Chuyen de 8 HAM SO

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (436.05 KB, 23 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ngủ dậy muộn thì mất cả ngày, ở tuổi thanh niên mà khơng chịu học tập thì phí cả cuộc đời

CHUN ĐỀ 8

CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số y = f

( )

x ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x y

(

0; 0

) ( )

∈ C .

− Tính đạo hàm và giá trị f x'

( )

0 .

− Phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f x'

( ) (

0 x x− 0

)

+ y0.

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x y

(

0; 0

) ( )

∈ C có hệ số góc k= f x'

( )

0 .

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.

− Giải phương trình: f x'

( )

= k, tìm nghiệm x0 ̃ y0.

− Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x=

(

− 0

)

+ y0.
Chú ý:Cho đường thẳng ∆ :Ax By C+ + = 0, khi đó:

− Nếu d//∆

( )

d :y ax b= + ⇒ hệ số góc k = a.

− Nếu d ⊥ ∆

( )

d :y ax b= + ⇒ hệ số góc k 1
a
= − .

Loại 3:Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x y

(

A; A

) ( )

∉ C .

− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( )d :y k x x=

(

− A

)

+ yA

− Điều kiện tiếp xúc của

( ) ( )

d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:

( )

( )

(

)

A A

f x k x x y

f x k

́ = − +



 =



Tổng quát:Cho hai đường cong

( )

C :y= f x

( )

và

( )

C' :y g x=

( )

. Điều kiện để hai đường cong tiếp
xúc với nhau là hệ sau có nghiệm.

( )

( )

( )

( )

' '

f x g x

́ =



 =

 .

1. Cho hàm số y x= 4 − 2x2

a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C):

i. Tại điểm có hồnh độ x= 2.
ii. Tại điểm có tung độ y = 3.

iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1: 24x y− + 2009 0= .
iv. Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: d2:x+ 24y+ 2009 0= .

2. Cho hàm số 2 3

x x

y
x

− − +

+ có đồ thị là (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1).
iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −13.
3. Cho hàm số 2 1

x x

y
x

− −
=

+ có đồ thị (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.

d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).

4. Cho hàm số 2 3 3
1

x x

y
x

+ +

+ có đồ thị (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).

b. Chứng minh rằng qua điểm M(−3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp
tuyến đó vng góc với nhau.

5. Cho hàm số:
2

1
x
y

x
=

− có đồ thị (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b. Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vng góc với đường thẳng đi qua M và tâm
đối xứng của (C).

6. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt 
A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vng góc với nhau.

Lời giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1

⇔

x(x2 + mx + 1) = 0 (*)

Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt

⇔

g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 
khác 0.

( )

2 4 0 2

0 1 0

g m m

m
g

́ ∆ = − >  >


⇔  = ≠ ⇔  < −



 .

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0 B C1
B C

S x x m

P x x

= + = −

̃  = =

 .

Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vng góc với nhau nên ta có:f x′

( ) ( )

C f x′ B = −1

(

3 2

) (

3 2

)

B C B C

x x x m x m

⇔ + + = − 9 6

(

)

4 2 1

B C B C B C

x x  x x m x x m 

⇔  + + +  = −

( )

1 9 6 m m 4m  1

⇔  + − +  = − ⇔ 2m2 = 10⇔ m= ± 5 (nhận so với điều kiện)

7. Cho hàm số y x2 1
x

= . Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai
tiếp tuyến vng góc.

Lời giải:

Gọi M(x0;y0). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0.

Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d: x2 1 k x x

(

0

)

y0,

(

kx 0

)

x+ = − + ≠

(

)

(

)

( )

0 0

1 k x y kx x 1 0 *

⇔ − − − + =

d tiếp xúc với (C):

(

)

(

)

0 0
1

4 1 0

k

y kx k

≠



⇔ ∆ = − − − =



(

)

( )

2 2 2

0 0 0 0

0 0
1

2 2 4 0 I
k

x k x y k y

y kx

≠



⇔  + − + − =

 ≠

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vng góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

1 2
1 2

, 1

1
k k
k k

≠

 = −



(

)

0
2
0
2
0

2
0 0

1
0
x

y
x

y x

́ ≠



 −



⇔  = −



 − ≠



0
2 2
0 0

0 0
0

4
x

x y

y x

≠



⇔  + =

 ≠



Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn u cầu bài tốn là một đường trịn: x2+ y2 = 4 loại bỏ bốn giao 
điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.

8. Cho hàm số 2
1
x

y

x
=

+ . (ĐH Khối−D 2007)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác
OAB bằng 1

4
ĐS: 1; 2

2
M− − ÷

  và M

( )

1;1 .

9. Cho hàm số 2 1
2

x x

y
x

+ −
=

+ . (ĐH Khối−B 2006)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vng góc với tiệm cận xiên.
ĐS: b. y= − ±x 2 2 5− .

10. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: 1 3 2 1

3 2 3

m

y= x − x + (*) (m là tham số). (ĐH Khối−D 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.

b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hồnh độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với
đường thẳng 5x y− = 0

ĐS: m=4.

11. Cho hàm số 3 3 2 3

( )

m

y= x − mx − +x m C . Định m để

( )

Cm tiếp xúc với trục hoành.

12. Cho hàm số y= x4 + x3 +

(

m− 1

)

x2 − −x m C

( )

m . Định m để

( )

Cm tiếp xúc với trục hoành.
13. Cho đồ thị hàm số

( )

: 2 4

1
x

C y

x
−
=

+ . Tìm tập hợp các điểm trên trục hồnh sao cho từ đó kẻ được một tiếp

tuyến đến (C).

14. Cho đồ thị hàm số

( )

C :y= x3− 3x2+ 4. Tìm tập hợp các điểm trên trục hồnh sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến với (C).

