bai 5

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (567.59 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI 5. TI

Ế

P TUY

Ế

N C

Ủ

A HÀM

ð

A H

Ứ

C VÀ HÀM PHÂN TH

Ứ

C.

Bài 1. Cho ñồ thị

( )

2
2 1
:
1
x x
C y
x
− +
=

− . CMR trên đường thẳng

( )

∆ :y=7 có 4 điểm sao
cho từ mỗi điểm đó có thể kẻđến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45

Lời giải: Lấy điểm bất kì M m( ; 7)∈ ∆

( )

:y=7. ðuờng thẳng ñi qua M m( ; 7) với hệ số
góc k có phuơng trình: y=k x( −m) 7+ tiếp xúc với ñồ thị hàm số (C)

⇔ hệ

(

)

2 1

( ) ( ) 7(1)

1
2

( ) 2 (2)

x x

f x k x m

x

f x k

x
 − +
= = − +

−


 = − =
 −

có nghiệm
2
2 1

( 1) (1 ) 7
1

2 2

2 1 2( 1) (1 ) 7

1 1

1 4 (1 )

(3)

1 4

x x

k x k m

x

x x k m

x x
k m
x
− +
⇒ = − + − +
−

⇒ + + = − − + − +
− −
+ −
⇒ =
−

Thay (3) vào (2) ñược:

4 (1 )
2 2
4
k m
k
+ −
 
−   =
 

2 2
2 2
1
2 2

(1 ) 8 (1 ) 16
2

(1 ) 8(2 ) 0

8( 2)
( 1)

k m k m

k

m k m k

k
m
k
m
− + − +
⇔ − =
⇔ − + − =
=


−
⇔
=
 −


ðk 2 tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45 tương đương với:

(

)

(

)

(

)

2
1 2
2 2
1 2

( 1) 8 2

8 2

tan 45

1 ( 1) ( 1) 8 2

m m

m

k k

k k m m m

 − = −
−
− 
= = ⇔
+ −  − = − −


2
2

10 17 0
6 15 0

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1
2
3
3

5 2 2
5 2 2

3 2 6
3 2 6
m

m
m
m

 = +


= −



⇔

= − +




= − −



Vậy có 4 điểm M thảo mãn bài tốn.

Bài 2. Cho đồ thị

(

Cm

)

:y=x3+mx2−m−1. Viết phương trình tiếp tuyến của

(

Cm

)

tại
các ñiểm cố ñịnh mà

(

Cm

)

ñi qua

Lời giải: Gọi

0 0

( ; )

M x y là ñiểm cố ñịnh mà

(

Cm

)

ñi qua

3 2

0 0 0

2 3

0 0 0

3 0 0

0 0

( 1) 1 0,

1 0 1 1

0 2

1 0

y x mx m m

m x x y m

x x x

y y

x y

⇒ = + − − ∀

⇒ − + − − = ∀

 − =  =  = −



⇒ ⇒ ∨

= = −

 

− − =



Do đó có 2 ñiểm cốñịnh mà

(

Cm

)

ñi qua là M1

(

1; 0

)

và M2

(

− −1; 2

)

Ta có: y′ =3x2+2mx

- Phuơng trình tiếp tuyến tại M1 là: y= y′(1)(x−1)=(2m+3)x−

(

2m+3

)

- Phuơng trình tiếp tuyến tại M2 là: y= y′( 1)(− x+1) 2− = −( 2m+3)x−

(

2m−1

)

Bài 3. Tìm điểm M∈

( )

C :y=2x3+3x2−12x−1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M
ñi qua gốc tọa ñộ.

Lời giải: Gọi M x( 0;y0) là ñiểm cần tìm ⇒y0 =2x03+3x02−12x0−1 (1)
PTTT của (C) tại M là:

( ) :d y= y x′( 0)(x−x0)+y0 =

(

6x02+6x0−12

)

x+y0−

(

6x02+6x0−12

)

x0
Vì (d) đi qua gốc tọa ñộ nên y0 =

(

6x02 +6x0−12

)

x0 (2)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3 2

0 0

0 0 0

0 0

4 3 1 0

( 1)(4 1) 0

1 12

x x

x x x

x y

⇒ + + =

⇒ + − + =

⇒ = − ⇒ =

Vậy M( 1;1; 2)−

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị

( )

C :y=x3−3x2 +2 biết tiếp tuyến đó
vng góc với đường thẳng: 5y−3x+ =4 0

Lời giải: Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: 5y−3x+ =4 0 có phương trình dạng: 
(d):y 5 x a

