Day theo quy luat

<span class='text_page_counter'>(1)</span>. . Chuyên đề 1: dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật. (1). D·y. = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = = 1: Sö dông c«ng thøc tæng qu¸t n 1 1 = − a. (a+n) a a+n - - - Chøng minh - - (a+n)− a n a+ n a 1 1 = = − = − a. (a+n) a .(a+n) a .(a+ n) a .(a+n) a a+n. Bµi 1.1: TÝnh 3 3 3 3 a) A= b) + + + .. .+ 5 . 8 8 . 11 11 . 14 2006 .2009 1 1 1 1 B= + + +. ..+ 6 .10 10 .14 14 . 18 402. 406 10 10 10 10 c) C= d) + + + .. .+ 7 . 12 12 . 17 17 . 22 502. 507 4 4 4 4 D= + + + .. .+ 8 .13 13 .18 18 .23 253 .258 Bµi 1.2: TÝnh: 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A= b) B= + + +. ..+ + + +.. .+ 2 . 9 9 .7 7 .19 252 .509 10 . 9 18 .13 26 .17 802 . 405 2 3 2 3 2 3 c) C= − + − +. ..+ − 4 . 7 5 . 9 7 . 10 9 .13 301 . 304 401. 405 Bµi 1.3: T×m sè tù nhiªn x, tho¶ m·n: x 1 1 1 1 5 7 4 4 4 4 29 a) b) − − − − .. . − = + + + +. . .+ = 2008 10 15 21 120 8 x 5 . 9 9 . 13 13. 17 41 . 45 45 1 1 1 1 15 + + + .. .+ = c) 3.5 5.7 7.9 (2 x +1)(2 x +3) 93 Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: 1 1 1 1 n + + +. ..+ = a) 2 . 5 5 . 8 8 .11 (3 n− 1)(3 n+ 2) 6 n+ 4 5 5 5 5 5n + + + .. .+ = b) 3 . 7 7 . 11 11 .15 4 n+3 (4 n− 1)(4 n+3) Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N ; n ≥2 ta cã: 3 3 3 3 1 + + +. ..+ < 9. 14 14 . 19 19 .24 (5 n − 1)(5 n+ 4) 15 Bµi 1.6: Cho. A=. 4 4 4 + +.. .+ 15 . 19 19 .23 399 . 403. chøng minh:. 16 16 < A< 81 80. 2 2 2 ; ; ; . .. 4 . 11 11. 18 18. 25 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) Gäi S lµ tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y. TÝnh S.. Bµi 1.7:. Cho d·y sè :. Bµi 1.8:. Cho. A=. 1 1 1 1 + 2 + 2 +.. .+ 2 . Chøng minh 2 2 3 4 9. Bµi 1.9:. Cho. A=. 2 2 2 2 + 2 + 2 +. ..+ . Chøng minh: 2 2 3 5 7 2007. 2 8 < A< 5 9 A<. 1003 2008.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bµi 1.10:. Cho B=. 1 1 1 1 334 + 2 + 2 +.. .+ . Chøng minh: B< 2 2 2007 4 6 8 2006. Bµi 1.11:. Cho S=. 1 1 1 1 + 2 +.. .+ . Chøng minh: S < 2 2 12 5 9 409. Bµi 1.12:. Cho. Bµi 1.13:. 8 24 48 200 . 202 Cho B= + + +. ..+ . Chøng minh: B> 99 , 75 2 9 25 49 201. Bµi 1.14:. Cho. A=. 9 9 9 9 + 2 + 2 +. ..+ . Chøng minh: 2 5 11 17 305 2. A=. A<. 3 4. 11 18 27 1766 20 20 . Chøng minh: 40 < A< 40 + + +. ..+ 9 16 25 1764 43 21. Bµi 1.15:. 2 2 2 2 2 Cho B= 2 + 3 + 4 + 5 + .. .+ 99 . T×m phÇn nguyªn cña B. 1. 3 2 . 4 3. 5 4 . 6 98 .100. Bµi 1.16:. 3 8 15 2499 Cho C= + + +. ..+ . Chøng minh C > 48 4 9 16 2500. Bµi 1.17:. Cho. M=. 2 1 1 1 M + +.. .+ 3 1+ 2+ 3 1+2+3+ 4 1+2+3+ ..+59 . Chøng minh. 1. 4 2. 5 3 . 6 98 . 101 . Chøng minh 97 < N < 98. + + +.. .+ 2 . 3 3 . 4 4 .5 99 . 