Dạy thêm toán 10 3 1 đại CƯƠNG về PHƯƠNG TRÌNH

TỐN 10

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

0D3-1

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI.............................................................................................................................................................1
Dạng 1. Tìm điều kiện của phương trình.............................................................................................................................1
Dạng 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả..................................................................................................3
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO....................................................................................................................................5
Dạng 1. Tìm điều kiện của phương trình.............................................................................................................................5
Dạng 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả..................................................................................................7

PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Tìm điều kiện của phương trình

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

2x
3
5  2
x  1 là

Điều kiện xác định của phương trình x  1
D  �\  �1
D  �\  1
D  �\  1
A.
.
B.
.
C.
.
2

y

Tập xác định của hàm số
D  �\  4
D  �\  2
A.
.
B.
.

C.

D  �\  4

x2  1
x 2  3 x  4 là
Tập xác định của hàm số
D  �\  1; 4 .

A. D  �.
B.

C.

D  �\  1; 4 .

Câu 7.

.

D.

D  �\  2

D.

D  �\  4 .

.

y

Điều kiện xác định của phương trình x  2 x  1  1  x là
1
1
1
  x 1
 �x �1
x �

2.
A. 2
.
B. 2
.
C.

D. x �1 .

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Điều kiện xác định của
phương trình x  1  x  2  x  3 là:
A. x �2 .

Câu 6.

3x  1
4  2 x là

D. D  �.

B. x  3 .

Điều kiện xác định của phương trình
x � 2;8
A.
.
B. x �8 .
Điều kiện xác định của phương trình
�\  3
 2; � .

A.
.
B.

C. x �1 .

D. x �3 .

x  2  8  x là
C. x �2 .

x2 

6
4
x3
là tập nào sau đây?
C. �.

1

D. x  8 .

D.

 2; � \  3 .


x3  1  x  1 

Câu 8.

Câu 9.

1

.
x 2  4 Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
B. x �1 và x �2 .
C. x  2 .
D. x �2 .

Cho phương trình
A. x �2 và x �2 .

x5
1
Điều kiện xác định của phương trình x  2
là
�x  5
�x �5
.
.
�
�
x �5.
�x �2
�x �2
B.
C.

A.

x2 
Câu 10.

Điều kiện xác định của phương trình
 2; � .
 2;7  .
A.
B.

x2  5
0
7 x
?
 2;7 .
C.

D. x  2.

D.

 7; � .

x4
2

2
3  x là:
Câu 11. Điều kiện xác định của phương trình x  1

x � 4;  �
x � 4;3 \  �1
x � �;3
A.
.
B.
. C.
.

D.

x  �\  1

x2  1
 3x
Câu 12. Tìm điều kiện của phương trình sau: x  2
.
x
�
0
�
�
A. �x �2
B. x �2
C. x �0

D. x �2

Câu 13. Tìm điều kiện xác định của phương trình:
�x �0

�
x
�
0
A.
B. �x �4
Câu 14.

Câu 15.

x 1
0
x 4

.
�x �0
�
C. �x �4

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
� 3�
m ��
�; � 2
m � �; 1 � 2
� 2�
�
A.
. B.
.
C.

m � �;1 � 2

.

D.

.

m � �;1 � 3

y

D. x �0

mx
x  m  2  1 xác định trên  0;1 .

.

 m2  m  x  2  mx  x  2m nghiệm
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
đúng với x �R .
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  1 .

x2 1
0

Câu 16. Tìm m để phương trình x  m  2
xác định trên
m 1
�m �1
�
�
�
m �3
A. �m �3
B. �
C.

2

 1;1 .
�m  1
�
�m �3

D. 1  m �3


Câu 17. Cho phương trình:
A. 1  m �2
Câu 18. Cho parabol

1
0
 0;1 .
xm2

. Tìm m để phương trình xác định trên
B. 1 �m �2
C. 1 �m  2
D. 1  m  2

 x  2m  1 

y  f  x

có đồ thị như hình vẽ. Phương trình

�x �1
�
A. �x �4
Câu 19. Cho hàm số

x �1
�
�
x �4
B. �

y  f  x

C. 1 �x �4

có điều kiện xác định là:

D. x ��

có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình

f  x  0

xác định trên khoảng

B. Phương trình

f  x  0

xác định trên đoạn

1
C. Phương trình

f  x  3

f  x

 1; 4  .

 2; 4 .

0
xác định trên khoảng

 1; 2  .

1
D. Phương trình

f  x

xác định trên khoảng

 0; 4  .

