Ham so va do thi kha hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VỀ HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN Cho hai đường cong  C  : y  f  x  và  C ' : y  g  x  . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với   f  x  g  x . f ' x  g ' x      . nhau là hệ sau có nghiệm: . Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm, qua điểm hoặc có hệ số góc cho trước. Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M  x0 ; y0    C  .  Tính đạo hàm và giá trị f '  x0  .  Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  f '  x0  x  x0   y0 .. Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0    C  có hệ số góc k  f '  x0  VD1.1 Cho hàm số y  x4  2 x2 ( C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C): – Tại điểm có hoành độ x  2 . – Tại điểm có tung độ y = 3. – Tại các điểm uốn của ( C ) – Tại giao điểm của ( C) với đường thẳng y=-3 hoặc y  x 2  2 VD1.2 Cho hàm số: y  x 3  3x 2  2 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1) – Tại điểm A thuộc (1) có hoành độ là 1 – Tại điểm B thuộc (1) có tung độ là 0. – Tại điểm uốn của (1) và chứng minh tiếp tuyến tại uốn có hệ số góc nhỏ nhất. – Tại giao điểm của (1) với đường cong: y  x 2  4x  2 x 1 VD1.3 Cho hàm số: y  (1) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1): – Tại điểm A trên đồ thị có hoành độ bằng -2 – Tại điểm B trên đồ thị có tung độ bằng -1 2x  1 – Tại giao điểm của (1) với đường cong : y  x2 Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k . Giải phương trình: f '  x   k , tìm nghiệm x0  y0 . Phương trình tiếp tuyến dạng: y  k  x  x0   y0 . Chú ý: Cho đường thẳng  có hệ số góc k, khi đó: Nếu d//   d  : y  ax  b  hệ số góc k = a.. 1 a. Nếu d     d  : y  ax  b  hệ số góc k   . k a 1  ka (1) viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó :. Nếu d tạo với  góc    d  : y  ax  b  tan   VD1.4 Cho hàm số : y  x4  2 x2. Page 1 of 14.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan a) Song song với đường thẳng d1 : 24 x  y  2012  0 b) Vuông góc với đường thẳng d2 : x  24 y  2011  0 VD1.5 Cho hàm số : y  x 3  3x  1 (1) viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó : a) Song song với đường thẳng : y=6x+1 b) Vuông góc với đường thẳng : 3x+4y-1=0 2x  1 VD1.6 Cho hàm số: y  (1) viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó : x 1 a) Song song với đường thẳng : 3x-y+2012=0 b) Vuông góc với đường thẳng : 3x+y+12=0 Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A  xA ; y A    C  .  Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d  : y  k  x  xA   y A  f  x   k  x  xA   y A    f ' x  k.  Điều kiện tiếp xúc của  d  và  C  là hệ phương trình sau phải có nghiệm: . VD1.7 Cho hàm số: y  x 3  2x 2  x  1 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1 ;2) x 1 VD1.8 Cho hàm số: y  Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua điểm x2 A(1 ;1) Loại 4: Tìm trên đường thẳng xác định những điểm kẻ được 0,1,2,3… tiếp tuyến với đồ thị hoặc 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. VD1.9 Cho hàm số: y  x 4  2x 2  2 (1) tìm trên đường thẳng y=2 những điểm kẻ tới (1): a) Không quá 1 tiếp tuyến b) Đúng 1 tiếp tuyến VD1.10 Cho hàm số: y  x 3  3x  2 Tìm M trên đồ thị sao cho qua M kẻ với đồ thị : a) Đúng 1 tiếp tuyến b) Không quá 1 tiếp tuyến c) Không có tiếp tuyên nào d) Nhiều hơn 1 tiếp tuyến e) Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. x2 VD1.11 Cho hàm số: y  Tìm những điểm trên trục tung để qua đó kẻ tới đồ thị : x 1 a) Hai tiếp tuyến b) Đúng 1 tiếp tuyến Bài toán 2. Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tại A,B thỏa mãn điều kiện cho trước Loại 1: OA=kOB hoặc OB=kOB hoặc biết độ dài OA hoặc OB Dạng toán này cần lưu ý đến phương trình đoạn chắn: x y A(a;0) , B(0;b) thì phương trình AB là:   1 a b 3 2 VD1.12 Cho hàm số: y  x  3x  2 viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại A cắt trục tung tại B sao cho OB= 9OA x 3 VD1.13 Cho hàm số: y  viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đó cắt x 1 trục hoành tại A cắt trục tung tại B sao cho OA= 4OB x 1 VD1.14 Cho hàm số: y  viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt trục x 1 hoành tại A sao cho OA=1 VD1.15 Cho hàm số: y  x3  3x 2  m tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt trục Ox tại tại A sao cho OA=3 Page 2 of 14.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Loại 2: Biết diện tích tam giác OAB hoặc tam giác OAB cân. VD1.16 Cho hàm số: y  x 3  3x 2  m (1) a) Tìm m để tiếp tuyến của (1) tại điểm có hoành độ 1 cắt 2 trục tọa độ tại A , B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1,5 b) Khi m=1 , viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân. 2x VD1.17 Cho hàm số: y  (1) x 1 a) Tìm M thuộc (1) biết tiếp tuyến của (1) tại M cắt 2 trục tọa độ tại A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 0,25 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân. Bài toán 3. Tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận thoă mãn điều kiện cho trước. Loại 1. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B khi đó M là trung điểm AB và diện tích IAB không đổi ( I là giao 2 tiệm cận) 2x  2 VD1.18 Cho hàm số: y  (1) x2 M là 1 điểm trên (1), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận A,B. I là giao 2 tiệm cận a) CMR: M là trung điểm AB b) Tam giác IAB có diện tích không đổi. mx  1 VD1.19 Cho hàm số: y  (1) gọi I là giao điểm 2 tiệm cận . Tiếp tuyến của (1) cắt xm 2 tiệm cận tại A, B. Tìm m để tam giác IAB có diện tích bằng 12. Loại 2. Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN về tiếp tuyến và tiệm cận 2x  1 VD1.20 Cho hàm số: y  (1) M thuộc (1) , tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B . x 1 Tìm tọa độ M để chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất . ( I là giao 2 tiệm cận ). 2x  3 VD1.21 Cho hàm số: y  (1) x2 a) Tìm trên (1) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. b) Tìm trên (1) những điểm N sao cho tiếp tuyến tại N cắt 2 tiệm cận tại A,B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất ( I là giao 2 tiệm cận) Bài toán 4: Tiếp tuyến tại các giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số thoă mãn điều kiện cho trước. x 1 VD1.22 Cho hàm số: y  viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ cắt đồ thị 2x  1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A và B song song với nhau. VD1.23 Cho hàm số : y  x 3  3x 2  1 . Tìm 2 điểm A,B thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại A, B với đồ thị song song với nhau và độ dài AB = 4 2 VD1.24 Cho hàm số: y  x 3  3x 2  4 gọi d là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A,M,N sao cho 2 tiếp tuyến tại M,N vuông góc với nhau. Bài tập tổng hợp: Bài 1 Cho hàm số y  x4  2 x2 ( C ) a) Tìm trên đường thẳng y  1 điểm N sao cho qua N kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến với C b) Tìm trên trục hoành điểm M sao cho qua M không thể kẻ quá 2 tiếp tuyến với (C ) Bài 2 Cho hàm số: y   x 4  x 2  6 (1) a)Khảo sát và vẽ đồ thị của (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Page 3 of 14.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan 1 x 1 6 Bài 3 Cho hàm số: y  x4  2mx2  m (Cm ) y. a)Định m để (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng (d): y  2( x  1) tại điểm có hoành độ x  1 b) Khi m=1 tìm trên trục tung những điểm mà qua đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị 1 5 Bài 4 Cho hàm số: y  x 4  3x 2  (C ) 2 2 a)Gọi (d) là tiếp tuyến của ( C) tại M với xM  a . CMR: Hoành độ các giao điểm của d và (C ) là nghiệm của pt: ( x  a)2 ( x2  2ax  3a 2  6)  0 b) Tìm a để d cắt ( C) tại P, Q khác M . Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ Bài 5 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó: a) Tại điểm A (1) có hoành độ x=1 b) Đi qua điểm M(–1;–9). b) Song song với đường thẳng 24 x  y  1  0 3. CMR: tồn tại duy nhất một tiếp tuyến qua điểm uốn của (1)có hệ số góc nhỏ nhất Bài 6 Cho hàm số: y  x3  2x 2  8x  5 (1) CMR: không tồn tại tiếp tuyến tại 2 điểm thuộc đồ thị hàm số mà vuông góc với nhau Bài 7 Cho hàm số: y  x3  (1  2m)x 2  (2  m)x  m  2 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng x+y+1=0 một góc a sao cho: 1 cos a  26 Bài 8 Cho hàm số : y  4 x3  6 x2  1 (1) viết phương trình tiếp tuyến của (1) tại: a)A(1; -1) b) Điểm uốn của đồ thị c) Điểm cực đại của đồ thị d) Điểm B thuộc đồ thị có hoành độ là 2 e) Điểm C thuộc đồ thị có tung độ là 1 f) Giao điểm của đồ thị với hàm sô: y  4 x3  12 x  17 1 m 1 Bài 9 Cho hàm số : y  x3  x 2  (*) 3 2 3 a)Khảo sát và vẽ đồ thị tại m=2 b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của độ thị tại M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 10 Cho hàm số: y  x3  m( x  1)  1 (Cm ) ( m là tham số) a)Khi m=1 khảo sát hàm ( C1 ) b) Viết pt tiếp tuyến của (C1 ) đi qua điểm A(0;2) c) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm (Cm ) tiếp xúc với trục hoành. Bài 11 Cho hàm số: y  ( x  2)( x2  mx  m2  1) (1) a)Khảo sát và vẽ đồ thị (1) khi m=2 b) Tìm m để (1) tiếp xúc với trục hoành Bài 12 Cho hàm số: y  x3  3x2  2 (1) Tìm trên y=-2 những điểm có thể kẻ được a) 1 tiếp tuyến với đồ thị b) 2 tiếp tuyến với đồ thị c) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau với đồ thị Page 4 of 14.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Bài 13 Cho hàm số : y  x3  3x2  3x  5 (1) a) CMR trên đồ thị không tồn tại 2 điểm sao cho 2 tiếp tuyến tại 2 điểm đó với đồ thị vuông góc với nhau. b) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y  kx Bài 14 Cho hàm số: y  3x  x3 (1) Tìm trên đường thẳng y   x những điểm để từ đó kẻ được đúng 2 điểm phân biệt với (1) Bài 15 Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau Bài 16 Cho hàm số: y  x3  m( x  1)  1 (Cm ) a) Viết pt tiếp tuyến của (Cm ) tại giao điểm của (Cm ) với Oy b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích bằng 8 4 x  3 Bài 17 Cho hàm số: y  (C ) 2x 1 a) KS và vẽ đồ thị (C ) b) Viết pt tiếp tuyến của (C ) : Tại điểm A  (C ) có tung độ y  3 Đi qua điểm B(0;1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4 x  1 2x  3 Bài 18 Cho hàm số : y  (1) (CĐ 2012) x 1 a)Khảo sát và vẽ đồ thị của (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=x+2 (m  1) x  m Bài 19 Cho hàm số : y  (1) xm a) Với m =1 . Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất b) CMR: với mọi m  0 đồ thị hàm (1) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định Bài 20 Cho hàm số y . 2x . x 1. (ĐH KhốiD 2007). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng. 1 4. 4x  5 (C) và M bất kì thuộc ( C) , gọi I la giao 2 tiêm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 x  3 2 tiệm cận tại A và B. 1.CMR: M là trung điểm của AB 2. CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi 2mx  3 Bài 22 Cho ( Cm ) : y  xm a) KS với m=1 và lập phương trình tiếp tuyến của ( C1 ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;1) b) Tìm m để tiếp tuyến bất kì của ( Cm ) cắt 2 tiệm cận tạo tam giác có diện tích là 8. Bài 21 Cho y . Bài 23 .Tìm trên Oy những điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) : y . x 1 x 1. Vấn đề 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm số y  f x  ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: Page 5 of 14.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan  Nghiệm của phương trình f '  x   0 là hoành độ của điểm cực trị.  f '  x0   0 thì hàm số đạt cực đại tại x  x0 .  