Phuong trinh luong giac LTDH

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề phương trình lượng giác PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. Một số công thức lượng giác 1.Công thức cơ bản: sin x  cos x   x  k  tan x  cot x   x   k  cos x  sin x 2  tanx.cotx = sin 2  cos 2 =1  1   1  tan 2 x   x   k  2 cos x  2  1 x  k  1  cot 2 x  sin 2 x     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4       sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x   4 4   4 4 2 2 sin x  cos x  1  2sin x cos x sin 6 x  cos 6 x  1  3 sin 2 x cos 2 x a.Cung đối: cos(-x) = cosx sin(-x) = -sinx tan(-x)= -tanx cot(-x)= -cotx b.Cung bù sin(   )  sin  cos(   )   cos  tan(   )   tan  cot(   )   cot  c.Cung hơn kém  cos(   )   cos  sin(   )   sin  tan(   )  tan  cot(   )  cot  d.Cung phụ     cos  x   sin x sin  x   cos x 2  2      tan  x   cot x cot   x   tan x 2  2   e.Cung hơn kém 2     cos  x    sin x sin  x   cos x 2  2      tan  x    cot x cot   x    tan x 2  2 . 2.Công thức cộng sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny sin(x – y) = sinx cosy – cosx siny cos(x + y) = cosx cosy – sinx siny cos(x – y) = cosx cosy + sinx siny tan x  tan y    tanx  y    x; y; x  y   k , k    1  tan x tan y 2  . Hoàng Tân. LTĐH.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề phương trình lượng giác. tanx  y  . tan x  tan y 1  tan x tan y.     x; y; x  y   k , k    2  . 3.Công thức nhân đôi sin 2 x  2sin x.cos x cos2x = cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  1  2 sin 2 x 2 tan x    tan 2 x   a;2a   k , k    2 2 1  tan x   2 cot x  1 cot 2 x  2 cot x x Đặt t  tan x    k 2  2 1 t 2 2t 2t cos x  sin x  tan x  2 2 1 t 1 t 1 t 2 4.Công thức hạ bậc 1  cos 2 x 1  cos 2 x sin 2 x  cos 2 x  2 2 1  cos 2 x    tan 2 x   a   k , k    1  cos 2 x 2   3 sin x  sin 3x 3 cos x  cos 3x sin 3 x  cos 3 x  4 4 5.Công thức biến đổi tích thành tổng 1 sin x sin y   cosx  y   cosx  y  2 1 sin x cos y  sin x  y   sin x  y  2 1 cos x cos y  cosx  y   cosx  y  2 6.Công thức biến đổi tổng thành tích x y x y sin x  sin y  2 sin cos 2 2 x y x y sin x  sin y  2 cos sin 2 2 x y x y cos x  cos y  2 cos cos 2 2 x y x y cos x  cos y  2 sin sin 2 2  sin x  y    tan x  tan y   a; b   k , k    2 cos x cos y   sin x  y     tan x  tan y   a; b   k , k    cos x cos y 2   sin x  y  sin  y  x  cot x  cot y  cot x  cot y  sin x sin y sin x sin y. Hoàng Tân. LTĐH.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề phương trình lượng giác. 7.Công thức nhân ba sin 3x  3 sin x  4 sin 3 x 3tan x  tan 3 x tan 3x  3tan 2 x  1 B. Phương trình lượng giác. cos 3x  4 cos 3 x  3 cos x.  x    k 2 +) sinx  sin    ( k Z )  x      k 2  x    k 2 +) cos x  cos   ( k Z )  x    k 2 +) t anx  tan   x    k ( k Z ) +) cot x  cot   x    k (k Z ) Tập giá trị của hàm sin va cos là  1;1 I) Phương trình bậc 2 một ẩn đối với 1 hàm lượng giác:. Bài 1. : Giải các phương trình lượng giác sau: a) 2sin 2 x  2sin x  5  0 c) 4cos 4x  10sin 2 x  7  0. b) 2cos2 x  3cos x  1  0 d) 2sin 2 3x  (4  2)sin 3x  2 2  0. e) cos2 x  sinx  1  0 g) 2cos 2 x  3cos x 1  0 i) 3sin 2 x  7cos x  7  0 k) cos2 x  3cos x  4  0. f) h) j) l). 