15. Cho đồ thị hàm số

( )

C :y= x4 − 2x2 +1. Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến 
đến (C).

16. Cho đồ thị hàm số

( )

C :y= x3 − 3x+ 2. Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được
3 tiếp tuyến với (C).

17. Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) (ĐH Khối−B 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).

Lời giải:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

BBT :

b. Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x +
1) – 9.

Phương trình hồnh độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.

⇔ 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1).

⇔ x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0.

⇔ x = –1 hay x = 5

4; y’(−1) = 24;

5 15
'

4 4

y   = ÷

  .

Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = 15
4 x

21
4

− .

Dạng 2: CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ

Cho hàm sơ y = f

( )

x ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:

− Nghiệm của phương trình f x'

( )

= 0 là hoành độ của điểm cực trị.

− Nếu

( )

( )

0
0

' 0

'' 0

f x
f x

́ =




 thì hàm số đạt cực đại tại x x= 0.

− Nếu

( )

( )

0
0

' 0

'' 0

f x
f x

́ =



 >

 thì hàm số đạt cực tiểu tại x x= 0.

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

− Để hàm số y= f x

( )

có 2 cực trị

'
0

0
y

a≠



⇔  ∆ > .

− Để hàm số y= f x

( )

có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh ⇔ yCĐ.yCT < 0.

− Để hàm số y= f x

( )

có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCĐ.xCT < 0.

− Để hàm số y= f x

( )

có hai cực trị nằm phía trên trục hồnh CĐ. CT 0 0
CĐ CT

y y

+ >

⇔  >

 .

− Để hàm số y= f x

( )

có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành 0

. 0

CĐ CT
CĐ CT

y y

+ <

⇔  >

 .

− Để hàm số y= f x

( )

có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔ yCĐ.yCT = 0.
x −∞ 0 1

+∞

y' + 0 − 0 +
y 1 +∞

−∞ −1

CĐ CT

f(x)=4x^3-6x^2+1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-6
-4
-2

x
y

32461
yxx

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số y ax= 3 + bx2 + cx d+

Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số y ax2 bx c

dx e

+ +

Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng

(

)

(

)

2 '

2
'

ax bx c a b

y x

dx e d d

+ +

= = +

1. Chứng minh rằng hàm số y =

(

)

2 2 1 4 1

x m m x m

x m

+ − − +

− ln có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho hai

cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.

2. Cho hàm số 1 3 2

(

)

1
3

y= x − mx + m+ x− . Định m để:
a. Hàm số ln có cực trị.

b.Có cực trị trong khoảng

(

0;+ ∞

)

.
c. Có hai cực trị trong khoảng

(

0;+ ∞

)

3. Định m để hàm số y x= 3 − 3mx2 +

(

m2 − 1

)

x+ 2 b2 − 4ac đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x33x2+3mx+3m+4.

a. Khảo sát hàm số khi m = 0.

b.Định m để hàm số khơng có cực trị.
c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.

5. Cho hàm số y x= 3 − 3mx2 + 9x+ 3m− 5. Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình 
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.

6. Cho hàm số

(

)

2 1 1

x m x m

y

x m

+ + − +

− . Chứng minh rằng đồ thị hàm số ln có cực đại, cực tiểu với mọi m.

Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hồnh.

7. Cho hàm số y x= 3+

(

1 2− m x

)

2 +

(

2− m x m

)

+ + 2. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

8. Cho hàm số y x2 2mx 1 3m2
x m

+ + −

− . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục

tung.

9. Cho hàm số 1 3 2

(

2 1

)

2

( )

3 m

y= x − mx + m− x m− + C . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
10. Cho hàm số

(

)

2 2 1 2 4

x m x m m

y

x

+ + + +

+ (1). (ĐH Khối−A năm 2007)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.

b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ
O tạo thành tam giác vuông tại O.

ĐS: m= − ±4 2 6 .

11. Cho hàm số y= −x3 − 3x2 + 3

(

m2 − 1

)

x− 3m2 − 1 (1), m là tham số. (ĐH Khối−B năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.

b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa
độ.

ĐS : b 1
2
m= ± .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐH Khối−B năm 2002)

f(x)=x^4-8x^2+10

-30 -25 -20 -15 -10 -5 5

-20
-15
-10
-5
5
10

x
y

b. ĐS :

0 3

m
m
< −

 < <


13. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số

(

)

2 1 1

x m x m

y

x

+ + + +

+ (*) (m là tham số)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.

b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) ln có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa 
hai điểm đó bằng 20 .

f(x)=x+1+1/(x+1)
f(x)=x+1
x(t)=-1 , y(t)=t

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-10
-8
-6
-4
-2
2
4

x
y

b. CĐ(−2;m−3), CT(0;m+1)⇒

20
MN= L=

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN − NGHỊCH BIẾN

Cho hàm sơ y = f

( )

x có tập xác định là miền D.

−f(x) đồng biến trên D ⇔ f'

( )

x ≥ 0,∀x∈ D.

−f(x) nghịch biến trên D ⇔ f'

( )

x ≤ 0,∀x∈ D.

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)

Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f x

( )

= ax2 + bx c+ .

1. Nếu ∆ < 0thì f(x) ln cùng dấu với a.

2. Nếu ∆ = 0thì f(x) có nghiệm

2
b
x

a

= − và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2

b
x

a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3. Nếu ∆ > 0thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2
nghiệm f(x) cùng dấu với a.

