Toán 10 Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

CHƯƠNG 3:
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được cách viết phương trình đường elip.
+ Nhận biết được các yếu tố của elip khi biết phương trình.
 Kĩ năng
+ Viết được phương trình chính tắc của elip.
+ Xác định được độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tiêu điểm của elip.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa đường Elip
Cho hai điểm cố định F1 ; F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1 F2 .
Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a
Ta có thể viết ( E ) : { M F1M + F2 M = 2a} trong đó F1 ; F2 là tiêu điểm. Độ dài F1 F2 = 2c gọi là tiêu cự
của elip.
Phương trình chính tắc của elip
Trong mặt phẳng Oxy cho hai tiêu điểm F1 ( −c;0 ) ; F2 ( c;0 ) và độ dài khơng đổi 2a. Khi đó ta có phương
trình chính tắc của elip ( E ) :

x2 y2
+ 2 = 1 , trong đó a 2 = b 2 + c 2 ; a > b > 0.
2
a
b

Các thành phần của elip (E)
+ Bốn đỉnh: A1 ( − a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b )

+ Độ dài trục lớn: A1 A2 = 2a .
+ Độ dài trục nhỏ: B1 B2 = 2b .
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( −c;0 ) , tiêu điểm phải F2 ( c;0 ) với b 2 = a 2 − c 2 .
+ Tiêu cự: F1 F2 = 2c .
Hình dạng của elip
Elip có hai trục đối xứng là hai trục tọa độ và tâm đối xứng là gốc tọa độ.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó
Phương pháp giải
Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip biết
elip có độ dài trục lớn là 6 và có

Phương trình chính tắc của elip có dạng:
x2 y 2
+
= 1( a > b > 0 )
a 2 b2
Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình,

c 2
= .
a 3

Hướng dẫn giải
Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm có
dạng:

hệ phương trình để tìm các đại lượng a, b của elip. Từ

x2 y2
+
= 1( a > b > 0 ) .
a 2 b2

đó, viết được phương trình chính tắc của nó.

Độ dài trục lớn là 6 nên
2a = 6 ⇔ a = 3 .
Ta có

c 2
= ⇔ c = 2.
a 3
Trang 2


Ta có: b 2 = a 2 − c 2 = 9 − 4 = 5.
Vậy ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
9
5

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
 4 10


; −1 ÷
a) (E) có tọa độ một đỉnh là 0, 5 và đi qua điểm M 
÷.
 5


(

)

 4 33 
b) (E) có tiêu điểm thứ nhất − 3;0 và đi qua điểm M  1;
÷.
5 ÷



(

)

c) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16.
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của (E) có dạng:

(

x2 y 2
+

= 1( a > b > 0 ) .
a 2 b2

)

a) (E) có một đỉnh là 0, 5 nằm trên trục tung nên b = 5 .
Do đó phương trình chính tắc của (E) có dạng:

(

)

x2 y 2
+
=1 a > 5 .
a2 5

 4 10

160 1
; −1 ÷
+ = 1 ⇒ a2 = 8 .
Mặt khác (E) đi qua điểm M 
nên
2
÷
25a 5
 5

Vậy phương trình chính tắc của (E) là

(

x2 y 2
+
= 1.
8
5

)

2
2
2
2
b) (E) có tiêu điểm F1 − 3;0 nên c = 3 suy ra a = b + c = b + 3 ( 1) .

 4 33 
1 528
∈
E
⇒
+
= 1( 2 ) .
(
)
Mặt khác M  1;
÷
5 ÷
a 2 25b 2



Thế (1) vào (2) ta được

1
528
+
= 1 ⇔ 25b 4 − 478b 2 − 1584 = 0 ⇔ b 2 = 22 ⇒ a 2 = 25.
2
b + 3 25b
2

Vậy phương trình chính tắc của (E) là

x2 y2
+
=1.
25 22

c) Độ dài trục nhỏ bằng 12 nên 2b = 12 ⇔ b = 6.
Tiêu cự bằng 16 nên 2c = 16 ⇔ c = 8 ⇒ a 2 = b 2 + c 2 = 62 + 82 = 100.
Vậy phương trình của elip (E) là

x2 y2
+
=1.
100 36

Ví dụ 2. Phương trình chính tắc của elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm M ( 2; −2 ) là
A.

