Bai giang toan ung dung

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung

Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

<b>Định lý giới hạn hàm</b>

và các hướng mở rộng

Phạm Đào Thanh Tú

Lớp cao học xác suất thống kê

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung

Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Tài liệu tham khảo

1. Svetlozar Rachev, Lecture 2 Continuous Time Finance
Central Limit Theorem and Functional Limit Theorem.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung

Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

1 Kiến thức chuẩn bị

Hội tụ theo phân phối
Định lý giới hạn trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu

Chuyển động Brown

2 Kiến thức trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên

Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Hội tụ theo phân phối

Cho{𝑋𝑛}𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng

một không gian xác suất với biến ngẫu nhiên𝑋, dãy{𝑋𝑛}𝑛≥1

gọi làhội tụ theo phân phối về𝑋, kí hiệu 𝑋𝑛
𝑑

=⇒𝑋, nếu

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Hội tụ theo phân phối

Cho{𝑋𝑛}𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng

một không gian xác suất với biến ngẫu nhiên𝑋, dãy{𝑋𝑛}𝑛≥1

gọi làhội tụ theo phân phối về𝑋, kí hiệu 𝑋𝑛
𝑑

=⇒𝑋, nếu

𝐹𝑋𝑛(𝑥) =𝑃(𝑋𝑛≤𝑥) _𝑛_→∞ //𝐹𝑋(𝑥) =𝑃(𝑋 ≤𝑥)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Định lý giới

hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Hội tụ theo phân phối

Cho{𝑋𝑛}𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng

một không gian xác suất với biến ngẫu nhiên𝑋, dãy{𝑋𝑛}𝑛≥1

gọi làhội tụ theo phân phối về𝑋, kí hiệu 𝑋𝑛
𝑑

=⇒𝑋, nếu

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Định lý giới hạn trung tâm

Nếu(𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối với𝐸𝑋𝑖=𝜇và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 =𝜎2 thì:

𝑆𝑛
√

𝑛
𝑑

=⇒𝑍 ∼𝑁(0,1)

trong đó 𝑆𝑛=
𝑛
∑︁

𝑖=1

𝑋_𝑖0, với 𝑋0
𝑖 =

𝑋𝑖−𝜇

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Định lý giới hạn trung tâm

Nếu(𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối với𝐸𝑋𝑖=𝜇và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 =𝜎2 thì:

𝑆𝑛

√

𝑛

𝑑

=⇒𝑍 ∼𝑁(0,1)

trong đó 𝑆𝑛=
𝑛

∑︁

𝑖=1

𝑋_𝑖0, với 𝑋0

𝑖 =

𝑋𝑖−𝜇

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân

phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Q trình ngẫu nhiên

Cho khơng gian xác suất(Ω,ℱ, 𝑃), xét hàm giá trị thực

𝑋(𝜔, 𝑡) với𝜔 ∈Ωvà 𝑡∈𝑇.

Nếu cố định 𝑡∈𝑇 thì ta được𝑋(𝜔,∙) là một biến ngẫu
nhiên.

Nếu cố định 𝜔∈Ω thì ta được𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của
biến 𝑡∈𝑇.

Khi𝑇 ⊆_Rthì ta gọi 𝑋(𝑡) làquá trình ngẫu nhiên với𝑡là
biến thời gian và𝑇 là tập chỉ số thời gian.

Với mỗi 𝜔∈Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 :𝑡↦−→𝑋𝜔(𝑡) được gọi là

một quĩ đạo của 𝑋(𝑡).

Quá trình ngẫu nhiên𝑋(𝑡), 𝑡∈𝑇 được gọi là quá trình
ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm
liên tục, tức là

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Q trình ngẫu nhiên

Cho khơng gian xác suất(Ω,ℱ, 𝑃), xét hàm giá trị thực

𝑋(𝜔, 𝑡) với𝜔 ∈Ωvà 𝑡∈𝑇.

Nếu cố định 𝑡∈𝑇 thì ta được𝑋(𝜔,∙) là một biến ngẫu
nhiên.

