Dạy thêm toán 10 PHƯƠNG TRÌNH ELIP

PHƯƠNG TRÌNH ELIP
DẠNG 1. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP

Câu 1.

Đường Elip
A.

6

x2 y 2
+
=1
16 7

.

có tiêu cự bằng

B.

8

9

.

C. .
Lời giải

D.

( −2; + ∞ )

.

Chọn A
x2 y 2
+
=1
a 2 = 16 b 2 = 7
c 2 = a 2 − b2 = 16 − 7 = 9 ⇔ c = 3
16 7
Elip
có
,
suy ra
.
2c = 2.3 = 6
Vậy tiêu cự
.
Câu 2.

( E)

16 x 2 + 25 y 2 = 400

Cho elip
có phương trình
. Khẳng định nào sai trong các khẳng định
sau?

( E)
A.
có trục nhỏ bằng 8.
( E)
B.
có tiêu cự bằng 3.
( E)
C.
có trục nhỏ bằng 10.
F1 ( −3;0 )
F2 ( 3;0 )
( E)
D.
có các tiêu điểm
và
.
Lời giải
Chọn B
x2 y 2
⇔
2
2
( E ) 16 x + 25 y = 400 25 + 16 = 1
:
.
2
2
( E ) a = 5 b = 4 c = a − b = 52 − 4 2 = 3
Elip
có

,
,
.
( E ) 2c = 6
( E)
Tiêu cự của elip
là
nên khẳng định “
có tiêu cự bằng 3” là khẳng định sai.

( E) :
Câu 3.

x2 y 2
+
=1
25 9

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip
. Tiêu cự của (E) bằng
A. 10.
B. 16.
C. 4.
D. 8.
Lời giải
Chọn D
x2 y2
+
= 1 ( a > 0, b > 0 )
a 2 b2

Phương trình chính tắc của elip có dạng:
.
a = 5
⇒ c = a2 − b2 = 4

b
=
3

Do đó elip (E) có
.
2c = 8
Tiêu cự của elip (E) bằng
.
1


Câu 4.

Câu 5.

80
6
Một elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là , độ dài tiêu cự là . Tâm sai của elip đó là
4
3
3
4
e=
e=

e=
e=
5
4
5
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
a.b = 20 ( 1)
2a.2b = 80
Diện tích hình chữ nhật cơ sở là
, suy ra
.
2
2
2
2c = 6 ⇒ c = 3 ⇒ a − b = c = 9 ( 2 )
Lại có
.
20
( 1) ⇒ b =
( 2)

a
Từ
, thay vào
ta được:
400
a 2 − 2 = 9 ⇒ a 4 − 9a 2 − 400 = 0
⇔ a 2 = 25 ⇒ a = 5
a
.
3
e=
5
Do đó tâm sai
.
Cho elip
2 5
A.
.

( E ) : 4x2 + 5y2 = 20

. Diện tích hình chữ nhật cơ sở của
8 5
80
B.
.
C.
.
Lời giải

( E)

là
D.

40

.

Chọn C

( E ) : 4x2 + 5y2 = 20 ⇔
Độ dài trục lớn:
Độ dài trục bé:

x2 y2
+
=1
5 4

2a = 2 5

.
2b = 2.2 = 4

.

Diện tích hình chữ nhật cơ sở của

Câu 6.

Câu 7.

( E)

là:

2 5.4 = 8 5

.

x2 y 2
+
=1
16 7

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Đường elip
3
9
6
A. .
B. .
C. .
Lời giải
Chọn C
a 2 = 16 b 2 = 7
c2 = a 2 − b2 = 9 ⇒ c = 3
□ Ta có:
,
nên

.
2c = 6
□ Tiêu cự của elip là
.

Cho elip có phương trình chính tắc
2
1
3
2
A.
.
B. .

x2 y 2
+
=1
4
1

2

có tiêu cự bằng
18
D. .

. Tính tâm sai của elip.
1
3
4

2
C. .
D.
.


Lời giải
Chọn D
a 2 = 4 ⇒ a = 2; b 2 = 1 ⇒ b = 1; c 2 = a 2 − b 2 = 3 ⇒ c = 3
Ta có
c
3
e= =
a
2
Tâm sai của elip là
Câu 8.

