Dạy thêm toán 10 H2 3 các hệ LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và GIẢI TAM GIÁC

TOÁN 10

CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

0H2-3

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

ABC
Cho tam giác
, mệnh đề nào sau đây đúng?
2
2
2
a = b + c + 2bc cos A

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2
2
a = b + c − 2bc cos C
a = b + c − 2bc cos B
C.
.
D.
.
ma
BC = a, AC = b, AB = c
ABC
Cho tam giác
, có độ dài ba cạnh là
. Gọi
là độ dài đường trung
S
A R
tuyến kẻ từ đỉnh ,
là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác và là diện tích tam giác đó.
Mệnh đề nào sau đây sai?
b2 + c 2 a 2

2
ma =
−
a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cos A
2
4
A.
. B.
.
abc
a
b
c
=
=
= 2R
S=
4R
sin A sin B sin C
C.
.
D.
.
0
a = 8, b = 10
60
C
c
Cho tam giác ABC có
, góc

bằng
. Độ dài cạnh là?
c = 3 21
c=7 2
c = 2 11
c = 2 21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
0
µ
b = 6, c = 8, A = 60
∆ABC
a
Cho
có
. Độ dài cạnh là:
2 13.
2 37.
20.
3 12.
A.
B.
C.
D.

B = 600 , a = 8, c = 5.
b
∆ABC
Cho
có
Độ dài cạnh bằng:
129
7.
129.
49.
A.
B.
C.
D.
.
0
µ
AC
∆ABC
AB = 9 BC = 8 B = 60
Cho
có
;
;
. Tính độ dài
.
73
217
113
8

A.
.
B.
.
C. .
D.
.
0
AB
=
2,
AC
=
1
A = 60 .
ABC
BC.
Cho tam giác
có
và
Tính độ dài cạnh
BC = 3.
BC = 2.
BC = 1.
BC = 2.
A.
B.
C.
D.
1

Câu 8.

Câu 9.

Tam giác
49.
A.

ABC

có

µ = 600.
a = 8, c = 3, B

B.

Độ dài cạnh

97

C.

b

bằng bao nhiêu?

7.

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Tam giác
AB
Tính cạnh
?
13
3.
10
A.
.
B.
C. .

ABC

có

61.
D.
µ = 1500 , BC = 3, AC = 2.
C

1
D. .
4
cos A =
a; b; c
3
ABC
b=7 c=5

a
5
Câu 10. Cho
là độ dài cạnh của tam giác
. Biết
;
;
. Tính độ dài của .
7 2
23
3 2
6
2
8
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
·
A, B
Ox, Oy
xOy
= 30°
AB = 2
Câu 11. Cho
.Gọi
là 2 điểm di động lần lượt trên

sao cho
. Độ dài lớn
OB
nhất của
bằng bao nhiêu?
A. 4.
B. 3.
C. 6.
D. 2.
a; b; c
3
Câu 12. Cho
là độ dài cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
a 2 < ab + ac
a 2 + c 2 < b 2 + 2 ac
b 2 + c 2 > a 2 + 2bc
ab + bc > b 2
A.
.
B.
. C.
. D.
.
Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

ABC
BC = 7
AC = 9
cos A
AB = 4
Cho tam giác
có
cm,
cm,
cm. Tính
.
2
1
1
cos A = −
cos A =
cos A =
3
2
3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
2
2
2
a +b −c > 0
ABC
Cho tam giác
có
. Khi đó:
0
C > 90
C < 900
A. Góc
B. Góc
0
C = 90
C.
C. Góc
D. Khơng thể kết luận được gì về góc
b 2 + c 2 − a 2 = 3bc
ABC
Cho tam giác
thoả mãn:
. Khi đó:
0
0
A = 30 .
A = 45 .
A = 600.

A.
B.
C.
D.
·
A(1;1), B(2; 4), C (10; −2).
BAC
Cho các điểm
Góc
bằng bao nhiêu?
0
0
90
60 .
450.
A.
.
B.
C.
D.
ABC
a = 24, b = 13, c = 15.
A
Cho tam giác
, biết
Tính góc ?
33034 '.
117 0 49 '.
28037 '.
A.

B.
C.
D.
a
=
13,
b
=
14,
c
=
15.
ABC
B
Cho tam giác
, biết
Tính góc ?
2

cos A =

A = 750

300.

580 24 '.

2
3

.

.


A.
Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

590 49 '.

B.

590 29 '.

5307 '.

620 22 '.

C.
D.
BC , CA, AB
ABC
(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tam giác
biết độ dài ba cạnh

lần lượt
2
2
2
2
b b −a =c c −a
·
a, b, c
BAC
b≠c
là
và thỏa mãn hệ thức
với
. Khi đó, góc
bằng
45°
60°
90°
120°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
AB
=
c

,
BC = a, CA = b
ABC
(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tam giác
có
.
2
2
2
2
b b −a = c a −c
·
a, b, c
BAC
Các cạnh
liên hệ với nhau bởi đẳng thức
. Khi đó góc
bằng
bao nhiêu độ.
30°
60°
90°
45°
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
ABC
A
M
(THPT KINH MƠN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho tam giác
vuông cân tại
và
là điểm
ABC
MA : MB : MC = 1: 2 : 3
AMB
nằm trong tam giác
sao cho
khi đó góc
bằng bao nhiêu?
135°
90°
150°
120°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC
Cho tam giác
, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

2
2
2
b +c
a
a 2 + c2 b2
ma2 =
+ .
ma2 =
− .
2
4
2
4
A.
B.
a 2 + b2 c2
2c 2 + 2b2 − a 2
ma2 =
− .
ma2 =
.
2
4
4
C.
D.

