Chuyen de hinh hoc khong gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (158.11 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

A. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ:

1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng:

a. Loại 1 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) khi vectơ pháp tuyến n( ; ; )A B C


và một điểm
0( ; ; )0 0 0

M x y z thuộc ( ) :

- Pt ( ) có dạng: A x x(  0)B y y(  0)C z z(  0) 0
- Khai triển, rút gọn rồi đưa về dạng tổng quát:

Ax By Cz D với D(Ax0By0Cz0)

b. Loại 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa ba điểm M, N, P không thẳng hàng
- Tìm VTPT của ( ) : n MN MP


 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
   
- Mặt phẳng ( ) : đi qua điểm M

có VTPT n


c. Loại 3 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và song song với mặt
phẳng ( ) : Ax By Cz D

- Pt ( ) có dạng: Ax By Cz D' 0 (D' D) (1)
- Thay tọa độ M0 vào (1) ta tìm được D’

d. Loại 4 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai điểm M, N và vng góc với mp( ) :
0

Ax By Cz D

- Tìm VTPT của ( ) :
n MN n 



 

   

- Mặt phẳng ( ) : đi qua điểm M
có VTPT n



e. Loại 5 : viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB:
- Tìm tọa độ trung điểm I của AB

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mp:
đi qua I

có VTPT n AB
 

* CÁC VD:

 VD1: Viết ptmp ( ) đi qua điểm M(2;0;1) và nhận n(1;1;1)


làm VTPT
Giải

ptmp ( ) có dạng: 1.(x 2) 1.( y 0) 1.( z1) 0
 x y z   3 0

 VD2: Viết ptmp ( ) đi qua ba điểm: P(1;-2;3); Q(2;0;1); R(-1;1;-2)
Giải

M
N n



n





(loại 1)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Ta có: PQ(1; 2; 2)



( 2;3; 5)

PR  



( 4;9;7)

n PQ PR

     

 

- Mp ( ) : đi qua Q(2;0;1)

có VTPT n  ( 4;9;7)


có pt: 4(x 2) 9( y 0) 7( z1) 0
4x 9y 7z 1 0

    

 VD3: Viết phương trình mp ( ) đi qua điểm: P(1;-2;3) và song song với mp
( ) : 2x 3y z  5 0

Giải
- Ptmp ( ) có dạng: 2x 3y z D  0 (D5)
- Do P( ) nên: 2.1 3.( 2) 3   D0

D
 

Vậy ptmp ( ) :2x 3y z 11 0

 VD4: Viết phương trình mp ( ) đi qua hai điểm: O(0;0;0); A(0;2;0) và vng
góc với mp ( ) : 2x3y 4z 2 0

Giải
- Ta có: OA(0;2;0)



n (2;3; 4)


 n OA n   ( 8;0; 4)


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

- Mp ( ) : đi qua O(0;0;0)

có VTPT n  ( 8;0; 4)


có pt: 8(x 0) 0( y 0) 4( z 0) 0
2x z 0

  

 VD5: Cho hai điểm A(2;3;-4) và B(4;-1;0). Viết phương trình mp trung trực của
đoạn thẳng AB.

Giải
- Gọi I là trung điểm của đoạn AB

Ta có: I(3;1;-2)

- Mp trung trực của đoạn AB là mp: đi qua I

có VTPT n AB ( 8;0; 4)
 

có pt: 2(x 3) 4( y1) 4( z2) 0
 x 2y2z 3 0

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 1: Viết ptmp trong các trường hợp sau:

a. ( ) đi qua điểm M(1;1;1) và nhận n (2;0;1)


làm VTPT

b. ( ) đi qua điểm A(1;0;0) và song song với giá của 2 vectơ : u(0;1;1)


; v ( 1;0; 2)


c. ( ) đi qua ba điểm M(1;1;1); N(4;3;2); P(5;2;1)

Bài 2: Viết ptmp trung trực của đoạn thẳng AB với A(1;-2;4) và B(3;6;2)
Bài 3: Cho tứ giác có các đỉnh là: A(5;1;3); B(1;6;2); C(5;0;4); D(4;0;6)

a. Hãy viết ptmp (ABC)

b. Hãy viết ptmp ( ) đi qua D và song song mp (ABC)

Bài 4: Viết ptmp ( ) đi qua góc tọa độ O và song song mp ( ) : x y 2z 7 0

Bài 5: Lập ptmp ( ) đi qua hai điểm A(0;1;0); B(2;3;1) và vuông góc với mp ( ) :

2 0

x y z 

2. Vị trí tương đối của hai mp:

1 1 1 1

( ) : A x B y C z D   0

2 2 2 2

( ) : A x B y C z D   0
Xét 2 VTPT: n ( ; ; )A B C1 1 1



2 2 2

( ; ; )

n  A B C



i. ( ) cắt ( )  A B C1: 1: 1 A B C2: 2: 2
ii.