Oxy
(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho elip
2
2
x
y
( E) : 2 + 2 =1
F1 , F2
( E)
a>b>0
a

b
(với
) có
là các tiêu điểm và M là một điểm di động trên
.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
2
( MF1 − MF2 ) = 4 b 2 − OM 2 .
MF1 + MF2 = 2b
A.
.
B.
2
2
OM − MF1.MF2 = a − b 2
MF1.MF2 + OM 2 = a 2 + b 2
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
cx
cx
c2 x2
2
MF1 = a + ; MF2 = a − ⇒ MF1.MF2 = a − 2
a
a

a
.
2
2
x
y
M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇒ 2 + 2 = 1
a
b
2
 x 
 x2 
b2 x 2
⇒ y 2 = b 2 1 − 2 ÷ ⇒ OM 2 = x 2 + y 2 = x 2 + b 2 1 − 2 ÷ = x 2 + b 2 − 2
a
 a 
 a 

(

MF1.MF2 + OM 2 = a 2 −
= a 2 + b2 + x 2 −

(b

2

 c2 x 2 b2 x 2 
c2 x2
b2 x2

2
2
2
2
2
+
x
+
b
−
=
a
+
b
+
x
−
 2 + 2 ÷
a2
a2
a 
 a

+ c2 ) x2
a2

MF1.MF2 + OM = a + b + x
2

Vì

Câu 9.

a 2 = b2 + c 2

)

2

2

nên
Oxy,

( E)

2

(b
−

2

+ c2 ) x2
a2

= a 2 + b2 + x2 −

F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 )

a2 x2

= a 2 + b2
2
a

Trong hệ trục
cho Elip
có các tiêu điểm
và một điểm
( E)
( E) .
MF1F2
trên
. Biết rằng chu vi của tam giác
bằng 18. Xác định tâm sai e của
4
4
4
4
e=
e=
e=−
e=
5
18
5
9
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
F1 ( −4;0 ) ⇒ c = 4
Ta có
.

3

M

nằm


P∆MF1F2 = MF1 + MF2 + F1 F2
1 4 2 43
2a

⇔ 18 = 2a + 2c ⇔ 18 = 2a + 8 ⇔ a = 5.
e=
Tâm sai

Câu 10.

Cho Elip
A.

10

c 4
=
a 5

( E)

.

A ( −3;0 )

đi qua điểm

.

B.

5
3

e=

và có tâm sai

5
6

. Tiêu cự của

5
C. .
Lời giải

.

( E)

D.

là
10
3

.

Chọn C

Gọi phương trình chính tắc của

Vì

( E)

Lại có

A ( −3;0 )

( E)

x2
là
9
2

a2

+

y2
b2

=1
với

a>b>0

.

= 1 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3

a
đi qua điểm
nên
c 5
5a 5
e= = ⇒c=
= ⇒ 2c = 5
a 6
6 2

.
.

DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP
Câu 11.

Trong mặt phẳng
x2 y 2
+
=1
2
3
A.
.

Oxy

, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?
x2 y2
x2 y 2
x y
−
=1
+
=1
+ =1
9 8
9 8
9

1
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn D

Phương trình chính tắc của elip có dạng

Câu 12.

x2 y 2
+
= 1, ( a > b > 0 )
a2 b2

Phương trình chính tắc của đường elip với
x2 y2
x2 y 2
−
=1
+
=1
16 9
9 16
A.

.
B.
.
Chọn C

( E) :
Phương trình chính tắc

x2 y 2
+
=1
16 9

.

4

a =4 b=3
,
là
2
x
y2
+
=1
16 9
C.
.
Lời giải

nên chọn phương án

D.

D

x2 y 2
+
=1
9 16

.

.


A1 ( −5; 0 )

Oxy

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Trong mặt phẳng tọa độ
, viết phương trình chính tắc của elip biết một đỉnh là
F2 ( 2; 0 )
và một tiêu điểm là

.
2
2
x
y
x2 y 2
x2 y2
x2 y2
+ =1
+ =1
+ =1
+ =1
25 21
25 4
29 25
25 29
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
a = 5; c = 2 ⇒ b 2 = 25 − 4 = 21
Ta có
x2 y 2
+ =1

25 21
Vậy
.

A ( 0; 6 )

4 10

Tìm phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng
và đi qua điểm
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x2 y 2
+
=1
+
=1
+
=1
+

=1
40 12
160 36
160 32
40 36
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
x 2) y 2
+
= 1(a > b > 0)
a 2 b2
Ta có phương trình chính tắc Elip (E) có dạng
.
2a = 4 10 ⇒ a = 2 10
Theo giả thiết ta có
.
2
6
=1
A ( 0;6 )
⇒b=6
b2

Mặt khác (E) đi qua
nên ta có
.
2
2
x
y
+
=1
40 36
Vậy phương trình chính tắc của (E) là:

B
Lập phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm
và có tâm sai
2
2
2
2
x
y
x
y
x2 y 2
+
=1
+
=1
+
=1

9
4
3
2
9
2
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn A
x2 y2
+
= 1, ( a > b > 0 )
a 2 b2
Phương trình chính tắc của Elip có dạng:
.
2
2
0 2
+ 2 = 1 ⇔ b2 = 4
2
a
b
B
Elip đi qua điểm
nên

.
5
c
5
5
e=
⇔ =
⇔c=
a
3
a 3
3
Tâm sai
.
5

e=

5
3

D.