100  Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè: 2n 1 1 = − a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n) (a+ n)(a+2 n) Chøng minh:. Bµi1.18:. Cho. N=. (a+2 n)− a 2n a+ 2n a 1 1 = = − = − a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n)( a+2 n) a (a+n)(a+2 n) a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n) (a+ n)(a+2 n) 3n 1 1 = − a(a+ n)(a+2 n)(a+3 n) a( a+n)(a+2 n) (a+n)(a+ 2n)(a+3 n) 2 2 2 + +. ..+ 1. 2 .3 2. 3 . 4 37 . 38. 39. Bµi 1.19:. TÝnh S=. Bµi 1.20:. Cho. Bµi 1.21:. Cho B=. Bµi 1.22:. Cho C=. Bµi 1.23:. Chøng minh víi mäi n N; n > 1 ta cã: 1 1 1 1 1 A= 3 + 3 + 3 +. ..+ 3 < 2 3 4 n 4. Bµi 1.24:. TÝnh. A=. 1 1 1 . Chøng minh + +. ..+ 1 .2 .3 2. 3 . 4 18 . 19. 20. A<. 1 4. 36 36 36 . Chøng minh B < 3 + +. ..+ 1. 3 .5 3. 5 .7 25 . 27 .29 5 5 5 1 . Chøng minh C< + +. ..+ 5 . 8 .11 8 .11 . 14 302 .305 . 308 48. M=. 1 1 1 + +. ..+ 1. 2. 3 . 4 2. 3 . 4 . 5 27 . 28 .29 . 30.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1 1 + + .. .+ 51 52 100 P= 1 1 1 1 + + +.. .+ 1.2 3.4 5.6 99 .100. Bµi 1.25:. TÝnh. Bµi 1.26:. TÝnh: Q=. Bµi 1. 27:. TÝnh:. R=. (n− 1)(n+1) 1. 3 2. 4 3 . 5 1002. 1004 + + + .. .+ +. . .+ 3 .5 5 .7 7 . 9 (2 n− 1)(2 n+1) 2005. 2007. 22 32 42 2006 2 + + +. ..+ 1. 3 2. 4 3 .5 2005 . 2007. 2 22 23 2n+1 22006 Bµi 1.28: Cho S= + + +.. .+ +. ..+ 2005+1 20052+ 1 20052 + 1 20052 +1 20052 + 1 2. 2005. 1 1002. So s¸nh S víi. (2). D·y 2: D·y luü thõa Bµi 2.1: TÝnh :. n. 1 an. { }. víi n tù nhiªn.. 1 1 1 1 A= + 2 + 3 +.. .+ 100 2 2 2 2. 1 1 1 1 1 1 Bµi 2.2: TÝnh: B= − 2 + 3 − 4 +. ..+ 99 − 100 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Bµi 2.3: TÝnh: C= + 3 + 5 +. ..+ 99 2 2 2 2 Bµi 2.4: TÝnh:. Bµi 2.5: Cho. 1 1 1 1 1 D= − 4 + 7 − 10 +. .. − 58 2 2 2 2 2 2 8 26 3n − 1 . Chøng minh A= + + +. ..+ n 3 9 27 3. A >n −. 1 2. 98. +1 . Chøng minh B < 100. Bµi 2.6: Cho B= 4 + 10 + 28 +. ..+ 3 98 3 9 27 3 5 5 5 5 5 Bµi 2.7: Cho C= + 2 + 3 +. ..+ 99 . Chøng minh: C< 4 4 4 3 4 3 5 7 19 + 2 2 + 2 2 +.. .+ 2 2 . Chøng minh: D < 1. 2 1 .2 2 .3 3 .4 9 . 10. Bµi 2.8: Cho. D=. Bµi 2.9: Cho. 1 2 3 100 E= + 2 + 3 +. . .+ 100 . Chøng minh: 3 3 3 3. Bµi 2.10: Cho. 2. 4 7 10 3 n+1 F= + 2 + 3 +. . .+ n 3 3 3 3. víi n. E<. 3 4. N*. Chøng minh:. F<. 11 4.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 5 8 11 302 5 1 Bµi 2.11: Cho G= + 2 + 3 +. ..+ 100 . Chøng minh: 2 <G<3 3 3 3 9 2 3 Bµi 2.12: Cho. 7 13 19 601 H= + 2 + 3 +. ..+ 100 . Chøng minh: 3 7 < H <5 3 3 3 9 3. Bµi 2.13: Cho. I=. Bµi 2.14: Cho. 4 13 22 904 K= + 2 + 3 +. ..+ 101 . Chøng minh: 3 3 3 3. Bµi 2.15: Cho. 7 11 15 403 L= + 2 + 3 +. . .+ 100 . Chøng minh: L < 4,5. 3 3 3 3. 11 17 23 605 + + +. ..+ 100 . Chøng minh: I < 7 3 32 33 3 K<. 