So sánh nghiệm của tam thức với số 0
* 1 2

0 0

x x P

S
∆ >


< < ⇔  >

 <


* 1 2

0 0

x x P

S
∆ >


< < ⇔  >

 >



* x1 < <0 x2 ⇔ P< 0

1. Cho hàm số y x= 3 − 3

(

m+ 1

)

x2 + 3

(

m+ 1

)

x+ 1. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.

b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng

(

2;+ ∞

)

.
2. Xác định m để hàm số 3 2 2 1

3 2

x mx

y= − − x+ .

a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên

(

1;+ ∞

)

3. Cho hàm số y x= 3 − 3 2

(

m+ 1

)

x2 +

(

12m+ 5

)

x+ 2.
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng

(

2;+ ∞

)

.
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng

(

− ∞ −; 1

)

.
4. Cho hàm số 2 6 2

mx x

y

x

+ −

+ . Định m để hàm số nghịch biến trên

[

1;+ ∞

)

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG

Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm

Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai
đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao
điểm của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hồnh độ giao điểm (1).

(1) vơ nghiệm ⇔ (C1) và (C2) khơng có điểm chung.
(1) có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung.

(1) có nghiệm đơn x1⇔ (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1).
(1) có nghiệm kép x0 ⇔ (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0).

1. Cho hàm số

(

)

2
1

1
x
y

x
−
=

+ có đồ thị là (C).

a.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 −

(

m+ 2

)

x m− + =1 0.

2. Cho hàm số y=

(

x+ 1

) (

2 x− 1

)

2 có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình

(

x2 − 1

)

2 − 2m+ =1 0.

3. Cho hàm số y x= 3 + kx2 − 4.

a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.

b. Tìm các giá trị của k để phương trình x3 + kx2 − =4 0 có nghiệm duy nhất.

4. Cho hàm số y x= 3 − 3x+ 2. (ĐH Khối−D 2006)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

ĐS: b. 15, 24
4

m> m≠ .

5. Cho hàm số

(

)

2 3 3

2 1

x x

y

x

− + −

− (1) (ĐH Khối−A 2004)

a. Khảo sát hàm số (1).

b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1.
ĐS: b. 1 5

m= ± .

6. Cho hàm số 2
1

mx x m

y

x
+ +
=

− (*) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2003)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=−1.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hồnh độ dương.
ĐS: b. 1 0

2 m

− < < .

7. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 4
2

x x

y
x

− +

− (1). (ĐH Khối−D 2003)

b. Tìm m để đường thẳng dm:y mx= + −2 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
ĐS: m>1.

8. Cho hàm số y = − x3 + 3mx2 + 3(1 − m2)x + m3− m2 (1) (m là tham số) (ĐH Khối−A 
2002)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm k để phương trình − x3 + 3x2 + k3− 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS: b. 1 3

0 2

k

k k

− < <

 ≠ ∧ ≠

 , c.

2
2

y= x m− + m.

Dạng 5: CÁC BÀI TỐN VỀ KHOẢNG CÁCH

Các cơng thức về khoảng cách:

Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):

(

) (

)

B A B A

AB= x − x + y − y .

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng ∆ :Ax By C+ + = 0 và 
điểm M(x0;y0) khi đó d M

(

)

Ax0 2By0 2 C

A B

+ +

∆ =

+ .

1. Cho hàm số 3 3 2 3 3 2

( )

m

y x= − mx − x+ m+ C . Định m để

( )

Cm có cực đại cực tiểu đồng thời
khoảng cách giữa chúng là bé nhất.

2. Cho hàm số

( )

: 2 2
1
x

C y

x
+
=

− . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai

tiệm cận là nhỏ nhất.

3. Cho hàm số

( )

: 2 1
1

x x

C y

x
− +
=

− . Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là

nhỏ nhất.

4. Cho hàm số

( )

: 2 2

1
x

C y

x
+
=

− . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn

MN nhỏ nhất.

5. Cho hàm số

( )

: 2 1
1

x x

C y

x
+ +
=

+ . Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

6. Cho hàm số

( )

: 2 2 1
1

x x

C y

x

+ +

− .

a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.

b. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
7. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số:y mx 1

x

= + (*) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1

b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận
xiên bằng 1

2. ĐS: m=1.

Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Phương pháp:

Từ hàm số y= f x m

(

)

ta đưa về dạng F x y

(

)

= mG x y

(

)

. Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có
là nghiệm của hệ phương trình

(

)

(

)

, 0

F x y
G x y

́ =



 =

 .

1. Cho hàm số y= x3− 3

(

m− 1

)

x2 − 3mx+ 2

( )

Cm . Chứng minh rằng

( )

Cm luôn đi qua hai điểm cố
định khi m thay đổi.

2. Cho hàm số

( )

(

)

2 6 4

2
m

x m x

C y

mx

+ − +

+ . Chứng minh rằng đồ thị

( )

Cm luôn đi qua một điểm cố

định khi m thay đổi.

3. Cho hàm số

( )

Cm :y =

(

1 2− m x

)

4 + 3mx2 −

(

m+ 1

)

. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.

4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y=

(

m+ 3

)

x3 − 3

(

m+ 3

)

x2 −

(

6m+ 1

)

x m+ + 1

( )

Cm luôn đi qua
ba điểm cố định.

Dạng 7: ĐỒ THỊ CH ỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f(x) có đồ thị (C) y= f x

( )

có đồ thị (C’) y= f x

( )

có đồ thị (C “)

( )

y= f x ≥ ∀ ∈x D. Do đó ta phải
giữ ngun phần phía trên trục Ox và
lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox
lên trên.