f ''  x0   0.  Nếu .  f '  x0   0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  x0 .  f ''  x0   0.  Nếu . Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số. VD2.1 Tìm cực trị của hàm số sau: a) y  x 3  3x 2  2 b) y  x 3  3x  1 1 c) y  x 3  2x 2  3x  2 3 d) y  x 3  6x VD2.2 Tìm cực trị các hàm số sau: a) y  x 4  2x 2  3 b) y  x 4  2x 2  2 c) y  3x 4  3x 2  1 Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị và cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Loại 1. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị hoặc đạt cực trị tại điểm nào đó. Để hàm số y  f  x  có cực trị là phương trình y’=0 có nghiệm và y’ đổi dấu qua nghiệm. 1 VD2.3 Cho hàm số: y  x 3  mx 2  (m2  m  1)x  1 3 a) Tìm m để hàm số có cực trị ? b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=1 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=3 Loại 2. Biện luận số cực trị theo tham số. VD2.4 Biện luận số cực trị của hàm số sau: x3 a) y   3mx 2  3x  2 3 b) y  (m  2)x 3  mx  2 c) y  x 4  2(m  1)x 2  m2 d) y  mx 4  (m2  9)x 2  3 Loại 3. Tìm điều kiện của tham số để cực trị nằm trong khoảng xác định. VD2.5 Cho hàm số: y  x 3  3mx  m  1 a) Định m để hàm số có cực trị trong (0; ) b) Định m để hàm số có 2 cực trị trong (;0) c) Định m để hàm số có cực trị trong (-1; 2) Loại 4.Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị nằm trong các vị trí của hệ trục tọa độ.  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành  yCĐ . yCT  0 .  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trên trục hoành  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành.  xCĐ .xCT  0 ..  yCĐ  yCT  0  .  yCĐ . yCT  0  yCĐ  yCT  0  .  yCĐ . yCT  0. Page 6 of 14.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan  Để hàm số y  f  x  có cực trị tiếp xúc với trục hoành.  yCĐ . yCT  0 .. VD2.6 Cho hàm số: Loại 5. Phương trình đường thẳng qua 2 cực trị Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: Hàm số y  ax3  bx2  cx  d Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Dạng 2: Hàm số y . ax 2  bx  c dx  e. Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng.  ax y. 2. .  bx  c '.  dx  e  '. . 2a b x d d. VD2.7 Cho hàm số: y  x  (m  1)x  m (1) a) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị biết đường thẳng đó song song với đường thẳng y=2 b) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị biết đường thẳng đó đi qua A(-1;1) VD2.8 Cho hàm số : y  x3  3x 2  mx  2 a) Tìm m để đồ thị có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 cực trị song song với đường thẳng y= -4x+3 b) Tìm m để đồ thị có 2 cực trị và 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x-4y+1=0 Loại 6. Tìm điều kiện của tham số để cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. Dạng toán này cần sử dụng linh hoạt định lý Viet VD2.9 Cho hàm số: y  x3  3(m  1)x 2  9x  m Tìm m để hàm số có 2 cực trị x1 ; x 2 thỏa mãn : a) x1  2x 2  0 3. 2. b) x1  x 2  2 VD2.10 Cho hàm số: y  x3  3(m  1)x 2  9x  m (1) tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu và yCD  yCT  2 VD2.11 Cho hàm số : y  x 3  3x 2  mx  2 (1) tìm m để hàm số có cực trị và 2 điểm cực trị cách đều đường thẳng : x-y-1=0 Loại 7. Cực trị thỏa mãn điều kiện liên quan đến tam giác VD2.12 Cho hàm số: y  x 4  2(m  1)x 2  m2 (1) tìm m để hàm số có 3 cực trị và 3 cực trị đó lập thành: a) 3 đỉnh của 1 tam giác cân b) 3 đỉnh của 1 tam giác đều VD2.13 Cho hàm số: y  x3  3x 2  3(m2 1)x  3m2 1 (1) tìm m để hàm số có 2 cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O VD2.14 Cho hàm số: y  x3  3x 2  mx  2 , tìm m để hàm số có cực trị đồng thời đường thẳng đi qua 2 cực trị tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác cân. Bài tập tổng hợp. 1 3. Bài 24 . Cho hàm số y  x3  mx 2   m  2  x  1 . Định m để: 1.Hàm số luôn có cực trị. 2.Có cực trị trong khoảng  0;   . 