Nếu cố định 𝜔∈Ω thì ta được𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của
biến 𝑡∈𝑇.

Khi𝑇 ⊆_Rthì ta gọi 𝑋(𝑡) làquá trình ngẫu nhiên với𝑡là
biến thời gian và𝑇 là tập chỉ số thời gian.

Với mỗi 𝜔∈Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 :𝑡↦−→𝑋𝜔(𝑡) được gọi là

một quĩ đạo của 𝑋(𝑡).

Quá trình ngẫu nhiên𝑋(𝑡), 𝑡∈𝑇 được gọi là quá trình
ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm
liên tục, tức là

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Q trình ngẫu nhiên

Cho khơng gian xác suất(Ω,ℱ, 𝑃), xét hàm giá trị thực

𝑋(𝜔, 𝑡) với𝜔 ∈Ωvà 𝑡∈𝑇.

Nếu cố định 𝑡∈𝑇 thì ta được𝑋(𝜔,∙) là một biến ngẫu
nhiên.

Nếu cố định 𝜔∈Ω thì ta được𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của

biến 𝑡∈𝑇.

Khi𝑇 ⊆_Rthì ta gọi 𝑋(𝑡) làquá trình ngẫu nhiên với𝑡là
biến thời gian và𝑇 là tập chỉ số thời gian.

Với mỗi 𝜔∈Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 :𝑡↦−→𝑋𝜔(𝑡) được gọi là

một quĩ đạo của 𝑋(𝑡).

Quá trình ngẫu nhiên𝑋(𝑡), 𝑡∈𝑇 được gọi là quá trình
ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm
liên tục, tức là

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Quá trình ngẫu nhiên

Cho khơng gian xác suất(Ω,ℱ, 𝑃), xét hàm giá trị thực

𝑋(𝜔, 𝑡) với𝜔 ∈Ωvà 𝑡∈𝑇.

Nếu cố định 𝑡∈𝑇 thì ta được𝑋(𝜔,∙) là một biến ngẫu
nhiên.

Nếu cố định 𝜔∈Ω thì ta được𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của
biến 𝑡∈𝑇.

Khi𝑇 ⊆_Rthì ta gọi 𝑋(𝑡) làquá trình ngẫu nhiên với𝑡là
biến thời gian và𝑇 là tập chỉ số thời gian.

Với mỗi 𝜔∈Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 :𝑡↦−→𝑋𝜔(𝑡) được gọi là

một quĩ đạo của 𝑋(𝑡).

Quá trình ngẫu nhiên𝑋(𝑡), 𝑡∈𝑇 được gọi là quá trình
ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm
liên tục, tức là

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Quá trình ngẫu nhiên

Cho không gian xác suất(Ω,ℱ, 𝑃), xét hàm giá trị thực

𝑋(𝜔, 𝑡) với𝜔 ∈Ωvà 𝑡∈𝑇.

Nếu cố định 𝑡∈𝑇 thì ta được𝑋(𝜔,∙) là một biến ngẫu
nhiên.

Nếu cố định 𝜔∈Ω thì ta được𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của
biến 𝑡∈𝑇.

Khi𝑇 ⊆_Rthì ta gọi 𝑋(𝑡) làquá trình ngẫu nhiên với𝑡là
biến thời gian và𝑇 là tập chỉ số thời gian.

Với mỗi 𝜔∈Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 :𝑡↦−→𝑋𝜔(𝑡) được gọi là

một quĩ đạo của 𝑋(𝑡).

Quá trình ngẫu nhiên𝑋(𝑡), 𝑡∈𝑇 được gọi là quá trình
ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm
liên tục, tức là

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân

phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Q trình ngẫu nhiên

Cho khơng gian xác suất(Ω,ℱ, 𝑃), xét hàm giá trị thực

𝑋(𝜔, 𝑡) với𝜔 ∈Ωvà 𝑡∈𝑇.

Nếu cố định 𝑡∈𝑇 thì ta được𝑋(𝜔,∙) là một biến ngẫu
nhiên.