( )

y= f x có f

( ) ( )

− x = f x ,

x D

∀ ∈ nên đây là hàm số chẵn
do đó có đồ thị đối xứng qua
trục tung Oy.

f(x)=x^3-2x^2-0.5

x
y

(C)

f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5

x
y
(C')

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5
f(x)=x^3-2x^2-0.5

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ

1. Cho hàm số

( )

: 2

2 2

x x

C y

x
+
=

− .

a.Khảo sát hàm số.

b. Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.
2

2 2

x x

k
x

+
=

− .

f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=x/2+1

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4

-8
-6
-4
-2
2
4
6

x
y

2 2

x x
y

x

+
=

−

f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=x/2+1
f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2)
f(x)=-x/2+1

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-8
-6
-4
-2
2
4

x
y

2 2

x x

y

x

+
=

−

2. Cho hàm số

( )

: 2 3 3
1

x x

C y

x

+ +

+ .

a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2 3 3
1

x x

m
x

+ + =

+ .

f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-10
-8
-6
-4
-2
2
4

x
y

23 3

x x

y
x

+ +
= +

f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1)
f(x)=-x-2

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-10
-8
-6
-4
-2
2
4

x
y

23 3

x x

y
x

+ +
= +

3. Cho hàm số

( )

: 4 2
1
x x
C y

x
−
=

− .

a.Khảo sát hàm số.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-10

-8
-6
-4
-2
2
4

x
y

4
1

x x
y

x
−

= −

f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1)
f(x)=-x+3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-10
-8
-6
-4
-2
2
4

x
y

4
1

x x
y= x−

−

4. Cho hàm số

( )

: 2 1
2

x x

C y

x
+ −

+ .

1. Khảo sát hàm số.

2. Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2 +

(

1− m x

)

− 2m− =1 0.
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= 2x3 − 9x2 + 12x− 4.

b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2 x3 − 9x2 + 12x = m. (ĐH Khối A−2006)

f(x)=2x^3-9x^2+1 2x

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4

-8
-6
-4
-2
2
4
6

x
y

29 12

y=x−x+x

f(x)=2abs(x )^3 -9x ^2+12abs(x)

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-8
-6
-4
-2
2
4
6

x
y

3
2

2 912

y=x−x+x

a. ĐS: b. 4<m<5.

Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Điểm I x y

(

0; 0

)

là tâm đối xứng của đồ thị

( )

C y: = f x

( )

⇔ Tồn tại hai điểm M(x;y) và
M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:

( )

0
' 2

' 2

x x x

f x f x y

+ =



 + =



( )

(

)

0 0

' 2

2 2

x x x

f x f x x y

= −



⇔  + − =



Vậy I x y

(

0; 0

)

là tâm đối xứng của (C) ⇔ f x

( )

= 2y0 − f

(

2x0 − x

)

.
1. Cho hàm số 2 2 2 2

2 3

x x m

y

x

+ + +

+ có đồ thị

( )

Cm .

Tìm giá trị của m để

( )

Cm có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

2. Cho hàm số

( )

: 2 2 2 2

1
m

x m x m

C y

x

+ +

+ .

Định m để

( )

Cm có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
3. Cho hàm số y x= 3 − 3x2 + m

( )

1 (m là tham số).

a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B−2003)
ĐS: a. f x

( )

0 = − f

(

−x0

)

,∀x0 ≠ 0⇒ … m>0.

4. Cho hàm số 3 2 3 11

3 3

x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

5. Cho hàm số y= x3+ ax2 + bx c+

( )

1 . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) 
và đi qua điểm M(1;−1).

6. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Khối D−2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị
của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Lời giải:

a. D = R.

y' = 3x2− 6x = 3x(x − 2), y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2.
y" = 6x − 6, y" = 0 ⇔ x = 1.

x −∞ 0 1 2 +∞

y' + 0 − | − 0 +
y" − − 0 + +

y 4 + ∞

CĐ 2 CT

−∞ U 0

2. d : y − 2 = k(x − 1) ⇔ y = kx − k + 2.

Phương trình hồnh độ giao điểm: x3− 3x2 + 4 = kx − k + 2 ⇔ x3− 3x2− kx + k + 2 = 0.

⇔ (x − 1)(x2− 2x − k − 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ g(x) = x2− 2x − k − 2 = 0.
Vì ∆' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > − 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!.

Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN

1. Định nghĩa:

(d) là tiệm cận của (C) ⇔ lim( ( )) = 0

∈∞

→

C
M
M MH

2. Cách xác định tiệm cận

a. Tiệm cận đứng: lim

( )

: 0

x
x
d
x

f

x

x→ = ∞ ⇒ = .

b. Tiệm cận ngang: lim f

( )

x y0

( )

d :y y0
x

=
⇒

∞

→ .

c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=λx+µ trong đó:

( )

[

f

( )

x x

]

x
x
f

x

x µ λ

λ = = −

∞
→
∞

→ ; lim

lim .

Các trường hợp đặc biệt:

f(x)=x^3-3x^2+4

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-10
-8
-6
-4
-2
2
4

x
y

O

-2

-4

-6

-1 0 -5 5

x
( d)

( C)

h y( ) = 0

g x( ) = 0

f x( ) = 1.7x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
n
mx
b

ax
y
+
+
=

+TXĐ: D= R\






 −
m
n

+TCĐ: y

( )

d x mn
m
n
x
−
=
⇒
∞
=
−
→
:
lim

+TCN:

( )

m
a
y
d
m
a
y

x→∞ = ⇒ : =

lim

f(x)=x/(x-1 )
f(x)=1
x (t )=1 , y (t )=t
T ?p h ?p 1

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4

-3
-2
-1
1
2
3
x
y
m
a
y=
m
n
x=−
I

* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)

(

)

n
mx
A
x
n
mx
c
bx
ax
y
+

+
+
=
+
+
+

= 2 λ µ

+TXĐ: D= R\






 −
m
n

+TCĐ: y

( )

d x mn
m
n
x
−
=
⇒
∞
=
−

→
:
lim

+TCX: lim = 0

∞

→ mx n

A

x ⇒ TCX: y=λx+µ

f(x )=x ^2 /(2 (x -1 ))
f(x )=x /2 +1 /2
x (t )=1 , y (t )=t
T ?p h ?p 1

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5

-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
µ
λ +
= x
y
m
n
x=−
I

1. ( ĐH – A2008 ) Cho hàm số

(

)

( )

2 3 2 2 2

1
3

mx m x

y

x m

+ − −

+ , với m là tham số thực.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.

b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450.

