GIAO AN DAI SO 9 CA NAM

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (289.56 KB, 39 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

BÀI 1 CĂN BẬC HAI

I. Căn bậc hai số học:

Định lí:

Với A 0 , căn bậc hai số học của A là √A .

Chú ý:

Căn bậc hai số học của 0 là √0=0 .

Căn bậc hai số học của 1 là √1=1 .

?1Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây:
4; 9; 16; 25; 4044121

Định lí:

Căn bậc hai số học của A là số tự nhiên khi và chỉ khi A là số
chính phương.

Kí hiệu:

√A∈N  A P

?2Chứng minh rằng 13

+23+33+43+53+63 là số chính phương. Tương

tự hãy chứng minh 13+23+33+43+53+63+. ..+n3 là số chính phương với

n∈N∗

II.Căn bậc hai:

Định lí:

Với A 0 , số Acó hai căn bậc hai là √A và −√A .

Chú ý:Số 0 có duy nhất một căn bậc hai là 0.
?3Tìm các căn bậc hai của các số sau:

36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169

Định lí:

Căn bậc hai của A nguyên khi và chỉ khi A là số chính phương.
Kí hiệu:

√A∈Z

−√A∈Z A P

BÀI 2 HẰNG ĐẲNG THỨC

√A2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I.

Hằng đẳng thức

√A2

=|A|

:

Chứng minh:

Ta có: √A=A với A ≥0

√A=− A với A<0

Nên √A2

=|A| .
?1 Tính:

a) √a2+2a+1 với a ≥ −2

b) √4a2−4a+1 với a<12

II.

Khai phương một tích:

Định lí:

a) Định lí thuận:

Với A ≥0 và B ≥0 thì √AB=√A√B
b) Định lí đảo:

Với A ≥0 và B ≥0 thì √A√B=√AB

III.

Khai phương một thương:

Định lí:

a) Định lí thuận:

Với A ≥0 và B ≥0 thì √A

√B=

√

A
B .

b) Định lí đảo:

Với A ≥0 và B ≥0 thì

√

A

B=

√A

√B .

BÀI 3 SO SÁNH HAI CĂN BẬC HAI

I. So sánh hai căn bậc hai:

Với mọi A, ta có: √A2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Định lí:

Với a>0 và b>0 và a>b thì √a>√b

II. Phân tích biểu thức dưới căn thành nhân tử:

Các bước phân tích như sau:

1. Xuất phát từ hạng tử có căn.
2. Chia hạng tử đó cho 2.

3. Lập ra tất cả các tích có được từ hạng tử sau khi chia 2.
4. Chọn ra cặp a, b sao cho ab bằng hạng tử chứa căn chia 2 và

a2+b2 bằng hạng tử tự do.

Ví dụ: 4+2√3

Bước 1: Xuất phát từ 2√3 .

Bước 2: 2√3 :2=√3

Bước 3: √3=√3 .1

Bước 4: Chọn a=1 và b=√3

Vậy 4+2√3=(1+√3)2

BÀI 4 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Với A ≥0 và b ≥0 thì √A2B=|A|√B

II. Đưa thừa số vào trong căn:

Với A ≥0 và b ≥0 thì A√B=√A2B

III. Trục căn thức ở mẫu:

Với A ≥0 và b>0 thì A

√B=
A√B

|B|

C ≥0 thì A

√B ±C=

A(√B∓C)

B −C2

IV. Rút gọn biểu thức chứa căn bâc hai:

Rút gọn biểu thức chứa căn bâc hai là biến đổi biểu thức về dạng
đơn giản nhất bằng các phương pháp đã học.

Chú ý: Kết quả cuối cùng phải thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:
a) Kết quả phải tồn tại ( có điều kiện xác định nếu có ẩn ở mẫu).
b) Mẫu thức khơng cịn căn bậc hai.

c) Phân thức phải ở dạng tối giản.

BÀI 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI:

Với hai số a, b dương ta có: a+2b≥√ab . Dấu “=” xáy ra  a=b

II. ỨNG DỤNG:

a) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình
vng có chu vi bé nhất.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

c) Nếu x, y cùng dương và có tổng khơng đổi thì tích xy lớn
nhất khi và chỉ khi x = y.

d) Nếu x, y cùng dương và có tích khơng đổi thì tổng x+y nhỏ
nhất khi và chỉ khi x = y.

BÀI 6. CĂN BẬC BA VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

(A+B)

3

=A

3

+B

3

+3AB(A+B)

1. Căn bậc ba:

Với mọi A, 3

√A gọi là căn bậc ba của A.

2. Căn bậc n:

Ta có các cơng thức sau:
n

√am=nk√amk (cơng thức hạ bậc).

n

√ab=√na.√nb (với đk n dương thì a, b phải dương).

k

√

n

√a=kn√a (với đk k.n dương thì a phải dương).

n

√

a

b=

n
√a

n

√b (với đk n dương thì a, b phải dương và b khác 0).
(√na)k=√nak (với đk n dương thì a, k phải dương).

Ví dụ: Tính A=

√a4+√3a2b2+√3b4

√a2

+√3 ab+√3b4 . Đáp số A=

√a2+√3b2−√3ab .
3. Hằng đẳng thức (A+B)3=A3+B3+3AB(A+B)

Ví dụ tính B= 3

√7+5√2+√37−5√2 . Đáp số B=2.