x2 y 2
+
= 1.
24 6

B.

x2 y 2
+
= 1.
36 9

C.

x2 y 2
+
= 1.
16 4

D.

x2 y 2
+
= 1.
20 5
Trang 3


Hướng dẫn giải

x2 y 2
Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng 2 + 2 = 1, ( a > b > 0 ) .
a
b
Vì trục lớn gấp đơi trục bé nên a = 2b ⇒ a 2 = 4b 2 .
Điểm ( 2; −2 )

2
2
2
−2
thuộc elip ( E ) : x 2 + y2 = 1 ⇒ 2 2 + ( 2) = 1 .
a
b
a
b
2

 a 2 = 4b 2
2

b = 5
⇒ 2
Ta được hệ phương trình:  4
.
4
 2 + 2 = 1  a = 20
 4b b
x2 y2
Vậy phương trình chính tắc của elip là

+
= 1.
20 5
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé
bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E).
A.

x2 y2
+
= 1.
144 36

B.

x2 y 2
+
= 1.
9 36

C.

x2 y 2
+
= 1.
36 9

D.

x2 y2

+
= 0.
144 36

Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 8 và độ dài tiêu cự
bằng 10. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?
A.

x2 y2
+
= 1.
25 16

B.

x2 y 2
+
= 1.
16 41

C.

x2 y 2
+
= 1.
36 9

Câu 3: Phương trình chính tắc của elip đi qua điểm ( 6;0 ) và có
A.

x2 y 2
+
= 1.
6
3

B.

x2 y 2
+
= 1.
36 27

C.

D.

x2 y 2
+
= 1.
41 16

D.

x2 y 2
+
= 1.
36 18

c 1

= là
a 2

x2 y 2
+
= 1.
6
2

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài tiêu cự
bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?
A.

x2 y2
+
= 1.
25 16

B.

x2 y 2
+
= 1.
16 25

C.

x2 y 2
+
= 1.

36 9

D.

x2 y2
+
= 0.
144 36

Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi
qua điểm A ( 0;5 ) là
A.

x2 y2
+
= 1.
100 81

B.

x2 y 2
+
= 1.
34 25

C.

x2 y2
+
= 1.

25 9

D.

x2 y2
+
= 1.
25 16

Câu 6: Phương trình chính tắc của elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng

1
3

là
A.

x2 y 2
+
= 1.
9
3

B.

x2 y 2
+
= 1.
9
8

C.

x2 y 2
+
= 1.
9
5

D.

x2 y 2
+
= 1.
6
5

Trang 4


12 

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình elip (E) đi qua điểm M ( 0;3) , N  3; − ÷
5

là
A.

x2 y 2
+

= 1.
6
3

B.

x2 y2
+
= 1.
25 9

C.

x2 y 2
+
= 1.
5
3

x2 y 2
+
= 1.
36 9

D.

Câu 8: Phương trình chính tắc của elip có trục lớn gấp đơi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3 là
x2 y2
A.
+

= 1.
36 9

x2 y 2
B.
+
= 1.
36 24

x2 y 2
C.
+
= 1.
24 6

x2 y 2
D.
+
= 1.
16 4


3
Câu 9: Phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm F1 − 3;0 và đi qua điểm M  1;
÷
÷ là
 2 

(

A.

x2 y 2
+
= 1.
4
2

B.

x2 y 2
+
= 1.
4 1

C.

)

x2 y 2
+
= 1.
9
4

x2 y 2
+
= 1.
1
4

D.

Câu 10: Lập phương trình chính tắc của elip có tâm O, hai trục đối xứng là hai trục tọa độ và qua hai
3  3 3

điểm M  −2 3; ÷, N  2;
÷.
2 
2 ÷


A.

x2 y2
+
= 1.
12 9

B.

x2 y 2
+
= 1.
12 6

C.

x2 y 2
+

= 1.
16 9

x2 y 2
+
= 1.
9 16

D.