4cos2 x  ( 3  1) cos x  3  0 cos4 x  7cos 2 x  7  0 5sin 2 x  4sin x 1  0 4cos2 x  ( 3  1) cos x  3  0. Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a) tan 2 2 x  (1  3) tan 2 x  3  0. 3  4 tan x  2  0 cos 2 x d) 3 cot 2 x  4cot x  3  0. b). c) 3tan 2 x  2 tan x  2  0 5 e) 3tan 2 x  3tan x   0 f) cot 2 x  cot x 1  0 2 II) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Bài 3. Giải phương trình lượng giác sau: a) sinx+ 3 cos x  1 b) 3 sin3x+cos3x  2 c) 3 sinx  cos x  2  0 d) 3sin x  1  4sin3 x  3cos3x e) 2sin 4 x  3cos 2 x  16sin3 x.cos x  5  0 f) 5sin x  9cos x  5 g )cos7 x  3 sin 7 x   2 sin 2 x h)2cos 2 x  1 2 6 3 x  ( ; ) 5 7 i) cos7 x.cos5x  3 sin 2 x  1  sin 7 x.sin 5 x j) 2 2(sinx  cos x) cos x  3  cos2 x. Bài 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) m.sin 3x  (m  1)cos3x  5. Hoàng Tân. LTĐH.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề phương trình lượng giác m 1 sin 2 x  3cos 2 x  4 2 Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau: 1  cos x a) y  s inx  cos x  2 III) Phương trình bậc cao đối với sinx, cosx Bài 6. Giải các phương trình lượng giác sau:. b) m.sin 2 x . a) sin 4 x  cos4 x  cos2 x. 1 c) sin 6 x  cos6 x  sin 2 2 x 4 17 e) sin 8 x  cos8 x  cos2 2 x 16. b) y . 3sin x  2cos x  7 2sin x  3cos x  5.  1 b) sin 4 x  sin 4 ( x  )  4 4 5 d) sin 6 x  cos6 x  (sin 4 x  cos4 x) 4. f) sin3 4 x  cos3 x.sin 3x  sin 3 x.cos3 x. f) cos3 x.cos3x  sin 3x.sin 3 x . g) sin3 x.cos3x  cos3 x.sin 3x  sin 3 4 x. h) sin 3 x.cos x . 2 4. 1  cos3 x.s inx 4. IV) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Phương trình lượng giác mà chỉ gồm 2 biểu thức lượng giác : sinx  cos x và sinx.cos x thì ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ: t 2 1 Đặt t  sinx  cos x , t  2  s inx.cos x   2. Bài 7. Giải các phương trình sau: a). 2(sinx  cos x)  sinx.cos x  1. b) (1  s inx.cos x)(s inx  cos x) . 2 2. c) sin 3 x  cos3 x . 2 2 e) 2sin 2 x  2(sinx  cos x)  1  0. 3 d) 1  sin 3 x  cos3 x  sin 2 x 2 f) sinx.cos x  2(sinx  cos x)  2. g) 4 2(sinx  cos x)  3sin 2 x 11  0. h) (sinx  cos x)3  sinx.cos x 1  0. i) cos3 x  sin3 x  cos2 x 1 1 10 k) sinx  cos x    sinx cos x 3. j) 1  t anx  2 2 sinx. m) sinx  cos x  4sin 2 x  1. Bài 8. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 3(t anx  cot x)  4 c) 2(2  sin 2x)  3(t anx  cot x) e) cot x  t anx  2 tan 2 x h) tan 2 x  t anx.tan 3x  2 j) 3( Hoàng Tân. . l) sin 2 x  2 sin( x  )  1 4 2 3 n) s inx  cos x  1  s inx.cos x 3 b) 2(sinx  cos x)  t anx  cot x d) tan 2 x  cot x  8cos2 x f) t anx  cot x  2(sin 2 x  cos2 x) 2 i) 2 tan x  cot x  3  s inx. 1 1  )  12  2 3(t anx-cotx) 2 sin x cos2 x. LTĐH.