.
x2 y 2
+
=1
9
3

:


2

 5 
a = b + c ⇔ a = 4 + 
a÷
⇔ a2 = 9
÷
 3 
2

2

2

2

.
x2 y 2
+
=1
9
4

Vậy phương trình chính tắc của Elip cần tìm là
Câu 16.

Phương trình chính tắc của Elip có đỉnh

x2 y 2
x2 y2
+
=1
+
=1
8
9
9
8
A.
.
B.
.
Chọn B

( −3; 0 )

( −3;0 )

và một tiêu điểm là
x2 y 2
+
=1
1
9
C.
.
Lời giải

⇒a=3

Elip có đỉnh
và một tiêu điểm
2
2
2
2
2
c = a − b ⇔ b = a − c2 = 9 −1 = 8
Ta có
.
2
2
x
y
( E) : + =1
9
8
Vậy phương trình
.
Câu 17.

( 1; 0 )

⇒ c =1

( 1;0 )

D.

là
x2 y 2
+
=1
9
1

.

.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu
6
10
cự bằng và trục lớn bằng .
x2 y2
x2 y2
x2
y2
x2 y 2
+
= 1.
+
= 1.
+
= 1.
+
= 1.
25 9

16 25
100 81
25 16
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
x2 y 2
+
= 1.
a 2 b2
Phương trình chính tắc của elip:
2a = 10 ⇔ a = 5
Độ dài trục lớn
2c = 6 ⇔ c = 3
Tiêu cự
Ta có:

a 2 = b 2 + c 2 ⇔ b 2 = a 2 − c 2 = 16

Vậy phương trình chính tắc của elip là
Câu 18.

.

x2 y2
+
= 1.

25 16

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho elip
độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng

( E)

trình của
?
2
2
x
y
−
=1
12 3
A.
.

B.

6

( E)

có độ dài trục lớn gấp hai lần

. Viết phương

x2 y2

+
=1
12 3

x2 y 2
+
=1
3 12

.

C.
Lời giải:

Chọn B
6

.

D.

x2 y2
+
=1
48 12

.


Ta có:

Mà

a = 2b, 2c = 6 ⇒ c = 3.

b 2 = 3
a 2 − b 2 = c 2 ⇒ 4b 2 − b 2 = 9 ⇒  2
a = 12

Vậy phương trình
Câu 19.

Câu 20.

( E)

:

x2 y 2
+
=1
12 3

.

8
6
Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng , độ dài trục nhỏ bằng là:
x2 y 2
x2 y 2

x2 y 2
x2 y 2
+
=1
+
=1
+
=1
+
=1
9 16
64 36
8
6
16 9
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn
D.
x2 y2
+
= 1, a > b > 0.
a 2 b2
+ Phương trình Elip dạng:

8 = 2a ⇒ a = 4
+ Do có độ dài trục lớn bằng
6 = 2b ⇒ a = 3
+ Do có độ dài trục nhỏ bằng
x2 y 2
+
=1
16 9
+ Suy ra phương trình là
Vậy chọn D

Elip có một tiêu điểm
chính tắc của elip là:

A.

x2 y2
+ = 1.
9
5

F ( - 2;0)

B.

và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng

x2 y2
+ =1.
45 16

x2
y2
+ = 1.
144 5

C.
Lời giải:

12 5

D.

. Phương trình

x2 y2
+ = 1.
36 20

Chọn A

Gọi (E) có dạng

x2 y2
+ = 1 ( a >b >0 )
a2 b2

Theo giả thiết ta có:

Vậy (E) cần tìm là

Câu 21.

ìï ab = 3 5
ïí
Û
ïï a2 - b2 = 4
ỵ

x2 y2
+ = 1.
9
5

ìï a2 = 9
ïí
2
ỵïï b = 5

.

Oxy
Trong mặt phẳng
, viết phương trình chính tắc của elip
 3 4 
M
;
÷
F1 , F2
 5 5
M

và
nhìn hai tiêu điểm
dưới một góc vng.
7

( E)

biết

( E)

đi qua


( E) :
A.

x2 y 2
+
=1
4 9

( E) :
.

