phuong trinh luong giac khong mau muc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI KHƠNG MẪU MỰC</b>
<b>A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI</b>

Một số bài tốn về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của
phương trình, chứ khơng nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.

Một số phương trình lượng giác thể hiện tính khơng mẫu mực ở ngay dạng của
chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải
lại khơng mẫu mực.

Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực thường gặp.
<b>I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG</b>

Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng
bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế cịn lại bằng khơng và
áp dụng tính chất:

<i>A</i>2+<i>B</i>2=0<i>⇔</i>
<i>A=</i>0

<i>B=</i>0

¿{
Bài 1. Giải phương trình:

3 tan2<i>_x+</i>_{4 sin}2<i>_{x −}</i>₂

√

3 tan<i>x −</i>4 sin<i>x</i>+2=0
<b>GIẢI</b>
¿

√

3 tan<i>x −</i>1=0

2 sin<i>x −</i>1=0
¿
<i>⇔</i>
¿tan<i>x</i>=

√

3

3

¿

sin<i>x=</i>1

2

¿
<i>⇔</i>
¿<i>x</i>=<i>π</i>

6+<i>mπ</i>

<i>x=π</i>

6+2<i>nπ</i>
3 tan2<i>_x+</i>_{4 sin}2<i>_{x −}</i>₂

√

3 tan<i>x −</i>4 sin<i>x+</i>2=0
<i>⇔</i>3 tan2<i>x −</i>2

√

3 tan<i>x</i>+1+4 sin2<i>x −</i>4 sin<i>x+</i>1=0

2 sin<i>x −</i>1¿2=0
¿

¿
<i>⇔</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ĐS </b> <i>x=π</i>

6+2<i>kπ</i> (k<i>∈Z)</i>

<b>II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP</b>

Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình
<i>f</i>(<i>x)=g</i>(<i>x)</i> , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R:

<i>f</i>(<i>x)≥ A ,∀x∈(a , b)</i> và <i>g(x)≤ A ,∀x∈(a ,b)</i> thì khi đó:
<i>f</i>(<i>x)=g</i>(<i>x)⇔</i>

<i>f</i>(<i>x</i>)=<i>A</i>
<i>g(x</i>)=<i>A</i>

¿{

Nếu ta chỉ có <i>f</i>(<i>x)>A</i> và <i>g(x)<A</i> , <i>∀x∈</i>(a , b)

thì kết luận phương

trình vơ ngiệm.

Bài 2. Giải phương trình:

cos5<i>x</i>+x2=0

<b>GIẢI</b>

cos5<i>_x</i>

+<i>x</i>2=0<i>⇔x</i>2=−cos5<i>x</i>

Vì <i>−</i>1<i>≤</i>cos<i>x ≤</i>1 nên 0<i>≤ x</i>2<i>≤</i>1<i>⇔−</i>1<i>≤ x ≤</i>1

mà

[

<i>−</i>1,1

]

<i>⊂</i>

(

<i>− π</i>

2 <i>,</i>

<i>π</i>

2

)

<i>⇒</i>cos<i>x</i>>0,<i>∀x∈</i>

[

<i>−</i>1,1

]

<i>⇒−</i>cos

5<i>_x<</i>_0,<i>_∀_x_∈</i>

[

<i>−</i>1,1

]

Do <i>x</i>2>0 và <i>−</i>cos5<i>x</i><0 nên phương trình vơ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.

Bài 3. Giải phương trình:

sin1996<i>x</i>+cos1996<i>x</i>=1 (1)

<b>GIẢI</b>
(1) <i>⇔</i>sin1996<i>_x</i>

+cos1996<i>x=</i>sin2<i>x+</i>cos2<i>x</i>

<i>⇔</i>sin2<i>x</i>(sin1994<i>x −</i>1)=cos2<i>x</i>(1<i>−</i>cos1994<i>x)</i> (2)

Ta thấy

¿

sin2<i>_{x ≥}</i>₀

sin1994<i>x ≤</i>1

<i>⇒</i>sin2<i>_x</i>

(sin1994<i>x −</i>1)≤0,<i>∀x</i>
¿{

¿

Mà

¿

cos2<i>x ≥</i>0

1<i>−</i>cos1994<i>x ≥</i>0

<i>⇒</i>cos2<i>_x</i>

(1<i>−</i>cos1994<i>x)≥</i>0,<i>∀x</i>
¿{

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Do đó (2)