Dạng 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Câu 20.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Hai phương trình được gọi là tương
đương khi
A. Có cùng tập xác định.
B. Có số nghiệm bằng nhau.
C. Có cùng dạng phương trình.
D. Có cùng tập hợp nghiệm.

Câu 21.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Trong các phương trình sau, phương trình nào tương
với phương trình x  1  0 ?
3


A. x  2  0 .
Câu 22.
Câu 23.

B. x  1  0 .

C. 2 x  2  0 .

D.

2
Cho phương trình: x  x  0 (1) . Phương trình nào tương đương với phương trình (1) ?
2
2
x  x  1  0
A.
.
B. x  1  0 .
C. x  ( x  1)  0 .
D. x  0

Xét trên tập số thực, khẳng định nào sau đây là đúng?
2
x + 1 =- 3
A. Hai phương trình x + 1= 0 và
là hai phương trình tương đương.
B. Các phương trình bậc 3 một ẩn đều có 3 nghiệm thực.
C. Các phương trình bậc 2 một ẩn đều có 2 nghiệm thực.
D. Định lý Vi-ét khơng áp dụng cho phương trình bậc 2 có nghiệm kép.

4x 
Câu 24.

Câu 25.

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Phương trình
nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .

D. 0 .

2
D. x + x - 2 = 3x + x - 2. .

( )
( )
Cho phương trình f x = g x xác định với mọi x > 0 . Trong các phương trình dưới đây,
phương trình nào khơng tương đương với phương trình đã cho?
f ( x) g ( x)
=
2
2
( )
( )
- x.
A. x + 2 x + 3. f x = x + 2 x + 3.g x .
B. - x

( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )
D. x +1 . f x = x +1 .g x .

( )

( )
C. k . f x = k .g x , với mọi số thực k �0

Câu 27.

3
3
  x2 
x3
x  3 có bao

2
Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 3x = 0 ?
1
1
x2 +
= 3x +
.
2
x x - 3 = 3x x - 3.
x- 3
x- 3
B.
A.

2
2
2
C. x + x +1 = 3 x + x +1. .

Câu 26.

 x  1  x  2  0 .

f  x  0
(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho phương trình
có tập nghiệm
S1   m;2m 1
g x  0
S �
1;2�
và phương trình
có tập nghiệm 2 � �. Tìm tất cả các giá trị m để
g x  0
f  x  0
phương trình
là phương trình hệ quả của phương trình
.
3
3
1  m
1�m�
2.
2.
A.
B. 1�m�2 .
C. m��. .
D.

2

Câu 28. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x  4  0 ?
2  x    x 2  2 x  1  0
x  2   x 2  3x  2   0


A.
B.

C.

x2  3  1

2
D. x  4 x  4  0

Câu 29. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

x 1  2 x 1 � x 1  0
x  2  x  1 �  x  2    x  1
2

C.

B.
2

x2  1  0 �

x 1

0
x 1

2
D. x  1 � x  1

2
Câu 30. Cho phương trình 2 x  x  0 . Trong các phương trình sau đây phương trình nào khơng phải là
phương trình hệ quả của phương trình đã cho:

4


A.

2x 

 2x
C.

2

x
0
1 x

3
B. 4 x  x  0

 x    x  5  0

2

2

3
2
D. 2 x  x  x  0

Câu 31. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. 2 x  x  3  1  x  3 và 2 x  1
x x 1
0
B. x  1
và x  0
2
x 1   2  x
x

1

2

x
C.
và
D. x  x  2  1  x  2 và x  1
Câu 32. Hai phương trình nào sau đây không tương đương với nhau:
 2 x  1 x  1  x  2 x  1
A. x  1  x và
 x  1  2  x   0 và 1  x . 2  x  0

B.
2x
x2
2x

2
 x2
x 1
x  1

C.
và x  1
D.
Câu 33.

x2  x  2  0

và

x . x2  0

Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương?
2

2

2

2

A. x  x  2  x  x  2 � x  x .
2

B.

2

2

2 x  x � 2 x  x .
2

C. x  x  2  x  x  2 � x  x .

2

2

Câu 34. Xác định m để hai phương trình sau tương đương:
2
2
x 2  x  2  0 (1) và x  2  m  1 x  m  m  2  0 (2)
A. m  3
B. m �3
C. m �6
D. m �6
Câu 35. Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
3
2
2 x 2  mx  2  0 và 2 x   m  4  x  2  m  1 x  4  0 (2)

A. m  2
B. m  3
C. m  2
D. m  3
Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai phương trình sau tương đương:
mx 2  2  m  1 x  m  2  0
 m  2  x 2  3x  m2  15  0 (2)
(1) và
A. m  5
B. m  5; m  4
C. m  4
D. m  5
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
Câu 2.