(

)

(

)

(

)

(

)

ABC
AB = 9
BC = 15
AC = 12
AM
Tam giác
có
cm,
cm,
cm. Khi đó đường trung tuyến
của
tam giác có độ dài là
7,5 cm
9 cm
10 cm
8 cm

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
AB = 3, BC = 5
BM = 13
ABC
Câu 24.
Cho tam giác
có
và độ dài đường trung tuyến
. Tính độ dài
AC
.
9
10
11
2
4
A.
.
B. .
C. .
D.
.
µ

A,
C = 30°, AB = 3.
∆ABC
AM ?
Câu 25. Cho
vng ở
biết
Tính độ dài trung tuyến
5
7
3
2
2
4
A.
B.
C.
D.
a = 6, b = 4 2, c = 2. M
ABC
BC
BM = 3
Câu 26. Tam giác
có
là điểm trên cạnh
sao cho
. Độ dài đoạn
AM
bằng bao nhiêu?

Câu 23.

3


A.

9.

B.

9.

C.

3.

D.

1
108 .
2

S =m +m +m
2
a

2
b

2
c

ABC
Câu 27. Gọi
là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác
. Trong các
mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
3
S = (a 2 + b 2 + c 2 )
S = a 2 + b2 + c 2
4
A.
. B.
.
3 2 2 2
S = (a + b + c )
S = 3(a 2 + b 2 + c 2 )
2
C.
. D.
.
0
µ = 60
∆ABC
AB = 2 AC = 3 A
A
Câu 28. Cho
có
;

;
. Tính độ dài đường phân giác trong góc
của tam giác
ABC
.
12
6 2
6 3
6
5
5
5
5
A.
.
B.
.
C.
.
D. .

DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC
ABC
Câu 29. Cho tam giác
. Tìm cơng thức sai:
a
a
c sin A
= 2R .
sin A =

.
sin C =
.
b sin B = 2 R .
sin A
2R
a
A.
B.
C.
D.
AB = c, AC = b, BC = a
R, r , S
∆ABC
Câu 30. Cho
với các cạnh
. Gọi
lần lượt là bán kính đường trịn
ABC
ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác
. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
abc
a
S=
R=
4R
sin A
A.
.
B.

.
1
S = ab sin C
a 2 + b 2 − c 2 = 2ab cos C
2
C.
.
D.
.
·
BC = 3
ABC
BAC = 60°
Câu 31. Cho tam giác
có góc
và cạnh
. Tính bán kính của đường trịn ngoại
ABC
tiếp tam giác
.
R=3
R=4
R =1
R=2
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.

Câu 32.

ABC

AC = 4 cm

µA = 60° B
µ = 45°
BC
, góc
,
. Độ dài cạnh

Trong mặt phẳng, cho tam giác
có
là
2 6
2+2 3
2 3−2
6
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
µ = 40° B
µ = 60°
BC
∆ABC
AB = 5 A
Câu 33. Cho
có
;
;
. Độ dài
gần nhất với kết quả nào?
3, 7
3,3
3,5
3,1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4


ABC
b + c = 2a
Câu 34. Cho tam giác

thoả mãn hệ thức
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
cos B + cos C = 2 cos A.
sin B + sin C = 2 sin A.
A.
B.
1
sin B + sin C = sin A
sin B + cos C = 2 sin A.
2
C.
.
D.
µ = 56013' C
µ = 710
a = 16,8 B
ABC
c
Câu 35. Tam giác
có
;
;
. Cạnh bằng bao nhiêu?
29,9.
14,1.
17,5.
19,9.
A.
B.
C.

D.
µA = 68012 ' B
µ = 340 44 ' AB = 117.
AC
Câu 36. Tam giác ABC có
,
,
Tính
?
200.
68.
168.
118.
A.
B.
C.
D.

DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN
Câu 37. Chọn cơng thức đúng trong các đáp án sau:
1
1
S = bc sin A .
S = ac sin A.
2
2
A.
B.
Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

Câu 44.

·
BAD
= 30°

D.

1
S = bc sin B .
2

ABCD
có cạnh bằng . Góc
. Diện tích hình thoi
là
2
2
a 3
a

a2
2
2
B.
.
C.
.
D. .
AB = 3, BC = 5, CA = 6
ABC
Tính diện tích tam giác
biết
.
56
48
6
8
A.
.
B.
.
C. .
D. .
a = 6, b = 8, c = 10.
∆ABC
S
Cho
có
Diện tích của tam giác trên là:
12.