= − +

ðiều kiện ñể (d) và (C) tiếp xúc nhau là: hệ

3 2

3 2 x a

3
5

3 6

x x



− + = − +




 − = −


có nghiệm

Từ 2 2

5 29

5 3 27

3 6 9 18 5 0

1 61

3 27

x a

x x x x

x a



= → =



− = − ⇒ − + = ⇒ 

 = → =


Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài tốn: ( 1) : 5x 29
3 27

d y= − + và ( 2) : 5x 61
3 27

d y= − +

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A

(

0; 1−

)

ñến y=2x3+3x2−1

Lời giải: Gọi (d) là tiếp tuyến ñi qua A

(

0; 1−

)

đến y=2x3+3x2−1 và x0 là hồnh ñộ
tiếp ñiểm ⇒( ) :d y= y x′( 0)(x−x0)+y x( 0)=

(

6x02+6x0

)

x+2x03+3x02 −1

Do A∈( )d nên: − =1 2x30+3x02−1

3 2

0 0

0
0

2 3 0 3

2
x

x x

x
=




⇒ + = ⇒

 = −


Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: y= −1 và y 9x-1
2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A

(

−1; 2

)

ñến y=x3−3x2+2

Lời giải: Gọi (d) là tiếp tuyến ñi qua A

(

−1; 2

)

ñến y=x3−3x2+2 và x0 là hồnh độ
tiếp điểm ⇒( ) :d y= y x′( 0)(x−x0)+y x( 0)=

(

3x02−6x0

)

x+x03−3x02+2

Do A∈( )d nên: 2=x03−3x02+ −2

(

3x02−6x0

)

3 2

0 0 0

0
2

0 0 0 0

6 6 0

( 6 6) 0 3 3

3 3

x x x

x

x x x x

x

⇒ − + =




⇒ − + = ⇒ = −



= +



Vậy có 3 tiếp tuyến cần tìm là: y=2 và

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A

(

2; 6 3

)

ñến y=x3−3x2−6x+8

Lời giải: Làm tương tự Bài 5 và Bài 6

Bài 8. Cho ( )C :y=2x3−3x2−12x−5. Viết phương trình tiếp tuyến biết 
a, Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y=6x−4

b, Tiếp tuyến đó vng góc với ñường thẳng 1 2
3
y= x+

c, Tiếp tuyến tạo với đường thẳng 1 5
2

y= − x+ góc 45

Lời giải: a, Tiếp tuyến song song với ñt: y=6x−4 có dạng

( )

d :y=6x b+ với b≠ −4

ðK ñể

( )

d và

( )

C tiếp xúc là hệ sau có nghiệm:

3 2

2 3 12 5 6

6 6 12 6

x x x x b

x x

 − − − = +




− − =



Từ 6 2 6 12 6 2 2 3 0 1

3
x

x x x x

x
= −



− − = ⇔ − − = ⇔



- Với x= −1⇒b=8
- Với x=3⇒b= −32

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là:

( )

d1 :y=6x+8 và

(

d2

)

:y=6x−32
b, Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 1 2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Phương trình hồnh độ tiếp ñiểm là:

2 2

1 7
2

6 6 12 3 2 2 3 0

1 7
2
x

y x x x x

x

 +




′ = − − = − ⇔ − − = ⇔

 −




- PTTT tại 1 1 7
2

x = + là: y= −3(x−x1)+y x( )1 = −3x+

(

4 3 7−

)

- PTTT tại 2 1 7
2

x = − là: y= −3(x−x2)+y x( 2)= −3x−

(

4 3 7+

)

c, Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Theo giả thiết ta có:

1
2 1

tan 45 2 1 2

1 2 1

1
2

k k

k

k k

k
k

k

+  =

= = ⇔ + = + ⇔

= −

+ 

- Với k =1 ta có pt hồnh độ tiếp điểm:

2 2

3 87
6

6 6 12 1 6 6 13 0

3 87
6
x

y x x x x

x

 +




′ = − − = ⇔ − − = ⇔

 −




PTTT tại 1 3 87
6

x = + là ( 1) ( )1 12 5 87

y x x y x x

 

= − + = − + 

 

PTTT tại 2 3 87
6

x = − là ( 2) ( 2) 12 5 87

3
y= x−x +y x = −x  − 

 

- Với k = -1 ta có pt hồnh độ tiếp ñiểm:

2 2

3 5 3
6

6 6 12 1 6 6 11 0

3 5 3
6

x

y x x x x

x

 +




′ = − − = − ⇔ − − = ⇔

 −




PTTT tại 3 3 5 3
6

x = + là ( 3) ( 3) 11 20 3

y x x y x x

 

= − − + = − − + 

 

PTTT tại 2 3 87
6

x = − là ( 4) ( 4) 11 20 3

3
y= − x−x +y x = − −x  − 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài tốn

Bài 9. Tìm các điểm trên trục hồnh mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số

( )

C :y=x3+3x2 trong đó có 2 tiếp tuyến vng góc với nhau

Lời giải: Lấy M m

(

, 0

)

bất kì thuộc trục hồnh Ox. ðường thẳng đi qua M với hệ số góc 
k có phương trình y=k x( −m)=kx−km tiếp xúc với

( )

C ⇔ hệ

3 2

3 (1)

3 6 (2)

x x kx km

x x k

 + = −




+ =

 có nghiệm.

Thế (2) vào (1) ta có: x3+3x2 =

(

3x2+6x

)

(

x−m

)

(

)

(

)

(

)

2 3 3 6 0

x x m x m

x

x m x m

⇔ + − − =



⇔

+ − − =



ðể từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến đến

( )

C trong đó có 2 tiếp tuyến vng góc thì phương
trình g x( )=2x2 +

(

3 3− m x

)

−6m=0 phải có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 khác 0 sao cho

1 2 1

k k = − (k xác ñịnh theo x trong (2))

(

)

(

)(

)

(

)(

)

2 2

2 2 1 2 1 2

1 1 2 2

3 3 48 0 9 30 9 0

(0) 6 0 0

9 2 1 2 1 1

3 6 3 6 1

m m m m

g m m

x x x x

x x x x

 

∆ = − + > + + >

 



⇔ = − ≠ ⇔ ≠

 

+ + = −

+ + = − 



(

)(

)

3 6

1 3

27
0

3 6

9 3 12 3 3 1 1

m m m

m

m m m m

 − −

 > − ∨ < −  =

 

⇔ ≠ ⇔

 − +


− − + − + = −  =

 

Vậy có 2 điểm thỏa mãn là: 1 3 6; 0
27
M − − 

  và 2

3 6
; 0
27
M − + 

 

Bài 10. Cho ñồ thị

( )

: 3 1
3
x

C y

x
+
=

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a, M là trung điểm của AB

b, Diện tích tam giác IAB khơng ñổi

Lời giải:

a, ðồ thị

( )

C có TCN:

( )

d1 : y = 3 và TCð:

(

d2

)

: x = 3⇒ tọa ñộ ñiểm I

(

3;3

)

Lấy ñiểm bất kì M 3 m;3 10

( )

C ,m 0

m

 

+ + ∈ ≠

 

  . Tiếp tuyên tại M có dạng:

( )

(

)

(

)

2 2

10 10 20 30

: 3 3 3 3

d y y m x m y x

m m m m

 

′

= + − + + + ⇔ = − + + + 

 

Phương trình hồnh độ giao ñiểm của

( )

C và

( )

d là:

2 2 2 2 2

10 20 30 3 1 1 1 3 6 9

3 2 1 0

3
x

x x x

m x m m

m m m m m

  +    

− + + + = ⇔ − +  +  − + + =

−

     

Dễ thấy pt trên có 2 nghiệm phân biệt x1<x2. Gọi A x y

(

1; 1

)

và B x

(

2;y2

)

. Ta có:

1 2 2
2

2 6

2 6 2

1 M

m m

x x m x

m
+

+ = = + =

1 2

(

1 2

)

2 2

10 20 30 20

2 3 6 2 M

y y x x y

m m

 

+ = − + +  + + = + =

 

Vậy m là trung ñiểm của AB (đpcm)

b, Do tam giác IAB vng tại I, mà có M là trung điểm của AB nên ta có:

( )

(

)

(

)

1 10

. 2 ; ; 2 20

IAB

S IA IB d M d M d m

m

∆ = = = =

Vậy diện tích ∆IAB khơng ñổi.

………..Hết………

</div>

bai 5

<b> BÀI 5. TI</b>

Ế

<b>P TUY</b>

Ế

<b>N C</b>

Ủ

<b>A HÀM </b>

ð

<b>A H</b>

Ứ

<b>C VÀ HÀM PHÂN TH</b>

Ứ

<b>C. </b>

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)