Chui ngầm ballistic và shot noisetrong các cấu trúc nano graphene

ð I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG ð I H C KHOA H C T NHIÊN
Khoa V t lý

Sinh viên: Hoàng M nh Ti n

CHUI NG M BALLISTIC VÀ SHOT NOISE
TRONG CÁC C U TRÚC NANO
GRAPHENE

LU N VĂN T T NGHI P H ð I H C CHÍNH QUY
Ngành: V t lý lý thuy t

Hà n i ngày 25 tháng 5 năm 2008


ð I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG ð I H C KHOA H C T NHIÊN
Khoa V t lý

Sinh viên: Hoàng M nh Ti n

CHUI NG M BALLISTIC VÀ SHOT NOISE
TRONG CÁC C U TRÚC NANO
GRAPHENE

LU N VĂN T T NGHI P H ð I H C CHÍNH QUY
Ngành: V t lý lý thuy t

Th y giáo hư ng d n: GS.TSKH. Nguy n Văn Li n

Hà n i ngày 25 tháng 5 năm 2008


Lu n văn t t nghi p

-3Hà N i ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

L i c m ơn
Trư c h t tơi xin đư c bày t lịng bi t ơn và kính tr ng t i th y giáo ñã tr c
ti p hư ng tơi hồn thành lu n văn này, GS.TSKH Nguy n Văn Li n. Th y đã t n tình
ch b o tơi trong q trình h c t p cũng như nghiên c u. Hơn th n a, th y đã t o cho
tơi nh ng đi u ki n t t nh t ñ làm vi c và m t môi trư ng nghiên c u khoa h c hi u
qu . Do đó mà tơi đư c hi u bi t thêm v ho t ñ ng nghiên c u khoa h c và m i quan
h m i ngư i v i nhau khi làm khoa h c.
Tôi xin g i l i c m ơn t i b n Nguy n H i Châu, ngư i b n cùng l p và cùng
th c t p chung v i tơi. B n Châu đã nhi u l n giúp đ tơi trong q trình h a t p cũng
như làm lu n văn.
ð hoàn thành cu n lu n văn này tôi cũng mu n xin l i c m ơn t i các th y cơ,
nh ng ngư i đã tr c ti p gi ng d y và truy n ñ t ki n th c cho tơi trong q trình h c
t p, t i nh ng ngư i b n ñã giúp đ , đ ng viên tơi trong nh ng lúc khó khăn.
Cu i cùng tơi xin bày t t m lịng t i b m và em trai Hồng M nh Hùng,
nh ng ngư i ñã h t s c t o ñi u ki n và ñ ng viên tơi, đ c bi t trong q trình làm
lu n văn .
Sv. Hoàng M nh Ti n

Luận văn tốt nghiệp

0

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

M ð U.................................................................................................................................... 2
Chương 1. T ng quan v Graphene ........................................................................................ 4
1.1 Gi i thi u ......................................................................................................................... 4
1.2 C u t o m ng Graphene ................................................................................................ 5
1.3. C u trúc vùng năng lư ng ............................................................................................ 6
Chương 2. Phương trình mơ t electron trong Graphene................................................... 12
và phương pháp T_matrix ..................................................................................................... 12
2.1. T phương trình Srodinger t i phương trình ðirac ................................................ 12
2.2 L i gi i c a phương trình t a ðirac 2 chi u.............................................................. 13
2.3 Phương pháp T_matrix ................................................................................................ 17
Chương 3. Hi n tư ng truy n và shot noise trong các h Graphene ................................. 22
3.1 Các công th c ................................................................................................................ 22
3.2 H Graphene m t b th (H8) ..................................................................................... 26
3.4 Quantum dot Graphene ............................................................................................... 33
K t lu n.................................................................................................................................... 40
Tài li u tham kh o .................................................................................................................. 41

Luận văn tốt nghiệp

1

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

M

ð U

Graphene là m t v t li u m i, ñư c ch t o thành cơng l n đ u tiên b ng th c
nghi m vào năm 2004 [4]. Vi t Nam, h u như chưa có ai nghiên c u v v t li u m i
này nên m i ngư i v n còn xa l khi nh c t i Graphene. Trên th gi i, trong vịng m y
năm tr l i đây có r t nhi u nghiên c u c v lý thuy t cũng như th c nghi m. ði u đó
đư c th hi n b ng s lư ng các bài báo trên các t p chí l n v V t Lý như Applied
Physics Letters, Physical Review Letters, Physical Review, Modern Physics…
T i sao các nhà khoa h c trên th gi i l i thích thú trong vi c nghiên c u
Graphene? Th nh t, Graphene có r t nhi u tính ch t đ c bi t khác bi t so v i các v t
li u thông thư ng, trong đó ph i k t i tính ch t các electron t i các ñi m ðir c trong
Graphene hành x như nh ng h t không kh i lư ng m c dù v n t c c a nó ch vào c
1/300 v n t c ánh sáng. Chính đi u đ c bi t đó kéo theo r t nhi u tính ch t lý thú c a
Graphene và thu hút s quan tâm c a nhi u nhà khoa h c trên th gi i. Th hai, do kh
năng truy n d n r t t t c a Graphene (m t ph n do n ng đ electron trong đó r t l n
ne ≈ 4.1015 cm −2 ) , ñ c bi t là truy n spin, các nhà khoa h c đang kì v ng r ng s ch t o

