V = I /(jωC)
CuuDuongThanCong.com

/>

Định luật Ohm dạng phức

v(t) = Ri(t)

v(t) = L(di(t)/dt)

I

Điện trở: V = R I

+ V Z=R

Cuộn dây: V = jωL I

I

+ V Z =jωL

i(t) = C(dv(t)/dt)

Tụ:

V

= I /(jωC)

I

Tất cả: V = Z I :Ta gọi đó là định luật
Ohm dạng phức, Z: trở kháng
Cuộn dây: ωL gọi là cảm kháng
Tụ điện: -1/Cω gọi là dung kháng
CuuDuongThanCong.com

/>
+ V Z 

1
j C


2.4.Trở kháng và dẩn nạp
Trong miền ảnh phức liên hệ giữa áp và dịng của phần tử 2 cực
thì tuyến tính: V = ZI hay I = Y V đấy cũng chính là định luật OHM

dạng phức; Z gọi là trở kháng (impedance) đơn vị (Ω)
Y gọi là dẩn nạp (admittance) đơn vị siemens (S)
Một cách tổng quát trở kháng, dẩn nạp có dạng phức:
Z = R + jX; Y = G + jB
R gọi là điện trở đơn vị (Ω)
X gọi là điện kháng (reactance) đơn vị (Ω); Nếu X > 0 hai cực có
tính cảm; Nếu X < 0 hai cực có tính dung; Nếu X = 0 hai cực có
tính thuần trở
G gọi là điện dẩn (conductance) đơn vị (S)
B gọi là điện nạp (susceptance) đơn vị (S); Nếu B > 0 hai cực có
tính dung; Nếu B < 0 hai cực có tính cảm; Nếu B = 0 hai cực có
tính thuần trở
CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ về tính dẩn nạp tương đương
a

-j12,8 Ω

6Ω

j12 Ω
5Ω

j10 Ω

-j2 Ω 4 Ω
13,6 Ω

b

Tính dẩn nạp tương đương của mạch như hình?

CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ về tính trở kháng tương đương
a
10 Ω

-j40 Ω
5Ω

-j10 Ω
20 Ω

10 Ω
j30 Ω

j20 Ω

b

Tính trở kháng tương đương của mạch như hình?

CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ về tính trở kháng tương đương
14Ω
I

j40 Ω

136/00
V

-j15 Ω

50 Ω
40 Ω



Dùng biến đổi Δ → Y , tính I ?



Trả lời: I  4  28 , 07
CuuDuongThanCong.com

0

10 Ω

A

/>

Ví dụ về tính trở kháng tương đương
15 i1
a
25 µH

25 nF

i1

25 Ω

b

(P.9.45).Tính trở kháng tương đương ngõ vào? Biết ω = 1,6
Mrad/s
Trả lời: Zab = (20 + j20) Ω

CuuDuongThanCong.com

/>

2.5.Định luật Kirchhoff dạng phức
*Các định luật KCL và KVL vẫn được áp dụng như trong
miền thời gian:
•KCL: Tổng đại số các ảnh phức của các dòng điện vào
hoặc ra 1 nút hoặc 1 mặt kín bất kỳ thì bằng 0.
•KVL: Tổng đại số các ảnh phức của các điện áp trên
các phần tử dọc theo các nhánh trong 1 vịng bất kỳ thì

bằng 0.
*Phương pháp ảnh phức về cơ bản gồm 4 bước:
•1.Biến đổi ra ảnh phức các nguồn độc lập
•2.Tính trở kháng các phần tử 2 cực thụ động
•3.Áp dụng các phương pháp phân tích mạch đã biết
•4.Biến đổi ngược ảnh phức để có được biểu thức dịng
điện và điện áp trong miền thời gian mà ta quan tâm
CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ về dùng định luật Kirchhoff
i(t) 1Ω
+
+ uR13Ω
uR2
+
i1(t) u
C
+
uL 1H
-

5cos3t
V



I

i2(t)
1/9F

→

+

1Ω
U R 1

5 /00
V

-

+

U R 2

-

1

+

(I)

3Ω
I +

U L

-

U C

j3Ω (II)

I 2

-j3Ω

Cho mạch như hình . Tính các dịng nhánh i(t); i1(t); i2(t) và các
điện áp trên các phần tử uR1(t); uR2(t); uL(t); uC(t); ở xác lập
 Giải:
 Biên độ phức của nguồn:5/00 V. Ta có sơ đồ phức như hình
 Viết K1 cho nút: I  I  I  0 (1)
1
2
 Viết K2 cho mắt lưới (I) và (II):
U

R1

 U



 U
R 2

R 2

 U

 U
L

L

 5  1 I  3 I1  j 3 I1  5

(2)

 U C  0   3 I1  j 3 I1  j 3 I 2  0 ( 3 )

Từ (1);(2);(3)→I = 0,8+ j0,6 =1/36087 A →i(t) = cos(3t+36087)A
CuuDuongThanCong.com

/>

I

i(t) 1Ω

5cos3t
V

+
+ uR13Ω

uR2
+
i1(t) uC
+
uL 1H
-

i2(t)
1/9F

→

1Ω

+U R 1 -

+
U R 2

-

5 /00
V

+

(I)

U L

-

3Ω
+


I 1 U
C

j3Ω (II)

I 2

-j3Ω

= 0,6 – j0,8 = 1/-53013 A → i1(t) = cos(3t – 53013) A;

 I 2 = 0,2 + j1,4 = √2/81087 A → i2(t) = √2cos(3t + 81087) A;
 Suy ra:
 U = 1 I = 1/36087 →uR1(t) = cos(3t+36087) V

 U
= 3 I1 = 3/-53013 →uR2(t) = 3cos(3t – 53013) V
 U = j 3 I1 = 3/36087→uL(t) = 3cos(3t + 36087) V

 U =  j 3 I 2 = 3√2/-8013→uC(t) = 3√2cos(3t - 8013) V

 I1

R1

R2

L

C

CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ về dùng định luật Kirchhoff
i2(t)
3sin4t
A

i1(t) 1/8F

+
uR 4Ω 1/2uR
-

→

I 2

3/00
A

+

U R

-

I1 -j2Ω


4Ω 1/2 U R

(I)

*Từ mạch cho như hình. Tính: i1 (t); i2 (t) ở xác lập?
 Giải:
 Biên độ phức của nguồn: 3/00 A. Ta có sơ đồ phức như hình
 Viết K1 cho nút: I1 + I 2 = 3
(1)
 Viết K2 cho mắt lưới (I): -j2 I1 +1/2 U - 4I 2 = 0 (2)
 Ta lại có: U = 4 I 2 ; Thay vào (2) ta được: jI1 +I 2 = 0 (3)
 Từ (1) và (3) ta được :
 I1 = 3/(1-j) = (3/√2)/450 A → i1 (t) = (3/√2)sin(4t + 450 ) A

I
 2 = -j3/(1-j) = (3/√2)/-450 A → i2 (t) = (3/√2)sin(4t - 450 ) A


R

R

CuuDuongThanCong.com

/>