CHƯƠNG II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

y=ax+b

BÀI 1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ; HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN VÀ HÀM SỐ CHẲN, LẺ

1. Khái niệm hàm số:

Biểu thức dạng f(x): y=P(x) gọi là hàm số.
2. Hàm số đồng biến, nghịch biến:

Một hàm số với giá trị x tăng mà f(x) tăng theo thì f(x) đồng biến.
Một hàm số với giá trị x tăng mà f(x) giảm thì hàm số nghịch biến.

Quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến:

Bước 1: ∀x1, x2∈R sao cho x1≠ x2

Bước 2: tính T= f(x1)− f(x1)
x1− x2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ: xét tính đồng biến của
a) y=2x+1

b) y=x2+2x

.Tính chẳn, lẻ của hàm số:

Quy tắc:

Bước 1: tập xác định

Bước 2: ∀x∈D => − x∈D

Bước 3:

F(-x)=f(x) => hs chẳn
F(-x)=-f(x) => hs lẻ

Ví dụ: xét tính chẳn lẻ của x3-1

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax+b

1. Định nghĩa:

Hàm số có dạng y=ax+b gọi là hàm số bậc nhất. Đây là hàm số

đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0 .

2. Đồ thị hàm số y=ax+b :

Với x∈R , đồ thị hàm số y=ax+b là đường thẳng đi qua hai điểm
(0;b) và

(

−b

a ;0

)

BÀI 3. HÀM SỐ y=a VÀ

y=|ax+b|

1. Hàm số hằng y = a

Hàm số hằng y = a là đường thẳng cắt Oy tại (0; a) và song song
với Ox.

Ví dụ: đồ thị hàm số y = 2.
y

2 y = 2

x
O

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Hàm số y=|ax+b| là hệ hai hàm số

ax+b.. . ..(ax+b ≥0)

−ax−b. .. .(ax+b<0)

¿y={

¿
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y=|2x+1|

Hàm số y=|2x+1| là hệ hàm số

2x+1 .. .

(

x ≥−1

)

−2x −1 . ..

(

x<−1

)

¿y={

¿
Hàm số y=2x+1 đi qua (0; 1) và

(

−1

2 ;0

)

Hàm số y=−2x −1 đi qua (0; -1) và

(

−1

2 ;0

)

Đồ thị: x

y= - 2x -1
1

O y

Y= 2x+1 −21 -1

Nhận xét: Đồ thị hàm số y=|ax+b| luôn đi qua một điểm cố định
là

(

−ba ;0

)

.

BÀI 4. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐƯỜNG

THẲNG

1. Định nghĩa:

Cho hai đường thẳng (d1):y=a1x+b1 và đường thẳng

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

(d1) cắt (d2) khi và chỉ khi
a1
a2

≠b1
b2

≠c1

c2 .

(d1) trùng (d2) khi và chỉ khi
a1
a2

=b1

b2

=c1

c2 .

(d1) song song (d2) khi và chỉ khi a1=a2 .

(d1) vng góc (d2) khi và chỉ khi a1a2=−1 .

2. Tọa độ điểm tương giao của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng (d1):y=a1x+b1 và đường thẳng

(d2):y=a2x+b2 với điều kiện
a1
a2≠

b1
b2≠

c1

c2 chúng sẽ cắt nhau tại một

điểm M(x; y) trong đó x, y là nghiệm chung của hai phương trình:
¿

a1x+b1=a2x+b2
y=a1x+b1

¿{

Giải hệ trên ta có được tổng quát:

Cho hai đường thẳng (d1):y=a1x+b1 và đường thẳng

(d2):y=a2x+b2 với điều kiện
a1
a2≠

b1
b2≠

c1

c2 chúng sẽ cắt nhau tại một

điểm M

(

b2−b1
a1− a2;

2a1b2− a1b1−a2b2
a1−a2

)

3. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm:

Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(a1;b1) và
B(a2; b2) ta lần lượt thế tọa độ của A và B vào phương trình

y=ax+b rồi giải hệ hai phương trình trên.

Thế A(a1;b1) vào phương trình y=ax+b ta được b1=aa1+b

Thế B(a2; b2) vào phương trình y=ax+b ta được b2=aa2+b

Ta giải hệ

b1=aa1+b. . .. .. . .(1)
b2=aa2+b. . .. .. . .(2)

¿{

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Thế b=b1−aa1 vào (2) ta được b2=a.a2+b1−aa1 . Từ đó tính được a

và b.

4. Độ dài một đoạn thẳng bất kì:

Cho hai điểm A(a1;b1) và B(a2; b2) thì độ dài đoạn thẳng AB

được tính theo cơng thức: AB =

√

(a1−a2)
2

+(b1− b2)2 .

BÀI 5. GÓC TẠO BỞI MỘT ĐOẠN THẲNG VÀ

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

α
α

α<900 => a>0 α>900 => a<0
Định lí: Số đo một góc tạo bởi đường thẳng với hệ trục tọa độ tỉ lệ
nghịch với hệ số góc của nó.

Ta có cơng thức a=tgα
Từ cơng thức trên ta có:

cotgα=1

a

sinα=a2

cosα= 1

a2

CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1)

Định nghĩa:

Phương trình dạng ax+by=c trong đó a2

+b2≠0 gọi là phương

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Phương trình bậc nhất hai ẩn có vơ số nghiệm. Nghiệm của nó là
cặp giá trị (x, y) thõa mãn phương trình.

2)

Nghiệm nguyên của phương trình ax+b=c:

Ví dụ: Tìm nghiệm ngun của phương trình 2x+y=3 .