3.Có hai cực trị trong khoảng  0;   . Bài 25 Cho hàm số y  x3 +3x2  3mx  3m  4. a. Khảo sát hàm số khi m = 0. b. Định m để hàm số không có cực trị. Page 7 of 14.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan c. Định m để hàm số có cực trị. Gọi x1 , x2 là hoành độ 2 điểm cực trị, định m để x1  2 x2  1 1 Bài 26 Cho hàm số : y  x3  mx 2  (m2  m  1) x  1 3 a)Tìm m để hàm số có cực đại tại x=1 b) Tìm m để hàm số có cực tiểu tại x=3 Bài 27 Cho hàm số : y  x3  3(m  1) x2  9 x  m (1) tìm m để (1) đạt cực trị tại các hoành độ x1 , x2 sao cho : a). x1  x2  2. b). x1  x2  2. c) x1  kx2. k là tham số. Bài 28 Cho hàm số y  x3  3mx2  9 x  3m  5 . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị biết đường thẳng đó đi qua A(1 ;0) 2.Cho hàm số: y  x3  3mx2  3m3 (1) định m để (1) có 2 cực trị A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 Bài 29 .Cho hàm số y  x3  3x2  m2 x  m tìm m để đồ thị hàm số có cực trị đối xứng với nhau qua 1 5 đường thẳng y  x  . 2 2 3 Bài 30 Cho hàm số y  x  1  2m x2   2  m  x  m  2 . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 1 3. Bài 31 Cho hàm số y  x3  mx 2   2m  1 x  m  2  Cm  .Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương. 2.Cho hàm số : y  2 x3  3(m  1) x 2  m (1) tìm m để (1) có 2 cực trị A,B sao cho A,B và I I(3 ; 1) thẳng hàng. Bài 32 Cho hàm số y   x3  3x2  3  m2  1 x  3m2  1 (1), m là tham số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. Bài 33 Cho hàm số : y   x3  3x2  3(m2  1) x  3m2  1 (1) định m để (1) có 2 cực trị A,B sao cho tam giác OAB vuông tại O Bài 34 Cho hàm số : y  x3  3x 2  mx  2 (2) định m để hàm số (1) có cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị tạo với 2 trục tọa độ tam giác vuông cân Bài 35 Cho hàm số : y  x3  3x2  m (1) định m để (1) có 2 cực trị A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 1 Bài 36 Cho hàm số : y  x3  2 x 2  3x (1) 3 Gọi A,B là 2 cực trị của (1) tìm M trên trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích là 2 Bài 37 Cho hàm số y  mx4   m2  9  x 2  10 (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị, 1 cực trị. Bài 38 Cho hàm số : y  x4  2mx2  m2  m (1) định m để (1) có 3 cực trị lập thành 1 tam giác vuông Bài 39 Cho hàm số : y  x4  2mx2  m3  m2 (Cm ) ( m là tham số) Tìm m để hàm số có 3 cực trị và các điểm cực trị đó lập thành 1 tam giác đều Page 8 of 14.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Bài 40 Cho hàm số : y  x4  8m2 x2  1 (1) định m để (1) có 3 cực trị lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 64. Bài 41 Cho hàm số f ( x)  x4  2(m  2) x2  m2  5m  5 (Cm) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1 b. Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. Bài 42 Cho hàm số: y  x4  2mx2  1 (1) định m để hàm số có 3 cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị có bán kính bằng 1. Bài 43 Chứng minh rằng hàm số y =. . . x 2  m m2  1 x  m4  1 xm. luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m. sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x. Bài 44 Cho hàm số y . x 2   m  1 x  m  1 xm. . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực. tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. Vấn đề 3: GIAO ĐỒ THỊ Bài toán 1: Tìm điều kiện tham số để hàm số giao trục hoành tại k điểm phân biệt lập thành các cấp số. Loại 1. Điều kiện để hàm bậc 3 giao Ox tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng hoặc 1 cấp số nhân Cho hàm số: y  ax3  bx2  cx  d (C ) (a  0) Tìm điều kiện để (C ) giao Ox tại: a) 1 điểm, 2 điểm phân biệt,3 điểm phân biệt b) 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng c) 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. BL: a)Để biện luận số giao điểm của (C ) với Ox ta có thể làm theo 2 cách: C1: Biện luận số nghiệm của pt: ax3  bx2  cx  d  0 bằng cách phân tích thành pt tích C2: Biện luận số giao điểm từ vị trí các cực trị của hàm số + (C ) giao Ox tại 1 điểm  (C ) không có cực trị hoặc có 2 cực trị nằm cùng 1 phía với trục hoành + (C ) giao Ox tại 2 điểm  (C ) có 2 cực trị và 1 cực trị nằm trên Ox + (C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt  (C ) có 2 cực trị và 2 cực trị nằm về 2 phía với Ox b)Để (C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng: C1: Hàm số có 2 cực trị và điểm uốn nằm trên Ox C2: Sử dụng điều kiện cần và đủ: DK cần: Giả sử x1 , x2 , x3 là hoành độ 3 giao điểm của (C ) và Ox tức là x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm phân biệt của pt: ax3  bx2  cx  d  0 (*) b Theo Viet ta có: x1  x2  x3   mà x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng : 2x2  x1  x3 a b Ta có: 3x2   , tìm được x2 thay vào (*) tìm được giá trị tham số a ĐK đủ: Thay ngược lại giá trị tham số vào (*) d) Để (C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân ĐK cần: Giả sử x1 , x2 , x3 là hoành độ 3 giao điểm của (C ) và Ox tức là x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm phân biệt của pt: ax3  bx2  cx  d  0 (*) d Theo Viet ta có: x1.x2 .x3   mà x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân : x22  x1.x3 a Page 9 of 14.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan d , tìm được x2 thay vào (*) tìm được giá trị tham số a ĐK đủ: Thay ngược lại giá trị tham số vào (*) VD3.1 Cho hàm số: y  x3  3mx 2  9x  7 , tìm m để đồ thị giao Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng. VD3.2 Cho hàm số: y  x3  3mx  1 , tìm m để đồ thị giao Ox tại 3 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân. Loại 2. Điều kiện của tham số để đồ thị giao Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng VD3.3 Cho hàm số: y  x 4  2(m  1)x 2  2m  1 tìm điều kiện của m để đồ thị giao Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng Loại 3. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị giao Ox tại k điểm có hoành độ thỏa mãn điều kiện cho trước . VD3.4 Cho hàm số: y  x3  m2 x 2  (2m2  1)x  m , tìm điều kiện của tham số để đồ thị giao Ox tại : a) 3 điểm có hoành độ dương b) 3 điểm có hoành độ lớn hơn 1 c) 3 điểm có hoành độ x1 , x 2 , x 3 thỏa mãn: x12  x 22  x 32  3 VD3.5 Bài toán 2: Tương giao của đồ thị với đường thẳng y=ax+b Loại 1. Biện luận số giao điểm của đường thẳng y= ax+b với đồ thị. VD3.6 Cho hàm số: y  x3  6x 2  9x  6 (1) , tìm m để đường thẳng d: y= mx-2m-4 cắt (1) tại 3 điểm phân biệt x VD3.7 Cho hàm số: y  , tìm m để đường thẳng d: y = -x+m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt. x 1 Loại 2. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng y= ax+b cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước. 2x  2 VD3.8 Cho hàm số: y  (1) tìm m để đường thẳng d: y= 2x+m cắt đồ thị tại 2 điểm x 1 phân biệt A, B sao cho AB  5 2x  1 VD3.9 Cho hàm số: y  , x2 a) CMR: đường thẳng d: y= -x +m luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B . Tìm m để AB nhỏ nhất ? b) Tìm m để đường thẳng y  2 x  m cắt đồ thị  C  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam. Ta có: x23  . giác OAB có diện tích bằng 3 ( O là gốc tọa độ). c) Tìm m để đường thẳng d: y= -x+m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau. d) Tìm m để đường thẳng d: y= -x+m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tổng k1  k 2 đạt giá trị lớn nhất ( với k1 , k 2 là hệ số góc tiếp tuyến tại A, B với đồ thị ) . Bài tập tổng hợp. Bài 45 Cho hàm số: y  x3  3x 2 (C ) . Gọi x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm của (C ) và. (d m ) : y  mx  m3 . Định m để: a) Hoành độ x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng b) Hoành độ x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân Bài 46 Cho (Cm ) : y  x3  2mx2  (2m2  1) x  m(1  m2 ) . Định m để (Cm ) cắt Ox tại1 điểm, 2 điểm phân biệt, 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Bài 47 Cho (Cm ) : y  x3  mx2  (2m  1) x  m  2 . Tìm m để (Cm ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có Page 10 of 14.