17 4. (3). D·y 3: D·y d¹ng tÝch c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt: 8 15 24 2499 . A= . . . .. . . 9 16 25 2500. Bµi 3.1:. TÝnh:. Bµi 3.2:. 1 1 1 1 1 Cho d·y sè: 1 ,1 , 1 ,1 , 1 ,. . . 3 8 15 24 35. a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y. b) TÝnh tÝch cña 98 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y.. ( 13 )(1− 61 )(1 − 101 )(1 − 151 ) .. . ..(1 − 7801 ). Bµi 3.3: TÝnh: B= 1−. .. 1 3 5 199 1 Bµi 3.4: Cho C= . . .. . .. . Chøng minh: C2 < 2 4 6 200 201 Bµi 3.5: Cho. 1 3 5 99 1 1 . Chøng minh: D= . . . .. . . < D< 2 4 6 100 15 10. ( 12 +1)( 13 +1)( 14 + 1) .. .. (991 +1). Bµi 3.6: TÝnh:. E=. Bµi 3.7: TÝnh:. F=. ( 12 − 1)( 13 − 1)( 14 − 1) . .. .(1001 −1). Bµi 3.8: TÝnh: G=. Bµi 3.9: TÝnh: Bµi 3.10: TÝnh:. .. 3 8 15 899 . 2 . 2 .. . .. 2 . 2 2 3 4 30. 1 2 3 4 30 31 . H= . . . . .. . . 4 6 8 10 62 64 I =101. 10001. 100000001. . .. .1 00 . .. 000 1 ⏟ n. 2 −1 c/ s. Bµi 3.11: Cho. K=. (. 1 1 1 1 −1 2 −1 2 − 1 . .. . −1 2 2 2 3 4 100. )(. )(. ) (. ) . So s¸nh K víi. −1 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ( 12 )(1− 13 )(1− 14 ). .. .(1 − 201 ). Bµi 3.12: So s¸nh. L= 1−. Bµi 3.13: So s¸nh. M = 1−. 1 21. víi. ( 14 )( 1− 19 )(1 − 161 ) .. .. .(1 − 1001 ). 2. 2. 2. víi. 11 19. 2. Bµi 3.14: TÝnh:. 2 3 4 50 N= . . . .. .. 1. 3 2. 4 3 . 5 49. 51. Bµi 3.15: TÝnh. P= 1−. ( 71 )(1 − 27 )(1 − 37 ) . .. ..( 1− 107 ). .. ( 32 )(1 − 25 )(1 − 27 ) .. . ..(1 − 20072 ). Bµi 3.16: TÝnh: Q= 1−. ( 12 − 13 )( 12 − 15 )( 12 − 17 ). .. . .( 12 − 991 ). Bµi 3.17: TÝnh: T =. Bµi 3.18: So s¸nh: U=. (. Bµi 3.19: Cho V = 1+. 1 . 3. 5 .7 . .. . .39 21 . 22. 23 .. .. . 40. 1 1 1+ 1.3 2. 4. )(. vµ V =. 1 2 −1 20. )( 1+ 31.5 ). . .. .(1+99 .1101 ). . Chøng minh V < 2.. 2 4 6 200 Bµi 3.20: Cho S= . . . . .. . . Chøng minh: 201<S 2 <400 1 3 5 199 1 4 7 10 208 . Chøng minh: A= . . . . .. . 3 6 9 12 210. Bµi 3.21: Cho. A<. 1 25. 2 2 2 2 Bµi 3.22: TÝnh: B= 1 . 2 . 3 .. .. . 100 1. 2 2 .3 3 . 4 100. 101. Bµi 3.23: TÝnh:. 1999 1999 1999 1999 1+ 1+ 1+ .. .. . (1+ ( 1 )( 2 )( 3 ) 1000 ) C= (1+10001 )(1+10002 )(1+10003 ) .. .. .(1+1000 1999 ). Bµi 3.24: TÝnh:. 2 n −1 ¿ (¿¿) 1 , víi n 1− ¿ 4 4 4 D= 1− 1− 1− . . .. . ¿ 1 9 25. 2. ( )( )(. Bµi 3.25: Cho. (. E= 1 −. vµ. F=. N, n ≥1. ). 1 1 1 1− .. .. . 1 − 1+ 2 1+ 2+ 3 1+ 2+ 3+.. .+n. n+ 2 n. )(. víi n. ) (. N*. TÝnh. E F. ( 12 )(1+ 14 )(1+161 )(1+2561 ) .. . .(1+ 2 1 ). Bµi 3.26: Cho G= 1+. ). 1024. vµ. H=. 1 2. 2047.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TÝnh: G + H. n. Bµi 3.27: Cho. n. (22 −1)(22 + 1)+2 1 . 3+2 3 . 5+2 15. 17+2 255. 257+2 I= . . . . .. . . 4 16 256 65536 22 n. Chøng minh:. I<. víi n. N.. 4 3. 1 1 1 1 1 Bµi 3.28: Cho d·y sè: 1 ; 1 2 ; 1 4 ; 1 8 ; 1 16 ; .. .. 