Dạng 2: Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó
Phương pháp giải
Từ phương trình chính tắc của (E):

x2 y2
+
= 1 ta
a 2 b2

có thể xác định được:

Ví dụ: Cho elip ( E ) :

x2 y2
+
= 1 . Xác định các
9
4

đỉnh, độ dài trục lớn, trục nhỏ, các tiêu điểm và

tiêu cự của elip đó.
Hướng dẫn giải

+ Các đỉnh: A1 ( − a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b )

Ta có: a 2 = 9 ⇒ a = 3; b 2 = 4 ⇒ b = 2.
Vậy các đỉnh của elip là:
A1 = ( −3;0 ) , A2 ( 3;0 ) , B2 ( 0; 2 ) , B1 ( 0; −2 )

+ Trục lớn: A1 A2 = 2a , trục nhỏ: B1 B2 = 2b .

Độ dài trục lớn: A1 A2 = 6 ;
Độ dài trục nhỏ: B1 B2 = 4 .

+Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( −c;0 ) , tiêu điểm
phải F2 ( c;0 ) với b 2 = a 2 − c 2 .

Ta có:
b 2 = a 2 − c 2 ⇔ c 2 = a 2 − b2 = 9 − 4 = 5.
Hai tiêu điểm là:

(

)

F1 − 5;0 và F2

(

)

5;0 .

Tiêu cự là: F1 F2 = 2c = 2 5 .
Trang 5


+ Tiêu cự: F1 F2 = 2c.
Ví dụ mẫu
x2 y2
+
= 1. Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là
9
4

Ví dụ 1. Cho elip có phương trình:
A. 9; 4.

B. 6; 4.

C. 3; 2.

D. 4; 6.

Hướng dẫn giải
 a 2 = 9
a = 3
⇔
Ta có  2
.

b = 4
b = 2
Độ dài trục lớn: A1 A2 = 2a = 2.3 = 6 .
Độ dài trục nhỏ: B1 B2 = 2b = 2.2 = 4 .
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho elip có phương trình:

(

) (

A. F1 − 7;0 , F2

x2 y2
+
= 1. Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là:
16 9

)

B. F1 ( −16;0 ) , F2 ( 16;0 ) .

7;0 .

C. F1 ( −9;0 ) , F2 ( 9;0 ) .

D. F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 ) .

Hướng dẫn giải
2

 a = 16
⇒ c = a 2 − b 2 = 7.
Ta có:  2
b = 9

(

) (

Tiêu điểm là: F1 − 7;0 , F2

)

7;0 .

Chọn A.
Ví dụ 3. Cho elip có phương trình

x2 y 2
+
= 1. Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là:
4 1

A. A1 ( −1;0 ) , A2 ( 1;0 ) .

B. A1 ( 0; −1) , A2 ( 0;1) .

C. A1 ( 2;0 ) , A2 ( −1;0 ) .

D. A1 ( −2;0 ) , A2 ( 2;0 ) .

Hướng dẫn giải
Ta có: a 2 = 4 ⇔ a = 2 .
Hai đỉnh trên trục lớn là: A1 ( −2;0 ) , A2 ( 2;0 ) .
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho elip có phương trình
A. B1 ( −2;0 ) , B2 ( 2;0 ) .

x2 y 2
+
= 1 . Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là:
9
4
B. B1 ( 3;0 ) , B2 ( 2;0 ) .
Trang 6


C. B1 ( −3;0 ) , B2 ( −2;0 ) .

D. B1 ( −3;0 ) , B2 ( 3;0 ) .

x2 y2
Câu 2: Elip
+
= 1 có tiêu cự bằng
16 7
A. 18.
Câu 3: Đường elip

B. 6.

C. 9.

D. 3.

x2 y 2
+
= 1 có một tiêu điểm là:
9
6

A. ( 0;3) .

(

)

B. 0; 6 .

(

)

C. − 3;0 .

D. ( 3;0 ) .

Câu 4: Cho elip 9 x 2 + 36 y 2 − 144 = 0 . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Độ dài trục lớn bằng 8.