48.
24.
30.
A.
B.
C.
D.
a = 4, c = 5, B = 1500.
∆ABC
Cho
có
Diện tích của tam giác là:
10 3 .
5 3.
5.
10.
A.
B.
C.
D.
13,14,15
Một tam giác có ba cạnh là
. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?
84.
42.
84 .
168 .
A.
B.
C.

D.
A(1; −2), B(−2;3), C (0; 4).
∆ABC
Cho các điểm
Diện tích
bằng bao nhiêu?
13
13
.
.
13.
26.
2
4
A.
B.
C.
D.
A(1; −1), B (3; −3), C (6;0).
ABC
∆ABC
Cho tam giác
có
Diện tích
là
12.
6.
6 2.
9.
A.

B.
C.
D.

Cho hình thoi
a2
4
A.
.

ABCD

C.

1
S = bc sin B .
2

a

5


Câu 45. Cho tam giác

Câu 47.

Câu 48.

Câu 49.

Câu 50.

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

có

a = 4, b = 6, c = 8

. Khi đó diện tích của tam giác là:

2
15.
3

3 15.

105.
C.
D.
·
ABC
ABC = 60°
AB = 2 BC = 3
Cho tam giác
. Biết

;
và
. Tính chu vi và diện tích tam giác
ABC
.
3
3 3
5+ 7
5
+
7
2
2
A.
và .
B.
và
.
3 3
3
5 7
5 + 19
2
2
C.
và
.
D.
và .
ma = 15 mb = 12 mc = 9

ABC
ABC
Tam giác
có các trung tuyến
,
,
.Diện tích S của tam giác
bằng
72
108
54
144
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
3
b = 7; c = 5;cos A =
ha
∆ ABC
∆ ABC
5
Cho tam giác
có
. Độ dài đường cao
của tam giác
là.

7 2
8 3
80 3
8
2
A.
.
B. .
C.
D.
·
AB = 2a; AC = 4a
ABC
BAC
= 120°
ABC
Cho tam giác
có
và
. Tính diện tích tam giác
?
2
2
2
2
S = 2a 3
S =a 3
S = 8a
S = 4a
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC
a
ABC
Cho tam giác
đều cạnh . Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
bằng
a 3
a 3
a 3
a 2
2
3
4
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC

Cho tam giác
có chu vi bằng 12 và bán kính đường trịn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam
ABC
giác
bằng
3
6
12
24
A. .
B. .
C. .
D.
.
ABC
2a
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tam giác
đều cạnh
. Tính bán
ABC
R
kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
2a
4a
8a
6a
3
3
3

3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
BC = 6 AC = 2
AB = 3 + 1
ABC
Cho tam giác
có
,
và
. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
ABC
giác
bằng:
5
3
2
2
A.
.
B.
.
C.
.

D. .

A.
Câu 46.

9 15.

ABC

B.

6


Câu 54.

Cho tam giác

ABC

có

AB = 3 AC = 4 BC = 5
,
,
. Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bằng

8
9

Câu 55.

Câu 56.

Câu 57.

Câu 58.

Câu 59.

Câu 60.

Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

4
5

3
4

1
A. .
B. .
C. .
D. .
S = 84, a = 13, b = 14, c = 15.

∆ABC
R
Cho
có
Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp
của tam giác
trên là:
8,125.
8,5.
8.
130.
A.
B.
C.
D.
p = 10
S = 10 3
∆ABC
r
Cho
có
, nửa chu vi
. Độ dài bán kính đường trịn nội tiếp của tam giác
trên là:
3.
3.
2.
2.
A.
B.

C.
D.
26, 28,30.
Một tam giác có ba cạnh là
Bán kính đường trịn nội tiếp là:
4 2.
16.
8.
4.
A.
B.
C.
D.
52,56, 60.
Một tam giác có ba cạnh là
Bán kính đường trịn ngoại tiếp là:
65
65
.
.
32,5.
40.
8
4
A.
B.
C.
D.
5;12;13
Tam giác với ba cạnh là

có bán kính đường trịn ngoại tiếp là?
13
11
6.
8.
2
2
A.
B.
C.
.
D. .
5;12;13
Tam giác với ba cạnh là
có bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu?
2 3.
2.
2 2.
3.
A.
B.
C.
D.
6;8;10
Tam giác với ba cạnh là
có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng bao nhiêu?
4 2.
5 2.
5.
6

A.
B.
C.
D. .
AB = 4, BC = 6 M
BC , N
ABCD
Cho hình chữ nhật
có cạnh
,
là trung điểm của
là điểm trên
CD
ND = 3NC
AMN
cạnh
sao cho
. Khi đó bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác
bằng
3 5
5 2
3 5
5 2
2
2
A.
.
B.
.
C. uuur . uuur

D.
.
DC = 2 BD
ABC
r
D
R
Cho tam giác đều
;gọi
là điểm thỏa mãn
. Gọi
và lần lượt là bán kính
R
ADC .
r
đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác
Tính tỉ số .
5
5+7 7
7+5 5
7+5 7
2
9
9
9
A. .
B.
.
C.
.

D.
.
7


DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Câu 64. Khoảng cách từ

Câu 65.

Câu 66.

Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

A

đến

B

không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
78o 24'
C
A
B
xác định được một điểm

mà từ đó có thể nhìn được
và
dưới một góc
. Biết
CA = 250 m, CB = 120 m
AB
. Khoảng cách
bằng bao nhiêu?
266 m.
255 m.
166 m.
298 m.
A.
B.
C.
D.
600
A
Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc
.
30 km / h
40 km / h
2
Tàu thứ nhất chạy với tốc độ
, tàu thứ hai chạy với tốc độ
. Hỏi sau giờ hai
km
tàu cách nhau bao nhiêu
?
20 13.

10 13.
13.
15.
A.
B.
C.
D.
CD = 80 m
A
B
Từ một đỉnh tháp chiều cao
, người ta nhìn hai điểm
và
trên mặt đất dưới các
0
0
A, B, D
72 12 '
34 26'
AB
góc nhìn là
và
. Ba điểm
thẳng hàng. Tính khoảng cách
?
71 m.
91 m.
79 m.
40 m.
A.

B.
C.
D.
A
B
Khoảng cách từ
đến
khơng thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
56016 '
C
A
B
xác định được một điểm
mà từ đó có thể nhìn được
và
dưới một góc
. Biết
CA = 200 m CB = 180 m
AB
,
. Khoảng cách
bằng bao nhiêu?
180 m.
224 m.
112 m.
168 m.
A.
B.
C.
D.

Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình trịn
bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khơi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của
chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như
AB = 4,3
BC = 3, 7
CA = 7,5
hình vẽ (
cm;
cm;
cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm
tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

A. 5,73 cm.
B. 6,01cm.
C. 5,85cm.
D. 4,57cm.
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong
đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo
·
·
CAD
= 630 CBD
= 480
được AB = 24m,
;
. Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?
A. 61,4 m.
B. 18,5 m.
C. 60 m.
D. 18 m.

8


PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
Câu 2.

Câu 3.
Ta có:
Câu 4.

DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN
Chọn B
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
ABC
Theo định lý cosin trong tam giác
, ta có
.
Chọn B
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có
Chọn
D.
2
2
2
c = a + b − 2a.b.cos C = 82 + 10 2 − 2.8.10.cos 60 0 = 84 ⇒ c = 2 21

Chọn
A.

2
2
2
a = b + c − 2bc cos A = 36 + 64 − 2.6.8.cos 60 0 = 52 ⇒ a = 2 13

Ta có:
Câu 5.
Chọn
A.
2
2
2
b = a + c − 2ac cos B = 82 + 52 − 2.8.5.cos 60 0 = 49 ⇒ b = 7
Ta có:
.
Câu 6.

Câu 7.

Chọn A
Theo định lý cosin có:
·
AC 2 = BA2 + BC 2 − 2 BA.BC.cos ABC
= 73 ⇒ AC = 73

Theo định lý cosin ta có:
1
= 22 + 12 − 2.2.1.
2 = 3.

Ta có:
Câu 9.

Câu 10.

.

AC = 73
Vậy
.
Chọn C
BC =

Câu 8.

.

AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos 600

Chọn
C.
2
2
2
b = a + c − 2ac cos B = 82 + 32 − 2.8.3.cos 60 0 = 49 ⇒ b = 7

.

Chọn A

∆ABC
Theo định lí cosin trong
ta có:
µ = 13 ⇒ AB = 13
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA.CB.cos C

Chọn A
Áp dụng định lí cosin cho tam giác

ABC

ta có:
4
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A = 7 2 + 52 − 2.7.5. = 18
5

Suy ra:

a = 18 = 3 2

.

9

.

. Chọn

A.

.


Câu 11.

Chọn A

AB 2 = OA2 + OB 2 − 2OA.OB.cos 30° ⇔ 4 = OA2 + OB 2 − 2OA.OB.
Áp dụng định lí cosin:
⇔ OA2 − 3.OB.OA + OB 2 − 4 = 0

3
2

(*).

OB
OA
Coi phương trình (*) là một phương trình bậc hai ẩn
. Để tồn tại giá trị lớn nhất của
∆ ≥ 0 ⇔ ( 3OB) 2 − 4(OB2 − 4) ≥ 0 ⇔ OB 2 ≤ 16 ⇔ OB ≤ 4
(*)
thì
.
max OB = 4
Vậy
.
Câu 12. Chọn C
b 2 + c 2 − a 2 = 2bc.cos µA ≤ 2bc ⇒ b 2 + c 2 ≤ a 2 + 2bc
Do

nên mệnh đề C sai.
2
a < b + c ⇒ a < ab + ac
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có
;đáp án A đúng.
2
a + c > b ⇒ ab + bc > b
Tương tự
;mệnh đề D đúng.
2
2
2
a + c − b = 2ac.cos B < 2ac ⇒ a 2 + c 2 < b 2 + 2ac
Ta có:
;mệnh đề B đúng.

Câu 13.

Chọn D
cos A =
Ta có

Câu 14.

