Tong hop phuong phap giai PT vo ty

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ</b>

<b>1.Phương pháp đặt ẩn phụ:</b>

Ví dụ: Giải phương trình :

<b>Giải:</b>

Đặt ta có:

với điều kiện

Tìm sau đó suy ra (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng)

<b>2.Phương pháp đưa về hệ phương trình:</b>

Thường được dùng để giải phương trình vơ tỷ có dạng:

<b>Ví dụ:</b> Giải phương trình :
Đặt:

với điều kiện
Khi đó ta có hệ:

Giải hệ tìm suy ra .

<b>3.Phương pháp bất đẳng thức:</b>

<b>Ví dụ:</b> Giải phương trình:

<b>Giải:</b>

Theo BĐT Cơsi ta có:

Do đó:

<b>4.Phương pháp lượng giác:</b>
<b>Ví dụ:</b> Giải phương trình:

<b>Giải: </b>

Điều kiện: .
Đặt:

và biến đổi đơn giản ta có:

suy ra và từ đó tìm được

<b>5.Phương pháp nhân liên hợp:</b>
<b>Ví dụ:</b> Giải phương trình:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Phương trình tương đương với:

I.

Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu th“ ta có thể đặt

hoặc

Ví dụ 1 :

Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã
cho trở thành :

)( ) = 0

Kết hợp với điều kiện của t suy ra :

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

Ví dụ 2 :

Lời giải : ĐK :
Khi đó VP > 0 .
Nếu

Nếu .

Đặt , với ta có :

) ( ) = 0

Vậy nghiệm của phương tr“nh là

Ví dụ 3 :

Lời giải : ĐK :
Đặt

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4 (TC THTT):
HD :

Nếu : phương tr“nh không xác định .
Chú ý với ta có :

vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với
Đặt

khi đó phương tr“nh đã cho trở thành :
2. Nếu th“ ta có thể đặt :

Ví dụ 5 :

Lời giải : ĐK :
Đặt

Phương tr“nh đã cho trở thành :

kết hợp với điều kiện của t suy ra
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
TQ :

Ví dụ 6 :

Lời giải : ĐK :
Đặt

phương tr“nh đã cho trở thành :

(thỏa mãn)
TQ :

với a,b là các hằng số cho trước

II.

3. Đặt

để đưa về phương

tr“nh lượng giác đơn giản hơn :

Ví dụ 7 :

(1)

Lời giải :

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

(1)

(2)

Đặt

.

Khi đó (2) trở thành :

Suy ra (1) có 3 nghiệm :

Ví dụ 8 :

Lời giải :

ĐK :

Đặt

phương tr“nh đã cho trở thành :

Kết hợp với điều kiện suy ra :

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

4. Mặc định điều kiện : . sau khi t“m được số nghiệm
chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận :

Ví dụ 9 :
Lời giải :

phương tr“nh đã cho tương đương với :
(1)

Đặt :

(1) trở thành :

:Leftrightarrow

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S

II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để

* Nội dung phương pháp :

Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ
hay là ẩn của phương tr“nh đã cho :

Đưa phương tr“nh về dạng sau :
khi đó :

Đặt . Phương trình viết thành :

Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương
tr“nh sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :

Ví dụ 10 : (1)

lời giải : ĐK :
Đặt

Lúc đó :
(1)

Phương tr“nh trở thành :
Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :

Do nên không thỏa điều kiện .
Với th“ :

( thỏa mãn điều kiên

Ví dụ 11 :
Lời giải : ĐK :

Đặt .

phương trình đã cho trở thành :

* Với , ta có :

(vơ nghiệm v“ : )

* Với , ta có :

Do khơng là nghiệm của phương tr“nh nên :

Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)

TQ :

lúc đó chúng ta đặt

và đưa về hệ đối xứng loại haiVí dụ

12 :
Lời giải :

Đặt .

Phương tr“nh đã cho viết thành :
Từ đó ta tìm được hoặc
Giải ra được : .

* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện
rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên
nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết
trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi
phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x
được thực hiện dễ dàng hơn .

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Lời giải : ĐK :

Đặt .

phương trình đã cho trở thành :

Giải ra : hoặc (loại)
* ta có :

Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho .

ví dụ 14 :
Lời giải : ĐK :
Đặt

Phương tr“nh đã cho trở thành :

Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng
ẩn phụ đưa về dạng tích

1. Dùng một ẩn phụ

Ví dụ 15 : (1)

Lời giải : ĐK : .

Đặt .

phương tr“nh (1) trở thành :

(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :

Đặt để đưa về dạng :

TQ :

Với a là hắng số cho trước .

Ví dụ 16 : (1)

Lời giải : ĐK :

Viết lại (1) dưới dạng :

(2)

Đặt .