Nếu cố định 𝜔∈Ω thì ta được𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của
biến 𝑡∈𝑇.

Khi𝑇 ⊆_Rthì ta gọi 𝑋(𝑡) làquá trình ngẫu nhiên với𝑡là
biến thời gian và𝑇 là tập chỉ số thời gian.

Với mỗi 𝜔∈Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 :𝑡↦−→𝑋𝜔(𝑡) được gọi là

một quĩ đạo của 𝑋(𝑡).

Quá trình ngẫu nhiên𝑋(𝑡), 𝑡∈𝑇 được gọi là quá trình
ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm
liên tục, tức là

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Hội tụ yếu

Cho dãy{𝑋_𝑛}_𝑛≥1 là các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trên

khơng gian𝐶[0,1], ta nói𝑋𝑛 hội tụ yếuvề X, kí hiệu

𝑋𝑛=𝑊⇒𝑋, trong đó 𝑋 là một quá trình liên tục trên[0,1],

nếuvới mọi hàm liên tục 𝑓 :𝐶[0,1]−→_R, ta có

𝑓(𝑋𝑛) =⇒𝑓(𝑋)khi𝑛−→ ∞

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu

Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Hội tụ yếu

Cho dãy{𝑋_𝑛}_𝑛≥1 là các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trên

khơng gian𝐶[0,1], ta nói𝑋𝑛 hội tụ yếuvề X, kí hiệu

𝑋𝑛=𝑊⇒𝑋, trong đó 𝑋 là một q trình liên tục trên[0,1],

nếuvới mọi hàm liên tục 𝑓 :𝐶[0,1]−→_R, ta có

𝑓(𝑋𝑛) =⇒𝑓(𝑋)khi𝑛−→ ∞

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Chuyển động Brown

Quá trình ngẫu nhiên(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1 là một chuyển động Brown

nếu(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1 là một quá trình với quĩ đạo liên tục có các
tính chất sau:

𝐵(0) = 0;

𝐵(𝑡) là một q trình với số gia độc lập, tức là với

0< 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛, các số gia

𝐵(𝑡1)−𝐵(𝑡0), . . . , 𝐵(𝑡𝑛)−𝐵(𝑡𝑛−1) là các biến ngẫu

nhiên độc lập;

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Chuyển động Brown

Quá trình ngẫu nhiên(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1 là một chuyển động Brown

nếu(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1 là một quá trình với quĩ đạo liên tục có các
tính chất sau:

𝐵(0) = 0;

𝐵(𝑡) là một quá trình với số gia độc lập, tức là với

0< 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛, các số gia

𝐵(𝑡1)−𝐵(𝑡0), . . . , 𝐵(𝑡𝑛)−𝐵(𝑡𝑛−1) là các biến ngẫu
nhiên độc lập;

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Chuyển động Brown

Quá trình ngẫu nhiên(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1 là một chuyển động Brown

nếu(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1 là một quá trình với quĩ đạo liên tục có các
tính chất sau:

𝐵(0) = 0;

𝐵(𝑡) là một quá trình với số gia độc lập, tức là với

0< 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛, các số gia

𝐵(𝑡1)−𝐵(𝑡0), . . . , 𝐵(𝑡𝑛)−𝐵(𝑡𝑛−1) là các biến ngẫu

nhiên độc lập;

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Chuyển động Brown

Quá trình ngẫu nhiên(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1 là một chuyển động Brown

nếu(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1 là một q trình với quĩ đạo liên tục có các
tính chất sau:

𝐵(0) = 0;

𝐵(𝑡) là một quá trình với số gia độc lập, tức là với

0< 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛, các số gia

𝐵(𝑡1)−𝐵(𝑡0), . . . , 𝐵(𝑡𝑛)−𝐵(𝑡𝑛−1) là các biến ngẫu

nhiên độc lập;

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Trọng tâm: Định lý giới hạn hàm

Cho(𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối với𝐸𝑋𝑖=𝜇và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 =𝜎2<∞, đặt 𝑆𝑛=
𝑛

