SKKN DAY CHUONG TU GIAC NHU THE NAO H QUA

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC LOẠI HÌNH TỨ GIÁC I/MỞ ĐẦU: * Chương I “Tứ giác” ở hình học 8 là chương đặt nền móng đầy đủ cho việc nghiên cứu đa giác trong học hình học phẳng ở chương trình THCS. Nó hoàn thiện kiến thức về tam giác và cơ sở để mở rộng về đa giác noùi chung. * Nhiều năm dạy toán THCS tôi nhận thấy HS thường hay lúng túng khi một tứ giác có thêm hoặc bớt đi một điều kiện thì loại hình tứ giác đó thay đổi như thế nào?Do các em chưa nắm chắc mối quan hệ giữa các loại hình tứ giác đó . * Để phần nào giúp HS có cơ sở làm tốt những bài toán chứng minh về tứ giác . Tôi xin đưa ra một số yếu tố về cạnh , góc , đường chéo của tứ giác , vị trí của điểm ,tam giác … thay đổi thì sẽ kéo theo loại hình tứ giác đó thay đổi. Làm nền tảng cho HS vẽ hình , dự đoán và chứng minh được tứ giác đó là hình gì.Từ đó HS tính được độ dài cạnh , số đo góc … II/KEÁT QUAÛ: * Để đạt hiệu quả cao khi sử dụng mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác . HS phải hiểu chắc hệ thống kiến thức về chương tứ giác . * Các em phải nắm vững những định nghĩa , tính chất , dấu hiệu nhận biết , lưu ý… của từng loại hình tứ giaùc . * Từ đó khi thêm hoặc bớt một điều kiện các em có thể dự đoán ngay loại hình mới và tìm cách để chứng minh . -Có thể dựa vào sơ đồ nhận biết các loại tứ giác -Có thể dựa vào tính chất đối xứng (đối xứng tâm, đối xứng trục của từng loại hình tứ giác) - Nắm chắc hết các phương pháp để chứng minh 1 tứ giác là hình gì ? -Tìm các mối liên hệ của cùng một tiểu mục như : giữa định nghĩa với nhau , tính chất với nhau , dấu hiệu nhận biết với nhau . Để thấy sự giống nhau và khác nhau của từng loại hình tứ giác . Từ đó không nhầm lẫn khi chứng minh hoặc tìm điều kiện để hình này trở thành hình khác .. SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 4 caïnh baèng nhau. 3 goùc vuoâng TỨ GIÁC. . Các cạnh đối song song . Các cạnh đối = . 2 cạnh đối song song và = . Các cạnh đối = . 2 đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường. 2 cạnh đối song song Hình thang. . 2góc kề đáy = . 2đường chéo =. Goùc vuoâng 2 caïnh beân song song Hình thang caân. Hình thang vuoâng. Hình bình haønh. 2 caïnh beân song song. . 2caïnh keà = . 2đường chéo vuông góc . 1đường chéo là đường phaân giaùc cuûa 1 goùc. . 1goùc vuoâng .2đường chéo =. 1 goùc vuoâng. Hình thoi . 1 goùc vuoâng . 2 đường chéo =. Hình chữ nhật . 2caïnh keà = . 2đường chéo vuông góc . 1đường chéo là đường phaân giaùc cuûa 1 goùc. *Tôi xin minh hoạ 1 số trường hợp cụ thể bằng các bài toán sau . Lời giải trình bày gọn , chủ yếu là gợi ý. HS hieåu vaø laøm laïi chi tieát hôn . A.LÝ THUYẾT: Để giúp HS nắm đầy đủ các phương pháp chứng minh một tứ giác là hình gì , tôi xin giới thieäu baûng caùc phöông phaùp sau : 1-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH THANG CÂN Chứng minh tứ giác là một hình thang có PP1) Hai góc kề một đáy bằng nhau . PP2) Hai đường chéo bằng nhau . PP3) Hai góc đối bù nhau . PP4) Đường nối các trung điểm của hai đáy là trục đối xứng .. 2-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH BÌNH HAØNH Chứng minh tứ giác có PP1) Hai cặp cạnh đối song song . PP2) Hai cặp cạnh đối băng nhau từng đôi một .. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> PP3) Các cặp góc đối bằng nhau . PP4) Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường . PP5) Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau . PP6) Một tâm đối xứng . 3-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH CHỮ NHẬT Chứng minh tứ giác PP1) Laø hình bình haønh coù moät goùc vuoâng . PP2) Coù boán goùc baèng nhau . PP3) Là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau . PP4) Laø hình thang caân coù moät goùc vuoâng . PP5) Có các đường thẳng qua các trung điểm của mỗi cặp cạnh đối là trục đối xứng của tứ giác 4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH THOI Chứng minh tứ giác PP1) Laø hình bình haønh coù hai caïnh lieân tieáp baèng nhau . PP2) Coù boán caïnh baèng nhau . PP3) Là hình bình hành có các đường chéo vuông góc . PP4) Có mỗi đường chéo là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo đó . PP5) Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy . PP6) Có mỗi đường thẳng qua hai đỉnh đối nhau là một trục đối xứng của nó . 5-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH VUÔNG Chứng minh tứ giác PP1) Laø hình thoi coù moät goùc vuoâng . PP2) Là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau . PP3) Là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau . PP4) Là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc . PP5) Có bốn trục đối xứng là các đường thẳng qua các đỉnh đối nhau , các đường thẳng qua trung điểm các cạnh đối nhau . B.AÙP DUÏNG: 1.Phương pháp :Đường chéo của tứ giác cho trước thay đổi dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình . * Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) Tứ giác ABCD phải thoả điều kiện gì về đường chéo để : MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi , hình vuoâng ? A * Giaûi : B B M. B. N. M. M. N. C A. A Q. P. Q. N. M A. C Q. B. C. N. D P. P. a) Vẽ 2 đường chéo AC,BD D. C. Q. P D. D. AC MN  AC , MN  2 (tính chất đường trung bình của tam giác ) Ta coù : AC PQ  AC , PQ  2  MN  PQ, MN PQ Vaäy MNPQ laø hình bình haønh .. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b)- MNPQ là hình chữ nhật thì M̂ = 1v  AC  BD - MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ  AC BD - MNPQ laø hình vuoâng thì AC  BD vaø AC = BD 2.Phương pháp :Vị trí điểm trên cạnh tam giác và tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho ABC ,D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song AB và AC. Chúng cắt các cạnh AC , AB theo thứ tự tại E và F . a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ? c)Nếu ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF laø hình vuoâng ? * Giaûi : A. A. A. E. F E B. F C. D. A. F. B. D. C. E D. B. E. F C. C. B. D. a) Ta coù : DE  AF (gt) DF  AE (gt) Vaäy AEDF laø hình bình haønh . b)Vẽ đường chéo AD Để AEDF là hình thoi thì AD là phân giác  Vaäy D laø giao ñieåm cuûa phaân giaùc A vaø BC ˆ c) Nếu ABC : A 1v thì AEDF là hình chữ nhật Để AEDF là hình vuông thì :  = 1v và AD là phân giác 3. Phương pháp : Khi tứ giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình . * Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) - Neáu ABCD laø hình bình haønh thì MNPQ laø hình gì ? Vì sao ? - Neáu ABCD laø hình thoi thì MNPQ laø hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Neáu ABCD laø hình vuoâng thì MNPQ laø hình gì ? Vì sao ? * Giaûi : M. A. B. Q D. N P. C. A. M. Q D. N P. A. B. C. Q. A. M. D. B P. C. N. M. Q. B N. a) (Xem baøi 1 phaàn a ) C P D b) - Neáu ABCD laø hình bình haønh thì MNPQ laø hình bình haønh (töông tự phần a) - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì : AC = BD  MN MQ Vaäy MNPQ laø hình thoi . - Neáu ABCD laø hình thoi thì : AC  BD  MN  MQ hay M̂ = 1v Vậy MNPQ là hình chữ nhật . - Neáu ABCD laø hình vuoâng thì : MN = MQ vaø M̂ = 1v 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vaäy MNPQ laø hình vuoâng . 