ñư c các linh ki n ñi n t , transitor, quantum dot b ng Graphene thay th cho các linh
ki n bán d n hi n nay và m k nguyên công ngh m i: K nguyên Cacbon thay cho

k nguyên Silic c a th k 20.
ð mô t chuy n ñ ng c a electron trong Graphene (thư ng g i là các electron
ðirac), chúng ta không th dùng phương trình Srodinger mà ph i dùng phương trình
t u ðir c. B ng cách gi i phương trình t u ðir c cho h 1 chi u, A. Calageracos và
N.Dombey [5] đã gi i thích đư c ngh ch lý Klein (Klei paradox). ðó là: khi t i v i
phương vng góc v i b th , electron ðirac có xác su t chui ng m b ng 1 b t ch p ñ
cao hay b dày c a b th là bao nhiêu. Cũng trong năm 2006, M.I. Katsnelson [6] đã
tính h s truy n qua cho h 1 b th b ng cách gi i phương trình ðir c cho h
Graphene. Trong năm 2007, J.Miton Pereira. Js [9] đã tính đ d n (conductance) cho

Luận văn tốt nghiệp

2

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

h 1,2 b th và ơng cịn kh o sát s giam c m c a electron trong gi ng th t o b i
Graphene (Graphehe quantum well) [8]. D.Dragoman [7] ñã v ñư c ñư ng ñ c trưng
Vol-Ampe cho h m t b th , t đó ơng suy ra r ng trong Graphen, h 1 b th ñã xu t
hi n ñi n tr vi phân âm. Rui Zhu và Yong Guo [10] ñã nghiên c u m t cách k lư ng
v h hai b th ñ i x ng (h s truy n, conductance, shot noise, h s fano). Ngồi ra
Chunxu Bai [11] đã nghiên c u h s truy n trong trư ng h p siêu m ng ñ i x ng.
Trong [13] K.B. Efetov ñã áp d ng đi u kiên biên đ tính đ d n (conductance) cho h
quantum dot Graphene.
Như trên ta ñã th y các h Graphene ñã ñư c nghiên c u r t nhi u và trong lu n

văn này tôi cũng mu n nghiên c u v các v n đ đó. Bư c đ u tơi đã nghiên c u v
tính ch t truy n ballistics và shot noise qua các h Graphene như h 1, 2 b th và
quantum dot Graphene. ðây ñ u là nh ng v n ñ th i s ñư c các nhà v t lý trên th
gi i quan tâm và nghiên c u. Nghiên c u tính ch t truy n, mà c th là tính ch t đi n
c a Graphene s cho chúng ta bi t kh năng có th dùng nó làm transitor hay các linh
ki n đi n t đư c khơng? Và m t đi u n a là t i sao chúng ta l i nghiên c u shot
noise, nó có ý nghĩa gì? Noise t c là nhi u, noise cho ta bi t thêm thơng tin vào q
trình truy n c a h . Có r t nhi u các lo i noise khác nhau. Trong h lư ng t c a ta thì
noise có nh hư ng ch y u là shot noise. Noise nhi t (nh ng thăng giáng do chuy n
đ ng nhi t c a các h t) có th ñư c làm gi m b ng cách h th p nhi t ñ . Noise 1/f
(ch y u do va ch m c a h t t i v i tâm t p) khơng làm thay đ i pha và năng lư ng
c a h t t i nên nó khơng cho nhi u thơng tin v q trình truy n. Trong đó shot noise
liên quan t i s lư ng t hóa c a các h t t i nên nó s đóng m t vai trị r t quan tr ng
trong các h lư ng t c a ta. Thông thư ng chúng ta thư ng tính h s Fano, t c là
chúng ta so sánh shot noise v i noise Poisson (Noise Poisson là noise trong trư ng h p
h t t i chuy n đ ng ballistic khơng có va ch m).

Luận văn tốt nghiệp

3

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

Chương 1. T ng quan v Graphene
1.1 Gi i thi u

Cacbon là v t li u kh i ngu n cho s s ng trên Trái ñ t và là thành ph n cơ b n
c a t t c các h p ch t h u cơ. Do tính linh đ ng c a các nguyên t cácbon trong kh
năng t o thành liên k t, các h p ch t cácbon đa d ng c v lo i và tính ch t. Các
nguyên t cácbon có th liên k t v i các nguyên t khác như Hidro, Oxi hay cũng có
th liên k t tr c ti p v i nhau t o thành các m ng nguyên t Cacbon. Trong các d ng
thù hình đó ph i k ñ n Graphene, m t l p ñơn nguyên t cácbon 2 chi u có d ng hình
t ong (H1), đóng m t vai trị vơ cùng quan tr ng trong vi c t o thành các d ng thù
hình khác c a Cácbon. T p h p nhi u l p Graphene x p ch ng lên nhau s t o ra v t
li u Graphite (than chì) 3 chi u. M t t m Graphene mà cu n l i s t o thành m t ng
nano cácbon 1 chi u hay t o thành qu c u cácbon khơng chi u (Fullerene) [3].