Lời giải: a. Khi m =1: 2 2 2 4

3 3
x x
y x
x x
+ −
= = − +
+ + .

TXĐ:D R=

{ }

−3

(

)

2
2
6 5
3
x x
y

x
+ +
′ =

+ . y′ = 0

( )

1 1 1

5 5 9

x y
x y
 = − − = −
⇔ 
= − − = −


Tiệm cận: xlim→ −3y= ∞ tiệm cận đứng: x = −3. lim 4 0
3

x→ ∞ x+ = tiệm cận xiên: y = x – 2.

lim , lim

x→ − ∞ y= − ∞ x→ + ∞ y= + ∞ ,xlim→ −3− y= − ∞, limx→ −3+ y= + ∞ .

Bảng biến thiên

x -5 -1

y' 0 0

y -9 CT

CĐ -1
-3
− ∞ + ∞
+ ∞ + ∞
− ∞
− ∞

(

)

2 3 2 2 2

6 2

3 3

mx m x m

y mx

x m x m

+ − − −

= = − +

+ +

Gọi (Cm) là đồ thị hàm số. (Cm) có tiệm cận đứng d x1: + 3m= 0và tiệm cận xiên d2: mx y− − =2 0

1
0
3
m m
 ≠ ∧ ≠ 
 ÷
  .
f(x)=(x^2+x-2)/(x+3)
f(x)=x-2
x(t)=-3 , y(t)=t

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

f(x)=(2x+1)/(1-x)
y=3x+1
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-2
Series 1
f(x)=-(1/3)x-13/3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4

-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
x
y
N(2;-5)
M
H
Theo giả thuyết ta có: cos 450 2

1
m
m
=
+ 2
2
2 1
m
m
⇔ =
+
2 1
m

⇔ = ⇔ m= ±1 (nhận).

2. Cho hàm số

( )

(

)

2 2 1 1

mx m x m

y f x

x

+ − + −

= = . Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên
đi qua gốc tọa độ.

3. Cho hàm số 2 (2 1). 3

(

1, 0

)

ax a x a

y a a

x

+ − + +

= ≠ − ≠

− có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của

hàm số này có tiệm cận xiên ln đi qua một điểm cố định.
4. Cho hàm số ( ) 2 2 3 2

x x

y f x

x

− +

= =

− có đồ thị (C).

a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận
là một số khơng đổi.

b. Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất.
5. Cho hàm số ( ) 2 2 2

x mx

y f x

x

+ −

= =

− có đồ thị (Cm). Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm

số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
6. Tìm m để đồ thị hàm số 2

1
1
x
y
x mx
+
=

+ + có hai tiệm cận đứng là x=x1 và x=x2 thỏa mãn

1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
− =
́


 − =
 .

7. Cho hàm số 1
1
x
y
x
+
=

− có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ
nhất.

8. Cho hàm số 2 1
2
x
y
x
+
=

− có đồ thị (H).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.

b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại giao điểm với trục tung.

c. Tìm những điểm N (xN >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn nhất.

HD câu b, c.

* Gọi M klà giao điểm của (C) với trục tung⇒M

( )

0;1 . Phương trình tiếp tuyến là y= 3x+ 1 hay

( )

3x y− + =1 0 ∆ .

* Lấy

(

0 0

) ( )

(

)

; ; 2 , 1

N x y H N x x

x

 

∈  − + ÷ >

−

  . Khi đó

(

)

0 0

3 2 1

1
,
10
x
x
d N
+ − +
−

∆ = . Đặt

( )

0 0 0

3 3

g x x

x

= + −

− .

(

)

min

( )

min

d N ∆ ⇔ g x .

* Khảo sát hàm

( )

0 0

3 2

g x x

x

= + −

− trên khoảng

(

0;+ ∞

)

( )

(

)

0 2

0
3
' 3
1
g x
x
= −
− ,

( )

0
0
0
0
' 0
2
x
g x
x
=

= 
=

 , (lập bảng biến thiên

…)

* Do x0 > 1 nên ta chỉ nhận nghiệm x0 = 2 thay vào N ta được

(

2; 5

)

N − . Vậy N

(

2; 5−

)

thì

(

)

min 6 10
5

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

−−−−−−−−−−−−−−−−−

Dạng 10: DIỆN TÍCH − THỂ TÍCH

Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp)

a. Diện tích

Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1),

(C2) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi cơng thức:

( ) ( )

b

a

S=

̣

f x − g x dx

Chú ý:

Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b

ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.

b. Thể tích

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
được tính bởi cơng thức: =

∫

[ ( )]

b
a

dx
x
f

V π 2

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=ξ(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi cơng
thức: =

∫

[ ( )]

d

c

dy
y

V π ξ 2

Thể tích trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox

(f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]) được tính bởi cơng thức: =

∫

{

[ ( )] − [ ( )]

}

b

a

dx
x
g
x
f

V π 2 2 .

*
* *
1. Cho hàm số

(

)

2 1

m x m

y

x

− −

− (1) (m là tham số). (ĐH Khối−D

2002)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=−1.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
c. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x.

ĐS: b. 1 4 ln4
3

S = − + , c m≠ 1.
2. Cho hàm số 2 2

x x

y
x

− −
=

− .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

b. Tính phần diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hồnh.