Giải

2x+y=3
⇔y=3−2x

Đặt 3−2x=t. .. .(t∈Z)
⇒x=3−t

⇔x=2−2t+1+t

2 =

2(1−t)+1+t

⇔x=1− t+1+t

Vậy nghiệm của phương trình trên là:
¿

x=1+t

y=2t

¿{

(t∈Z)

Chú ý:

Với mọi phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm ngun của nó ln
có dạng:

¿
x=x0+at
y=y0−bt

¿{

(t∈Z)

3)

Tập nghiệm và biểu diễn tập nghiệm:

Phương trình bậc nhất hai ẩn ln có tập nghiệm S = {(x; y); …}
Tập nghiệm của phương trình ax+by=c là đường thẳng

y=−a

b x −
c
b .

Khi đó nó đi qua hai điểm

(

0;−c

a

)

và

(

−c

a ;0

)

Ví dụ: tập nghiệm của phương trình 2x+y=3 là đường thẳng đi

qua (0;−3) và

(

−3

2 ;0

)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

−3

2 O x

-3

BÀI 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

¿
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2

¿{

A. Nghiệm của phương trình là (x0; y¿0)∈

¿ (1) và (2).
B. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔a1

a2
≠b1

b2
≠c1

c2 .

C. Hệ vô số nghiệm ⇔a1
a2

=b1

b2

=c1

c2 .

D. Hệ vô nghiệm ⇔a1
a2

=b1

b2

≠c1

c2 .

2. Biện luận hệ phương trình:

Định thức là một thơng số gồm hai cột, hai dịng có cơng thức

D=

|

a cb d|=ad−bc .

Trong hệ phương trình

¿
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2

¿{

, ta có:

Dx=

|

c1 b1
c2 b2

|

=c1b2− b1c2 ; Dy=

|

a1 c1

a2 c2

|

=a1c2− c1a2 ; D=

|

a1 b1
a2 b2

|

=a1b2−b1a2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Nghiệm của hệ phương trình là

x=Dx

D =

|

c1 b1
c2 b2

|

a1 b1
a2 b2

|

=c1b2− b1c2

a1b2− b1a2

y=Dy

D =

|

a1 c1
a2 c2

|

a1 b1
a2 b2

|

=a1c2− c1a2

a1b2− b1a2

¿{

Từ hệ nghiệm trên ta có các hệ quả sau dùng để biện luận hệ
phương trình:

Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔D=0; Dx≠0; Dy≠0 .

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔D ≠0 .

Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔D=Dx=Dy=0 .

Ví dụ: Biện luận hệ phương trình:

mx+2y=m+1

2x+my=2m+5

¿{

(1).

Ta có: D=

|

a1 b1

a2 b2

|

=a1b2−b1a2=m2−4=(m+2) (m−2)

Dx=

|

c1 b1
c2 b2

|

=c1b2− b1c2=m(m+1)−2(m+5)=(m −5) (m+2)

Dy=

|

a1 c1
a2 c2

|

=a1c2− c1a2=m(2m+5)−2(m+1)=(2m−1) (m+2)
⇒

x=Dx

D=

(m−5) (m+2)
(m+2) (m−2)=

m−5

m −2

y=Dy

D =

(2m −1) (m+2)
(m+2) (m−2) =

2m−1

m−2

¿{

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Nếu m=−2 thì D=Dx=Dy=0 nên hệ phương trình vơ số nghiệm

x=1+2y

y∈R

¿{

Nếu m≠ ±2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

⇒

x=Dx

D =
m −5

m −2

y=Dy

D =

2m −1

m −2

¿{

Chú ý: phải phân tích D, Dx, Dy thành nhân tử!

BÀI 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG

PHÁP THẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
¿

x+y=5

2x+y=8

¿{

¿
.
Giải:

x+y=5

2x+y=8
⇔

¿y=5− x

2x+5− x=8
⇔

¿y=2

x=3

¿{

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={(3;2)}

Chú ý: Để dễ dàng cho việc biến đổi ta biểu diễn biến có trị tuyệt
đối của hệ số nhỏ nhất theo biến còn lại.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
¿

x+y=5

2x+y=8

¿{

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Giải:

x+y=5

2x+y=8

⇔

¿−2x −2y=−10

2x+y=8
⇔

¿− y=−2

x+y=5
⇔

¿y=2

x=3

¿{

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={(3;2)}

Hệ thức BƠDU

f(x)⋮(x −a)⇔f(a)=0

CHƯƠNG 4. HÀM SỐ y = ax

2

VÀ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI 1. HÀM SỐ y = ax

2

1. Định nghĩa:

Hàm số y = ax2 gọi là hàm số bậc hai khuyết b và c. Đây là hàm số 
đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0 và đây luôn là hàm số
chẳn.

Chứng minh:

Với a>0, ∀x1, x2∈R , x1≠ x2 , ta có:
f(x1)− f(x2)=ax12−ax22=a(x1+x2) (x1− x2)

⇒T=f(x1)− f(x2)

x1− x2

Vì x1, x2>0 nên x1+x2>0

⇒a(x1+x2)>0 . Hàm số đồng biến.

Khi hàm số đồng biến thì hàm số thuộc về góc tọa độ (I) và (II)
hay Min(y = ax2) = 0.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2. Đồ thị hàm số y = ax

2

:

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 và y = - x2
Bảng giá trị:

x -2 -1 0 1 2

Y = 2x2 8 2 0 2 8

Y = -x2 -4 -1 0 -1 -4

Đồ thị: y

Y=2x2

x
O

Y=-x2

Nhận xét:

Với mọi hàm số y=ax2(a ≠0) có giao là góc tọa độ

Với x∈R , đồ thị hàm số y=ax2(a ≠0) là Parabol (P) đỉnh O, trục

đối xứng Oy.