AB 2 + AC 2 − BC 2 42 + 92 − 7 2 2
=
=
2. AB. AC
2.4.9
3

Chọn

B.
a + b2 − c2
cos C =
2ab
2

Ta có:
.
2
2
2
a +b −c > 0
cos C > 0 ⇒ C < 900
Mà:
suy ra:
.
Câu 15. Chọn
A.
2
b + c2 − a2
3bc
3
cos A =
=
=
⇒ A = 300.
2bc

2bc
2
Ta có:
Câu 16. uu
Chọn
ur
uA.
uur
AB = (1;3) AC = (9; −3)
Ta có:
,
.
uuu
r uuur
AB. AC
·
·
cos BAC
= uuu
= 900.
r uuur = 0 ⇒ BAC
AB . AC
Suy ra:
Câu 17. Chọn
B.
10

.

Ta có:
Câu 18.

b 2 + c 2 − a 2 132 + 152 − 242
7
cos A =
=
= − ⇒ A ; 117 0 49 '.
2bc
2.13.15
15

Chọn

C.
a + c 2 − b 2 132 + 152 − 142 33
cos B =
=
=
⇒ B ; 590 29 '.
2ac
2.13.15
65
2

Ta có:
Câu 19.

Chọn D
b b2 − a 2 = c c 2 − a 2 ⇔ b3 − ba 2 = c3 − ca 2 ⇔ b3 − c3 − a 2 ( b − c ) = 0

Ta có
⇔ ( b − c ) b 2 + bc + c 2 − a 2 = 0 ⇔ b 2 + c 2 − a 2 = −bc
.
2
2
2
b +c −a
−bc
1
·
·
cos BAC
=
=
= − ⇒ BAC
= 120°
2bc
2bc
2
Mặt khác
.

(

)

(

)

(

)

Câu 20.
Lời giải
Chọn B
Theo bài ra, ta có:

b ( b 2 − a 2 ) = c ( a 2 − c 2 ) ⇔ b 3 − a 2 b = a 2 c − c 3 = 0 ⇔ b 3 + c 3 − a 2b − a 2 c = 0

⇔ ( b + c ) ( b 2 − bc + c 2 ) − a 2 ( b + c ) = 0 ⇔ ( b + c ) ( b 2 − bc + c 2 − a 2 ) = 0 ⇔ b 2 − bc + c 2 − a 2 = 0
(do

b+c ≠ 0

)

b2 + c 2 − a2 1
1
·
·
⇔ b + c − a = bc ⇔
= ⇔ cos BAC
= ⇒ BAC
= 60°
2bc
2
2
2

Câu 21.

2

2

MB = x ⇔ MA = 2 x MC = 3 x
0 < x < BC = 2
;
với
.
2
2
2
1 + 4x − x
3x + 1
·
cos BAM
=
=
2.1.2 x
4x
Ta có
1 + 4x2 − 9 x2 1 − 5x2
·
cos MAC
=
=
4x

4x
.
2

2

 3x 2 + 1   1 − 5 x 2 
⇒
÷ +
÷ =1
 4x   4x 
⇒ 9 x 4 + 6 x 2 + 1 + 1 − 10 x 2 + 25 x 4 = 16
 2 5+2 2 1
> (l )
x =
17
5
⇔
 2 5−2 2
x =
4
2
17
⇒ 34 x − 20 x + 2 = 0


.
AM + BM − AB
4x + x −1
⇒ cos ·AMB =

=
2 AM .BM
2.2 x.x
2

2

2

2

2

11

.

.




5 x 2 − 1 =  25 − 10 2 − 1÷: 20 − 8 2 − 2
=
=

÷
17
17



2
4x2
Vậy
Câu 22.

·AMB = 135°

.

.

Chọn
D.
2
2
b + c a 2 2b 2 + 2c 2 − a 2
ma2 =
− =
.
2
4
4

Ta có:
Câu 23. Chọn C

AM 2 =
Ta có
Câu 24. Chọn B

15
AB 2 + AC 2 BC 2 92 + 122 152 225
⇒ AM =
−
=
−
=
2
2
4
2
4
4

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có:
2
BA2 + BC 2 AC 2
32 + 52 AC 2
BM 2 =
−
⇔ 13 =
−
⇔ AC = 4
2
4
2
4

(

Câu 25.

.

)

.

Chọn A

AM =

AM

1
BC = BM = MC
2

là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
.
µ
B = 90° − 30° = 60°
∆BAC
Xét
có
.
µ = 60°
B
ABM

BM = AM
∆ABM
Xét tam giác
có
và
suy ra
là tam giác đều.
⇒ AM = AB = 3
.
Câu 26.

Chọn

C.

ABC
a = 6 ⇒ BC = 6
BM = 3
BC.
M
Ta có: Trong tam giác
có
mà
suy ra
là trung điểm
b2 + c2 a2
AM 2 = ma2 =
− = 9 ⇒ AM = 3
2
4

Suy ra:
.
Câu 27. Chọn
A.
12


b2 + c 2 a 2 a 2 + c 2 b2 a 2 + b2 c 2 3 2
S =m +m +m =
− +
− +
− = (a + b 2 + c 2 ).
2
4
2
4
2
4 4
2
a

2
b

2
c

Ta có:
Câu 28. Chọn C

Gọi

M

Ta có

là chân đường phân giác góc
A.
2
2
2
BC = AB + AC − 2 AB. AC.cos A = 7 ⇒ BC = 7.