Dạng 10 này sẽ được trình bày cụ thể hơn trong chuyên đề Tích phân−Ứng dụng.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CHUNG

x
y

f(x

)

g(x)
b
a

x
y

f(x

) ξ(x)

b

a

y

x c

d

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 1 ( ĐH A 02). Cho hàm số y= − +x3 3mx2+ 3 1

(

− m x m2

)

+ 3− m2

( )

1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b. Tìm k để phương trình : − x3+ 3x2+ k3− 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số (1)

Bài 2 ( ĐH B 02). Cho hàm số y mx= 4+

(

m2− 9

)

x2+10 1

( )

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1 b. Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm
cực trị

Bài 3 (ĐH D 02). Cho hàm số

(

)

( )

2 1

1
1

m x m

y

x

− −

−

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = -1 (C) b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và
2 trục toạ độ

c.Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x

Bài 4 (ĐH A 03 ). Cho hàm số

( )

1
1

mx x m

y

x

+ +
=

−

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = -1 (C)

b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ dương

Bài 5 (ĐH B 03 ). Cho hàm số: y x= 3− 3x2+ m

( )

a. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2

Bài 6 (ĐH D 03 ).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

( )

2 2 4

1
2

x x

y
x

− +

=
−

b. Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt

Bài 7 ( ĐH A 04 ). Cho hàm số

(

) ( )

2 3 3

2 1

x x

y

x

− + −

−

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2
điểm A, B sao cho AB = 1

Bài 8. ( ĐH B 04 ) Cho hàm số: 1 3 2 2 3

( )

1
3

y= x − x + x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b. Viết phương trình tiếp tuyến

( )

∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng

( )

∆ là tiếp
tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 9. (ĐH D 04). Cho hàm số: y x= 3− 3mx2+ 9x +1 1

( )

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 b. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc
đường thẳng y = x + 1

Bài 10 (ĐH A 05 ). Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1/4

b. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm)
đến TCX của (Cm) bằng 1

Bài 11 ( ĐH B 05 ). Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số

(

)

( )

2 1 1

1
1

x m x m

y

x

+ + + +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 12. ( ĐH D 05). Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 1 3 2 1

( )

3 2 3

m
y= x − x +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hồnh độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song
song với đường thẳng 5x – y = 0.

Bài 13. (ĐH A 06).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= 2x3− 9x2+12x− 4

b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt : 2 x3− 9x2+12 x = m

Bài 14 ( ĐH B 06 ) . Cho hàm số:

2 1

x x

y
x

+ −
=

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến vng góc với TCX của đồ thị
hàm số

Bài 15 ( ĐH D 06). . Cho hàm số: y x= 3− 3x+ 2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b. Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại
3 điểm phân biệt

Bài 16. ( ĐH A 07). Cho hàm số:

(

)

( )

2 2 1 2 4

1
2

x m x m m

y

x

+ + + +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1

b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc
toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.

Bài 17. ( ĐH D 07). Cho hàm số: 2
1
x
y

x

=
+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b. Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) ,biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam
giác OAB có diện tích bằng 1

Bài 18. (ĐH B 07). Cho hàm số: y= −x3+ 3x2+ 3

(

m2−1

)

x− 3m2−1 1

( )

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= 1

b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (1) cách đều gốc toạ
độ O

Bài 19. ( CĐSP HN 02). Cho hàm số:

( )

2 1

1
1
x mx
y

x

+ −

=
−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =1 (C) b.Tìm những điểm trên (C) có toạ
độ là những số ngun

c. Tìm m để đường thẳng y= m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OA vng
góc OB

Bài 20. ( CĐSP Vĩnh Phúc 02). Cho hàm số:

2 1

1
x mx
y

x

+ −

=
−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =1 (C)

b. Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng

(

− ∞;1

) (

v 1;+ ∞

)

c. Với giá trị nào của m thì TCX của đồ thị hàm số tạo với các trục toạ độ 1 tam giác có diện tích
bằng 4

Bài 21. ( CĐSP Hà Tĩnh 02). Cho hàm số:

2 5

x x

y

x

+ −
=

−

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

2 5

x x

m
x

+ −

=
−

Bài 22. (CĐSP Nha Trang 02). Cho hàm số: y x= 3− mx2+ 1

( )

Cm
a. Khi m = 3:

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ

b. Xác định m để đường cong (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (D) có phương trình y= 5 .Khi đó ,
tìm giao điểm còn lại của (D) với (Cm)

Bài 23. ( CĐ KTKT Hải Dương 02).
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2
1
x
y

x

=
−

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2

1
x

m
x − =

Bài 24. ( CĐ KTTV 03). Cho hàm số:

(

)

( )

2 1 1

x m x m

y

x

− + + +

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) ln có giá trị cực đại (yCĐ) và giá trị cực tiểu (yCT) với mọi
m. Tìm m để (yCĐ)2 = 2yCT

Bài 25. ( CĐ Điều Dưỡng 04). Cho hàm số: y x= 3− 3x+ 2 1

( )

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(1;0)

Bài 26. ( CĐSP Hải Phòng 04). Cho hàm số: y= − +x3 3x

( )

1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -
9x

Bài 27. ( Cao Sư mẫu1 04). a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= − +x3 3x

( )

a. Tìm max, min của hàm số y x= 4− 4x2+1 , x∈ −

[

1; 2

]

Bài 28. (Cao Sư mẫu3 04). Cho hàm số: y x= 3− 3x2+ 4m

a. Chứng minh rằng đồ thị hàm số ln có 2 điểm cực trị. Khi đó xác định m để 1 trong 2 điểm
cực trị này thuộc trục hoành

b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(2;0)

d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox và các đường thẳng x = 1, x =3

Bài 29. ( CĐSP 04). Cho hàm số:

2 4

x x

y
x

− +
=

−

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Với giá trị nào của a thì đường thẳng y= a cắt đồ thị (C)
tại 2 điểm phân biệt