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề phương trình lượng giác. sin 4 x  cos4 x 1  (t anx  cot x) sin 2 x 2 V) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx Bài 9. Giải các phương trình sau: a) 6sin 2 x  3sin x.cos x  cos2 x  1 k). c) sin 2 x  2sin x.cos x  3cos2 x  3  0 e) 4 3 sinx.cos x  4cos 2 x  2sin 2 x . Bài 10.. 5 2. b) sin 2 x  4sin x.cos x  1 1 d) 4sin x  6cos x  cos x f) 3sin 2 x  4sin 2 x  4cos2 x  3. Giải các phương trình sau: a) 4sin x  3cos3 x  3sin x  sin 2 x.cos x  0 b) cos3 x  sinx-3sin 2 x.cos x  0 c) cos3 x  4sin 3 x  3cos x.sin 2 x  sinx  0 d) 4cos3 x  2sin3 x  3sin x  0 e) sin 2 x(t anx  1)  3sin x(cos x  sinx)  3. f) 2cos3 x  sin 3 x. g) 1  3sin 2 x  2 tan x. h). 3. . 2 sin 3 ( x  )  2sin x 4. 3 1  cos x s inx 5sin 4 x.cos x j) 6sin x  2cos3 x  2cos 2 x VI) Phương trình lượng giác đưa về dạng tích:. i) 2sin x  2 3 cos x . Bài 11.. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sinx  sin 2 x  sin 3x  sin 4x  0 b) cos x  cos2 x  cos3x  cos4 x  0 c) cos2 x  cos8x  cos6 x  1 d) cos3 x  cos2 x  2sin x  2  0 e) (2sin x 1)(2cos 2 x  2sin x  1)  3  4cos 2 x f) sin 4 x  t anx g) sinx  sin 3x  4cos3 x  0 h) 1  sinx  cos x  sin 2 x  cos2 x  0 i) sinx  sin 2 x  sin 3x  1  cos x  cos2 x j) 2cos3 x  cos2 x  sinx  0 k) cos x  cos3x  2cos5x  0 2 3 l) sinx  sin x  cos x  0 m) (cos x  sinx) cos x.sinx  cos x.cos2 x. n) 4cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x x x o) cos 4  sin 4  sin 2 x 2 2 Bài 12. Giải các phương trình sau: sin 3x sin 5 x a)  3 5.  1 1 p) 2 2 sin( x  )   4 cos x s inx b). c) sin 2 x  sin 2 3x  cos2 2 x  1 e) cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  cos 2 4 x . Hoàng Tân. sin 5 x 1 5sin x. d) cos2 x  cos2 2 x  cos2 3x . 3 2. 3 2. f) sin 2 x  cos2 2 x  cos 2 3x. LTĐH.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề phương trình lượng giác sin 4 2 x  cos 4 2 x. g). . .  cos 4 2 x. h) cos x  tan. tan(  x).tan(  x) 4 4.   9 i) sin 4 x  sin 4 ( x  )  sin 4 ( x  )  4 4 8 k) cos2 x  5  2(2  cos x)(sinx  cos x). j) 2sin 3x . x 1 2. 1 1  2cos3x  sinx cos x. l) t anx  3cot x  4(sinx  3 cos x) x 3x x 3x 1 m) cos x.cos .cos  sinx.sin .sin  2 2 2 2 2 n) (sinx  3 cos x)sin 3x  2 VII) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá, đưa về tổng bình Phương. Bài 13.. Giải phương trình lượng giác sau: a) sin x  cos4 x  1 c) sin 2010 x  cos2010 x  1. b) sin 2011 x  cos2012 x  1 d) cos4 x  sin 4 x  cos x  sinx. e) cos2 4 x  cos2 8x  sin 2 12 x  sin 2 16 x  2. f) 8sin x.sin 2 x.cos3 x  1. 3. g) cos2 x  cos6 x  4(3sin x  4sin 3 x  1)  0 h) cos x  cos y  cos( x  y)  i) tan 2 x  tan 2 y  cot 2 ( x  y)  1. Bài 14.. 