Câu 3.

2

D. x  x  3  x  x  3 � x  x .

Dạng 1. Tìm điều kiện của phương trình
Chọn D
2
Do x  1  0, x �� nên điều kiện xác định của phương trình là D  �.
Chọn D
4 �۹
2 x 0
x

2.
Điều kiện xác định: 
D  �\  2
Tập xác định:
.
Chọn C
5


Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.
Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

Câu 10.

�x �1
x 2  3x  4 �0 � �
�x �4 . Vậy D  �\  4;1 .
Điều kiện xác định
Chọn B
1
�
�x �

2
x

1
�
0
�
��
2
1
�
�  �x �1
�
1

x
�
0
x
�
1
�
2
Điều kiện xác định của phương trình là �
.
Chọn D
PT có nghĩa khi:
�x  1 �0
�x �1
�

�
2 0
x 3
�x �۳۳
�x 2
�x  3 �0
�x �3
�
�
. Vậy điều kiện xác định của pt trên là: x �3 .
Chọn C
2 0
x 2
ĐK: x �۳
Chọn D
�x  2 �0
�x �2
��
�
�x �3
Điều kiện xác định của phương trình: �x  3 �0
Chọn C
�x 3  1 �0
�
�x  1 �0 � x  2.
�x 2  4  0
Điều kiện xác định của phương trình �
Chọn C
�x  5 �0
�x �5

��
�
�x �2
Điều kiện của phương trình là �x  2 �0

Chọn A
�x  2 �0
�x �2
��

�
7x 0
�x  7
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là: �

Câu 11.

2

Phương trình đã cho xác định khi

4 �x  3
�
�
�x ��1

�x �2
�
Câu 12. Để phương trình có nghĩa ta phải có: �x �0 .
Đáp án

A.
�x �0
�x �0
�x �0
�x �0
��
��
��
�
x  4 �0
�x ��4
�x �4 .
�x �4
Câu 13. Điều kiện: �
Đáp án
B.
Câu 14. Chọn C
�x  m  2 �0
�x �m  2
��
�
x  m  2  1 �0
�x �m  1 .
Điều kiện xác định của hàm số là: �
D   m  2; m  1 � m  1; �
Tập xác định của hàm số là
.
6

7

.

Chọn B
�x  4 �0
�x �4
�2
�
1 0
1
�x �۹��
�x
�
�x  3
3 x  0
�
�

x

.


�
 0;1 � m  2; m  1
 0;1 �D � �
 0;1 � m  1; � .
 0;1 thì
�
Để hàm số xác định trên

�
m  2 �0
�
m2
�
�
�
��
�
m  1 �1 � �
�
m �1
�
�
m � �;1 � 2
m  1 �0
�

Câu 15.

.
Chọn C
 m2  m  x  2  mx  x  2m �  m2  1 x  2m  2

(1).

m  �1
�
m2  1  0
�

x �R � �
��
� m 1
m 1
2m  2  0
�
�

Phương trình (1) nghiệm đúng với
Câu 16. Phương trình xác định khi: x �m  2 .
Khi đó để phương trình xác định trên

.

 1;1

thì:
m  2  1 �
m 1
�
m  2 � 1;1 � �
��
m  2 �1
m �3
�
�

Đáp án
C.
Câu 17. Điều kiện xác định của phương trình là:

 x  2m  1 �0
�
�x �2m  1
��
� m  2  x �2m  1
�
�x  m  2  0
�x  m  2

 m  2; 2m  1 do đó điều kiện để phương trình xác định trên
Hay phương trình xác định trên
 0;1 là:  0;1 � m  2; 2m  1
m �2
�
� m  2 �0  1 �2m  1 � �
m �1 hay 1 �m �2 .
�
Đáp án

B.
f  x  �0

Câu 18.

Điều kiện:
f  x  �0
cho
.
Đáp án
C.

Câu 19.

Nhìn đồ thị ta thấy
Đáp án
C.

Câu 20.

nhìn đồ thị ta thấy: 1 �x �4 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh hay hàm

f  x   0 � x � 1; 2 

Dạng 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Chọn D

Theo định nghĩa sách giáo khoa 10 thì hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có
cùng tập hợp nghiệm.
Câu 21. Chọn C
S   1
Hai phương trình x  1  0 và 2 x  2  0 tương đương nhau vì có cùng tập nghiệm là
.
Câu 22. Chọn A
x0
�
(1) � x 2  x  0 � �
x  1
�
x0
�

x  x  1  0 � �
x 1
�
Ý A:
7


Câu 23.