∑︁

𝑖=1

𝑋_𝑖0, với

𝑋_𝑖0 = 𝑋𝑖−𝜇

𝜎 ∼𝑁(0,1).Xét đường gấp khúc ngẫu nhiên với
các đỉnh

(︂
𝑘
𝑛,

𝑆𝑘

√

𝑛
)︂

,𝑘= 1,2, . . . , 𝑛, kí hiệu

𝐵𝑛(𝑡) =
(︂

𝑘
𝑛,

𝑆𝑘

√

𝑛
)︂

,0≤𝑡≤1, khi đó

(𝐵𝑛(𝑡))_0≤𝑡≤1=𝑊⇒(𝐵(𝑡))_0≤𝑡≤1

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Trọng tâm: Định lý giới hạn hàm

Cho(𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối với𝐸𝑋𝑖=𝜇và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 =𝜎2<∞, đặt 𝑆𝑛=
𝑛

∑︁

𝑖=1

𝑋_𝑖0, với

𝑋_𝑖0 = 𝑋𝑖−𝜇

𝜎 ∼𝑁(0,1). Xét đường gấp khúc ngẫu nhiên với

các đỉnh

(︂
𝑘
𝑛,

𝑆𝑘

√
𝑛

)︂

,𝑘= 1,2, . . . , 𝑛, kí hiệu

𝐵𝑛(𝑡) =

(︂
𝑘
𝑛,

𝑆𝑘

√
𝑛

)︂

,0≤𝑡≤1, khi đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Định lý giới
hạn hàm
Phạm Đào
Thanh Tú
Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Trọng tâm: Định lý giới hạn hàm

Cho(𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối với𝐸𝑋𝑖=𝜇và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 =𝜎2<∞, đặt 𝑆𝑛=

𝑛

∑︁

𝑖=1

𝑋_𝑖0, với

𝑋_𝑖0 = 𝑋𝑖−𝜇

𝜎 ∼𝑁(0,1). Xét đường gấp khúc ngẫu nhiên với

các đỉnh
(︂
𝑘
𝑛,
𝑆𝑘
√
𝑛
)︂

,𝑘= 1,2, . . . , 𝑛, kí hiệu

𝐵𝑛(𝑡) =
(︂
𝑘
𝑛,
𝑆𝑘
√
𝑛

)︂

,0≤𝑡≤1, khi đó

(𝐵𝑛(𝑡))0≤𝑡≤1

𝑊

=⇒(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Định lý giới
hạn hàm
Phạm Đào
Thanh Tú
Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm

Mở rộng

Trọng tâm: Định lý giới hạn hàm

Cho(𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối với𝐸𝑋𝑖=𝜇và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 =𝜎2<∞, đặt 𝑆𝑛=
𝑛

∑︁

𝑖=1

𝑋_𝑖0, với

𝑋_𝑖0 = 𝑋𝑖−𝜇

𝜎 ∼𝑁(0,1). Xét đường gấp khúc ngẫu nhiên với

các đỉnh
(︂
𝑘
𝑛,
𝑆𝑘
√
𝑛
)︂

,𝑘= 1,2, . . . , 𝑛, kí hiệu

𝐵𝑛(𝑡) =
(︂
𝑘
𝑛,
𝑆𝑘
√
𝑛
)︂

,0≤𝑡≤1, khi đó

(𝐵𝑛(𝑡))0≤𝑡≤1

𝑊

=⇒(𝐵(𝑡))_0≤_𝑡_≤1

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối

Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu
Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm
Mở rộng

Mở rộng

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Định lý giới
hạn hàm

Phạm Đào
Thanh Tú

Nội Dung
Kiến thức
chuẩn bị

Hội tụ theo phân
phối
Định lý giới hạn
trung tâm
Quá trình ngẫu nhiên
Hội tụ yếu

Chuyển động Brown

Kiến thức
trọng tâm

Định lý giới hạn hàm
Mở rộng

Mở rộng

</div>

<!--links-->