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) //( ) A B C D

A B C D

     

iii.

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) ( ) A B C D

A B C D

      

Đặc biệt: ( ) ( )    A A1 2B B1 2C C1 2 0
* CÁC VD:

 VD6: Xét vị trí tương đối của các cặp mp cho bởi các pt sau:
a. ( ) :1 x2y3z 4 0

( ) : x5y z  9 0
b. ( ) :2 x y z   5 0

( ) : 2 x2y2z 6 0
c. ( ) :3 x2y3z 1 0

( ) : 3 x6y9z 3 0

Giải
a. Ta có: n1 (1; 2;3)



1 (1;5; 1)

n  



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c. ( ) ( )3  3

 VD7: Xác định giá trị của m để cặp mp sau đây vng góc:
( ) : 2 x my 2mz 9 0

( ) : 6 x y z  10 0

Giải
Ta có: n (2; ; 2 )m m



(6; 1; 1)

n   



( ) ( )    2.6m.( 1) 2 .( 1) 0  m  

m
 

 VD8: Xác định vị trí của m và n để cặp mặt sau song song:
( ) : 2 x my 3z 5 0

( ) : nx 8y 6z 2 0
Giải

Ta có:

2 3 5

( ) //( )

8 6 2

m
n

     

 

3 12
6 24

n
m



 

 


4
4

n
m



 



* CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Bài 6: Xét vị trí tương đối của các cặp mp cho bởi pt sau: 
a. ( ) : 31 x 2y 3z 5 0

( ) : 9 x 6y 9z 5 0
b. ( ) :3 x 2y z  3 0

( ) : x 2y z  3 0
c. ( ) :5 x y 2z 4 0

( ) :10 x10y20z 40 0

Bài 7: Xác định các giá trị của A, B để hai mp sau đây song song với nhau:
( ) : Ax y 3z 2 0

( ) : 2 x By 6z 7 0
3. Tính khoảng cách:

a. Loại 1 : Để tính khoảng cách từ M x y z0( ; ; )0 0 0 đến mp ( ) : Ax By Cz D   0, ta dùng
công thức:

0 0 0

0 2 2 2

( , ( )) Ax By Cz D

d M

A B C

    

 

b. Loại 2 : Tính khoảng cách giữa hai mp song song:

1 1 1 1

( ) : A x B y C z D   0

2 2 2 2

( ) : A x B y C z D   0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

- Chọn M( )

- Ta có: d(( ),( ))  d M( ,( ))
* CÁC VD

 VD9: Cho hai điểm A(1;-1;2);

B(3;4;1) và mp: ( ) : x2y2z10 0
Tính khoảng cách từ A, B đến mp ( )

Giải

- 2 2 2

1 2 4 10 7
( ,( ))

3
1 2 2

d A      

 

- 2 2 2

3 8 2 10

( ,( )) 1

1 2 2

d B      
 
 VD10: Cho hai mp:

( ) : x2y2z11 0
( ) : x2y2z 2 0
Tính khoảng cách giữa hai mp song song ( ) và ( )

Giải
- Lấy M(0;0; 1) ( )  

- Ta có: 2 2 2

0 2.0 2.( 1) 11

(( ),( )) ( ,( )) 3

1 2 2

d   d M       

 
* CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm M(1;2;0) lần lượt đến các mp sau:
a. ( ) : x2y 2z 1 0

b. ( ) : 3 x4z25 0
c. ( ) : z 5 0

Bài 9: Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mp ( ) : 2 x3y z 17 0
Bài 10: Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp:

( ) : 3 x y 4z 2 0
( ) : x y 4z 8 0

4. Viết pt tham số và pt chính tắc của đường thẳng Δ:
- Xác định một điểm cố định M x y z0( ; ; )0 0 0  
- Xác định một VTPT u( ; ; )a a a1 2 3



của Δ
- PTTS và PT chính tắc của Δ lần lượt có dạng:

0 1

0 2

0 3

x x a t

y y a t

z z a t

 




   
  


0 0 0

1 2 3

:x x y y z z

a a a

  

  

* CÁC VD:

 VD11: Viết PTTS và PTCT của đường thẳng Δ đi qua hai điểm A(1;2;3); B(3;5;7)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Giải

Do Δ đi qua hai điểm A, B nên Δ có VTCP là:

(2;3; 4)

u AB



 

- PTTS của

1 2

: 2 3

3 4
x t
y t
z t
 


   
  