3. Đồ thị hàm số

y=|ax|2

:

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y=|2x|2 .

Đồ thị hàm số y=|2x|2 là hàm số tạo bởi

2x2. ..(x ≥0)

−2x2. ..(x

<0)

¿y={

¿
Bảng giá trị:

X -2 -1 0 1 2

y=2x2 8 2 0 2 8

y=−2x2 -8 -2 0 -2 -8

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1.Định nghĩa:

Phương trình ax2

+bx+c=0 . ..(a ≠0) gọi là phương trình bậc hai

một ẩn hay gọi tắt là phương trình bậc hai.

2. Giải phương trình bậc hai bằng phương pháp đơn

giản:

 Giải phương trình dạng ax2+b=0 (phương trình bậc hai

khuyết c):

Ví dụ giải phương trình 2x2−4x

=0 .

Giải:

2x2−4x=0⇔2x(x −2)=0⇔

2x=0

x −2=0

x=0

x=2

¿
¿
¿

⇔¿
¿

¿
¿

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={0; 2}
 Giải phương trình dạng ax2

+c=0 (phương trình bậc hai
khuyết b):

Ví dụ: Giải phương trình 2x2−1=0

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2x2−1=0⇔x2=1

2⇔

x=√2

x=−√2

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=

{

√2

2 ;

−√2

}

Chú ý:

a2

=m⇔

a=m

a=−m

¿
¿
¿
¿
¿

 Giải phương trình bậc hai bằng phương pháp phân tích đa

thức thành nhân tử:

Ví dụ: Giải phương trình x2

+5x+4=0 .

Giải:

x2+5x+4=0⇔x2+x+4x+4=0⇔x(x+1)+4(x+1)=0⇔(x+1) (x+4)=0⇔

x+1=0

x+4=0

x=−1

x=−4

¿
¿
¿

⇔¿
¿
¿

Vậy tập

nghiệm của phương trình là S={-1; -4}.

3. Công thức nghiệm tổng quát:

Trường hợp áp dụng những cách trên không được ta dùng công
thức nghiệm tổng quát:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Nếu Δ>0 , phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

x1=− b+√Δ

2a ;.. . .x2=

−b −√Δ

2a

Nếu Δ=0 , phương trình có nghiệm kép: x1=x2=
− b

2a

Nếu Δ<0 , phương trình vơ nghiệm.

4. Công thức nghiệm thu gọn:

Trường hợp hệ số b chẳn ta có cơng thức nghiệm thu gọn
Phương trình bậc hai ax2

+bx+c=0 . ..(a ≠0) có b=2b' , Δ=b'2−ac

Nếu Δ'

>0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1=
− b'

+√Δ'

a ;. .. .x2=
− b'−

√Δ'
a

Nếu Δ'

=0 , phương trình có nghiệm kép: x1=x2=− b

'

a

Nếu Δ'<0 , phương trình vơ nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình 2x2

+3x −6=0

Giải:

2x2+3x −6=0

Δ=b2−4 ac=32−4 .2 .(−6)=57

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−3+√57

4 ;. .. ..x2=

−3−√57
4

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=

{

−3+√57

4 ;

−3−√57

}

Ví dụ: Giải phương trình 4x2+4x −8=0

Giải:

4x2

+4x −8=0

Δ'=b'2−ac=22−4(−8)=36

√Δ=6

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1=−2+6

4 =1;.. ..x2=
−2−6

4 =−2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; -2}

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

5. Sự tương giao của đường thẳng và Parapol:

Cho đường thẳng (d):y=ax+b và Parabol (P):y=cx2 .

Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là:

cx2

+ax+b=0

Ta có Δ=a2−4 cb

a) Nếu Δ>0 , (d) và (P) cắt nhau.

b) Nếu Δ=0 , (d) và (P) tiếp xúc.

c) Nếu Δ<0 , (d) và (P) không tương giao nhau.

BÀI 4. HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a

0) (*)

Có hai nghiệm 1
2

b
x

a

  


; 2

b
x

a

  


Suy ra: 1 2

2 2

b b b b

x x

a a a

       

   

1 2 2 2 2

( )( ) 4

4 4 4

b b b ac c

x x

a a a a

       

   

Vậy đặt : Tổng nghiệm là S: S = 1 2

b

x x

a


 

Tích nghiệm là P: P = 1 2

c
x x

a



Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan

chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí
VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong
giải tốn.

I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :

1. Dạng đặc biệt:

Xét phương trình (*) ta thấy :

a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0

 a + b + c = 0

Như vây nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x11 và
nghiệm còn lại là 2

c
x

a



b) Nếu cho x =  1 thì ta có (*)  a.( 1)2 + b( 1) + c = 0  a  b + c

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Như vậy nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x11
và nghiệm cịn lại là 2

c

x

a




Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình
sau:

1) 2

2x 5x 3 0 (1)

2) 2

3x 8x11 0 (2)

Ta thấy:

Phương trình (1) có dạng a  b + c =0 nên có nghiệm x11 và
2

3
2

x 

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x11 và
2

11
3

x 

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình
sau:

1. 35x2 37x 2 0

  

2. 7x2 500x 507 0

  

3. x2 49x 50 0

  

4. 2

4321x 21x 4300 0

2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một 
nghiệm tìm nghiệm cịn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình x2 2px 5 0. Có một nghiệm bằng 2, tìm p

và nghiệm thứ hai.

b) Phương trình x25x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và

nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình : x2 7x q 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11.

Tìm q và hai nghiệm của phương trình.