Bài 30. ( CĐSP Bắc Ninh 04).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 1
x
y

x

+
=

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

2 1 2 1

x m

+ = +

Bài 31. ( CĐSP Ninh Bình 04). Cho hàm số: y x= 3− 6x2+ 9mx

( )

1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 32 ( CĐSP Bình Phước 04). Cho hàm số:

(

)

( )

2 2

1
1

x m x m

y

x

+ + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1 b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu

c) Tìm m để đường thẳng y = -x – 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường
thẳng y = x

Bài 33. ( CĐSP Kon tum 04). Cho hàm số:

( )

2 2 2

1
1

x x

y

x

− +

=
−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x2−

(

m+ 2

)

x m+ + =2 0

Bài 34. ( CĐSP Hà Nam 04). Cho hàm số: y x= 3+ mx2− −x m C

( )

m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b. Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành 1 cấp
số cộng

c. Tìm các điểm mà (Cm) ln đi qua với mọi m

Bài 35. ( CĐ Giao Thông 04).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 2 1

x x

y

x

+ +

b. Tìm m để phương trình : 2
1

2 log

x m

x

+ + = có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài 36. (CĐ Giao Thông 2 04). Cho hàm số:

( )

2 2 2

1
1

x x

y

x

− +

=
−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận của đồ thị hàm số (1) . Hãy viết phương trình 2 đường thẳng đi
qua I sao cho chúng có hệ số góc nguyên và cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của
1 hình chữ nhật

Bài 37. (CĐ Giao Thơng 3 04). Cho hàm số:

( )

2 2 5

1
1

x x

y

x

+ −

=
−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Định m để đường thẳng y = mx cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho gốc toạ
độ O là trung điểm AB

Bài 38. ( CĐ KTKT 1 04). Cho hàm số: y x= 3 + 3x2+ 4 1

( )

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng

c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua điểm A(0;-1)

Bài 39. (CĐ KTKT 2 04). Cho hàm số:

( )

2 3

1 m

x mx m

y C

x

− + +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 (C)

b. Tìm tất cả những điểm thuộc đồ thị (C) có toạ độ là các số nguyên

c. Với giá trị nào của m thì (Cm) suy biến thành 1 đường thẳng ? Viết phương trình đường thẳng
và nhận xét đường thẳng có gì đặc biệt.

Bài 40. ( CĐ CKLK 04). Cho hàm số:

x x a

y

x a

− + +

=
+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với a = 1

b. Xác định a để đường thẳng y = x – 1 cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân biệt

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

b. Tìm m để hàm số ln ln đồng biến trên

(

1;+ ∞

)

Bài 42. ( CĐ Công nghiệp 4 04). Cho hàm số:

( )

2 4 4

1
1

x x

y

x

− + −

−

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường TCX của (C) và 2 đường thẳng x = 2, x= m
(m > 2). Tìm m để diện tích này bằng 3.

Bài 43. ( CĐ Xây dựng 3 04 ). Cho hàm số:

(

)

1 4

x m x m

y

x

+ − − +

−

a. Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ?
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

c. Định a sao cho phương trình :
2 3

1
x

a

x + =− có 2 nghiệm phân biệt

Bài 44. ( CĐ Công nghiệp 04). Cho hàm số: y= −x3+ 3x2− 2

( )

C
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -
9x

Bài 45. ( ĐH Sư Phạm TPHCM D 00).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

( )

2 3 3

x x

y C

x

+ +

=
+

b. Tìm 2 điểm A, B trên 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài AB min

Bài 46. ( CĐ Đà Nẵng 04). Cho hàm số:

( )

2 1

1
1
x x
y

x

− +
=

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vng góc với TCX

Bài 47. ( CĐ Lương thực Thực phẩm 04).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x= 3+ 3x2+ 1

b. Tìm m để phương trình : x3+ 3x2+ − =m 1 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(0;1)

Bài 48. ( CĐ TCKT 04). Cho hàm số:

( )

2 4 10

x x

y C

x

− +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Định m để đường thẳng (d): mx – y – m = 0cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Xác định
m để AB ngắn nhất

c. Tìm t để phương trình :
2

2 4 10

log 0

x x

t
x

− + −

+ =

− có 4 nghiệm phân biệt

Bài 49. ( CĐ Y tế Nghệ An 04). Cho hàm số: y x= 3− mx m+ − 2 a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ 
thị hàm số với m = 3

b)Gọi (Cm) là đồ thị hàm số đã cho . Chứng tỏ rằng tiếp tuyến của (Cm) tại điểm uốn của nó ln đi
qua 1 điểm cố định khi m thay đổi

Bài 50. ( CĐ Khối A 05). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

( )

2 2 2

1
1

x x

y

x

− +

=
−

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
3

15
4

x
y= +

Bài 51. ( CĐ Xây dựng số 3 05). Cho hàm số:

( )

m

x x m

y C

x m

− + +

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2 b.Xác định m để đường TCX của
(Cm) đi qua điểm A(3;0)

b. Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt đường thẳng (d): y = x – 1 tại 2 điểm phân biệt

Bài 52. ( CĐ GTVT 05). Cho hàm số:

( )

2 3

x x

y

x m

−
=

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m =-1

b. Tìm m để hàm số đồng biến trên

[

1;+ ∞

)

Bài 53. ( CĐ KTKT 1 05). Cho hàm số: 3

( )

1
2
x
y

x

+
=

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Chứng minh rằng đường thẳng 1

y= x m− luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B. Xác định m
sao cho AB min.