- PTCT của

1 2 3

2 3 4

x y z

  

* CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài tập 11: Viết PTTS, PTCT của Δ trong các trường hợp sau:
a. Δ đi qua điểm A(1;2;3) và có VTPT u(3;3;1)



b. Δ đi qua điểm B(1;0;-1) và vng góc với mp ( ) :
2x y z   9 0
c. Δ đi qua hai điểm C(1;-1;1) và D(2;1;4)

Bài 12: Viết pt của đường thẳng Δ nằm trong mp ( ) : y2z0 và cắt 2 đường thẳng:

1
:

x t

d y t

z t
 




 

'
'
2
2

: 4 2

x t

d y t

z
  

 

 


5. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng Δ1 và Δ2 trong không gian:

Cho 2 đt:

0 1

1 0 2

0 3

x x a t

y y a t

z z a t

 




   
  

 1:


 


0 0 0 0

1 1 2 3

( ; ; )
( ; ; )

M x y z

u  a a a



' ' '

0 1

' ' '

2 0 2

' ' '

0 3

x x a t

y y a t

z z a t

  

   
  
 1
:
 

' ' ' '

0 0 0 0

' ' '

2 1 2 3

( ; ; )
( ; ; )

M x y z

u  a a a


PHƯƠNG PHÁP: Tính m u 1 u2

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
i.
1 2
0 2
0
// m
M
 

   



 
ii.
1 2
0 2

0
m
M
 

   



 

iii. Δ1 cắt Δ2 0 '0
0
.

m
m M M

 

 


 



Đặc biệt: Δ1 và Δ2 chéo nhau  m M M. 0 '0 0




* CÁC VD:

đi qua
có VTPT

u 2
'

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

 VD12: Xét vị trí tương đối của đường thẳng

1 1 5

2 3 1

x y z

  

lần lượt với các đường thẳng sau:

a. 1

3 2 6

4 6 2

x y z

d     

b. 2

4 1 3

6 9 3

x y z

d     

c. 3

3 2 6

4 3 5

x y z

d     

d. 4

1 2 1

3 2 2

x y z

d     

Giải

Ta có:
:
 



0(1; 1;5)
(2;3;1)
M
u




a. 1
:

d 

 
1
1
(3;2;6)
(4;6; 2)
M
u 


Ta có: m u u  1(0;0;0)O

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   
   

Ta thấy: 1

3 1 2 1 6 5

2 3 1 M

  

    

Vậy:  d1
b. //d2
c. Δ cắt d3

d. Δ và d4 chéo nhau

* CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 13: Cho 2 đường thẳng:

1 1

2 1 1

x y z

d    


'
3
: 2
1
x t

d y t

z t
 




  


a. Xét vị trí tương đối giữa d và d’
b. Tìm giao điểm nếu có của d và d’

Bài 14: Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:
5

:
2

x t

d y at

z t
 




  

'
' '
'
1 2
: 4
2 2
x t

d y a t

z t
  

 

  

6. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cho đt

0 1

1 0 2

0 3

x x a t

y y a t

z z a t

 




   
  

 và mp ( ) : Ax By Cz D   0
* CÁCH 1:

i/ 0

. 0

//( )

( )

n u
M



 



  





 

ii/ Δ nằm trong (α) 0
. 0

( )

n u

M 

 


 





 

iii/ Δ cắt (α)  n u . 0
Đặc biệt  ( )  n k u .

 

* CÁCH 2:

- Viết

0 1

0 2

0 3

x x a t

d y y a t

z z a t

 




 


  

 (1)
- Thay x, y, z ở (1) vào ptmp (α), ta được:

0 1 0 2 0 3

( ) ( ) ( ) 0

A x a t B y a t C z a t D

mt l

   (*)

i/ (*) VN  //( )

ii/ (*) có một nghiệm t t 0 Δ cắt (α)
iii/ (*) có vơ số nghiệm  nằm trong (α)

Đặc biệt: ( ; ; )A B C k a a a( ; ; )1 2 3   ( )
* CÁC VD

 VD13: Xét vị trí tương đối của đường

1 2

: 2 4

x t

y t

z t

 



   
  

 lấn lượt với các mp sau:

a. ( ) :1 x y z   2 0

b. ( ) : 42 x8y2z 7 0
c. ( ) :3 x y 2z 5 0
d. ( ) : 24 x 2y4z10 0

Giải
a. Δ cắt (α1)

b.  ( )2
c. //( )3

d. Δ nằm trong mp (α4)

 VD14: Cho đt

1 1

2 1 1

x y z

d    

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

và ( ) : x2y z 1 0

Chứng minh rằng d cắt (α) và tìm tọa độ giao điểm
Giải

- PTTS của

1 2

: 1

x t

d y t

z t

 



