DE THI HSG TOAN 9 1213

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I ĐỀ CHÍNH THỨC. NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9. (Đề gồm 1 trang). Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). Bài 1: (2.5 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau a. b. c.. 2. A = 3x  x  4 x  4 B = 352 C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α). Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình a.. x x  2 x  x 0. b.. x 2  5 x  36 8 3x  4. Bài 3: (2.0 điểm) a. Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab. Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao? b. Cho x; y  0 và x  y 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P. 20 11  2 x y xy 2. Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a. Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. 2 Từ đó hãy suy ra SAEF = SABC. cos BAC. b. BH.KM = BA.KN c.. GA5  GB 5  GH 5 4 2 GM 5  GK 5  GN 5. Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một. phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và  tạo góc AMC  . Xác định số đo  để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.. Hết./. Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….………….

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài. Ý a 0.75. b 0.75. 1. 2.5 b. 1.0. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt 4 x  2; 3 x  ( x  2) 2 3 x  x  2  2 x  2;. B. 2  6  2 5 . neu x 2 neu x  2. 6  2 5  2  ( 5  1) 2 . ( 5  1) 2  2. = | 5  1|  | 5  1|  2 = 5  1  5  1  2 = 0. Suy ra A = 0 sin 2  cos 2  2 C (1  )(1  sin  )  (1  )(1  cos 2  ) cos 2  sin 2  = (1 . Điểm. 0.25x3 0.5 0.25 0.2x5. sin 2  cos 2  2 )(cos  )  (1  )(sin 2  ) 2 2 cos  sin  =. sin 2   cos2  cos2   sin 2  1 1 2  .cos   sin 2   2 .cos 2   2 sin 2  2 2 sin  cos  sin  = cos  =2 x  0 0.25x4 ĐK: 2a. 1.0. 2. 2.0 2b. 1.0. x x  2 x  x 0  . x (x  2 . x ) 0.  x 0 x ( x  2)( x  1) 0    x 4. ; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm 4 x 3 ĐKXĐ: ( x 2  8 x  16)  (3x  4  2 3 x  4.4  16) 0  ( x  4)2  ( 3 x  4  4) 2 0  x  4 0 và 3 x  4  4 0  x 4(tm). 3. 2.0. 3a. 1.0. (a  b)c ab  (a  c)(b  c ) c 2 2 2 Gọi UCLN của a-c và b-c là d  c d  c d  a d ; b d mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1 Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q là các số nguyên) c2 = p2q2  c = pq  a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương. 0.25. 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> P. Mà. 20 10 1   2 x y xy xy. 20 20 4 80  20. 2  2 2 x  y 2 xy x  y  2 xy ( x  y) 2. 2. 0,25. 2. . Ta có. x  y 2. 0,25. 20 20  20 2 x y 2 xy 2. Nên. 3b. 1.0. Dấu bằng khi x = y =1 1 ( x  y) 2 1 xy   1 xy 4 4 Mặt khác : . Nên . Dấu bằng xảy ra khi 2. .. 0.25. 2. 0.25. x = y =1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21 khi và chỉ khi x = y =1. 0.25. A. F. E H. K N. G. B D. 4.. M. 2.5 C. AEB vuông tại E nên. 4a 1.0. 4b. 0.75.  cos BAE . AE AB. ACF vuông tại F nên.  cos CAF . AF AC. ; Tư đó chứng minh được tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên S AEF AE 2   2 cos 2 BAC   S AEF S ABC .cos 2 BAC S ABC AB     NMK ABH và MNK có BAH ; ABH MKN (Góc có cạnh tương ứng song song) BA BH    BA.KN BH .KM KM KN Suy ra AHB đồng dạng với MNK ( g.g);. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4c. 0.75. AB AH  2 AHB đồng dạng với MNK nên MK MN ( Vì MN là đường TB của tam giác AG HG 2 2 AHC); Lại có: MG ; NG ( G là trọng tâm của tam giácAHC) AB AG   2   MK MG . Mặt khác BAG GMK ( so le trong)  ABG đồng dạng với tam giác MKG (c.g.c). . . 0.25. GB GA GH GB5 GA5 GH 5 GB5  GA5  GH 5   2     32 GK GM GN GK 5 GM 5 GN 5 GK 5  GM 5  GN 5. 0.25. GB 5  GA5  GH 5 4 2 GK 5  GM 5  GN 5. 1   AMC BDM  ; Ta có : SMCD = 2 MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có a b ab 1 MC = cos , MD = sin  ; SMCD = 2 cos.sin  5 1.0. 0.5. Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất  2sin.cos lớn nhất . Theo bất đẳng thức 2xy  x2 +y2 ta có : 2 2sin.cos  sin  +cos2 = 1 nên SMCD ≥ ab 0 SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(90 )   = 900   = 450  AMC và BMD vuông cân. Vậy min SMCD = ab . Khi  = 450 ; C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM .. 0.5. x. . y D. C A. a. (. M. b. B.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>