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn: x12  x22  x32  3 Bài 48 a)Cho (Cm) : y  x3  3mx2  2m(m  4) x  9m2  m Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng b) Cho (Cm) : y  x3  (3m  1) x2  (5m  4) x  8 . Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân Bài 49 Cho hàm số : y   x4  2(m  1) x 2  2m  1 (1) a) Tìm đk của m để (1) có cực trị nằm trên đường thẳng : y=x+4 b) Tìm m đề (1) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Bài 50 Cho (C ): y  x 4  5x 2  4 . Tìm điều kiện của m để (C ) chắn đường thẳng y  m ba đoạn bằng nhau 2x 1 Bài 51 Cho y  ( C ) , (d) là đường thẳng đi qua I (0;k) có hệ số góc bằng -1 x2 a. CMR: Khi k thay đổi (d) luôn cắt ( C) tại E,F b. Tìm k để EF có độ dài nhỏ nhất Vấn đề 4: SUY ĐỒ THỊ y = f(x) có đồ thị (C). y  f  x  có đồ thị (C’). y  f  x  có đồ thị (C “). y  f  x   0, x  D . Do đó ta phải. y  f  x  có. f  x   f  x  ,. giữ nguyên phần phía trên trục Ox và x  D nên đây là hàm số chẵn lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox do đó có đồ thị đối xứng qua lên trên. trục tung Oy. Bài toán 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = ax +b 3. 2. VD4.1 Cho hàm số: y  x  3x  3x  2 (1) Biện luận số giao điểm của (C ) với đường thẳng : a) y = m b) y  m  1 c) y  2x  m 4. 2. VD4.2 Cho hàm số: y  x  2x Từ đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: 4. 2. a) x  2x  m  1  0 4. 2. b) x  2x  m  0 Bài toán 2: Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm giá trị tuyệt đối với đường thẳng y= ax +b 3. 2. VD4.3 Cho hàm số: y  x  3x  3x  2 (1) , từ đồ thị (1) biện luận số nghiệm của phương trình sau: a). x 3  3x 2  3x  2  2m  1. b). x  3x 2  3 x  m  0. 3. 4. 2. VD4.4 cho hàm số: y  x  2x (1) , từ đồ thị (1) biện luận số nghiệm của phương trình: a). x 4  2x 2  m  1. b). x 4  2x 2  m  1 Page 11 of 14.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Bài tập củng cố: Bài 52 Cho hàm số y  2 x3  9 x2  12 x  4 (C ) a) Biện luận số nghiệm của pt: 2 x3  9 x2  12 x  m  0 3 b)Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2 x  9 x2  12 x  m . c) Biện luận số nghiệm của phương trình: 2 x3  9 x2  12 x  4  2m  1 Bài 53 Cho hàm số : y   x4  2 x 2 (1) a) KS và vẽ (1) b) Định m để phương trình: x4  2 x2  m  0 có 2 nghiệm phân biệt c) Biện luận số nghiệm của pt : x 4  2 x 2  m  1 Vấn đề 5 : CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức về khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB .  xB  xA 2   yB  y A 2 .. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng  : Ax  By  C  0 và điểm M(x0;y0) khi đó d  M ,.  . Ax0  By0  C. .. A2  B 2 Bài 54 Cho hàm số y  x3  3mx2  3x  3m  2 Cm  . Định m để  Cm  có cực đại cực tiểu đồng thời. khoảng cách giữa chúng là bé nhất. x2 Bài 55 Cho hàm số : y  (C ) . Gọi M là điểm bất kì trên (C ) x 1 a)CMR : Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là hằng số không đổi b) Tìm M để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất c) Tìm M để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất ( Khó) d) CMR : với mọi m thì đường thẳng d : y  x  m luôn cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A,B Từ đó tìm m để : + AB ngắn nhất + 2 6  AB  4 2 2x  3 Bài 56 Cho hàm số : y  . Tìm trên đồ thị những điểm M mà tiếp tuyến tại M với đồ thị cắt x2 2 tiệm cận tại A,B sao cho AB ngắn nhất. Bài 57 Cho hàm số  C  : y . 2x  2 . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao x 1. cho đoạn MN nhỏ nhất. Vấn đề 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN Cho hàm số y  f x  có tập xác định là miền D.  f(x) đồng biến trên D  f ' x   0 , x  D .  f(x) nghịch biến trên D  f ' x   0 , x  D . (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f ( x )  ax2  bx  c . 1. Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với a. 2. Nếu   0 thì f(x) có nghiệm x  . b b và f(x) luôn cùng dấu với a khi x   . 2a 2a. 3. Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a. Page 12 of 14.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan So sánh nghiệm của tam thức với số 0   0  * x1  x2  0   P  0 S  0 .   0  * 0  x1  x2   P  0 S  0 . * x1  0  x2  P  0. Bài 58 Cho hàm số y  x3  3  m  1 x2  3  m  1 x  1 . Định m để: 1. Hàm số luôn đồng biến trên R. 2. Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng  2;   . Bài 59 Xác định m để hàm số y . x3 mx 2   2x  1 . 3 2. a. Đồng biến trên R. b. Đồng biến trên 1;   . Bài 60 Cho hàm số y  x3  3  2m  1 x2  12m  5 x  2 . a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng  2;   . b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 . (2m  1) x  2(m  1) Bài 61 Xác định m để hàm số: y  nghịch biến trên khoảng xác định của nó mx  m2  1 Vấn đề 7: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y  f  x, m  ta đưa về dạng F  x, y   mG  x, y  . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu  F  x, y   0 . G  x, y   0. có là nghiệm của hệ phương trình . Bài 62 Cho hàm số y  x3  3  m  1 x2  3mx  2  Cm  . Chứng minh rằng  Cm  luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi. Bài 63 Cho hàm số  Cm  : y  1  2m x4  3mx2   m  1 . Tìm các điểm cố định của họ trên đồ thị Bài 64 Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y   m  3 x3  3  m  3 x 2   6m  1 x  m  1 Cm  luôn đi qua ba điểm cố định. (m  2) x  (m2  2m  4) Bài 65 Cho hàm số : y  (1) xm a) Tìm quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị b) CMR (1) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định khi m thay đổi (3m  1) x  m2  m Bài 66 Cho hàm số : y  (1) ( m  0) xm a) CMR: (1) luôn tiếp xúc với 2 dt cố định khi m thay đổi b) Trên đường thẳng x=1 tìm các điểm mà không có đường nào của 1 đi qua Bài 67 Cho hàm số : y   x4  2(m  1) x 2  2m  1 (1) Tìm điểm cố định để (1) luôn đi qua Vấn đề 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG Điểm I  x0 ; y0  là tâm đối xứng của đồ thị  C  : y  f  x   Tồn tại hai điểm M(x;y) và  x '  2 x0  x   x  x '  2 x0      f  x   f  x '  2 y0  f  x   f  2 x 0  x   2 y0 là tâm đối xứng của (C)  f  x   2 y0  f  2 x0  x  .. M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:  Vậy I  x0 ; y0 . Page 13 of 14.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Bài 68 Cho hàm số  Cm  : y . mx  m2 . x 1. Định m để  Cm  có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. x 1 Bài 69 Cho hàm số : y  (1) x 1 CMR (1) nhận đường thẳng : y  x  2, y   x làm trục đối xứng Bài 70 Cho hàm số y  x3  3x2  m 1 (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. Bài 71 . Cho hàm số y  . x3 11 có đồ thị  C  . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng  x 2  3x  3 3. nhau qua trục tung. Bài 72 . Cho hàm số y  x3  ax2  bx  c 1 . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;1). Bài 73 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Những điều bạn nên biết về các bài thi ĐH phần hàm số, đồ thị. − Các câu hỏi không khó nhưng trải dài nên cần 1 vốn kiến thức khá rộng về hàm số.Chỉ cần nắm được các phương pháp các dạng cơ bản thì có thể hoàn thành tốt bài thi. − Nắm được các phương pháp chính và tìm lời giải ngắn nhất, đơn giản nhất ( Tránh những lời giải tầm thường rất dài và độ rủi ro cao) − Đọc kỹ đề bài , bình tĩnh, tự tin và nên kiểm tra lại lời giải.. Page 14 of 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>