Chọn A
Ở đáp án A, Dễ thấy hai phương trình đều vơ nghiệm nên chúng là hai phương trình tương đương.
Câu 24. Chọn B
Điều kiện xác định: x  3 .
Với điều kiện trên, ta có:
x0
�
3
3
4x 
  x2 
� 4 x   x2 � �
x  4
x3
x3
�
So sánh điều kiện, ta có x  0 là nghiệm của phương trình.
Câu 25. Chọn C
x2 - 3x = 0 có hai nghiệm x  0; x  3
Phương trình
Phương trình đáp án A khơng nhận x = 0 là nghiệm do không thỏa mãn điều kiện xác định của

phương trình
Phương trình đáp án B khơng nhận x = 3 là nghiệm do không thỏa mãn điều kiện xác định của
phương trình
Phương trình đáp án D khơng nhận x = 0 là nghiệm do không thỏa mãn điều kiện xác định của
phương trình
Câu 26. Chọn B
f ( x) g ( x)
=
- x
- x xác định khi x < 0 và f ( x) , g ( x) có nghĩa.

f ( x) g ( x)
=
( )
( )
- x không là biến đổi trương
Biến đổi từ phương trình f x = g x sang phương trình - x
đương do làm thay đổi TXĐ của phương trình nên hai phương trình này khơng tương đương.
Câu 27. Chọn D
f  x  0
g x  0
Gọi S1 , S 2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình
và
.
g x  0
f  x  0
Ta nói phương trình
là phương trình hệ quả của phương trình
khi S1 �S2 .
1 m 2

1 m 2
3
�
� �
�
3 1 m
1�2m 1 �2 �
2
1�m�
�
�
2
Khi đó ta có
.
2
Câu 28. Ta có phương trình: x  4  0 � x  �2 do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là:
S0   2; 2
. Xét các đáp án:
2  x    x 2  2 x  1  0

- Đáp án A: Giải phương trình:
x  2
x20
�
�
�� 2
��
 x  2x  1  0
x  1� 2
�

�

Do đó tập nghiệm của phương trình là:





S1  2;1  2;1  2 �S 0

x2
�
�
 x  2   x  3x  2   0 � �x  1
�
x  2
�
2

- Đáp án B: Giải phương trình:

Do đó tập nghiệm của phương trình là:
- Đáp án C: Giải phương trình:

S 2   2; 1; 2 �S0

.

x  3  1 � x  3  1 � x  �2
2

2

8


Do đó tập nghiệm S3  S0 nên chọn đáp án C.
S   2 �S0
- Đáp án D: Có 4
.
Đáp án
C.
2
Câu 29. Chọn đáp án D vì x  1 � x  �1
Còn các khẳng định khác đều đúng.
Đáp án
D.
x0
�
2
�
2x  x  0 �
� 1�
1�
�
S0  �
0; �
x
2
�

�
2
Câu 30. Giải phương trình
Tập nghiệm
Ta xét các đáp án:
�x �1
x0
�
�
1  x �0
�
x
��
x0
�
2x 
0��
� ��
�
1
�
2x  1 x   x  0
1 x
x
1
�
��
x
� 2
�

�� 2
- Đáp án A:
� 1�
S1  �
0; ��S0
� 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
�x  0
�
� 1 1 �
3
4x  x  0 � �
0; ; �� S2 �S0
1 � S2  �
x�
� 2 2
�
�
2
- Đáp án B:
Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
2
�
2 x2  x  0 �
2 x2  x  0
2
2
 2 x  x    x  5  0 � �x  5  0 � �x  5
�

�
- Đáp án C:
vô nghiệm
� S3  �� S 2 �S 0
Vậy phương trình ở đáp án C khơng là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
1�
�
S4  �
1; 0; ��S0
2
�
- Đáp án D: Giải phương trình ta có:
Đáp án
Câu 31.

C.

Xét các đáp án:
�x �3
2x  x  3  1 x  3 � �
� x ��
2
x

1
�
- Đáp án A: + Phương trình
1
2x  1 � x 
2

+ Phương trình
Do đó cặp phương trình ở đáp án A khơng tương đương vì khơng cùng tập nghiệm.
�x  1 �0
x x 1
0��
� x0
�x  0
- Đáp án B: + Phương trình x  1
+ Phương trình x  0
Vậy chọn đáp án B.