B.

x2 y2
+
=1

9
4

( E) :
.

C.

x2 y 2
+
=1
2
3

( E) :
.

D.

x2 y 2
+
=1
3
2

.

Lời giải
Chọn B

Gọi

x2 y2
( E) : 2 + 2 =1
a
b

Ta có:
Vì

( E)

đi qua

.
 3 4 
M
;
÷
 5 5

nên:

9
16
+ 2 =1
2
⇔ 16a 2 + 9b 2 = 5a 2b 2
5a 5b
OM =

F1 , F2

M

nhìn hai tiêu điểm
dưới một góc vng nên:
9 16
⇔ + = c2
⇔ OM 2 = c 2
⇔ a 2 − b2 = c2 = 5 ⇔ a 2 = 5 + b2
5 5

16 ( 5 + b ) + 9b = 5 ( 5 + b ) b ⇔ b 4 = 16 ⇒ b 2 = 4
2

( E) :
Vậy:

2

2

2

2

nên

a2 = 9

F1 F2
=c
2

thế vào

.

( 1)

.

( 1)

ta được:

.

2

x
y
+
=1
9
4

.

DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC
(E) :
Câu 22.

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho Elip
( E ).
M
Nếu điểm
có hồnh độ bằng 1 thì các
khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm của (E) bằng:
3,5
4,5
A.
và
.
Lời giải
Chọn A

Giả sử phương trình
a = 4
⇒
c = 2

B.

4± 2

3
C. và 5.

.

x2 y 2
( E ) : 2 + 2 = 1 (a > b > 0)
a
b

Ta có :

x2 y 2
+
=1
16 12

4±

D.

A.
8

2
2

M

.

 a 2 = 16 a = 4
⇒ 2

 2
2
2
b = 12 c = a − b = 4

F1 , F2
( E ) M ( 1; yM ) ∈ ( E )
Gọi
lần lượt là hai tiêu điểm của Elip
,
, ta có :
c
1

 MF1 = a + a xM = 4 + 2 .1 = 4,5

 MF = a − c x = 4 − 1 .1 = 3,5
M
 2
a
2
Chọn

và điểm

nằm trên


Câu 23.

x2 y2
( E) : + =1
25 9

Oxy

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho elip
·F MF = 900.
MF1 F2 .
1
2
Tìm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
A.

2

Gọi

B.

M ( x; y )

vì

M ∈( E) ⇒
Do

4

1
C. .
Lờigiải

.

. Điểm

D.

·
F1MF2 = 900 ⇒ MF12 + MF22 = F1F22 ⇔ x 2 + y 2 = c 2 = 16
2

M ∈( E)

1
2

sao cho

.

(1)

2

x
y
+

=1
25 9

(2)
x2 =

175 2 81
5 7
9
;y =
⇔ x=±
;y=
16
16
4
4

Giải hệ gồm hai phuơng trình (1) và (2) ta đuợc
MF1 + MF2 + F1F2 2a + 2c
p=
=
= a+c = 9
2
2
Ta có: nửa chu vi
9
d ( M ;O x ) = yM =
4
Khoảng các từ M đến trục Ox:
1

S∆MF1F2 = d ( M ; Ox ) .F1F2 = 9
2
r=
Bán kính đuờng trịn nội tiếp:
Câu 24.

S
=1
p

60m
Ơng Hồng có một mảnh vườn hình Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là
và
30m
. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường trịn tiếp xúc trong với Elip để làm
mục đích sử dụng khác nhau (xem hình vẽ). Nửa bên trong đường trịn ơng trồng cây lâu năm,
nửa bên ngồi đường trịn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu
S = π ab
năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích hình Elip được tính theo cơng thức
,
với a, b lần lượt là nửa độ dài trục lớn và nửa độ dài trục nhỏ. Biết độ rộng của đường Elip là
không đáng kể.

T=

A.

2
3

T=

.

B.

3
2

T=

.

1
2

C.
.
Hướng dẫn giải

Chọn D
9

D.

T =1

.

S( E ) = π .a.b = 30.15.π = 450π , ( m 2 )

( E)

Theo đề ta có: Diện tích
là:
Vì đường trịn tiếp xúc trong, nên sẽ tiếp xúc tại đỉnh của trục nhỏ, suy ra bán kính đường tròn:
S( C ) = π .R 2 = 152.π = 225π , ( m2 )
( C)
R = 15m
. Diện tích hình trịn
phần trồng cây lâu năm là:
S = S( E ) − S( C ) = 225π , ( m 2 ) ⇒ T = 1
Suy ra diện tích phần trồng hoa màu là:
.
Câu 25.