C.

B. Tiêu cự bằng 4 3.

c
7
=
.
a
3

D. Độ dài trục nhỏ là 2.

x2 y 2
+
= 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hồnh độ bằng 1 thì các
16 12
khoảng cách từ M tới hai tiêu điểm của (E) bằng
Câu 5: Cho elip ( E ) :

A. 4 − 2 và 4 + 2.

B. 3 và 5.

C. 3,5 và 4,5.

D. 4 +

Câu 6: Cho elip (E) có phương trình chính tắc là

2
2
và 4 +
.
2
2

x2 y 2
2
2
2
+ 2 = 1 , với a > b > 0 và c = a − b ( c > 0 ) . Khi
2
a
b

đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) và các tiêu điểm là F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) thì MF1 = a +

c.xM
c.x
, MF2 = a + M .
a
a

B. Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) và các tiêu điểm là F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) thì MF1 = a −

c.xM
c.x
, MF2 = a + M .

a
a

C. Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) và các tiêu điểm là F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) thì MF1 = a −

c.xM
c.x
, MF2 = a − M .
a
a

D. Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) và các tiêu điểm là F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) thì MF1 = a +

c.xM
c.x
, MF2 = a − M .
a
a

Câu 7: Cho elip có phương trình:

x2 y 2
+
= 1 . Điểm M là điểm thuộc (E) sao cho MF1 = MF2 . Khi đó tọa
16 4

độ điểm M là
A. M 1 ( 0;1) , M 2 ( 0; −1) .

B. M 1 ( 0; 2 ) , M 2 ( 0; −2 ) .

C. M 1 ( −4;0 ) , M 2 ( 4;0 ) .

D. M 1 ( 0; 4 ) , M 2 ( 0; −4 ) .

x2 y 2
+
= 1 và hai điểm A ( 3; −2 ) , B ( −3; −2 ) .
9
4
Tìm tọa độ, điểm C thuộc elip và có hồnh độ, tung độ khơng âm sao cho tam giác ABC có diện tích lớn
nhất là
Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :

A. C ( 0;3) .

B. C ( 0; 2 ) .

C. C ( 3;0 ) .

D. C ( 2;0 ) .
Trang 7


x2 y2
+
= 1 và đường thẳng d : 3 x + 4 y − 12 = 0 . Biết rằng d luôn cắt (E) tại hai
16 9
điểm phân biệt A, B. Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 9: Cho elip ( E ) :

A. AB = 5.

B. AB = 3.

C. AB = 4.

Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình:

D. AB = 10.

x2 y2
+
= 1 . Có bao nhiêu điểm M thuộc (E)
9
4

nhìn đoạn F1 F2 dưới một góc 60° (biết rằng F1 , F2 là các tiêu điểm của elip)?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Dạng 3*. Chứng minh điểm M di động trên một elip
Phương pháp giải
Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai

Ví dụ 1:

điểm cố định F1 , F2 là một hằng số 2a ( F1 F2 < 2a ) .

Cho hai đường trịn ( C1 ) có tâm là F1 và bán

Khi đó M di động trên elip có hai tiêu điểm F1 , F2 và

kính R1 , ( C2 ) có tâm là F2 và bán kính R2 .

trục lớn là 2a.

( C1 )

chứa trong ( C2 ) và F1 ≠ F2 . Gọi M là tâm

đường trịn ( C ) thay đổi nhưng ln tiếp xúc

( C1 )

ngoài với

và tiếp xúc trong với

( C2 ) .