Bài 54. ( CĐ TCKT 4 05). Cho hàm số: y= − x3+ 3x+ 2 1

( )

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C)
và trục hồnh

b. Tìm m để phương trình : x3− 3x+ 2m − =6 0

có 3 nghiệm phân biệt

Bài 55 . ( CĐ Truyền hình 05). Cho hàm số:

(

)

(

)

( )

2 2 1 2 4

1
2

x m x m m

y

x m

+ + + + +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

b. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của (1)

Bài 56 . ( CĐ SP TPHCM 05). Cho hàm số 1

( )

1
x

y C

x

+
=

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).

b. Xác định m để đường thẳng d : y = 2x +m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp
tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

Bài 57 . ( CĐ KTKT Cần thơ 05). Cho hàm số

(

)

(

)

( )

3 1

m x m m

y

x m

− − +

a. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mọi khoảng thuộc tập xác định của nó.
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Bài 58 . ( CĐ SP Vĩnh Long 05). Cho hàm số

( )

2 2 1

1
1

x mx

y

x

+ −

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

b. Tìm m để đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt M và N sao cho
OM vng góc với ON

Bài 59 . ( CĐ Bến Tre 05). Cho hàm số

(

)

( )

2 2 4 4 1

1
1

mx m x m

y

x

+ − + +

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b. Tìm các giá trị của m sao cho hàm số (1) có 2 cực trị và 2 giá trị cực trị trái dấu

Bài 60 .( CĐ SP Sóc Trăng 05). Cho hàm số

(

)

2 1 2

x m x

y

x

+ − +

−

a. Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1.x2 = -3
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

c. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình : x2+ + =x 2

(

k+1

)

x k− −1

Bài 61 . ( CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long 05). Cho hàm số

( )

m

x mx m

y C

x

− +

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

b. Tìm các giá trị của m sao cho từ điểm M(2;-1) có thể kẻ đến (Cm) 2 tiếp tuyến khác nhau

Bài 62 . ( CĐ Công nghiệp HN 05). Cho hàm số

( )

2 1

1
1

x x

y
x

− +

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Dựa vào đồ thị hàm số (1), hãy vẽ đồ thị hàm số :

2 1

x x

y
x

− +

=
−

Bài 63 . ( CĐ SP Hà Nam 05). Cho hàm số y= − +x3 3x− 2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua A(-2;0)

c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3− 3x+ +2 log2m= 0,m> 0.

Bài 64 . ( CĐ KT TC 05). Cho hàm số y x= 3− 3x m+

( )

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc Ox

Bài 65 . ( CĐ SP Vĩnh Phúc 05). Cho hàm số

2 2 2
1

x x

y

x

− +

=
−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

2 2 2 2 2 2

1 1

x x m m

x m

− + = − +

− −

Bài 66 . ( CĐ SP Hà Nội 05). Cho hàm số

( )

2 2 2

x x

y C

x

− +

=
−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Tìm toạ độ 2 điểm A, B ở trên (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng x – y +4 = 0

Bài 67 . ( CĐ SP Kon Tum 05). Cho hàm số

( )

1
1

x x

y
x

− +

=
+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và trục Ox
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox

Bài 68 . ( CĐ Đà Nẵng 05). Cho hàm số y x 2 1

( )

1
x

= + + .

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) .

b. Dùng đồ thị (C), tìm m để phương trình : 2

(

)

2 log 1

x m

x

+ + = − có đúng 2 nghiệm phân biệt

Bài 69 . ( CĐ SP Quảng Nam 05).

1. Cho hàm số ln 2005 ( 0)
16 7

y x

x

= >

+ `

a. Tính đạo hàm của hàm số

b. Chứng tỏ rằng với mọi x > 0, ta có : 2005

(

xy'+ 1

)

= 7ey

2. Cho hàm số y=

(

m2+1

)

x3− 3

(

m2+1

)

x. Tìm m để tung độ của điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số nhận giá trị lớn nhất. Với m đó, nhận xét về tung độ của điểm cực đại

Bài 70 . ( CĐ Y Tế Thanh hoá 05). Cho hàm số

(

)

(

)

( )

2 3 2

1 2 2

m x mx m m

y

x m

+ − − − −

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2

b. Xác định các giá trị của m để hàm số (1) có hồnh độ các điểm cực trị thuộc khoảng
(0;2)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 1
1
y x

x

= + +
+

b. Chứng minh rằng với mọi a≠ − −2, 1 ; từ điểm A(a;0) trên Ox luôn kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ
thị hàm số

c. Tìm a sao cho 2 tiếp tuyến nói trên vng góc với nhau

Bài 72 . ( CĐ SP Quảng Ngãi 05). Cho hàm số

(

)

2 1 1

x m x m

y

x

− + + +

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b. Chứng minh rằng với m bất kì đồ thị hàm số (Cm) ln có điểm cực đại, cực tiểu

Bài 73. ( ĐH A 08). Cho hàm số

(

)

( )

2 3 2 2 2
1
3

mx m x

y

x m

+ − −

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b. Tìm các giá trị của m để góc giữa 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450

Bài 74. ( ĐH B 08). Cho hàm số y= 4x3 − 6x2+1 1

( )

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9)

Bài 75. ( ĐH D 08). Cho hàm số y x= 3 − 3x2+ 4 1

( )

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I (1;2) với hệ số góc k > -3 đều cắt đồ thị hàm
số (1) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.

</div>

Chuyen de 8 HAM SO

<b>CHUN ĐỀ 8</b>

<b>CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN</b>

<b>KHẢO SÁT HÀM SỐ</b>

( )

(

) ( )

( )

( ) (

)

(

) ( )

( )

( )

(

)

( )

( )

(

) ( )

(

)

( ) ( )

( )

<sub>( )</sub>

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

<sub>( )</sub>

( )

<sub>( )</sub>

⇔

⇔

( )

( ) ( )

(

) (

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

<sub>( )</sub>

( )

<sub>( )</sub>