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx50 0 , biết

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài giải:

a) Thay x1 2 và phương trình ban đầu ta được:
1

4 4 5 0

p p

    

Từ x x1 2 5 suy ra
2

1
5 5

x
x

 

b) Thay x15 và phương trình ban đầu ta được
25 25   q 0 q50

Từ x x1 2 50 suy ra
2

50 50
10
5

x
x

 

  

c)Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11

và theo VI-ÉT ta có x1x2 7, ta giải hệ sau:

1 2 1

1 2 2

11 9

7 2

x x x

  

 



 

  

 

Suy ra q x x 1 2 18

d) Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 2x2 và

theo VI-ÉT ta có x x1 2 50. Suy ra
2

2 2 2

2 2

2
5
2 50 5

x

x x

x



    





Với x2 5 th ì x110

Với x2 5 th ì x1 10

II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1; 2

Ví dụ : Cho x13; x2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai

nghiệm trên

Theo hệ thức VI-ÉT ta có

1 2

1 2
5
6

S x x

P x x

  




 

 vậy x x1; 2là nghiệm của

phương trình có dạng:

2 0 2 5 6 0

x  Sx P   x  x 

Bài tập áp dụng:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

4. x1 = 1 2 và x2 = 1 2

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức 
chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:

V í dụ: Cho phương trình : x2 3x 2 0

   có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2.

Khơng giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là

y thoả mãn : 1 2 1
1

y x

x

 

và 2 1 2
1

y x

x

 

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó:

1 2

1 2 2 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 3 9

( ) ( ) 3

2 2

x x

S y y x x x x x x

x x x x x x

  

               

 

1 2 2 1 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 9

( )( ) 1 1 2 1 1

2 2

P y y x x x x

x x x x

            

Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0 hay

2 9 9 2

0 2 9 9 0
2 2

y  y   y  y 

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình 3x2 5x 6 0

   có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2.

Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các

nghiệm 1 1 2
1

y x

x

 

và 2 2 1
1

y x

x

 

(Đáp số:

2 5 1 0

6 2

y  y 

hay 6y25y 3 0 )

2/ Cho phương trình : x2 5x1 0

có 2 nghiệm x x1; 2. Hãy lập

phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn y1x14 và y2 x24 (có nghiệm là

luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
(Đáp số : y2 727y 1 0)

3/ Cho phương trình bậc hai: x2 2x m2 0

   có các nghiệm x x1; 2. Hãy

lập phương trình bậc hai có các nghiệm y y1; 2 sao cho :

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

(Đáp số a) y2 4y 3 m2 0 b) y2 2y (4m2 3) 0

III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai
nghiệm của phương trình :

x  Sx P  (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 )

Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 và tích P = ab =  4

Vì a + b =  3 và ab =  4 nên a, b là nghiệm của phương trình:

2 3 4 0

x  x 

giải phương trình trên ta được x1 1 và x2 4

Vậy nếu a = 1 thì b =  4

nếu a =  4 thì b = 1

Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 và P = 2

2. S =  3 và P = 6

3. S = 9 và P = 20

4. S = 2x và P = x2  y2

Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41

2. a  b = 5 và ab = 36

3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30

Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để
áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.

T ừ  



2 2



2 2 2 81

9 81 2 81 20

a b

a b   a b   a  ab b   ab   

Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng:

1
2

2
4
9 20 0

x

x x

x



    




Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4

2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c =  b ta có: a + c = 5 và a.c =  36

Suy ra a,c là nghiệm của phương trình:

1
2

2
4
5 36 0

x

x x

x



    




</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

nếu a = 9 thì c =  4 nên b = 4

Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 24ab169
 2 132 13

13
a b
a b
a b
 

    
 


*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1
2

2
4
13 36 0

9
x
x x
x


    



Vậy a =4 thì b = 9

*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1
2

2
4
13 36 0

9
x
x x
x



    



Vậy a = 9 thì b = 4

3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:

T ừ: a2 + b2 = 61  a b 2 a2b22ab61 2.30 121 11   2

11
11
a b
a b
 

   


*) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương

trình:

1
2

2
5

11 30 0

6
x
x x
x


    



Vậy nếu a =5 thì b = 6 ; nếu a =6 thì b = 5

*) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1
2

2
5
11 30 0

6
x
x x
x


    




Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.

IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến
đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S
và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu
thức

1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (x1x2) và x x1 2

Ví dụ 1 a) x12x22 (x122x x1 2x22) 2 x x1 2 (x1x2)2 2x x1 2

b)  





   

3 3 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2

x x  x x x  x x x  x x  x x  x x 

 





2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 ( )1 ( )2 1 2 2 1 2 ( 1 2) 2 1 2 2 1 2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

1 2

1 2 1 2

1 1 x x

x x x x


 

Ví dụ 2: x1 x2 ?

Ta biết x1 x22 x1x22 4x x1 2  x1 x2  x1x22 4x x1 2

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1. x12  x22 ( x1 x2 x1x2=…….)

2. x13 x23 ( =  





   
2

2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

x  x x x x x  x  x  x x  x x 

  =……. )

3. x14  x24 ( =



 



2 2 2 2

1 2 1 2

x x x  x =…… )

4. x16x26 ( =



 



2 3 2 3 2 2 4 2 2 4

1 2 1 2 1 1 2 2

( )x ( )x  x x x  x x x = ……..)