Hình 1. M t s d ng thù hình c a Cacbon:
Graphene, Graphite, nanotube, Fulerence
(Qu c u C60)

Luận văn tốt nghiệp

4

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

ði u ñ c bi t là Graphene có th d dàng ñư c t o ra trong khi vi t hay v b ng
bút chì. Khi l y bút chì v ch lên gi y, chúng ta đã vơ tình t o ra ñư c các l p
Graphene, và trong s ñó s có nh ng ch ch là m t l p Graphene riêng bi t. M c dù
bút chì ñã ñư c khám phá ra vài trăm năm trư c (1600) nhưng mà mãi t i t n năm

2004, m t nhà v t lý ngư i Anh (University of Manchester) m i tách ra ñư c m t l p
cácbon riêng bi t, g i là Graphene, b ng th c nghi m ñ quan sát và nghiên c u.
Nguyên nhân nào mà mãi t i năm 2004 m i phát hi n ra Graphene? Th nh t, trư c
đó khơng m t ai có th ng r ng m t l p đơn ngun t có th t n t i b n v ng tr ng
thái t do trên n n ñ c a m t v t li u khác. Th hai, trư c đó chưa có b t kì máy móc
hay thi t b nào có th xác đ nh s t n t i c a m t l p ñơn nguyên t cácbon [3]. Chính
đi u đó mà mãi g n đây ngư i ta m i bi t ñư c s t n t i c a Graphene và nghiên c u
đư c v nó.

1.2 C u t o m ng Graphene
Các bon là nguyên t
t là 1s 2 2s 2 2 p 2 . Tuy nhiên,

v trí th 6 trong b ng tu n hồn, có c u hình v ngun
đây đã có s kích thích lên tr ng thái 1s 2 2s1 2 p 3 ñ l p v

p ñ t t i tr ng thái bán bão hòa. Ti p đó có s lai hóa sp 2 đ t o thành 3 liên k t σ b n
v ng và m t liên k t π . Trong ñó liên k t π kém b n hơn và vng góc v i ba liên k t
kia. Do đó tồn b các electron π đ u
tham gia vào d n và có nh hư ng
quy t đ nh đ n các tính ch t đ c trưng
c a Graphene.

M t vài thông s
Graphene [4]:

c a m ng

Luận văn tốt nghiệp

5

Hình 2. C u trúc m ng Graphen
và vùng Bruiluin th nh t

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

o

H ng s m ng : a = 3acc = 2, 46 A
Véc tơ cơ s : a1 = a(

3 1
3 1
; ) ; a2 = a ( ; − )
2 2
2
2

Véc tơ m ng ñ o: b1 =

2π 1
2π 1
( ;1) ; b2 =
( ; −1)

a
a
3
3

Như đã nói t i trên, Graphene là m t l p ñơn nguyên t các bon có c u trúc m ng
hình t ong. Ta th y, m ng bravai này th c ch t là hai mang tam giác l ng vào nhau. Do ñó
vector cơ c a m ng là a1và a 2 , m i ơ ngun t có 2 ngun t là A và B. T đó ta v đư c
vùng Bruiluin th nh t như trên hình 2.

'
đây ta chú ý t i 4 ñi m ñ i x ng là Γ , M, K và K

'

trong đó hai đi m K và K là khơng hồn tồn đ i x ng.(Tuy nhiên trong các bài toán c a ta
thi ta có th coi hai đi m này là đ i x ng, ch khi xét bài tốn có t trư ng ngồi, tương tác
spin… thì m i c n phân bi t hai ñi m này)

1.3. C u trúc vùng năng lư ng
Khi xem xét m t v t li u m i thì vi c đ u tiên c n làm là đi tìm c u trúc vùng
năng lư ng c a v t li u đó. T c u trúc vùng năng lư ng chúng ta có th bi t đư c ch t
đó là kim lo i, bán d n, hay đi n mơi, ngồi ra chúng ta có th tinh đốn m t s tính
ch t c a nó và tính đư c m t s ñ i lư ng như kh i lư ng hi u d ng ch ng h n.
ð tìm c u trúc vùng năng lư ng c a m t m ng tinh th ngư i ta thư ng dùng
hai phương pháp là:
1. Phương pháp chính xác: ab-initio (hay cịn g i là first principle). N i dung
ch y u c a phương pháp này là tính chính xác c u trúc vùng năng lư ng cho

Luận văn tốt nghiệp

6

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hồng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

h có t vài t i vài trăm nguyên t b ng cách mơ ph ng thơng qua máy tính.
ð c đi m c a phương pháp này là s chính xác tuy t ñ i nhưng mà như c
ñi m c a nó là khơng th th c hi n đư c v i h có nhi u nguyên t . Mà trên
th c t m t m ng ma ta nghiên c u có r t nhi u nguyên t nên khơng th ch
dùng phương pháp này đư c.
2. Phương pháp tính g n đúng: Tight-binding (g n đúng liên k t m nh). ðây là
m t phương pháp cơ b n trong v t lý ch t r n.
Hi n nay ngư i ta ñã k t h p ñ ng th i c hai phương pháp này và cho k t qu
r t t t. T c là lúc đ u tính b ng ab-initio cho h ít ngun t , dùng đó là đi u ki n ban
đ u cho phương pháp Tight-binding.
Trong khn kh nghiên c u đây, tơi xin trình bày phương pháp Tight-binding
và so sánh k t qu v i phương pháp ab-initio.
Hàm sóng c a electron trong g n ñúng liên k t m nh (tight binding) đư c tìm
dư i d ng [4]:
ψ = C Aϕ A + CBϕ B

(1.1)

Trong đó:
ϕ A ( k ,r ) =

ϕ B ( k ,r ) =

1
N0

∑e

1
N0

∑e

ik R

pz ( r − R A − R )

R

(1.2)
ik R

pz ( r − R B − R )

R

V i pz ( r ) là hàm nút nguyên t trong v t lý ch t r n (orbital pz ( r ) c a nguyên
t Carbon), N0 là s ô ngun t mà trên đó ta áp d ng đi u ki n biên tu n hoàn
{Bohr-Openheimer}.