<i>⇔</i>

sin2<i>x(</i>sin1994<i>x −</i>1)=0

cos2<i>x</i>(1<i>−</i>cos1994<i>x</i>)=0
<i>⇔</i>

sin<i>x=</i>0

¿

sin<i>x=±</i>1

¿

cos<i>x=</i>0

¿

cos<i>x=±</i>1

¿
¿<i>⇔</i>

¿
<i>x=mπ</i>

¿
<i>x=π</i>

2+mπ

¿
<i>x</i>=<i>π</i>

2+<i>nπ</i>

¿
<i>x</i>=nπ

¿
¿(m , n∈<i>Z</i>)

¿
¿
¿ ¿

¿
¿
¿
¿ ¿

¿
¿ ¿

Vậy nghiệm của phương trình là: <i>x=kπ</i>

2(<i>k∈Z</i>)

<b>ĐS </b> <i>x=k</i> <i>π</i>

2(<i>k∈Z</i>)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>



sin ax . sin bx=1<i>⇔</i>
¿sin ax=1

sin bx=1
¿
¿
¿

sin ax=−1

¿
¿

sin bx=−1

¿
¿
¿



sin ax . sin bx=<i>−</i>1<i>⇔</i>
¿sin ax=1

sin bx=−1

¿
¿
¿

sin ax=−1

¿
¿

sin bx=1
¿
¿
¿

<i><b>Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:</b></i>

cos ax .cos bx=1

cos ax .cos bx=−1
sin ax . cos bx=1

sin ax . cos bx=−1

<b>III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH </b>
<b>DUY NHẤT CỦA NGHIỆM</b>

Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương
trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thơng sụng
sau:

 <i>Dùng tính chất đại số</i>

 <i>Áp dụng tính đơn điệu của hàm số</i>

Phương trình <i>f</i>(<i>x)=</i>0 có 1 nghiệm <i>x=α∈</i>(a ,b) và hàm <i>f</i> đơn điệu trong
(a , b) thì <i>f</i>(<i>x)=</i>0 có nghiệm duy nhất là <i>x=α</i> .

Phương trình <i>f</i>(<i>x)=g</i>(<i>x)</i> có 1 nghiệm <i>x=α∈</i>(<i>a ,b)</i> , <i>f</i> (x) tăng (giảm)
trong (a , b) , <i>g(x)</i> giảm (tăng) trong (a , b) thì phương trình <i>f</i>(<i>x)=g</i>(<i>x)</i> có
nghiệm <i>x=α</i> là duy nhất.

Bài 4. Giải phương trình:

cos<i>x=</i>1<i>−x</i>
2

2 với <i>x></i>0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm <i>x=</i>0 .
Đặt <i>f</i>(<i>x)=</i>cos<i>x+x</i>

2

2 <i>−</i>1 là biểu thức của hàm số có đạo hàm

<i>f '</i>(<i>x)=−</i>sin<i>x+x</i>>0,<i>∀x></i>0 (vì |<i>x</i>|>|sin<i>x</i>|<i>,∀x</i> )

<i>⇒</i> Hàm <i>f</i> luôn đơn điệu tăng trong (0<i>,</i>+<i>∞</i>)
<i>⇒</i> <i>f</i>(<i>x)=</i>0 có 1 nghiệm duy nhất trong (0<i>,</i>+<i>∞</i>)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất <i>x</i>=0 .
<b>B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN</b>

Bài 1: Giải phương trình:
<i>x</i>2<i>₋</i>₂<i>_x</i>_cos<i>_{x −}</i>_{2 sin}<i>_x</i>

+2=0 (1)

<b>GIẢI</b>
Ta có (1) <i>⇔x</i>2<i>₋</i>₂<i>_x</i>_cos<i>_x</i>

+cos2<i>x</i>+sin2<i>x −</i>2 sin<i>x</i>+1=0
¿<i>x −</i>cos<i>x=</i>0

sin<i>x −</i>1=0
¿
<i>⇔</i>
¿cos<i>x=x</i>

¿

sin<i>x=</i>1
sin<i>x −</i>1¿2=0

¿
<i>⇔</i>
<i>x −</i>cos<i>x</i>¿2+¿

¿
¿<i>⇔</i>¿
Phương trình vơ nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình:

sin4<i>_x</i>

+cos15<i>x</i>=1

<b>GIẢI</b>
Ta có: sin4<i>x</i>+cos15<i>x</i>=1

<i>⇔</i>sin4<i>x</i>+cos15<i>x=</i>sin2<i>x</i>+cos2<i>x</i>
<i>⇔</i>sin2<i>_x</i>