Bài tập áp dụng
5. x16 x26

6. x15x52

7. x17 x27

8. 1 2
1 1

1 1

x  x 

2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2 8x 15 0

   Khơng giải phương trình, hãy

tính

1. x12 x22(34)

2. 1 2
1 1

x x

8
15
 
 
 

1 2

2 1

x x

x  x

34
15
 
 
 

4. x1x22(46)

b) Cho phương trình : 8x2 72x 64 0

   Không giải phương trình hãy

tính:

1. 1 2
1 1

x x

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

2. x12 x22 (65)

c) Cho phương trình : x2 14x 29 0

   Khơng giải phương trình, hãy

tính:

1. 1 2
1 1

x x

14
29
 
 
 

2. x12 x22(138)

d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0

   Khơng giải phương trình, hãy

tính:

1. 1 2
1 1

x x (3)

1 2

1 x 1 x

x x

 



(1)
3. x12 x22(1)

1 2

2 1 1 1

x x

x  x 

5
6
 
 

 

e) Cho phương trình x2 4 3x 8 0

   có 2 nghiệm x1 ; x2 , khơng giải

phương trình, tính

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

6 10 6
Q

5 5

x x x x

x x x x

 





HD:  

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

3 3 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17
Q

5 5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

    

   

       

 

V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG
PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó
đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.

Ví dụ 1 : Cho phương trình : m1x2 2mx m  4 0 có 2 nghiệm x x1; 2

. Lập hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào

m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

1
1

1 0 1

4
' 0 ( 1)( 4) 0 5 4 0

m
m

m m

m m m





   

  

  

   

       

   

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

1 2 1 2

2 2

2 (1)

1 1

4 3

. . 1 (2)

1 1

m

x x x x

m m

m

x x x x

m m

 

    

 

   



 



    

   

 

Rút m từ (1) ta có :

1 2

2 2

2 1

1 x x m 2

m      x x  (3)

Rút m từ (2) ta có :

1 2

3 3

1 1

1 x x m 1

m       x x (4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

 1 2  1 2   1 2 1 2

1 2 1 2

2 3

2 1 3 2 3 2 8 0

2 1 x x x x x x x x

x x    x x          

Ví dụ 2: Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình :
m 1x2 2mx m 4 0

     .Chứng minh rằng biểu thức

 1 2 1 2

3 2 8

A x x  x x  không phụ thuộc giá trị của m.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

1
1

1 0 1

4
' 0 ( 1)( 4) 0 5 4 0

m
m

m m

m m m





   
  
  
   
       
   



Theo hệ thức VI- ÉT ta có :

1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

 

 



 
 

 thay vào A ta có:

 1 2 1 2

2 4 6 2 8 8( 1) 0

3 2 8 3. 2. 8 0

1 1 1 1

m m m m m

A x x x x

m m m m

    

         

   

Vậy A = 0 với mọi m1 và
4
5

m

. Do đó biểu thức A khơng phụ
thuộc vào m

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm,
theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức
chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Bài tập áp dụng:

1. Cho phương trình : x2 m2x2m1 0 có 2 nghiệm x x1; 2. Hãy

lập hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 sao cho x x1; 2 độc lập đối với m.

Hướng dẫn: Dễ thấy  m22 4 2 m1 m2 4m 8 m 22 4 0

do đó phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2
1 2
1 2
1 2
2(1)
2
1

. 2 1 (2)

m x x

x x m

x x

x x m m

  

  
 

  
  
 

Từ (1) và (2) ta có:

 
1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 5 0

x x

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

2. Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc

vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy  (4m1)2 4.2(m 4) 16 m233 0 do đó phương

trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2 1 2

(4 1) 4 ( ) 1(1)
. 2( 4) 4 2 16(2)

x x m m x x

x x m m x x

     

 



 

   

 

Từ (1) và (2) ta có:

1 2 1 2 1 2 1 2

(x x ) 1 2x x 16 2x x (x x ) 17 0

         

VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ

MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm
x1 và x2 (thường là a  0 và   0)

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải
phương trình (có ẩn là tham số).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá
trị cần tìm.

Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2  6m1x9m 30

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệmx1 và x2 thoả mãn hệ thức :

1 2 1. 2

x x x x

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

  2





2  

0 0 0 0

' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1
' 3 21 9( 3) 0

m m m m

m m m m m

m m m

 
     
  
  
   
           

         
   


Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:

1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m


 




 


 và từ giả thiết:

1 2 1 2

x x x x . Suy ra:

6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7

m m

m m m m m m

m m

 

            

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả

mãn hệ thức : x1x2 x x1. 2

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2  2m1x m 2 2 0.

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 2  5x1x2 7 0

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1&x2 là :

2 2

' (2m 1) 4(m 2) 0

     

2 2

4m 4m 1 4m 8 0

     

7
4 7 0

m m

    

Theo hệ thức VI-ÉT ta có:

1 2

2
1 2

2 1
2

x x m

x x m

  




 

 và từ giả thiết
 

1 2 1 2

3x x  5 x x  7 0. Suy ra

2
2

3( 2) 5(2 1) 7 0
3 6 10 5 7 0

2( )
3 10 8 0 4

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ

thức : 3x x1 2 5x1x2 7 0
Bài tập áp dụng

1. Cho phương trình : mx22m 4x m  7 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 2x2 0

2.Cho phương trình : x2m1x5m 6 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4x13x2 1

3. Cho phương trình : 3x2  3m 2x 3m1 0.

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6
Hướng dẫn cách giải:

Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với
bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1x2

và tích nghiệm x x1 2nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT

để tìm tham số m.

