2 cach giai C5 V2 chuyen HVPhu Tho

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Câu 5:</b>

Cho x.y.z là các số không âm thỏa mãn

3
2
<i>x y z</i>  

.Tìm giá trị nhỏ nhất
S= x3_+y3_+z3_+x2_y2_z2

Hướng dẫn

Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy

Dãy 1 <i>x x y y z z</i>; ; dãy 2 <i>x</i>; <i>y</i>; <i>z</i> Ta có

3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2

3 2

( ) ( ) ( ) (*)

2 <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>  <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>  <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 3 <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Ta chứng minh BĐT

( )( )( )(*)

<i>xyz</i> <i>x y z x z y y z x</i>     

Vế trái không âm nếu vế phải có 3 thừa số hoặc 1 thừa số âm thì BĐT (*) đúng

Vế phải có 2 thừa số âm giả sử <i>x y z</i>  0 &<i>x z y</i>   0 2<i>x</i> 0 <i>x</i>0_{trái GT}
Trường hợp cả ba thừa số đương áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có

2
2

( )( ) (1)

2

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>y</i>
<i>x</i><i>y</i> <i>z x</i><i>z</i> <i>y</i> _      _ <i>x</i>

 

tương tự

2
2

( )( ) (2)

2

<i>z y x x z y</i>
<i>z y x x z y</i>    _      _ <i>z</i>

 

2

2

( )( ) (3)

2

<i>x y z y z x</i>

<i>x y z z y x</i>    _      _ <i>y</i>

 

Từ (1) (2) (3) BĐT (*) được chứng minh
Áp dụng BĐT (*) ta có













2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 3

( )( )( ) 2 2 2

2 2 2

27 9

6 8

8 2

27 3

9 3 (**)

8 8 3

<i>xyz</i> <i>x y z x z y y z x</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x y z</i> <i>xy yz xz</i> <i>xyz</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>xyz</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x y z</i>

     

        _  _{ }  _{ }  _

     

       

   

      _  _

 

Mặt khác Bunhia cho x; y; z và 1;1;1; ta có
2

2 2 2 ( ) 3_(***)

3 4

<i>x y z</i>
<i>t</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>    

Từ (*) , (**) , (***)ta có

2 ₂ ₂ ₂

2

2 3 2 9 7 7 1 25 3 7 1 25 25

3 8 3 3 9 4 64 9 12 3 4 64 4 9 3 64 64

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>S</i> <i>t</i> _  _          _<i>t</i>  _{ }  _ 

     

25

3

1

( )

64

4

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Câu 5</b> (1,0 điểm)

Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn

3

x y z .

2

  

Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức S x 3y3z3x y z .2 2 2

<b>ĐÁP ÁN</b>

Ta có 



2x 1 2y 1

 



 

   2y 1 2z 1

 



 

   2z 1 2x 1

 





  0

Do đó trong 3 số



2x 1 2y 1

 





,



2y 1 2z 1

 





,



2z 1 2x 1

 





có ít nhất một số

khơng âm.

Khơng mất tính tổng quát, giả sử



2y 1 2z 1

 





0









 

1 1

yz 2y 2z 1 1 x 1

4 2

     

- Nếu x 1 _thìS 1 _(doy, z 0 ₎

- Nếu 0 x 1  _thì





2

2 2 1

y z 1 x

4

 

, do đó





 

2

2 2 2 1 2

x y z 1 x .x 2
4

 

Dễ thấy y3z3 yz y z







nên





3 3 1 3

y z 1 x

2 <i>x</i> 2

 

   _  _

 

Do đó





 

3 3 3 3 1 3

x y z x 1 x 3

2 <i>x</i> 2

 

     _  _

 

Khi đó









3 2 2 3 4

1 1

S 4x 2x 5x 3 x 2x x

4 4

      





3 2

1 17 23 25

2x 1 2x 5x x

16 2 4 4

   

 _  _    _ _

 

 



 



2 2

1 25 25

2x 1 2x 3 14 , x.

64   64 64

      

 

Dấu “=” xảy ra

1
x

2

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng

25

64_{khi và chỉ khi}

1

x y z .

2

  

</div>

<!--links-->