Chứng tỏ rằng M di động trên một elip.
Hướng dẫn giải
Ta

có

(C)

tiếp

xúc

ngồi

với

( C1 )

⇒ MF1 = R1 + R .
(C) tiếp xúc trong với ( C2 ) ⇒ MF2 = R2 − R .
Do đó,

MF1 + MF2 = R1 + R + R2 − R = R1 + R2

không đổi.
Vậy M di động trên một elip có hai tiêu điểm là
Cách 2: Chứng minh trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm
M ( xM ; yM )

có tọa độ thỏa mãn phương trình

xM2 yM2
+
= 1 với a, b là hai hằng số thỏa mãn 0 < b < a.

a2 b2

F1 , F2 và độ dài trục lớn bằng R1 + R2 .
Ví dụ:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho
điểm M ( x; y ) di động có tọa độ luôn thỏa mãn:
 x = 5cos t
, với t là tham số thay đổi. Tìm quỹ

 y = 4sin t
tích điểm M.
Trang 8


Hướng dẫn giải
x
= cos t
 x = 5cos t  5
⇒
Ta có: 
 y = 4sin t
 y = sin t
 4
 x2
2
 25 = cos t
x2 y 2
⇒ 2
⇒
+

= 1.
25 16
 y = sin 2 t
 16
Vậy điểm M di động trên elip có phương trình
x2 y 2
+
= 1.
25 16
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A di động trên trục Ox và điểm B di động trên trục Oy sao
cho AB = k khơng đổi. Tìm tập hợp điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2 MA .
Hướng dẫn giải
Gọi A ( a;0 ) ∈ Ox và B ( 0; b ) ∈ Oy .
Do AB = k nên a 2 + b 2 = k 2 khơng đổi. (1)
uuur
uuur
Vì M thuộc đoạn AB và MB = 2 MA nên MB = −2 MA
xB + 2 x A 2a

3x

 xM = 1 + 2 = 3
a = M
⇒
⇔
2 .
 y = yB + 2 y A = b
b = 3 yM
 M

1+ 2
3
9 xM2
x2
y2
+ 9 yM2 = k 2 ⇔ M2 + M2 = 1
Thay vào (1), ta được: 4
.
4k
k
9
9
Vậy tập hợp điểm M là elip có phương trình

( E) :

x2
2

 2k 
 ÷
 3 

+

y2
2

k
 ÷

3

=1

.

Bài tập tự luyện dạng 3
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M ( x; y ) di động có tọa độ luôn thỏa mãn:
 x = 7 cos t
, với t là tham số thay đổi. Khi đó điểm M di động trên elip có phương trình là

 y = 5sin t
A.

x2 y2
+
= 1.
100 81

B.

x2 y 2
+
= 1.
49 25

C.

x2 y2
+

= 1.
25 9

D.

x2 y2
+
= 1.
25 16

ĐÁP ÁN
Trang 9


Dạng 1. Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó
Đáp án trắc nghiệm
1-C
2-D
Hướng dẫn giải

3-B

4-A

5-B

6-B

7-B

8-D

9-B

10-C

Câu 7.
Phương trình elip có dạng:

x2 y2
+
= 1.
a2 b2

0 9
2
 a 2 + b 2 = 1
12 
b = 9

⇔ 2
.
Elip đi qua hai điểm M ( 0;3) , N  3; − ÷ nên ta có 
5

 9 + 144 = 1  a = 25
 a 2 25b 2
Vậy phương trình elip là

x2 y2

+
= 1.
25 9

Câu 8.
Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng

x2 y 2
+
= 1, ( a > b > 0 ) .
a 2 b2

Vì trục lớn gấp đơi trục bé nên a = 2b ⇒ a 2 = 4b 2 .

(1)

Vì elip có tiêu cự bằng 4 3 nên 2c = 4 3 ⇔ c = 2 3 ⇒ a 2 = b 2 + 12 (2)
 a 2 = 4b 2
b2 = 4
⇒ 2
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  2 2
.
 a − b = 12 a = 16
Vậy phương trình chính tắc của elip là

x2 y 2
+
= 1.
16 4

Câu 9.
Phương trình chính tắc của elip có dạng
Vì c = 3 và b 2 = a 2 − c 2 nên

x2 y 2
+
= 1, ( a > b > 0 ) .
a 2 b2

a 2 − b 2 = 3 ⇒ a 2 − b 2 = 3 (1).