+ Cịn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại khơng cho
sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu
thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1x2 và

tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày

ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ:

16
0 &

m m

-Theo VI-ÉT:

1 2

( 4)
(1)
7

m

x x

m
m
x x

m

 


 







 




- Từ x1 2x2 0 Suy ra:

1 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1

2( ) 9
2( ) 3

x x x

x x x x

x x x

 


  



 

 (2)

- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:

1 2

127 128 0 1; 128

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

BT2: - ĐKXĐ:  m2 22m25 0  m11 96;m11 96

- Theo VI-ÉT:

1 2

1 2
1

(1)
5 6

x x m

x x m

  




 


- Từ : 4x13x2 1. Suy ra:

   

1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 3( )

1 3( ) . 4( ) 1
4( ) 1

7( ) 12( ) 1

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

  

     

  


      (2)

- Thế (1) vào (2) ta có phương trình :

0
12 ( 1) 0

1
m
m m
m


   


 (thoả

mãn ĐKXĐ)

BT3: - Vì  (3m 2)24.3(3m1) 9 m224m16 (3 m4)20 với mọi số

thực m nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.

- -Theo VI-ÉT:

1 2
1 2
3 2
3 (1)
(3 1)
3
m
x x

m
x x


 



 
 



- Từ giả thiết: 3x1 5x2 6. Suy ra:

   

1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

1 2 1 2 1 2

8 5( ) 6

64 5( ) 6 . 3( ) 6

8 3( ) 6

64 15( ) 12( ) 36

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

  

     

  


      (2)

- Thế (1) vào (2) ta được phương trình:

0
(45 96) 0 32

15
m
m m
m




  
 


(thoả mãn )

VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG 
TRÌNH BẬC HAI

Cho phương trình: ax2 bx c 0

   (a  0) .Hãy tìm điều kiện để

phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng
âm.

Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 P x x 1 2  Điều kiện chung

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

cùng dấu,   P > 0   0   0 ; P > 0

cùng dương, + + S > 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S >

0
cùng âm   S < 0 P > 0

  0   0 ; P > 0 ; S <

0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:

 

2 2

2x  3m1 x m  m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu.

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

2
2

(3 1) 4.2.( 6) 0

0 ( 7) 0

2 3
6

0 0 ( 3)( 2) 0

m m m

m m

m

m m

P P P m m

      

      

 

     

    

      

  



Vậy với 2m3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.

Bài tập tham khảo:

1. mx2  2m2x3m 2 0 có 2 nghiệm cùng dấu.

2. 3mx22 2 m1x m 0 có 2 nghiệm âm.

3.m1x22x m 0 có ít nhất một nghiệm khơng âm.

VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu
ta ln phân tích được:

A m
C

k B



 

 (trong đó A, B là các biểu thức khơng âm ; m, k là hằng

số) (*)

Thì ta thấy : C m (v ì A0)  minC m  A0

C k (v ìB0)  maxC k  B0

Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 2m1x m 0

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

2 2

1 2 6 1 2

A x x  x x có giá trị nhỏ nhất.

Bài giải: Theo VI-ÉT:

1 2

(2 1)

x x m

x x m

  







Theo đ ề b ài:

 2

2 2

1 2 6 1 2 1 2 8 1 2

A x x  x x  x x  x x

 2
2

2
2 1 8
4 12 1
(2 3) 8 8

m m
m m
m
  
  
   

Suy ra: minA8 2m 3 0 hay
3
2

m

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m 1 0
   

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

 
1 2

2 2

1 2 1 2

2 3
2 1

x x
B

x x x x




  

Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :

1 2

1 2 1

x x m

x x m

 


 

 

1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 3 2 3 2( 1) 3 2 1

2 1 ( ) 2 2 2

x x x x m m

B

x x x x x x m m

    

    

      

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:





 2

2 2

2 2 1 1

2 2

m m m m

B

m m

    

  

 

Vì  

 2
2

2
1

1 0 0 1

2
m
m B
m

     


Vậy max B=1 m = 1

Với cách thêm bớt khác ta lại có:









 





2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

2 1 4 4 2 2 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2

m m m m m m m

B

m m m

       

   

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Vì  
 





2
2
2
2 1

2 0 0

2
2 2

m
m B
m

     

Vậy
1
min 2
2

B  m

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham
số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho ln
có nghiệm với mọi m.

2
2

2 1

2 2 1 0
2

m

B Bm m B

m



     

 (Với m là ẩn, B là tham số) (**)

Ta có:   1 B B(2 1) 1 2  B2B

Để phương trình (**) ln có nghiệm với mọi m thì   0

hay 2B2B  1 0 2B2 B  1 0 2B1 B10
1

2 1 0 2

1 0 1 1

1
2

2 1 0 1

2
1 0
1
B
B
B B
B

B
B
B
B
 



   


 
   
 

      
   
 
 
 
 
 

  


Vậy: max B=1 m = 1
1

min 2

B  m

Bài tập áp dụng

1. Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.Tìm m để biểu thức
 1 22

A x  x có giá trị nhỏ nhất.

2. Cho phương trình x2  2(m1)x 3 m0. Tìm m sao cho nghiệm
1; 2

x x thỏa mãn điều kiện 2 2

1 2 10

x x  .

3. Cho phương trình : x2 2(m 4)x m 2 8 0 xác định m để phương

trình có 2 nghiệm x x1; 2thỏa mãn

a) A x 1x2 3x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

b) B x 12x22 x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất

4. Cho phương trình : x2 (m1)x m 2m 2 0 . Với giá trị nào của m,

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

5. Cho phương trình x2 (m1)x m 0. Xác định m để biểu thức

2 2

1 2

E x x đạt giá trị nhỏ nhất.