Khi đó (2) trở thành :

Do vậy hoặc
* . Ta có :

* . Ta có :

Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm :

Ví dụ 17 :

Lời giải : ĐK : (1)

Đặt (2) .

phương tr“nh đã cho trở thành :
(3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ 18 :

Lời giải : ĐK : (1)
Đặt

Khi đó : .

phương tr“nh đã cho trở thành :

V“ nên :

t^2 + t - 1003 < 0

Do đó phương tr“nh tương đương với :

Do vậy (thỏa (1)) 2. Dùng 2 ẩn phụ .

Ví dụ 9 :
Lời giải :

Đặt

*
*

Ví dụ 20 : (1)

Lời giải : ĐK : hoặc (*)

Đặt ta có :

(1) trở thành :

(Do )

T“m x ta giải :

(Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm :

Ví dụ 21 :
Lời giải : ĐK :

Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :
(2)

Đặt và

Th“ :
(2)

* ta có :
* ta có :

Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :

Ví dụ 22 :
lời giải : ĐK :
Đặt :

Từ phương tr“nh ta được :

( Do )

từ đó ta giải ra được các nghiệm :

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Lời giải :

Đặt

ta có :

(1)

Mặt khác :

(2)

Từ (1) và (2) ta có :

Nên :

:Leftrightarrow

từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương

tr“nh :

Ví dụ 24 :

(1)

Lời giải :

Đặt

Suy ra :

khi đó từ (1) ta có :

:Leftrightarrow

Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của

phương tr“nh :

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ

1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút
gọn theo vế .

a. Dùng một ẩn phụ .

Ví dụ 25 :
Lời giải :ĐK :

Đặt . Ta có :

TQ :

b. Dùng 2 ẩn phụ .
* ND :

* Cách giải :
Đặt :

Như vậy ta có hệ :

Ví dụ 26 : (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Khi đó :
(1)

:Leftrightarrow

(Do hệ : : vô nghiệm )

hoặc

Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban
đầu .

Ví dụ 27 :
Lời giải : ĐK :
Đặt :

Với :

(*)
Như vậy ta được hệ :

Giải (1) :
(1)

( )

Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho .

Ví dụ 28 :
Lời giải :

Đặt :

(2)
(1)

2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 :

CG : Đặt ta có hệ :

Ví dụ 29 :
Lời giải :

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

(1) :Leftrightarrow

(2) : Vô nghiệm .

Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là :

Dạng 2 :
CG : ĐẶt

PT :Leftrightarrow

Ví dụ 30 :

Lời giải : ĐK :

Đặt : (1)

PT

Lấy (3) trừ (2) ta được :

(1)

(Do )

Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :

Ví dụ 31 :

Lời giải : ĐK :

Đặt .

Chọn a, b để hệ :

( ) (*)

là hệ đối xứng .

Lấy ta được hệ :

Giải hệ trên ta được :

Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của
phương tr“nh là :

Dạng 4 :

Nội dung phương pháp :
Cho phương tr“nh :
Với các hệ số thỏa mãn :

Cách giải :
Đặt

Ví dụ 32 :
Lời giải : ĐK :
PT

- Kiểm tra :
Đặt :

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :

Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .

Ví dụ 33 :

Lời giải :

PT

- Kiểm tra :
Đặt :

(1)

Mặt khác : (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ :

Ví dụ 34 :
Lời giải :

PT

- Kiểm tra :
Đặt :

(1)

Mặt khác : (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ :

Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!<b> Sử dụng phương pháp biến </b>
<b>đổi tương đương</b>

<b>Dạng 1:</b> Phương trình

<b>Dạng 2:</b> phương trình:

( g(x,m) phải có nghĩa)

<b>Dạng 3:</b> Phương trình:

(f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa)

<b>Ví dụ minh hoạ :</b>

<b>VD1:</b> tìm m để pt sau có nghiệm:
LG:

Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng:

Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:
(ST)<b> Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 1</b>

VD1: GPT:

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

do đó điều kiện cho ẩn phụlà
Khi đó phương trình có dạng :

Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2

VD2:GPT: + + =0 (1)

Nx: không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được
(2)

Đặt } , khi đó

(2) hoặc

t=-1/2

Bây giờ xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải khơng âm,do đó 2 nghiệm trên
bị loại. Vậy pt vơ nghiệm.

TH2: Nếu n lẻ

Với ( vô nghiệm)

Với
Vậy...

Bài tập tương tự: Giải các pt sau:

b>Giải và biện luận pt :

(ST)<b> Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 2: </b>

Giải: Đk:
đặt :

Khi đó pt được chuyển thành hệ:

giải ra được hay

<b>Bài tập tương tự:</b>

Giải các pt sau:

b> Giải và biện luận :
ví dụ:

- Sử dụng BĐT,ví dụ:

Vậy Đk cho ẩn phụ là :
-Sử dụng đạo hàm [/b]

<b>Ví dụ </b>

VD1: GPT:

Đặt , ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2

Bài tập tương tự: Giải các pt sau:

b>Giải và biện luận pt :

</div>

<!--links-->