Luận văn tốt nghiệp

7

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

Dư i d ng ñơn gi n nh t, năng lư ng c a tr ng thái electron là tr riêng c a
Hamiltonian (Phương pháp LCAO-tr c giao):
H
H =  AA
 H BA

H AB 

H BB 

(1.3)

Trong đó:
H AA = 1 / N0 ∑ ei k( R' − R ) pz A,R Η pz A,R'
R ,R'

(1.4)

H AB = 1 / N0 ∑ ei k( R' − R ) pz A,R Η pz B ,R'
R ,R'

V i pz A / B ,R = pz ( r − R A / B − R )
Tính tốn đ i v i các m ng vơ h n ( N0 → ∞ ), ta lưu ý r ng trong các bi u th c
trên khi cho m t trong hai ch s ( R,R' ) bi n đ i ta th y t ng có tính ñ i x ng ñ i v i
t t c các v trí khác nhau trên m ng c a ch s kia, do đó có th vi t l i t ng dư i
d ng:
H AA = ∑ ei k R' pz A,0 Η pz A,R'
R'

H AB = ∑ e

i k R'

pz

A,0

Η pz

(1.5)
B ,R'

R'

Khai tri n h th c, gi l i ñ n các lân c n g n nh t ta có:
6

H AA = pz A,0 | H | pz A,0 + ∑ ei k R p pz A,0 | H | pz A,R p
p =1

H AB = pz

A,0

H pz

B ,0

+e

− i k .a1

(1.6)

pz

A,0

H pz

B ,− a1

+e

− i k .a 2

pz

A,0

H pz

B ,− a 2

Trong đó bi u th c c a H AA g m m t s h ng c p không và sáu s h ng c p
m t tương ng v i năng lư ng nút là s xen ph v i sáu nguyên t cùng lo i lân c n

Luận văn tốt nghiệp

8

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

g n nh t, bi u th c c a H AB g m ba s h ng c p m t tương ng v i ba s h ng xen
ph c a ba nguyên t khác lo i lân c n g n nh t.
Ngồi ra ta có H BB = H AA , H AB = H BA∗ .
Như ñã nói v i phương pháp LCAO tr c giao, ta khơng c n tính đ n các s
h ng xen ph c a hàm sóng.
ð t:
α = pz A,0 | H | pz A,0 , β = pz A,0 | H | pz A,R

i

γ = pz A,0 | H | pz B ,0 = pz A,0 | H | pz B ,− a = pz A,0 | H | pz A,− a
1

2

Ta có:
6

H AA = H BB = α + β ∑ ei k Ri
i =1

(1.7)

H AB = H BA* = γ ( 1 + e − i k a 1 + e − i k a2 )

Hamiltonian liên k t m nh như v y có th chéo hóa d dàng k t qu là ta thu
ñư c h th c tán s c dư i d ng:
E±( k ) = α + β f ( k ) ± γ 3 + f ( k )

(1.8)

f ( k ) = 2cos( k.a 1 ) + 2cos( k.a 2 ) + 2cos[ k.( a 2 − a1 )]

(1.9)

Trong đó :

Luận văn tốt nghiệp

9

Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008

Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

Ho c khai tri n theo các t a ñ tr c giao:
f ( k ) = 12(cos

kya
kya
3k x a
cos
+ cos 2
)
2
2
2

(1.10)

Trong ñó α là năng lư ng ion hóa c a electron π trong h Graphene và trong
các bài toán chúng ta có th ch n nó làm g c tính năng lư ng, t c là ch n α = 0 .Các
giá tr khác đã đư c tính tốn c th trong [4] β ≈ −0.1meV , γ ≈ 2.8 meV . Chúng ta có
th so sánh k t qu c a phương pháp g n ñúng liên k t m nh v i phương pháp abinitio (H3)
ñây d u tr mơ t vùng hóa tr cịn d u c ng mơ t vùng d n. dư i vùng
hóa tr là các tr ng thái b l p ñ y b i các electron còn trên vùng d n là hoàn toàn b
tr ng. Hai vùng này ti p xúc v i nhau t i các ñi m là ñ nh c a hình l c giác c a vùng
Brillouin (H4). M t v t li u khi vùng d n và vùng hóa tr ti p xúc v i nhau thì v t li u
đó s là kim lo i, nhưng ñi u ñ c bi t ñây là hai vùng này ch ti p xúc v i nhau t i