Lại có

BM AB 2
=
= .
CM AC 3
BM =

Suy ra

2 7
.
5

Áp dụng định lý cosin trong tam giác

ABM

ta được:

AB 2 + BC 2 − AC 2 108
AM 2 = AB 2 + BM 2 − 2 AB.BM .cos ·ABC = AB 2 + BM 2 − 2 AB.BM .
=
.
2. AB.BC
25

⇒ AM =

6 3
.
5

CÁ CH 2

A
là chân đường phân giác trong của góc .
AM  
ABC
Vì đoạn thẳng
chia tam giác
thành hai phần nên ta có:
1
1
1
·
·

·
S ABC = S ABM + S ACM ⇔ AB. AC.sin BAC
= AB. AM .sin BAM
+ AC. AM .sin MAC
2
2
2
Gọi

M

⇔ AM =

⇔ AM =

(

6 3
.
5

AM =
Vậy

AB. AC.sin 60°
.
AB + AC ) .sin 30°

6 3
.

5

13


DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN
Câu 29.

Chọn
C.
a
b
c
=
=
= 2 R.
sin A sin B sin C

Ta có:
Câu 30. Chọn

B.

Theo định lí Sin trong tam giác, ta có
Câu 31.

Chọn B
BC
BC
= 2R ⇔ R =

=
sin A
2sin A

Ta có:
Câu 32. Chọn A

BC
AC
=
sin A sin B

Câu 33.

⇔ BC =

4.

a
= 2R
sin A

3
=1
3
2.
2

.

.

3
2 =2 6
2
2

Ta có
.
Chọn B
µ = 180° − A
µ −B
µ = 180° − 40° − 60° = 80°
C

Áp dụng định lý sin:
Câu 34. Chọn
Ta có:

B.

Câu 35.

D.

BC
AB
AB
5
=

⇒ BC =
.sin A =
sin 40° ≈ 3,3
sin A sin C
sin C
sin 80°

.

b+c
a
b
c
b
c
b+c
b+c
=
=
= 2R ⇒ 2 =
=
⇔
=
⇔ sin B + sin C = 2sin A.
sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
2sin A sin B + sin C
Chọn

ABC

µA + B
µ +C
µ = 1800 ⇒ µA = 1800 − 710 − 56013' = 520 47 '

Ta có: Trong tam giác
:
.
0
a
b
c
a
c
a.sin C 16,8.sin 71
=
=
⇒
=
⇒c=
=
; 19,9.
sin A sin B sin C
sin A sin C
sin A
sin 520 47 '
Mặt khác
Câu 36. Chọn
A.
µ +C

µ = 1800 ⇒ C
µ = 1800 − 68012 '− 340 44 ' = 77 0 4 '
ABC µA + B
Ta có: Trong tam giác
:
.
0
a
b
c
AC
AB
AB.sin B 117.sin 34 44 '
=
=
⇒
=
⇒ AC =
=
; 68.
sin A sin B sin C
sin B sin C
sin C
sin 77 04 '
Mặt khác
DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN
Câu 37.

Chọn

A.
14


1
1
1
S = bc sin A = ac sin B = ab sin C
2
2
2

Ta có:
Câu 38. Chọn B

.

1
= a.a.sin 30° = a 2
·
= AB. AD.sin BAD
2

S ABCD
Ta có
.
Câu 39. Chọn A
AB + AC + BC 3 + 5 + 6
p=
=

=7
2
2
Ta có:
.
ABC
Vậy diện tích tam giác
là:
S = p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = 7 ( 7 − 3) ( 7 − 6 ) ( 7 − 5 ) = 56
Câu 40.

Chọn

Ta có: Nửa chu vi

B.
∆ABC

p=
:

.

a+b+c
2

S=

.
p ( p − a )( p − b)( p − c ) = 12(12 − 6)(12 − 8)(12 − 10) = 24

Áp dụng công thức Hê-rông:
Câu 41. Chọn
B.
1
1
S ∆ABC = a.c.sin B = .4.5.sin1500 = 5.
2
2
Ta có:
Câu 42. Chọn
A.
a + b + c 13 + 14 + 15
p=
=
= 21
2
2
Ta có:
.
S = p ( p − a )( p − b)( p − c ) = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84
Suy ra:
.

Câu 43. uu
Chọn
A.
u
r
uuur

uuur
AB = (−3;5) ⇒ AB = 34 AC = (−1;6) ⇒ AC = 37 BC = (2;1) ⇒ BC = 5
Ta có:
,
,
.
AB + AC + BC
37 + 34 + 5
p=
=
2
2
Mặt khác
.
13
S = p ( p − AB )( p − AC )( p − BC ) = .
2
Suy ra:
Câu 44. uu
Chọn
B.
ur
uuur
uuur
AB = (2; −2) ⇒ AB = 2 2 AC = (5;1) ⇒ AC = 26 BC = (3;3) ⇒ BC = 3 2
Ta có:
,
,
.
uuu

r uuur
AB.BC = 0 ⇒ AB ⊥ BC
Mặt khác
.
1
S∆ABC = AB.BC = 6.
2
Suy ra:
Câu 45. Chọn
B.
15

.


p=
Ta có:
Suy ra:

a +b+c 4+ 6+8
=
= 9.
2
2

S=

p ( p − a )( p − b)( p − c) = 3 15.