3 2. j) 8cos x.cos2 x.cos3x  1  0. Giải phương trình sau:. a) cos2 x  cos6 x  4(3sin x  4sin 3 x  1)  0 b) cos x  cos y  cos( x  y)  c) 3 sin2x-2sin 2 x  4cos x  6  0 d) 2sin 2 x  cos2 x  2 2 sinx  4  0 3 f) cos x  cos3x  cos4 x  2 VII. Phương trình lượng giác có điều kiện. 3 2. e) tan 2 x  tan 2 y  cot 2 ( x  y)  1 g) 8cos x.cos2 x.cos3x  1  0. Bài 15.. Giải các phương trình sau: cos 2 x  cos3 x  1 a) cos2 x  tan 2 x  b) cos3x.tan 5x  sin 7 x cos 2 x s inx  sin 2 x  sin 3x c) d) t anx  tan 2 x  tan 3x  0  3 cos x  cos2 x  cos3x x x sin 4  cos 4 2 2  tan 2 x.s inx  1  s inx  tan 2 x e) 1  s inx 2 3 1 1 1 2    f) g) 8sin x  cos x sin 2 x sin 4 x cos x s inx 1 1 10 1  cos x h) cos x  i) tan 2 x   sinx   cos x sinx 3 1  s inx 3 sin x  cos3 x 5.sin 4 x.cos x 3  cos2 x j) 6sin x  2cos x  k) 2cos x  s inx 2cos 2 x. Hoàng Tân. LTĐH.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề phương trình lượng giác 1 m) 2sin x  cot x  2sin 2 x  1 sin 2 x VIII. Phương trình lượng giác trong một số đề thi ĐH 1 1  7  1.   4sin   x  (ĐH A-2008) 3  sin x   4  sin  x   2   3 3 2. sin x  3 cos x  sin x cos2 x  3 sin 2 x.cos x (DH B-2008) 3. 2sin x 1  cos 2 x   sin 2 x  1  2cos x (ĐH D-2008). l) 2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x . 4. 1  sin 2 x  cos x  1  cos2 x  sin x  1  sin 2 x (ĐH A - 2007) 5. 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sin x (ĐH B - 2007) 2. x x  6.  sin  cos   3 cos x  2 (ĐH D - 2007) 2 2  2  cos6  sin 6 x   sin x cos x 7.  0 (ĐH A - 2006) 2  2sin x x  8. cot x  sin x 1  tan x tan   4 (ĐH B - 2006) 2  9. cos3x  cos 2 x  cos x 1  0 (ĐH D - 2006) 10. cos2 3x cos 2 x  cos2 x  0 (ĐH A - 2005) 11. 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 (ĐH B - 2005)    3  12. cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0 (ĐH D - 2005) 4  4 2 . 13. Tam giác ABC không tù thỏa mãn đk: cos 2 x  2 2  cos B  cos C   3 . Tính các góc của tam giác (ĐH A - 2004) 14. 5sin x  2  3 1  sin x  tan 2 x (ĐH B - 2004) 15.  2cos x  1 2sin x  cos x   sin 2 x  sin x (ĐH D - 2004) cos 2 x 1  sin 2 x  sin 2 x (ĐH A - 2003) 1  tan x 2 2 17. cot x  tan x  4sin 2 x  (ĐH B - 2003) sin 2 x x x  18. sin 2    tan 2 x  cos 2  0 (ĐH D - 2003) 2 2 4 cos 3x  sin 3x   19. Tìm các nghiệm thuộc (0;2π) của pt: 5  sin x    cos 2 x  3 1  2sin 2 x   (ĐH A - 2002) 20. sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x (ĐH B - 2002) 21. cos3x  4cos 2 x  3cos x  4  0 (ĐH D - 2002) 1 1   2cot 2 x 22. sin 2 x  sin x  2sin x sin 2 x 23. 2cos2 x  2 3 sin x cos x  1  3 sin x  3 cos x. 16. cot x  1 . . . 3x  5x   x  24. sin     cos     2 cos 2  2 4 2 4. Hoàng Tân. LTĐH.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề phương trình lượng giác sin 2 x cos 2 x   tan x  cot x cos x sin x    26. 2 2 sin  x   cos x  1  12  4 sin x  cos 4 x 1 1 27.  cot 2 x  5sin 2 x 2 8sin 2 x 2 (2  sin 2 x)sin 3x 28. tan 4 x  1  cos 4 x 2sin x  cos x  1 29. Cho phương trình  m (m là tham số). sin x  2cos x  3 1 a. Giải phương trình với m = 3 b. Tìm m để pt có nghiệm 1  sin x 30. 8cos 2 x x  2  3 cos x  2sin 2     2 4  1 31. 2 cos x  1  CHÚC CÁC EM THI TỐT TRONG KÌ THI ĐH 2012 . 25.. . Hoàng Tân. . LTĐH.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>