t ng ñi m r i r c nên ngư i ta thư ng g i nó là semimental (bán kim lo i). M t ñi u
ñ c bi t hơn n a là t i lân c n nh ng đi m ti p xúc này thì g n như E (năng lư ng c a
electron) t l tuy n tính b c nh t v i véc tơ sóng c a nó. H th c này gi ng như là h
th c c a các h t tương đ i tính khơng có kh i lư ng. Do đó t i các đi m ti p xúc K,K’
(g i là các ñi m ðirac) các electron trong Graphene hành x như nh ng h t tương ñ i
tính có kh i lư ng b ng khơng m c dù v n t c c a electron trong Graphene ch b ng
c 1/300 v n t c ánh sáng. ði u đó giúp các nhà th c nghi m có th quan sát đư c m t
s hi u ng tương đ i tính mà khơng c n t i các máy gia t c c c l n. C th là nó giúp
chúng ta có th ki m tra tr c ti p phương trình ðir c b ng th c nghi m, m t phương
trình v n có nhi u đi m l kì.
Trong phương pháp g n ñúng liên k t m nh, chúng ta ñã b qua s h ng xen
ph c a hàm sóng và ch tính t i s h ng b c nh t nên vùng d n và vùng hóa tr là
hồn tồn đ i x ng v i nhau qua m t Fermi. Tuy nhiên đi u đó là khơng hồn tồn

Luận văn tốt nghiệp

10 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

trùng kh p v i phương pháp ab-initio (H3). M c dù v y trong các tính tốn thơng
thư ng ta v n coi như đ i x ng và phương trình cho electron s có d ng đơn gi n nh t
có th . Ngồi ra do có các nh hư ng nào đó mà có th hai vùng năng lư ng này khơng
hồn tồn ti p xúc v i nhau mà cịn có m t khe năng lư ng nh c vài ch c meV mà ta
có th coi là năng lư ng ngh c a electron trong các phương trình tính tốn.

Hình 3. C u trúc vùng năng lư ng

tính b ng phương pháp ab-initio và
phương pháp g n ñúng liên k t m nh

Luận văn tốt nghiệp

Hình 4. C u trúc vùng năng lư ng
c a v dư i d ng không gian

11 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

Chương 2. Phương trình mơ t electron trong Graphene
và phương pháp T_matrix
2.1. T phương trình Srodinger t i phương trình ðirac
Như đã th o lu n trên, trong Graphen, t i nh ng ñi m ðirac electron hành x
như nh ng h t tương đ i tính có kh i lư ng ngh b ng khơng. Do đó m t đi u hi n
nhiên là chúng ta khơng th mơ t nó b ng phương trình Srodinger như trong cơ h c
lư ng t ñư c. V y m t câu h i ñư c ñ t ra là chuy n ñ ng c a nó tn theo phương
trình nào? Trên th c t , khi xem xét electron t i nh ng đi m g n b m t Fermi thì
ngư i ta thư ng dùng phương pháp g n ñúng kh i lư ng hi u d ng. K t qu phép g n
ñúng kh i lư ng hi u d ng đ i v i Grphene chính là phương trình t a Dirac hai chi u
cho electron trong m ng Graphene.Vi c này ñã ñư c D.P DiVincenzo và E.J.Mele th c
hi n năm 1984 [14] , trong đó hai ơng đã s d ng khai tri n k . p t i lân c n ñi m K.
B ng cách vi t phương trình hàm sóng, thay vào phương trình Srodinger, khai tri n và
gi l i s h ng b c nh t c a k hai ơng đã thu đư c phương trình t a ðirac cho electron
trong Graphen như sau:

( )

H Dψ ( x, y ) =  −ℏ v0 σ .∇ + σ z mv0 2 + U( x, y )ψ ( x, y ) = Eψ ( x, y )



T i vì Graphene là h hai chi u nên phương trình c a ta
trư ng h p hai chi u. Do đó, σ = (σ x , σ y ) và σ x , σ y , σ z

(2.1)

ñây ch vi t cho

ñây là ba ma tr n Pauli,

2
U(x,y) là th bên ngoài ñ t vào còn mvo là năng lư ng ngh c a electron. Tuy nhiên

kh i lư ng m

ñây r t nh nên thư ng ñư c b qua trong nhi u bài tốn. Phương

trình trên có d ng gi ng như phương trình ðirac cho h t tương đ i tính tuy nhiên có
m t đi u khác bi t là trong phương trình ðirac thì v n t c là c (v n t c ánh sáng), còn

Luận văn tốt nghiệp

12 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008

Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

trong phương trình này thì v n t c là v n t c m c Fermi c a electron và nó có giá tr
x p x b ng 1/300 v n t c ánh sang. ði u đó gi i thích t i sao chúng ta ph i dùng thu t
ng “Phương trình t a ðirac”.
Có m t đi u c n chú ý là

trên ch là khai tri n k . p t i đi m K, hồn tồn tương

đương chúng ta có th khai tri n t i đi m K’ và thu đư c k t qu hồn tồn tương t .
Khi đó thì Halmiton c a ta ch là ma tr n 2x2 cịn hàm sóng có hai thành ph n. Tuy
nhiên ñi u này ch ñúng trong trư ng h p ta coi hai ñiêm K và K’ là hồn tồn đ c l p,
khơng có liên h gì v i nhau. Trong trư ng h p chúng có liên quan b t đ i x ng thì
chúng ta ph i vi t hàm Halmiton là ma tr n 4x4 và hàm sóng s có 4 thành ph n (2 ng
v i ñi m K và 2 ng v i ñi m K’).

