De va huong dan cham thi HSG cap huyen

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. §Ò thi häc sinh giái huyÖn khèi 9 N¨m häc 2010 – 2011 M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi 120 phót --------------------------C©u1: Cho biÓu thøc: P =. √ x : √ x −3 + √ x −2 − 9 − x (1 − x −3 x −9 ) ( 2− √ x 3+ √ x x + √ x −6 ). a) T×m ®iÒu kiÖn vµ rót gän P b) Tìm x để P > 1. C©u2: a/ Cho c¸c sè d¬ng a,b,c vµ a+b+c = 3 Chøng minh a+b ≥ 16 abc. 9. 2. b/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B. a+b ¿ ¿ a+b ¿ 2 = a2 +¿ b2 +¿ a2 ¿. C©u3: 1. Cho a = √6+ √2 2. vµ b = √6 − √ 2 . TÝnh S = 2. 1 1 + . a5 b5. 2. T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña: 1 + 1 =z x y C©u4: Cho tø gi¸c ABCD cã AB = √ 3 , BC = 3, CD = 2 √ 3 , DA = 3 √ 3 vµ ∠ A = 600. TÝnh c¸c gãc cßn l¹i cña tø gi¸c ABCD ? C©u5: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = 3 AD. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tia 2 AE cắt đờng thẳng DC tại F. Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho MN vu«ng gãc víi AE. §êng ph©n gi¸c cña ∠ DAE c¾t CD t¹i P. Chøng minh r»ng: 2. a) MN = 3 BE + DP. b). 1 1 4 = 2+ . 2 AB AE 9 AF 2. ------------------------. Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái huyÖn khèi 9 N¨m häc 2010 – 2100 M«n To¸n. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> C©u1: a) Tìm đợc điều kiện xác định của P là: x > 0, x Qui đồng và rút gọn đợc: P = 3 √x− 2. b) P > 1 =>. > 1 =>. 3 √x − 2 3 - 1 > 0 => √x − 2. 4, x. 9. Tæng 5 ®iÓm 1 ®iÓm 2 ®iÓm. 5 − √x √ x −2. >0. 1 ®iÓm 1 ®iÓm. Giải và kết hợp với ĐK đợc kq: 4 < x < 25 và x 9 th× P > 1 (NÕu quªn kh«ng kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn th× trõ 1 ®iÓm ë c©u b) C©u2:. Tæng: 4 ®. a/ (2®) Cho c¸c sè d¬ng a,b,c vµ a+b+c = 3 Chøng minh a+b ≥ 16 (1) abc 9 (1) ⇔ 9(a+b) 16 abc 2. Ta cã. a+b ¿ ≥ 16 abc 2 a+b ¿ ≥ 4 ab ⇒ 4 c ¿ ¿. Ta chøng minh 9(a+b). 2 ®iÓm. 4c(a+b)2. 2 c − 3 ¿2 ≥0 2 ⇔ 9 ≥ 4 c (a+b)⇔ 9 ≥ 4 c (3 −c )⇔ 4 c −12 c+ 9 ≥0 ⇔ ¿ VËy 9(a+b) 16 abc Hay a+b ≥ 16 abc 9. b/ (2®) B. Ta cã (a+b)2. luôn đúng. a+b ¿ 2 ¿ a+b ¿ 2 = a2 +¿ b2 +¿ a2 ¿. 2 ®iÓm. 2(a2+b2). 2 a2 + 3 b2 a b B = a2 + 2 b2 2 2 2 2 2 ¿+ b +2(a +b ) a + 2(a +b ) ¿ 3 a2 +2 b2 2 2 2 2 2 2 1 1 a +2 a +3 b b +3 a + 2b + 2 B+2 = 3 (a2+b2)( ) + 2 2 2 2 2 2 2 a +3 b 3 a +2 b2 2a +3b 3 a +2 b 3 1 1 + 2 = [ ( 2 a2 +3 b2 ) + ( 3 a2 +2 b2 ) ] 2 2 2 5 2 a +3 b 3 a +2 b 3 1 12 .2 √ ( 2 a2 +3 b2 ) ( 3 a2 +2 b2 ) . 2 = 2 2 2 2 5 ( 2 a + 3 b ) ( 3 a +2 b ) 5 12 2 − 2= VËy B 2 DÊu “=” x¶y ra khi a=b ⇒ B 5 5 5 2. 2. (. ). √. C©u3. Tæng: 4®. 1. Theo bµi ra ta cã : a + b = √ 6 vµ ab = 1 Mµ: S =. 1 1 + = a5 b5. a5 +b5 a5b5. = a5 + b5 (v× ab = 1). MÆt kh¸c: a5 + b5 = (a + b)5 – 5(a3 + b3) -10a2b2(a + b) Biến đổi và thay: a + b = √ 6 và ab = 1 vào đợc S = 11 √ 6 2. 2. Ta cã: x + y = xyz. V× vai trß cña x, y nh nhau nªn gi¶ sö : x y => xy z = x + y y + y = 2y => xz 2. V× x, z nguyªn d¬ng nªn cã thÕ. 2 ®iÓm.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> xÈy ra: x = 1, z = 1 hoÆc x = 1, z = 2 hoÆc x = 2, z = 1. Từ đó lập luận ta có nghiệm (x, y, z) = (2, 2, 1); (1, 1, 2). 1 ®iÓm 1 ®iÓm Tæng: 2,5 ®. C©u4:. H×nh vÏ:. 3. H. D. 1 3 E. 3. 2 3. 2. 2 3. 1. A. 3 3. 3. B. C. Trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm E sao cho AE = √ 3 => ED = 2 √ 3 Ta có: Δ ABE cân ở A có ∠ A = 600 => Δ ABE đều. KÎ DH BE => Δ EDH vu«ng ë H cã ED = 2 √ 3 vµ ∠ E1= ∠ E2 = 0 60 => ∠ D1 = 300 => EH = ED/2 = √ 3 => BH = 2 √ 3 => Tø gi¸c BCDH lµ h×nh ch÷ nhËt. Từ đó tính đợc: ∠ C = 900, ∠ D =600, ∠ B = 1500. C©u5. 1®iÓm. 1,5®iÓm Tæng: 4,5 ®. H×nh vÏ:. 0,5 ®iÓm. a) Qua A kÎ vu«ng gãc víi AE c¾t tia CD t¹i Q. Vì ∠ A2 = ∠ A3 nên ∠ A1 = ∠ A4 => Δ ADQ đồng dạng với Δ ABE (g.g) => AQ =DQ = AD = 2 (1) Mµ MN // AQ => MN = AQ. AE BE AB 3 Ta l¹i cã: ∠ A34 = ∠ A12 = ∠ APQ => Δ APQ c©n ë Q => AQ = QP = MN (2) Tõ (1), (2) => MN = QP = QD + DP = 2 BE + DP (§PCM) 3. b) Theo §L 4 cho Δ AQF vu«ng ë A cã AD. QF ta đợc:. 2,5 ®iÓm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 1 = + 2 2 2 AD AQ AF. mµ AD =. 2 AB, AQ = 3. 2 AE => 3. 1 1 4 = 2+ 2 2 AB AE 9 AF. 1,5 ®iÓm.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>