3 3 3 3 3 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y. b) Gäi A lµ tÝch cña 11 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y. Chøng minh c) T×m ch÷ sè tËn cïng cña B=. 5 13 97 32 +22 A= . 2 . 4 . .. .. 6 6 6 62. n. vµ B=. n. a) Chøng minh :. M=. A B. lµ sè tù nhiªn.. 3 3− 2 A. n. Bµi 3.29: Cho. 1 3−2 A. 1 2. 6. n+ 1. víi n. −1. N. lµ sè tù nhiªn. b) Tìm n để M là số nguyên tố. n. Bµi 3.30: Cho. 7 37 1297 62 +1 A= . 2 . 4 . .. .. 2 3 3 3 3 n. ( 13 )(1+ 31 )(1+ 31 ) .(1+ 31 ) .. .. (1+ 31 ). B= 1+. 2. 4. n. 8. 2. víi n. N. a) Chøng minh : 5A – 2B lµ sè tù nhiªn. b) Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c 0 th× 5A – 2B chia hÕt cho 45. n. Bµi 3.31: Cho. 5 13 97 32 +22 A= . 2 . 4 . .. . 3 3 3 32 n. n. .( víi n. N ) Chøng minh: A < 3.. (4). TÝnh hîp lÝ c¸c biÓu thøc cã néi dung phøc t¹p: 1+( 1+ 2)+(1+ 2+ 3)+. ..+(1+2+3+. ..+ 98) 1. 2+2. 3+3 . 4+ .. .+98 . 99. Bµi 4.1:. TÝnh: A=. Bµi 4.2:. TÝnh: B=. Bµi 4.3:. 1 1 1 1 + + +. ..+ 1 . 300 2. 301 3 . 302 101 . 400 TÝnh: C= 1 1 1 1 + + +. ..+ 1. 102 2 .103 3. 104 299 . 400. 1. 98+2 . 97+3 . 96+. ..+98 . 1 1. 2+2. 3+3 . 4+ .. .+98 . 99.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TÝnh:. 1 1 1 100 − 1+ + +. . .+ 2 3 100 D= 1 2 3 99 + + +. ..+ 2 3 4 100. TÝnh:. 1 1 1 1 + + +. ..+ 51 52 53 100 E= 1 1 1 1 + + +. ..+ 1. 2 3 . 4 5. 6 99 . 100. TÝnh. 5 5 5 15 15 5− + − 15 − + 3 9 27 11 121 F= : 8 8 8 16 16 8− + − 16 − + 3 9 27 11 121. TÝnh. 2 1 1 1 1 3 + ):2 1,2 : ( 1 . 1 ) ( 15 5 2 5 4 G= − 2 3 1 43 0 , 32+ 5 − 2 :4 ( 7 4 ) 56 25. TÝnh. 1 2 3 98 99 1 2 3 92 + + + .. .+ + 92 − − − − .. .− 99 98 97 2 1 9 10 11 100 H= : 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +. ..+ + + +.. .+ 2 3 4 100 45 50 55 500. TÝnh. 2 2 2 4 4 4 + − 4− + − 19 43 1943 29 41 2941 I= : 3 3 3 5 5 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941. Bµi 4.10:. TÝnh. 12 12 12 3 3 3 − − 3+ + + 7 289 85 13 169 91 K= : 4 4 4 7 7 7 4− − − 7+ + + 7 289 85 13 169 91. Bµi 4.11:. TÝnh. L=. TÝnh. 3 2 4 1,6: 1 .1 , 25 1, 08 − : 5 25 7 2 M= + +0,6 . 0,5 : 1 5 5 1 2 0 , 64 − 5 − 2 .2 25 9 4 17. Bµi 4.4:. Bµi 4.5:. Bµi 4.6:. Bµi 4.7:. Bµi 4.8:. (. ). 2−. Bµi 4.9:. 12 −. Bµi 4.12:. 1 . 2+ 2. 4 +3 .6 +4 . 8+5 . 10 3 . 4+6 . 8+9 . 12+ 12. 16+15 .20. (. ) ( (. ). ). 1 94 38 11 11 −6 :8 5 1591 1517 43. (. ). Bµi 4.13:. TÝnh. N=8. Bµi 4.14:. TÝnh. P=10101 .. Bµi 4.15:. 1 1 1 1 1+ + + +. . .+ 3 5 7 99 TÝnh Q= 1 1 1 1 1 + + + .. .+ + 1 . 99 3 . 97 5 . 95 97 . 3 99 .1. 5 5 4 + − (111111 222222 3. 7 .11 . 13 .37 ).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bµi 4.16:. TÝnh. 1 1 1 1 + + +. . .+ 2 3 4 200 R= 1 2 3 198 199 + + +. ..+ + 199 198 197 2 1.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>