(sin2<i>x −</i>1)=cos2<i>x</i>(1<i>−</i>cos13<i>x</i>) (1)
Vì sin2<i>_x(</i>_sin2<i>_{x −}</i>₁_)≤_0,<i>_∀_x</i>

Và cos2<i>x</i>(1<i>−</i>cos13<i>x)≥</i>0,<i>∀x</i>

Do đó (1)

<i>⇔</i>

sin2<i>x</i>(sin2<i>x −</i>1)=0

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>⇔</i>

sin<i>x=</i>0

¿

sin<i>x=±</i>1

¿

cos<i>x=</i>0

¿

cos<i>x=</i>1

¿
¿
¿
¿
¿ ¿

¿
¿
¿
<i>⇔</i>
<i>x=mπ</i>

¿
<i>x=π</i>

2+mπ

¿

<i>x=π</i>

2+nπ

¿
<i>x=</i>2<i>nπ</i>

¿
¿(<i>m, n∈Z</i>)

¿
¿
¿ ¿

¿
¿
¿

<b>ĐS </b> <i>x=π</i>

2+kπ hay <i>x=</i>2<i>kπ</i> , (k<i>∈Z</i>)

<b>C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI</b>
Bài 3: Giải các phương trình:

1. sin4<i>_x</i>

+cos4(x+<i>π</i>

4)=

1
4 (1)

2. tan<i>x</i>+1₄cot<i>x</i>¿<i>n</i>=cos<i>nx</i>+sin<i>nx</i>(<i>n</i>=2,3,4, .. .)

¿

<b>GIẢI</b>
1. Ta có:

(1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

1<i>−</i>sin 2<i>x</i>¿2=1

1<i>−</i>cos 2<i>x</i>¿2+¿
<i>⇔</i>¿

<i>⇔</i>cos 2<i>x</i>+sin 2<i>x=</i>1
<i>⇔</i>cos(2<i>x −π</i>

4)=

√

2
2

<i>⇔</i>
<i>x=kπ</i>

¿
<i>x=π</i>

4+kπ

¿
(<i>k∈Z</i>)

¿
¿
¿

2.Với điều kiện <i>x ≠ k</i> <i>π</i>

2 ta có tan<i>x</i> và cot<i>x</i> luôn cùng dấu nên:

|

tan<i>x</i>+1

4cot<i>x</i>

|

=|tan<i>x</i>|+

|

1

4cot<i>x</i>

|

<i>≥</i>2

√

|

tan<i>x⋅</i>
1

4cot<i>x</i>

|

=1<i>⇒</i>

|

tan<i>x+</i>
1
4cot<i>x</i>

|

<i>n</i>

<i>≥</i>1

Dấu "=" xảy ra <i>⇔</i>|tan<i>x</i>|=

|

1

4cot<i>x</i>

|

<i>⇔</i>tan

2<i>_x=</i>1

4<i>⇔</i>tan<i>x=±</i>

1
2

 <i>Với </i> <i>n</i>=2 <i>: phương trình </i>

(

tan<i>x</i>+1

4cot<i>x</i>

)

2

=1 <i> có nghiệm cho bởi:</i>

tan<i>x=±</i>1

2<i>⇔x=±</i>arctan
1

2+<i>kπ</i>(k<i>∈Z</i>)

 <i>Với </i> <i>n∈Z , n></i>2 <i> thì:</i>

cos<i>nx</i>+sin<i>nx ≤</i>cos2<i>x+</i>sin2<i>x=</i>1

Dấu bằng xảy ra

<i>⇔</i>
<i>x=kπ</i>

2khi<i>n=</i>2<i>m</i>

¿
<i>x=</i>2<i>kπ</i>hay<i>x=π</i>

2+2<i>kπ</i>khi<i>n=</i>2<i>m</i>+1

¿
(k , m<i>∈Z</i>)

¿
¿
¿
(đều không thoả mãn điều kiện <i>x ≠ k</i> <i>π</i>

2 của phương trình)