4. Phương pháp :Khi hình thang cho trước thay đổi loại hình và góc dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho hình thang ABCD ( AB CD ). Goïi M,N,P,Q laø trung ñieåm caùc caïnh AB, AC, DC, BD . a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) Neáu ABCD laø hình thang caân thì MNPQ laø hình gì ? c) Khi MNPQ laø hình vuoâng . Tính caùc goùc cuûa hình thang ABCD. * Giaûi : M. A. D. D. C. P. B. P. B. M. A. N. Q. N. Q. K. M. A. B. Q. C. N. D. C. P. AD 2 ( tính chất đường trung bình của tam giác ) a) Ta coù : AD NP  AD, NP  2  MQ  NP, MQ NP Vaäy MNPQ laø hình bình haønh b) Neáu ABCD laø hình thang caân thì AD = BC  MQ MN MQ  AD, MQ . Vaäy MNPQ laø hình thoi . c) Khi MNPQ laø hình vuoâng thì M̂ = 1v hay MQ  MN  DK  CK nên Ĉ = D̂ = 450 Do đó Â = B̂ = 1350 5.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến các tứ giác thay đổi loại hình . * Cho ABC cân tại A . Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC . Q là điểm đối xứng của P qua N . a) Chứng minh tứ giác PMAQ là hình thang . b) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật . c) ABC phải thoả mãn điều kiện gì để các tứ giác PMAQ là hình thang cân , APCQ là hình vuông . * Giaûi : Q. A. A. Q Q. A M. M. N. B B. P. C. N. P. N C. B. P. C. a) Ta có : PN  AB (tính chất đường trung bình của tam giác ) hay AM  PQ Vaäy PMAQ laø hình thang b) Ta coù NA = NC (gt) NP = NQ ( tính chất đối xứng) ABC cân tại A nên AP cũng là đường cao , do đó ; AP  BC hay P̂ = 1v Vậy APCQ là hình chữ nhật . c) - Nếu PMAQ là hình thang cân thì Q = P mà Q = B (góc đối hình bình hành) P = A (góc đối hình thoi ). 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  Aˆ Bˆ Cˆ. Vậy ABC đều BC - Neáu APCQ laø hình vuoâng thì AP = PC (= 2 ) Vaäy ABC vuoâng caân taïi A 6.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình và góc giữa 2 trung tuyến thay đổi dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho ABC . Các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G . Gọi I,J là trung điểm GB, GC . a) Chứng minh tứ giác EFIJ là hình bình hành . b) ABC phải có điều kiện gì để tứ giác EFIJ là hình chữ nhật ? c) Nếu BE  CF thì tứ giác EFIJ là hình gì ? A A * Giaûi : A Do đó : Â = B̂. E. F I B. F. G J. C. B. E. G I. J. F C B. G I. E l J C. BC 2 (tính chất đường trung bình của tam giác) a) Ta coù : BC IJ  BC , IJ  2  FE  IJ , FE IJ Vaäy EFIJ laø hình bình haønh . b) Để EFIJ là hình chữ nhật thì FJ = IE . Do đó BE = CF . Vaäy ABC caân taïi A c) Neáu BE  CF hay FJ  IE Vaäy EFIJ laø hình vuoâng . FE  BC , FE . * BAØI TAÄP THAM KHAÛO : Tôi xin giới thiệu thêm một số bài toán để HS thử sức và đồng nghiệp hướng dẫn cho các em . Với mục đích tìm thêm nguyên nhân mà tứ giác thay đổi loại hình . Từ đó thấy được mối liên hệ của các loại hình tứ giác thật phong phú đa dạng .. 