 


 

 (1)
- Thay (1) vào ptmp (α), ta được:

3
2

t

- Thay
3
2

t

vào (1):

7
3
1
3
2
3

x
y
z















Vậy d cắt (α) tại 0

7 1 2
( ; ; )

3 3 3

M  

7. Tính khoảng cách

a. Loại 1 : khoảng cách từ điểm A x y z( ;A A; )A đến đường thẳng

0 0 0

1 2 3

: x x y y z z

a a a

  

  

* CÁCH 1:

- Viết ptmp
( ) : 

 
- Tìm H  ( )

- Tính d A( , ) AH
* CÁCH 2:

- Lấy M0 
- Tính m M A u 0 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

-( , ) m

d A

u

 





b. Loại 2 : khoảng cách giữa đt

0 0 0

1 2 3

: x x y y z z

a a a

  

  

và mp ( ) : Ax By Cz D   0 song song với Δ
- Lấy M x y z0( ; ; )0 0 0  

- Tính d( ,( ))  d M( 0,( ))

c. Loại 3 : khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau
chứa A

vng góc với Δ

H
A
α

M
0
H

u



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

0 0 0

1 2 3

:x x y y z z

a a a

  

  

' ' '

' 0 0 0

' ' '

1 2 3

:x x y y z z

a a a

  

  

- Lập ptmp 
( ) : 



- Lấy M x y z'0( ;'0 '0; '0) '
- Tính d( , )  ' d M( '0,( ))
* CÁC VD:

 VD15: Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;1) đến đường thẳng

2 1 1

1 2 2

x y z

  


Giải
:

 



0( 2;1; 1)
(1; 2; 2)

M
u

 

 


Ta có: M A0 (3;1; 2)



0 ( 6;8;5)

m M A u
    

  

Vậy:

5 5
( , )

m
d A

u

  




 VD16: Cho mp ( ) : 3 x 2y z  5 0
và

1 7 3

2 1 4

x y z

  

a. Chứng tỏ: //( )

b. Tính khoảng cách giữa Δ và α
Giải

a. Ta có: n (3; 2; 1) 


:
 



0(1;7;3)
(2;1; 4)

M
u

. 0

n u

 

 

(1)

Thay tọa độ M0 vào ptmp (α), ta được: 3.1 – 2.7 – 3 + 5 = -9 ≠ 0
0

M

   (2)
Từ (1) và (2), ta có: Δ // (α)

b. 0

9
( ,( )) ( ,( ))

d   d M  

 VD17: Tính khoảng cách giữa hai đt:
chứa A

song song Δ’

đi qua
có VTPT

Δ
Δ
’

M
0
’
H

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

1 2

: 1

x t

y t

z

 



   

 

 và

': 2 2 3

1 1 1

x y z

  


Giải

-:
 



0(1; 1;1)
(2; 1;0)

M
u


 


-':

 

 
'

0(2; 2;3)
( 1;1;1)

M
u


 


- Lập ptmp (α) chứa Δ và song song Δ’

2 2 0

x y z  

-' '

6
( , ) ( ,( ))

d   d M  
* CÁC BÀI TẬP ƯNG DỤNG

Bài 15: Cho

3 1 1

2 3 2

x y z

  

và ( ) : 2 x 2y z  3 0

a. Chứng minh: Δ // (α)

b. Tính khoảng cách giữa Δ và (α)

Bài 16: Cho 2 đt:

1 3 4

2 1 2

x y z

  



': 2 2 1

4 2 4

x y z

  

 

a. Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ’
b. Tính khoảng cách giữa Δ và Δ’

Bài 17: Cho mp ( ) : 2 x y z   6 0

a. Viết ptmp (β) đi qua O và song song với (α)

b. Viết PTTS của đt đi qua gốc tọa độ và vng góc (α)
c. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (α)

Bài 18: Cho 2 đt: 1

1 2 5

2 3 4

x y z

d     



và
2

7 3

: 2 2

1 2

x t

d y t

z t

 




 


  


a. Chứng ming rằng d1 và d2 cùng nằm trong một mp (α)
b. Viết pt của mp (α)

Bài 19: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4;-2;4) và đt
3 2

: 1

1 4

x t

d y t

z t

 




 


  


Viết ptđt Δ đi qua điểm A, cắt và vng góc với d
đi qua

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 20: Cho mp ( ) : 2 x y z  1 0
và đt

1 2

2 1 3

x y z

d    



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

B. LỜI KẾT

Người thực hiện

</div>

Chuyen de hinh hoc khong gian

<i>u</i>



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về