2.2 L i gi i c a phương trình t a ðirac 2 chi u
Trong bài toán c a ta ch xét trư ng h p là electron ch ch u tác d ng c a th
tĩnh đi n và th này là khơng ñ i trên t ng ño n. Khi ñó phương trình ðirac s có l i
gi i gi i tích chính xác, đ y đ . Ta hãy kh o sát trư ng h p này b ng cách áp d ng
phương trình ðirac trên (2.1):

( )

H Dψ ( x, y ) =  −ℏ v0 σ .∇ + σ z mv0 2 + U( x, y )ψ ( x, y ) = Eψ ( x, y )



0 1

 0 −i 
1 0 
, σz = 

0
 0 −1

Trong đó : σ = (σ x , σ y ) và σ x = 
, σy =
1 0
i

ψ 
Ta vi t hàm sóng dư i d ng hai thành ph n spinnor ψ =  1  và thay vào
ψ 2 

phương trình trên ta thu đư c:

Luận văn tốt nghiệp

13 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

∂ψ 2 ∂ψ 2


2
ℏ v0 ( −i ∂x − ∂y ) + [mv0 + U( x, y )]ψ 1 = Eψ 1


ℏ v ( −i ∂ψ 1 + ∂ψ 1 ) + [-mv 2 + U( x, y )]ψ = Eψ
0
2
2
 0
∂x
∂y


(2.2)

∂ ∂

2
( −i ∂x − ∂y )ψ 2 = [E − U( x, y ) − mv0 ]/ ℏ v0ψ 1


( −i ∂ + ∂ )ψ = [ E − U( x, y ) + mv 2 ]/ ℏ v ψ
1
0
0 2

∂x ∂y


(2.3)

Hay:

ð t các đ i lư ng khơng th

ngun: ε 0 = mv0 2 / ℏ v0 , u( x, y ) = U( x, y ) / ℏ v0 ,

ε = E / ℏ vo , ñ ng th i rút th ψ 2 t phương trình dư i vào phương trình trên ta có:
∂ ∂
1
∂ ∂

( −i − )
( −i + )ψ 1 = [ ε − u( x, y ) − ε 0 ]ψ 1

∂x ∂y [ ε − u( x, y ) + ε 0 ]
∂x ∂y

(2.4)

1
∂ ∂
ψ =
( −i + )ψ 1
 2 [ ε − u( x, y ) + ε 0 ]
∂x ∂y

Trong trư ng h p riêng c a ta: th u( x, y ) khơng đ i d c theo tr c Oy mà ch

ph thu c vào phương Ox, khi đó nghi m có th tìm dư i d ng hàm riêng c a xung
lư ng theo tr c Oy :ψ ( x, y ) = e

ik y y

 χ1 ( x) 
:
 χ 2 ( x) 

χ ( x ) , ta có phương trình cho χ ( x) = 

∂
1
∂

( −i ∂x − ik y ) [ ε − u( x ) + ε ] ( −i ∂x + ik y )χ1 = [ ε − u( x ) − ε 0 ] χ1

0

1
∂
χ =
( −i + k y )χ1
2

[ ε − u( x ) + ε 0 ]
∂x


Luận văn tốt nghiệp

(2.5)

14 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

M t khác ta xét phương trình trên t ng đo n khơng đ i c a th trên tr c Ox , khi
đó phương trình đơn gi n thu v :
 ∂2
2
2
2
( 2 − k y )χ1+[( ε − u ) − ε 0 ] χ1 = 0
 ∂x

1
∂
∂
χ2 =
( −i + )χ1

[ ε − u + ε0 ]
∂x ∂y


(2.6)

ð t k = ( ε − u )2 − ε 0 2 − k y 2 thì phương trình cho χ1 ( x) có d ng đơn gi n như sau:
∂ 2 χ1 2
+k χ1 = 0
∂x 2

(2.7)

ðây chính là phương trình vi phân b c hai mà m i ngư i đ u quen thu c, nó có
d ng như phương trình c a dao đ ng đi u hịa và nghi m t ng quát c a nó có d ng:
(2.8)
χ1 = Aeikx + Be − ikx
Thay vào ta ñư c nghi m t ng quát cho thành ph n χ 2 như sau:
χ2 =

1
[( k + ik y )Aeikx − ( k − ik y )Be − ikx ]
ε − u + ε0

(2.9)

ð đơn gi n hóa ta có th đ t các bi n ph đ bi u th c ñơn gi n hơn khi ε , un ,
ε 0 là các s th c :
t = sign( ε − u − ε 0 )

ε − u − ε0
ε − u + ε0

tg( ϕ ) = k y / k , −π / 2 < ϕ < +π / 2

Luận văn tốt nghiệp

15 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hồng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

Khi đó ta có d ng đơn gi n hơn:
χ 2 = t( Aeiϕ eikx − Be −iϕ e −ikx )

(2.10)

Trong đó ta chú ý là vi c ñ t các bi n ph ch cho ta bi u di n m t cách hình
th c đơn gi n hơn, trong nhi u trư ng h p, khi l p trình thì chúng ta s l y bi u th c
g c trư c khi ñ t bi n ph (2.9).
T các k t qu trên chúng ta thu ñư c nghi m t ng quát trong trư ng h p b th
khơng đ i trên t ng đo n là:
1

 ikx ik y y
1
 − ikx ik y y
 e e + B  − iϕ  e e
iϕ
 te 
 −te 

ψ = A

(2.11)