( C1 ) , ( C2 )
Oxy
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
, cho hai đường trịn
có phương trình lần
2
2
2
2
( E)
( x + 1) + ( y + 2) = 9, ( x − 2) + ( y − 2) = 4
lượt là
và Elip

có phương trình
2
2
( C)
( E)
16 x + 49 y = 1
. Có bao nhiêu đường trịn
có bán kính gấp đơi độ dài trục lớn của elip
C
C
C
( )
( 1) ( 2 )
và
tiếp xúc với hai đường tròn
,
?
3
2
1
4
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn A

16 x + 49 y = 1 ⇔
2

Ta có

2

x2
2

1
 ÷
4

+

y2
2

1
 ÷
7

=1
⇒ ( E)

1 1
2a = 2. =
4 2

có độ dài trục lớn
.

I
a
;
b
C
( )
( )
R =1
Khi đó đường trịn
có bán kính là
. Gọi
là tâm của đường tròn
.
 II1 = R + R1 = 1 + 3 = 4

 II 2 = R + R2 = 1 + 2 = 3
I I = R + R = 5
∆II1 I 2
⇒ ∆II1 I 2
1 2
1
2
I
Xét uur có
vng
tại
.
uur
II1 = ( −1 − a; −2 − b ) II 2 = ( 2 − a; 2 − b )
I

Ta có
,
. Khi đó điểm thỏa mãn:
uur uur
2
2
( −1 − a ) ( 2 − a ) + ( −2 − b ) ( 2 − b ) = 0
 II1.II 2 = 0
 a + b − a − 6 = 0
⇔
⇔
 uur
2
2
 2
2
( 2 − a ) + ( 2 − b ) = 9
 a + b − 4a − 4b − 1 = 0
 II 2 = 3

( C)

 5 − 4b  2 2
5 − 4b
a + b = 6 + a
+b −6−
=0
2
2



÷
a + b = 6 + a

 3 
3
⇔
⇔
⇔
5 − 4b
6 + a − 4a − 4b − 1 = 0
a =
 a = 5 − 4b
3


3
2

2

10


  a = −1
 b = 2

2



 b = 2
25b − 28b − 44 = 0
22
 b = −


71
⇔
⇔ 
5 − 4b
25 ⇔   a =
25
a =

 
3

a = 5 − 4b

22
3

 b = −
25

Vậy có hai phương trình đường trịn

( C)

.

thỏa mãn u cầu bài tốn là
2

( C ) : ( x + 1)

Câu 26.

2

+ ( y − 2) = 1

Trong mặt phẳng

2

Oxy

hoặc

2

71
22
( C ) :  x − ÷ +  y + ÷ = 1
25  
25 


, cho điểm

C (3; 0)

(E) :

.

x2 y 2
+
=1
A, B
(E)
9
1
2
.
là điểm thuộc

và elip
a c 3
A  ;
÷
÷
2 2 
a+c
VABC
A
sao cho
đều, biết tọa độ của
và có tung độ âm. Khi đó

bằng:
0
2
−2
−4
A. .
B. .
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A

C (3;0)
(E) ⇒
A, B
VABC
Nhận xét: Điểm
là đỉnh của elip
điều kiện cần để
đều đó là
đối xứng
∆ : x = x0
A, B
(E)
Ox
Nhau qua
.Suy ra
là giao điểm của đường thẳng

và elip
.
1

2
y = − 3 9− x
⇒
x2 y 2
 y = 1 9 − x2
(E) : +
=1

3
9
1
+) Ta có elip
.
1


A  x0 ; − 9 − x02 ÷
x0 < 3
3


A
+) Theo giả thiết
có tung độ âm nên tọa độ của
(điều kiện
A≠C

do
)

11


+) Ta có

+)

1
AC = (3 − x0 )2 + (9 − x02 )
9

VABC

⇔ d ( C ;∆ ) =
đều

⇔ (3 − x0 ) 2 =

và

d ( C ;∆ ) =| 3 − x0 |

3
1
3
(3 − x0 ) 2 + ( 9 − x02 )
AC ⇔| 3 − x0 |=

2
9
2

3
1

(3 − x0 )2 + (9 − x02 ) 

4
9


3

x0 = (t / m)
1 2 3
3

⇔ x0 − x0 + = 0 ⇔
2

3
2
2
 x0 = 3( L )
3
3  a = 3
⇒ A  ; −
÷

÷⇒ c = −1 ⇒ a + c = 2
2
2

 

12

.