1. Cho ABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AC , D là điểm đối xứng với M qua I . a) Tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ? b) Nếu ABC có Â = 900 thì tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ? c) Tìm điều kiện của ABC để AMCD là hình vuông ? 2. Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo BD lấy E,K sao cho BE = DK . a) Chứng minh AKCE là hình bình hành . b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để AKCE là hình thoi ? 3. Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Vẽ đường thẳng qua B và song song AC , vẽ đường thẳng qua C và song song BD . Hai đường đó cắt nhau tại K .. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a)Tứ giác OBKC là hình gì ? Vì sao ? b) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông ? 4. Cho tứ giác ABCD , các phân giác các góc Â, B,C,D cắt nhau tại M,N P,Q . a) Chứng minh tứ giác MNPQ có tổng các góc đối bù nhau . b) Neáu ABCD laø hình bình haønh thì MNPQ laø hình gì ? Vì sao ? c) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? d) Neáu ABCD laø hình thoi , hình vuoâng thì MNPQ laø hình gì ? Vì sao ? 5. Cho hình bình haønh ABCD . Goïi E,F laø trung ñieåm AB, CD . AF caét BC taïi G , BF caét AD taïi H. a) Chứng minh ABGH là hình thoi . b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để ABGH là hình vuông ? 6. Cho hình thang ABCD ( AB CD ) . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD , DA . a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) Với điều kiện nào của hình thang ABCD thì MNPQ là hình thoi , hình vuông . 7. Cho ABC , gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC . gọi M,N,P,Q là trung điểm AD, AE, EF, FD . a) Chứng minh các tứ giác ADFE, MNPQ là hình bình hành . b) Khi ABC coù A = 1v thì ADFE, MNPQ laø hình gì ? Vì sao ? 8. Cho ABC có AA’, BB’,CC’ là các trung tuyến , Trọng tâm G . Trên tia đối của tia B’G lấy D sao cho B’D = B’G . Trên tia đối của tia C’G lấy E sao cho C’E = C’G . a) Chứng minh BEDC là hình bìng hành . b) Tìm điều kiện của ABC để BEDC là hình chữ nhật ? c) Tứ giác BEDC có thể là hình vuông , hình thoi được không ? Vì sao ? 9. Cho ABC và H là trực tâm . Các đường thẳng vuông góc với AB tại B , vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D . a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành . b) Neáu ABC coù AÂ = 1v thì BDCH laø hình gì ? c) Tìm điều kiện của ABC để BDCH là hình thoi ? 10. Cho hình bình haønh ABCD . Goïi M,N,P,Q laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, BC, CD ,DA . Noái AN, BP, CQ, DM chuùng caét nhau taïi E, F, G, H . a) Chứng minh EFGH là hình bình hành . b) Nếu ABCD là hình vuông thì EFGH là hình gì ? Chứng minh .. III/ KEÁT LUAÄN :  Thực tế khi giảng dạy tôi nhận thấy nếu HS làm loại toán này được nhiều thì các em nhớ nhanh kiến thức các loại tứ giác đã học .  Khi mỗi một câu có điều kiện đưa ra tạo cho HS tích cực suy nghĩ và tiết học sẽ sôi nổi , sinh động hơn .  Rất mong các đồng nghiệp góp ý để “sáng kiến kinh nghiệm” có chất lượng hơn. HS nên tìm thêm nhiều bài toán dạng này và giải chi tiết , hình vẽ cụ thể cho từng trường hợp . Từ đó các em tìm được điều kiện nhanh và vô hình chung HS tích luỹ được nhiều kiến thức . Chúc các đồng nghiệp và các em HS thaønh coâng . , ngaøy 15/2/2009. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Người viết :. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>