Chú ý:

Phương trình bậc hai ax2

+bx+c=0 có hai nghiệm x1 và
x2 thì:

x1
2

+x22=S2−2P

x1− x2=S2−4P

x1

x2

=S

P
x13+x23=S3−3 PS

x1
x2+

x2
x1=

S2
P−2
x12x2+x1x22=SP

x1
2+

x2
2=

S2−2P
P2
x1+1

x2+1

+x2+1

x1+1

= 4+2S

1+S+P

Phương trình ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1 và x2 thì có

thể phân tích ax2+bx+c=a(x − x1) (x − x2)

Phương trình ax2

+bx+c=0 có:

 Hai nghiệm cùng dấu

⇔

Δ≥0

P>0

¿{

 Hai nghiệm cùng dấu dương

⇔

Δ≥0

P>0

S>0

¿{ {

 Hai nghiệm cùng dấu âm

⇔

Δ≥0

P>0

S<0

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

 Hai nghiệm trái dấu

⇔

Δ≥0

P<0

¿{

 Hai nghiệm nghịch đảo

⇔

Δ≥0

P=1

¿{

BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1)

Phương trình trùng phương:

Phương trình dạng ax4

+bx2+c=0 .. .(a ≠0) gọi là phương trình trùng

phương.
Cách giải:

ax4+bx2+c=0 .. .(a ≠0)

Đặt x2=t. ..(t ≥0)

Phương trình trở thành t2+bt+c=0 . Giải phương trình này và nhận

t dương.

Khi đó

x2

=t⇔

x=√t

x=−√t

¿
¿
¿
¿
¿

2)

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Ví dụ: Giải phương trình x −x+11−x −1
x+1=

x2+1

x2−1 .

Giải:

x+1

x −1−

x −1

x+1=

x2+1

x2−1

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

x+1

x −1−

x −1

x+1=

x2+1

x2−1

⇔(x+1)
2−

(x −1)2− x2−1

x2−1 =0
⇔2x+2− x2−1

x2−1 =0

⇔x2−2x −1

=0
⇔(x −1)2=0
⇔x=1. . .(loai)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=O .

3)

Phương trình phản thương loại 1:

Phương trình phản thương loại 1 có dạng ax4+bx3+cx2+dx+e=0

trong đó a=e và b=d .

Phương pháp giải:

Vì x=0 khơng phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai

vế của phương trình cho x2≠0 . Ta được:
ax2+bx+c+d

x+
e
x2=0

⇔

(

ax2

+ e

x2

)

(

bx+
d

x

)

+c=0

⇔a

(

x2+ 1

x2

)

+b

(

x+

x

)

+c=0

Đặt x+1

x=y ;|y|≥√2

⇒x2

+ 1

x2=

(

x+

x

)

−2x1
x=y

2−2

Phương trình trở thành: ⇔aay(y22−2)+by+c=0

+by+c −2a=0

Giải phương trình bậc hai ẩn y ta được y = y0

⇒x+1

x=y0
⇔x

+1− y0x

x =0

⇔x2− y0x+1=0

Giải phương trình bậc hai ẩn x để tìm x.

4)

Phương trình phản thương loại 2:

Phương trình phản thương loại 2 có dạng ax4+bx3+cx2+dx+e=0

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39></div>

GIAO AN DAI SO 9 CA NAM

<b>CHƯƠNG 1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA</b>

<b>BÀI 1 CĂN BẬC HAI</b>

I. Căn bậc hai số học:

II.Căn bậc hai:

<b>BÀI 2 HẰNG ĐẲNG THỨC </b>

<b>I.</b>

<b>Hằng đẳng thức </b>

<b>:</b>

<b>II.</b>

Khai phương một tích:

<b>III.</b>

Khai phương một thương:

√

√

<b>BÀI 3 SO SÁNH HAI CĂN BẬC HAI</b>

I. So sánh hai căn bậc hai:

II. Phân tích biểu thức dưới căn thành nhân tử:

<b>BÀI 4 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI</b>

II. Đưa thừa số vào trong căn:

III. Trục căn thức ở mẫu:

IV. Rút gọn biểu thức chứa căn bâc hai:

<b>BÀI 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI</b>

<b>BÀI 6. CĂN BẬC BA VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC</b>

<b>(A+B)</b>

<b><sub>=A</sub></b>

<b><sub>+B</sub></b>

<b><sub>+3AB(A+B)</sub></b>

√

√

<b>CHƯƠNG II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT</b>

<b>y=ax+b</b>

BÀI 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax+b

(

)

BÀI 3. HÀM SỐ y=a VÀ

<b>1. Hàm số hằng y = a</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

BÀI 4. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐƯỜNG

THẲNG

<b>1. Định nghĩa:</b>

<b>2. Tọa độ điểm tương giao của hai đường thẳng:</b>

(

)

<b>3. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm:</b>

<b>4. Độ dài một đoạn thẳng bất kì:</b>

<sub>√</sub>

BÀI 5. GÓC TẠO BỞI MỘT ĐOẠN THẲNG VÀ

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

<b>CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN</b>

<b>VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN</b>

<b>BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN</b>

<b>1)</b>

<b>Định nghĩa:</b>

<b>2)</b>

<b>Nghiệm nguyên của phương trình ax+b=c:</b>

<b>3)</b>

<b>Tập nghiệm và biểu diễn tập nghiệm:</b>

(

)

(

)

(

)

<b>BÀI 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN</b>

<b>1. Định nghĩa:</b>

<b>2. Biện luận hệ phương trình:</b>

|

|

|

|