3
1
1
M  1;
∈
E
⇒
+
= 1 ⇔ 4b 2 + 3a 2 = 4a 2b 2
(
)
÷
2
2
÷
2
a
4

b



(2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
2
2
2
a 2 = 3 + b 2
 a 2 − b 2 = 3
a = 3 + b
a = 4
⇔ 2
⇔ 4
⇔ 2
.
 2
2
2
2
2
2 2
2
 4b + 3a = 4a b
4b + 5b − 9 = 0
b = 1
 4b + 3 ( 3 + b ) = 4 ( 3 + b ) b

Vậy phương trình elip là ( E ) :

x2 y2
+
= 1.
4
1

Câu 10. Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm là

x2 y 2
+
= 1, ( a > b > 0 ) .
a 2 b2

Trang 10


9
 12
+ 2 =1
2
2

3  3 3
a
 a = 16

4b
⇔

Do elip đi qua M  −2 3; ÷, N  2;
nên
ta
có
hệ
.
÷

 2
4
27
2 
2 ÷
b
=
9



 +
=1 
 a 2 4b 2
x2 y 2
Vậy elip cần tìm là
+
= 1.
16 9
Dạng 2: Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó
Đáp án trắc nghiệm
1-A

2-B
Hướng dẫn giải

3-C

4-D

5-C

6-D

7-B

8-B

9-A

10-D

Câu 7.
Phương trình chính tắc của elip có dạng

x2 y 2
+
= 1, ( a > b > 0 ) .
a 2 b2

Ta có a = 4; b = 2 .
Vì MF1 = MF2 nên M thuộc đường trung trực của F1 F2 chính là trục Oy.
Mà M là điểm thuộc (E) nên M là giao điểm của elip và trục Oy.

Vậy M 1 ( 0; 2 ) , M 2 ( 0; −2 ) .
Câu 8.
A, B có hồnh độ là hoành độ của 2 đỉnh của hai bán trục lớn của (E) và nằm trên đường thẳng y + 2 = 0 .
Điểm C có hồnh độ và tung độ khơng âm thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất.
Tam giác ABC có AB = 6 cố định. Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn
nhất. Khi đó dễ thấy C trùng với đỉnh của bán trục bé là ( 0; 2 ) .
Câu 9.
Ta có d : 3 x + 4 y − 12 = 0 ⇔ y = 3 −

3x
x2 y2
, thay vào phương trình ( E ) : +
= 1 ta được:
4
16 9

2

 3x 
3− ÷
2
2
x = 0 ⇒ y = 3 .
x 
x2 ( x − 4)
4 
+
=1⇔
+
= 1 ⇔ 2x2 − 8x = 0 ⇔ 

16
9
16
16
x = 4 ⇒ y = 0
Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A ( 0;3) , B ( 4;0 ) và độ dài AB = 5.
Câu 10.
MF1 = 3 +


5
5
5 
5 
5 2
x0 , MF2 = 3 −
x0 ⇒ MF1.MF2 =  3 +
x0 ÷
3
−
x
=
9
−
x0 .
÷
0
÷
÷
3

3
3
3
9




Theo định lí cơsin, ta có

( F1F2 )

2

= MF12 + MF12 − 2MF1MF2 cos 60° = ( MF1 + MF2 ) − 3MF1MF2
2

Trang 11


(

⇔ 2 5

)

2


5 

5 
5 
5

= 62 − 3  3 +
x0 ÷
3−
x0 ÷
= 36 − 3  9 − x02 ÷ = 9 + x02
÷
÷
3
3
9 
3





5
33
165
⇔ 20 = 9 + x02 ⇔ x02 =
⇒ x0 = ±
3
5
5
4
4

33  423
4 3
2
⇒ y = ( 9 − x0 ) =  9 − ÷ =
⇒ y0 = ±
.
9
9
5  9
3
2
0

Vậy có bốn điểm thỏa mãn.
Dạng 3. Chứng minh điểm M di động trên một elip
 x2
x
= cos t  = cos 2 t
 x = 7 cos t  7
x2 y2
 49
⇒
⇒
⇒
+
=1 .
Ta có 

 2
y

49
25
y
 y = 5sin t
 = sin t
 = sin 2 t
 5
 25
Vậy điểm M di động trên elip có phương trình

x2 y2
+
= 1.
49 25

Chọn đáp án B.

Trang 12