Nh n xét: Trong bài toán c a ta, electron chuy n đ ng hồn tồn t do theo
phương y nên k y ñây là liên t c và nh n giá tr b t kì. Tuy nhiên n u chúng ta xét
ñi u ki n biên, t c là h c a chúng ta có chi u dài h u h n theo phương y thì lúc đó
xung lư ng theo phương y s b lư ng t hóa, đi u này đã đư c xem xét trong
[3,12,13]. Hàm sóng ψ d ng t ng quát
g m có hàm sóng truy n theo cùng chi u
hay ngư c chi u dương. ñây chúng ta
ph i chú ý t i d u c a xung lư ng và c a
năng lư ng mà tr ng thái h t t i trong
Graphene có khác nhau. Như đã gi i thích
đ i v i phương trình c a ðirac, nghi m
âm c a năng lư ng là ng v i trư ng h p
h t t i không ph i là electron mà là l
tr ng (hole state). T hình v ta có th chia
mi n năng lư ng c a electron thành 3

Luận văn tốt nghiệp

Hình 5. Sơ ñ các mi n
h t t i trong Graphene

16 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

mi n như sau (H5):
1.Mi n th nh t: E < U − Eo2 + (v f k y ) 2 , ng v i trư ng h p màu in ñ m trên
hình v , h t t i đây là l tr ng và véc tơ xung lư ng ph i có chi u ngư c l i so v i
chi u c a electron.
2.Mi n th

hai: U − Eo2 + (v f k y ) 2 ≤ E ≤ U + Eo2 + (v f k y ) 2 ,

ng v i màu tr ng

trên hình v , đây là mi n c m v i c electron và l tr ng. Trong mi n này, hàm sóng
gi m theo hàm mũ (do giá tr c a vecto sóng k phương trình trên là âm)
3.Mi n th ba: E > U + Eo2 + (v f k y ) 2 , ng v i vùng g ch chéo trên hình v , t i
nh ng vùng này h t t i là electron.
T nh n xét trên chúng ta có th d dàng gi i thích v m t ñ nh tính ngh ch lý
Klein: Trong trư ng h p electron t i vng góc v i b th , t c là k y = 0 , và kh i lư ng
ngh c a nó b ng khơng, t c là Eo = 0 thì vùng c m s khơng cịn n a. Khi đó electron
d dàng chui ng m qua b th thông qua các tr ng thái l tr ng (vì các tr ng thái c a
electron đ u tương ng có tr ng thái c a l tr ng).

2.3 Phương pháp T_matrix
M c đích quan tr ng c a ta trong các bài toán liên qua t i hi n tư ng truy n là
ph i tính h s truy n qua.T h s truy n qua chúng ta s tính đư c t t c các ñ i
lư ng ñ c trưng cho h như dịng đi n, đ d n, shot noise. Thơng thư ng có hai
phương pháp tính h s truy n ñó là phương pháp hàm Green và phương pháp T
matrix. Trong phương pháp hàm Green thì ta ch c n dùng hàm Halmiton r i suy ra S
matrix, t đó d n ra đư c cơng th c tính h s truy n qua. Trong luân văn này tôi s
d ng phương pháp T matrix, m t ph n vì nó đơn gi n hơn phương pháp trên, m t ph n
là nó r t hi u qu trong các bài tốn mà ch có h các b th mà chưa k t i tương tác.

Luận văn tốt nghiệp

17 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hồng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

Ta đưa vào khái ni m T ma tr n m t cách ñơn gi n như sau: T ma tr n là m t
ma tr n mô t m i liên h gi a biên đ sóng t i v i biên đ sóng truy n qua c a m t
th nào đó.
Trư c h t ta tìm bi u th c
c a T ma tr n cho trư ng h p
ñơn gi n là b th th ng ñ ng
g c t a đ và electron chuy n t
vùng có th khơng đ i U1 sang
vùng có th khơng đ i U 2 (H6)

Hình 6. Sơ đ th Klein đ tính T
ma tr n

Ta vi t hàm sóng trên t ng vùng:
Hàm sóng t i vùng 1 là :
1

 ik1x ik y y
1
 − ik1x ik y y

e e
 e e + B1 
− iϕ1 
 t1e 
 −t1e 

ψ = A1 

(2.12)

iϕ1

Tương t cho vùng 2:
1

 ik2 x ik y y
1
 − ik2 x ik y y
e e
 e e + B2 
iϕ2
− iϕ2 
 t2 e 
 −t2 e 

ψ = A2 

(2.13)

 A2 

 A1 
 =T  . ð
 B2 
 B1 

Nhi m v c a ta bây gi là tìm ma tr n T th a mãn đi u ki n: 

tìm m i liên h này thì chúng ta ph i dùng đi u ki n liên t c c a hàm sóng t i ñi m
ti p giáp gi a hai b th . ði u ki n liên t c ñây ch c n cho các thành ph n spinor
c a hàm sóng liên t c mà khơng c n đi u ki n đ o hàm c a hàm sóng liên t c. ði u