Câu 46.

Chọn B
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2. AB.BC.c os ·ABC = 4 + 9 − 2.2.3.c os60° = 13 − 6 = 7
Ta có:
.
Suy ra

AC = 7

Chu vi tam giác

.
ABC

là

AB + AC + BC = 2 + 3 + 7

S∆ABC =

.

1
1
3 3
AB.BC .sin ·ABC = .2.3.sin 60° =
2
2
2

ABC

Diện tích tam giác
là
Câu 47. Chọn A
Theo bài tốn ta có
 2 b2 + c2 a 2
2
 ma = 2 − 4 = 15
2b 2 + 2c 2 − a 2 = 900
 a = 10

2
2
2


 2 a +c b
− = 122 ⇔ 2 a 2 + 2c 2 − b 2 = 576 ⇔ b = 4 13
 mb =
2
4

 2a 2 + 2b2 − c 2 = 324

2
2
c = 2 73

 2 a + b c2
2
m

=
−
=
9
 c
2
4


p=
Ta có
S ABC =

a+b+c
= 5 + 2 13 + 73
2

(đvdt).

, áp dụng cơng thức He-rong ta có

p ( p − a)( p − b)( p − c ) = 72

.
Cách 2:
BC = a, CA = b, AB = c
Đặt
,
Theo định lý trung tuyến có:
4ma2 + a 2 = 2 ( b 2 + c 2 )

−a 2 + 2b 2 + 2c 2 = 900 a 2 = 100
 a 2 = 100 a = 10

 2 2
2
2
4mb + b = 2 ( a + c ) ⇒ 2a 2 − b 2 + 2c 2 = 576 ⇒ b 2 = 208 ⇒ b 2 = 208 ⇒ b = 4 13
 2 2
2
2
2a 2 + 2b 2 − c 2 = 324
c 2 = 291
c 2 = 292 
4mc + c = 2 ( b + a )
c = 2 73




16


S ABC =

Có
Câu 48.

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

p=

,

1
( a + b + c)
2

Suy ra

S ABC = 72

Chọn A
3
a = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 7 2 + 52 − 2.7.5. = 32 = 4 2
5

4

sin A = 5

sin A = − 4

5

2

 3  16
sin A = 1 − cos A = 1 −  ÷ =
 5  25
2

2

1
1
4
S = bc sin A = .7.5. = 14
2
2
5
Câu 49.

. Suy ra
vì
nên
1
1
7 2
S = a.ha ⇔ 14 = .4 2.ha ⇔ ha =
2
2
2

ABC

S ABC =

4
5

là

1
1
·
AB. AC.sin BAC
= .2a.4a.sin120° = 2a 2 3
2
2

(đvdt).

Chọn B

G
ABC
Gọi
là trọng tâm
. Bán kính đường tròn ngoại tiếp
Câu 51. Chọn C

Theo đề bài tam giác

R = AG =

p=

ABC

có chu vi bằng 12 nên nửa chu vi là
r =1

tiếp bằng 1, tức là ta có:
.
S
= p.r = 6.1 = 6
ABC
Diện tích tam giác
là:
.
Câu 52.

sin A =

Chọn B
Diện tích của tam giác

Câu 50.

mà

0 ≤ µA ≤ 1800

Chọn A

Gọi H, K lần lượt là trung điểm cạnh

AB, BC;
17

2a 3 a 3
=

3 2
3

12
2

.

; bán kính đường trịn nội


I là giao điểm của

AH

và

CK

.
ABC .

Lúc đó, I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác
2a 3
AH =
=a 3
2
Ta có:
.
2

2
2a
R = AI = AH = a 3 =
.
3
3
3
Do đó:
Câu 53. Chọn C
b2 + c 2 − a 2 1
cos A =
=
A = 60°
2bc
2
Áp dụng định lý cosin ta có
suy ra
.
a
R=
= 2
2sin A
Áp dụng định lý sin ta có
.
Câu 54. Chọn A
AB 2 + AC 2 = BC 2
ABC
A
Vì
nên tam giác

vng tại .
1
AB. AC
S
3.4
2
r= =
=
=1
p 1 AB + AC + BC
3+ 4+5
(
)
2
Do đó bán kính đường trịn nội tiếp
.
Câu 55.

Chọn

S ∆ABC

A.
a.b.c
a.b.c 13.14.15 65
=
⇔R=
=
=
4R

4S
4.84
8

Ta có:
Câu 56. Chọn

.

D.
S 10 3
S = pr ⇒ r = =
= 3.
p
10

Ta có:
Câu 57. Chọn
B.
a + b + c 26 + 28 + 30
p=
=
= 42.
2
2
Ta có:
p ( p − a )( p − b)( p − c )
42(42 − 26)(42 − 28)(42 − 30)
S
S = pr ⇒ r = =

=
= 8.
p
p
42
Câu 58.
Ta có:
Suy ra:

Chọn
C.
a + b + c 52 + 56 + 60
p=
=
= 84.
2
2
S=

p ( p − a )( p − b)( p − c ) = 84(84 − 52)(84 − 56)(84 − 60) = 1344

abc
abc 52.56.60 65
S=
⇒R=
=
=
4R
4S
4.1344

2

Mà
Câu 59.