Vậy với <i>n></i>2<i>, n∈Z</i> thì phương trình vơ nghiệm.
<b>ĐS </b> <i>x=±</i>arctan1

2+<i>kπ</i>(k<i>∈Z</i>)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

cos<i>x</i>

√

1

cos<i>x</i> <i>−</i>1+cos 3<i>x</i>

√

1

cos 3<i>x−</i>1=1 (1)
<b>GIẢI</b>
Điều kiện:

¿

cos<i>x</i>>0

cos 3<i>x></i>0

¿{
¿

Khi đó (1) <i>⇔</i>

_√

cos<i>x −</i>cos2<i>_x</i>

+

√

cos 3<i>x −</i>cos23<i>x=</i>1
Vì

<i>a −</i>1

2¿

2

<i>≥</i>0<i>⇒a − a</i>2<i>≤</i>1

4

<i>a</i>2<i>− a+</i>1

4=¿

Do đó cos<i>x −</i>cos2<i>x ≤</i>1

4 và cos 3<i>x −</i>cos

2

3<i>x ≤</i>1

4

<i>⇒</i>

√

cos<i>x −</i>cos2<i>_{x ≤}</i>1

2và

√

cos 3<i>x −</i>cos

2₃<i>_{x ≤}</i>1

2

Dấu bằng xảy ra

<i>⇔</i>

cos<i>x −</i>cos2<i>x=</i>1

4
cos 3<i>x −</i>cos23<i>x=</i>1

4

<i>⇔</i>
¿cos<i>x=</i>1

2
cos 3<i>x=</i>1

2

<i>⇔x∈</i>_∅
¿{
Vậy phương trình (1) vơ nghiệm.
<b>D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ</b>
Bài 1: Giải phương trình:

sin3<i>_x+</i>_cos3<i>_x=</i>₂<i>₋</i>_sin4<i>_x</i>

<b>HƯỚNG DẪN</b>

sin3<i>x ≤</i>sin2<i>x ,∀x</i>

cos3<i>_{x ≤}</i>_cos2<i>_{x ,}_∀_x</i>
<i>⇒</i>sin3<i>_x+</i>_cos3<i>_{x ≤}</i>₁<i>_,∀_x</i>

2<i>−</i>sin4<i>x ≥</i>1<i>,∀x</i>

Vậy phương trình tương đương:

¿

sin3<i>x+</i>cos3<i>x=</i>1
2<i>−</i>sin4<i>x=</i>1

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>ĐS </b> <i>x=π</i>

2+2<i>kπ</i>(<i>k∈Z</i>)

Bài 2: Giải phương trình:

sin<i>x</i>+tan<i>x −</i>2<i>x</i>=0 với 0<i>≤ x ≤π</i>

2

<b>HƯỚNG DẪN</b>
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm <i>x</i>=0

Đặt <i>f</i>(<i>x)=</i>sin<i>x</i>+tan<i>x −</i>2<i>x</i> liên tục trên ¿
Có đạo hàm: <i>f '</i>(<i>x)=</i>(cos<i>x −</i>1)(cos

2<i>_{x −}</i>_cos<i>_{x −}</i>₁
)

cos2<i>x</i> <i>≥</i>0<i>,∀x∈</i>¿ do

1<i>−</i>

√

5

2 <0<i>≤</i>cos<i>x ≤</i>1<
1+

_√

5

2 <i>⇒</i>cos

2<i>_{x −}</i>_cos<i>_{x −}</i>₁
<0
<i>⇒f</i> đơn điệu tăng trên ¿

Bài 3: Giải phương trình:
(cos 4<i>x −</i>cos 2<i>x</i>)2=5+sin3<i>x</i>
<b>ĐS </b> <i>x=π</i>

2+2<i>kπ</i>(<i>k∈Z</i>)

Bài 4: Giải phương trình:

cos4<i>x −</i>sin4<i>x=</i>|cos<i>x</i>|+|sin<i>x</i>|
<b>ĐS </b> <i>x=kπ</i>(k<i>∈Z)</i>

Bài 5: Giải phương trình:
<i>x</i>2<i>−</i>2 sin xy+1=0

<b>ĐS </b>

¿
<i>x=</i>1

<i>y=π</i>

2+2<i>kπ</i>

¿{
¿

hay

¿
<i>x=−</i>1

<i>y=π</i>

2+2<i>kπ</i>

¿{
¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10></div>

<!--links-->