Luận văn tốt nghiệp

18 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hoàng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

này cũng tương t như ñ i v i trư ng h p c a phương trình ðirac, b i vì phương trình
ðirac là phương trình b c nh t đ i v i th i gian nên ñi u ki n liên t c ch c n đ i v i
chính hàm sóng đó mà thơi, h qu t t y u là ñ o hàm b c nh t c a các thành ph n c a
hàm sóng là gián ño n t i ñi m ti p giáp. ði u này là khác v i phương trình Srodinger,
b i vì phương trình Srodinger là phương trình đ o hàm b c 2 ñ i v i th i gian nên đi u
ki n liên t c ph i tính t i c s liên t c c a các ñ o hàm.
Tr l i v i ñi u ki n liên t c c a ta t i x = 0 :
 A1 + B1 = A2 + B2



iϕ
− iϕ
iϕ
− iϕ
t1 A1e 1 − t1 B1e 1 = t2 A2 e 2 − t2 B2 e 2


(2.14)

Gi i h trên ta d dàng tính đư c:
T=

 s1eiϕ1 + s2 e − iϕ2
1

2t2 cos(ϕ 2 )  − s1eiϕ1 + s2 eiϕ2

− s1e − iϕ1 + s2 e − iϕ2 

s1e − iϕ1 + s2 eiϕ2 

(2.15)

*
*
Ta th y r ng T ma tr n có tính ch t sau: T22 = T11 ; T21 = T12 . Tính ch t này cũng

hoàn toàn gi ng trong trư ng h p c ñi n. Tuy nhiên ta ph i chú ý là trong mi n c m
thì các góc ϕ có th nh n giá tr o, khi đó tính ch t trên khơng cịn đúng n a.
Trong trư ng h p mà b th c a ta không n m g c t a ñ mà cách m t ño n

là d , thì cũng gi ng như trong trư ng h p c ñi n [1] chúng ta ph i nhân thêm h s
cho T ma tr n như sau :
 e − ik2 d
T (2,1) = 
 0

 eik1d
0 
 *T * 
eik2 d 
 0

0 

e − ik1d 

(2.16)

Hai ma tr n trư c và sau T th c ra ch có nhi m v là chuy n d ch hàm sóng t
g c t a đ t i v trí có t a đ là d mà thôi.

Luận văn tốt nghiệp

19 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hồng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

Khi có nhi u các b th khơng đ i trên t ng đo n thì T ma tr n c a h các b
th này s là tích c a các T ma tr n ñ i v i t ng b th [1] :
T( n,0 ) = T( n,n − 1 )* T( n − 1,n − 2 )*⋯ * T( 1,0 )

(2.17)

Trên ñây là n i dung ch y u c a phương pháp T ma tr n. ð i v i m t b th
có d ng b t kì thì ta co th x p x nó b ng cách chia nh sao cho th trên m i đo n coi
là khơng đ i, sau đó áp d ng phương pháp T ma tr n ta s thu đư c T ma tr n c a th
đó. Trong [11], Chuxu Bai và Xiangdong Zhang ñã s d ng phương pháp này đ tính
h s truy n qua cho trư ng h p siêu m ng (H7)

Hình 7. Siêu m ng ñ i x ng [11]

Luận văn tốt nghiệp

20 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


Hồng Mạnh Tiến

Trường Đại học khoa học Tự nhiên

2.4. Tính h s truy n t T ma tr n
M c ñích c a ta là tính h s truy n và nó có th đư c rút ra tr c ti p sau khi ñã
bi t T ma tr n. Tuy nhiên, không gi ng như trong trư ng h p c ñi n, trong Graphene
chi u c a m t đ dịng xác su t c a h t t i trong tương quan v i chi u xung lư ng ph
thu c vào d u c a năng lư ng (ñi u này ñúng trên t ng mi n riêng l ). ði u này như
đã nói trên là do tùy vào d u c a năng lư ng mà nó s quy t đ nh h t t i ñây là l
tr ng hay là electron. Gi s có m t electron đi t i b th , khi đó tùy theo h t t i

mi n ra là electron hay l tr ng mà chúng ta có hai cơng th c đ tính h s truy n như
sau : (Dùng ch s 1 cho sóng t i và ch s 2 cho sóng truy n qua)
1.Trư ng h p 1 : t2 < 0 thì h t t i trong mi n này là l tr ng, khi đó đ tính h
s truy n qua ta ñ t A1 = 1, B1 = r , A2 = 0, B2 = t . Ta có :
 0   T11 T12   1 
  = T T   
 t   21 22   r 

(2.18)

Gi i ra ta d dàng có: r = −T11 / T12 và h s truy n qua: T = 1 − R = 1 − abs (T11 T12 ) 2 .
2. Trư ng h p 2 : t2 > 0 thì h t t i trong mi n này là electron, khi đó tương t
như trư ng h p c ñi n : A1 = 1, B1 = r , A2 = t , B2 = 0 . Ta có:
 t   T11 T12   1 
  = T T   
 0   21 22   r 

(2.19)

Ta cũng có : r = −T21 / T22 và h s truy n qua là : T = 1 − R = 1 − abs (T21 T22 ) 2 .
Do đó, khi tính h s truy n qua m t b th nào đó thì chúng ta ph i kh o sát
xem h t t i đi n trong đó là electron hay l tr ng đ s d ng cơng th c cho h p lý.

Luận văn tốt nghiệp

21 Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008