Chọn

.

C.
18

.


52 + 122 = 132 ⇒ R =

13
.
2

1
2

Ta có:
(Tam giác vng bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng
cạnh huyền ).
Câu 60. Chọn
A.
5 + 12 + 13

1
p=
= 15
52 + 122 = 132 ⇒ S = .5.12 = 30.
2
2
Ta có:
. Mà
S
S = p.r ⇒ r = = 2.
p
Mặt khác
Câu 61. Chọn
A.
10
1
62 + 82 = 102 ⇒ R = = 5.
2
2
Ta có:
(Tam giác vng bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng
cạnh
huyền ).
Câu 62. Chọn D

Ta có
MC = 3, NC = 1 ⇒ MN = 10

BM = 3, AB = 4 ⇒ AM = 5
AD = 6, ND = 3 ⇒ AN = 45

p=

AM + AN + MN
10 + 5 + 45
=
2
2
S AMN =

p ( p − AM ) ( p − AN ) ( p − MN ) =

15
2

Bán kính của đường trịn ngoại tiếp của tam giác
Câu 63. ChọnuD
uur
uuur
uuur
uuur
DC = 2 BD ⇔ DC = −2 DB
DC = 2 DB
Ta có
. Do đó
.

19

AMN

R=
là:

AM . AN .MN 5 2
=
4 S AMN
2


BC
ACD
E
là diện tích của tam giác
và là trung điểm của
.
2
2

2
2 a 3 a 3
=
 S = S ABC = .
3
3
4
6


2
2

 AD = AE 2 + ED 2 =  a 3  +  a  = 2a 7

÷  ÷

2 ÷
6

 6

AB = a
Đặt
. Suy ra
.

AD + DC + AC
5+ 7
.r =
a.r
S =
5 + 7 ar.2a 3 7
7 5 + 7 a 4r

2
6
2
⇒S =
=

3
6.36

R
108 R
AD
.
DC
.
BC
2
a
7
S =
=

4R
36 R
Hơn nữa
.

Gọi

S

(

(

Hay

)

(

)

)

(

(

7 5 + 7 a 4r
7 5 + 7 .12
7 5+ 7
a4
R
R
=
⇔ =
⇔ =
12
108 R
r
108
r
9

)

)

.

DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Câu 64.

Chọn
B.
2
2
AB = CA + CB 2 − 2CB.CA.cos C = 250 2 + 120 2 − 2.250.120.cos 78 o24 ' ; 64835 ⇒ AB ; 255.

Ta có:
Câu 65. Chọn
B.
S1 = 30.2 = 60 km.
2h
Ta có: Sau
quãng đường tàu thứ nhất chạy được là:
S2 = 40.2 = 80 km.
2h
Sau
quãng đường tàu thứ hai chạy được là:
2h

Vậy: sau
hai tàu cách nhau là:
Câu 66. Chọn
B.
Ta có: Trong tam giác vng

CDA

S = S12 + S2 2 − 2 S1 .S2 .cos 600 = 20 13.

tan 72012 ' =
:

tan 340 26 ' =

CD
CD
80
⇒ AD =
=
; 25, 7.
0
AD
tan 72 12 ' tan 72012 '

CD
CD
80
⇒ BD =
=
; 116, 7.
0
BD
tan 34 26 ' tan 340 26 '

CDB

Trong tam giác vuông
:
AB = 116, 7 − 25,7 = 91 m.
Suy ra: khoảng cách
Câu 67. Chọn
A.

20


Ta có:
Câu 68.

AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CB.CA.cos C = 200 2 + 180 2 − 2.200.180.cos 56 016 ' ; 32416 ⇒ AB ; 180.
Chọn A

ABC
của chiếc đĩa bằng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
.
AB + BC + CA 4,3 + 3, 7 + 7,5 31
p=
=
=
ABC
2
2
4
Nửa chu vi của tam giác
là:
cm.

S = p ( p − AB ) ( p − BC ) ( p − CA ) ≈ 5, 2
ABC
Diện tích tam giác
là:
cm2.
AB.BC.CA
AB.BC.CA
S=
⇒R=
≈ 5, 73
4R
4S
Mà
cm.
Câu 69. Chọn A

Bán kính

Ta có

R

·
·
CAD
= 630 ⇒ BAD
= 1170 ⇒ ·ADB = 1800 − ( 117 0 + 480 ) = 150

·
AB

BD
AB.sin BAD
=
⇒ BD =
·
sin ·ADB sin BAD
sin ·ADB

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:
CD
·
·
sin CBD
=
⇒ CD = BD.sin CBD
BD
Tam giác BCD vng tại C nên có:
·
·
AB.sin BAD
.sin CBD
24.sin117 0.sin 480
CD =
=
= 61, 4m
sin150
sin ·ADB
Vậy

21