- Đáp án C: + Phương trình

2
�
�x  1   2  x 
x 1  2  x � �
2  x �0
�

9


�x �2
�x 2  5 x  3  0
5  13
�
��
� � 5 � 13 � x 
2

�x �2
�x 
�
2
5 � 13
2
+ Phương trình
Do đó hai phương trình trong đáp án C không tương đương.
�x  2 �0
x  x  2  1 x  2 � �
�
�x  1
- Đáp án D:
Tập nghiệm rỗng.
Do đó phương trình x  x  2  1  x  2 và x  1 không phải là hai phương trình tương đương.
Đáp án
B.
Câu 32. Ta xét các đáp án:
- Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là x �1
Khi đó 2 x  1  0 nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho 2 x  1 nên hai phương
trình tương đương.
 1; 2 nên tương đương.
- Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là
- Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là x �1 nên ta có thể nhận phương trình thứ nhất
với x  1 �0 ta được phương trình thứ hai.
Vậy hai phương trình tương đương.
x0
�
2
�

x  x  2  0
x �2 .
- Đáp án D: Phương trình
có 2 nghiệm x  2 và x  0 thỏa mãn điều kiện �
x . x2 0
Cịn phương trình
chỉ có nghiệm x  2 vì x  0 khơng thỏa mãn điều kiện x �2 .
Vậy hai phương trình khơng cùng tập nghiệm nên không tương đương.
Đáp án
D.
Câu 33. Chọn D
* Xét phương án A:
�x 2  2 �0
2
�
�
2
2
2
�x  2 �0
x x 2  x  x 2 � �
� ��
� x ��
x0
2
�x  x
��
x 1
��
x  1   2  x  � x2  5x  3  0 � x 

2

x0
�
2
xx ��
x 1
�
2 phương trình khơng có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương.
* Xét phương án B:
�x �0
�
�x �0
�
2 x  x � �
� ��
x  2 � x  1
2
2 x  x
��
�
x 1
��
x  2
�
2
2 x  x � �
x 1
�
2 phương trình khơng có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi khơng tương đương.

* Xét phương án C:

10


�x �2
�x  2 �0
�
�
x x2  x  x2 � x  x � �
� ��
x  0 � x ��
2
��
�x  x
x 1
��
2

2

x0
�
2
xx ��
x 1
�
2 phương trình khơng có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi khơng tương đương.
* Xét phương án D:
2

�
x0
�
2
2
2
2
�x  3 �0
x x 3  x  x 3 � x  x � �
�
�
2
x 1
�
�x  x
x0
�
2
xx ��
x 1
�

2 phương trình có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi là tương đương.
Câu 34. Dễ thấy phương trình (1) vơ nghiệm.
Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vơ nghiệm, tức là:
2
 '   m  1  m 2  m  2  0 � m  3  0 � m  3
.
Đáp án
A.





x  2
�
�� 2
�  x  2   2 x  mx  2   0
2 x  mx  2  0
�
Câu 35. Ta có: Phương trình (2)
Do hai phương trình tương đương nên x  2 cũng là nghiệm của phương trình (1), thay vào ta có
m  3 . Khi m  3 hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm nên tương đương.
Đáp án
B.
x 1
�
�  x  1  mx  m  2   0 � �
mx  m  2  0
�
Câu 36. Phương trình (1)
Do 2 phương trình tương đương nên x  1 cũng phải là nghiệm của (2) nên thay x  1 vào
phương trình (2) ta có:
m4
�
m  2  3  m2  15  0 � m2  m  20  0 � �
m  5
�
+ Với m  4 :

x 1
�
� 1�
2
�
4x  6x  2  0 �
� S1  �
1; �
1
�
x
�2
� 2
Phương trình (1) trở thành:
x 1
�
� 1�
2
�
2 x  3x  1  0 �
� S2  �
1; � S1
1
�
x
�2
� 2
Phương trình (2) trở thành
Vậy hai phương trình tương đương.
+ Với m  5 :

� 7
x
�7 �
2
5 x  12 x  7  0 � � 5 � T1  � ;1�
�
�5
x 1
�
Phương trình (1) trở thành:
2

11


� 10
x
�10 �
7 x  3 x  10  0 � �
7 � T2  � ;1�
�
�7
x 1
�
2

Phương trình (2) trở thành:
Vậy T1 �T2 � Hai phương trình khơng tương đương.
Vậy m  4 thỏa mãn đề bài.
Đáp án

C.

12