QUY tắc đếm có đáp án

QUY TẮC ĐẾM
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Qui tắc cộng:
a) Định nghĩa: Một cơng việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B.
Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và khơng trùng với bất kì
cách nào trong phương án A thì cơng việc đó có m + n cách thực hiện.
b) Công thức quy tắc cộng
A1 , A2 ,..., An
Nếu các tập
đơi một rời nhau. Khi đó:
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 + A2 + ... + An
2. Qui tắc nhân:
a) Định nghĩa:
Một cơng việc nào đó có thể bao gồm hai cơng đoạn A và B. Nếu cơng đoạn A có m cách thực
hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đó có m.n cách thực hiện.
b) Công thức quy tắc nhân
A1 , A2 ,..., An
Nếu các tập
đơi một rời nhau. Khi đó:
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 . A2 ..... An
.
3. Các bài toán đếm cơ bản
Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
x = a1...an
Khi lập một số tự nhiên
ta cần lưu ý:
ai ∈ { 0,1, 2,...,9}
a1 ≠ 0
*
và
.

⇔ an
x
* là số chẵn
là số chẵn
⇔ an
x
* là số lẻ
là số lẻ
3
⇔ a1 + a2 + ... + an
3
x
* chia hết cho
chia hết cho
x
4 ⇔ an −1an
4
* chia hết cho
chia hết cho
5 ⇔ an ∈ { 0, 5}
x
* chia hết cho
⇔x
3
x
* chia hết cho 6
là số chẵn và chia hết cho
8 ⇔ an− 2 an −1an
8
x

* chia hết cho
chia hết cho
9 ⇔ a1 + a2 + ... + an
9
x
* chia hết cho
chia hết cho .
11 ⇔
x
* chia hết cho
tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết
11
cho .

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 1


25 ⇔

x

00, 25,50, 75

* chia hết cho
hai chữ số tận cùng là
.
Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học

Chú ý: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động
T
. Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau
Cách 1: Đếm trực tiếp
•
•
•

H

thỏa mãn tính chất

Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó

Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
H
Trong trường hợp hành động
chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài tốn như sau:
H
T
•
Đếm số phương án thực hiện hành động
(khơng cần quan tâm đến có thỏa tính chất hay
khơng) ta được
•

a

phương án.

Đếm số phương án thực hiện hành động

H

khơng thỏa tính chất
a −b
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là:
.

T

ta được

b

phương án.

B – BÀI TẬP
1, 2,3, 4,5, 6, 7

Câu 1: Từ các số
1. Số chẵn
A. 360

lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là:
B. 343

C. 523

D. 347

2. Số lẻ
A. 360

B. 343

C. 480

D. 347

1,5, 6, 7

Câu 2: Cho các số
nhau:
12
A. .

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có

4

64
24
B.
.
C.
.
2,3, 4,5

4
Câu 3: Từ các chữ số
có thể lập được bao nhiêu số gồm chữ số:
256
120
24
A.
.
B.
.
C.
.

chữ số với các chữ số khác
D.

D.

256

16

.

.
0,1, 2, 4,5, 6,8

Câu 4: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số
.
A. 252

B. 520
C. 480
D. 368
2, 3, 4, 5, 6, 7
6
3
6
Câu 5: Cho chữ số
số các số tự nhiên chẵn có chữ số lập thành từ chữ số đó:
36
18
256
108
A. .
B. .
C.
.
D.
.
Câu 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 2


40
45
50
55

A.
.
B.
.
C. .
D. .
Câu 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:
5
15
55
10
A. .
B. .
C. .
D. .
3
Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số:
900
901
899
999
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 9: Cho các chữ số 1, 2, 3,., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số

a) Có 4 chữ số đơi một khác nhau
A. 3024
B. 2102
C. 3211
D. 3452
b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và không vượt quá 2011.
A. 168
B. 170
C. 164
D. 172
0, 2, 4, 6,8
3
Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số lập từ các số
với điều các chữ số đó khơng
lặp lại:
60
40
48
10
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
A = {a, b, c , d } B = {c, d , e}
Câu 11: Cho hai tập hợp
;
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

N ( A) = 4
N ( B) = 3
N ( A ∪ B) = 7
N ( A ∩ B) = 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
1, 2,3, 4,5, 6, 7
5
7
Câu 12: Cho các số
. Số các số tự nhiên gồm chữ số lấy từ chữ số trên sao cho chữ
3
số đầu tiên bằng là:
7!
240
2401
75
A. .
B. .
C.
.
D.
.
1,3,5

3
Câu 13: Từ các số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ số:
6
8
27
12
A. .
B. .
C. .
D.
.
2
Câu 14: Có bao nhiêu số có chữ số, mà tất cả các chữ số đều lẻ:
25
20
30
10
A.
.
B.
.
C. .
D. .
5
4
Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lớn hơn và đôi một khác nhau:
240
120
360

24
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 16: Cho tập. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
A. 720
B. 261
C. 235
D. 679
1, 2,3
Câu 17: Từ các số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số
khác nhau:
15
20
72
36
A. .
B.
.
C.
.
D.
Câu 18: Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn
chữ số đứng cuối lẻ.

A. 11523
B. 11520
C. 11346
D. 22311
Câu 19: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
A. 3999960
B. 33778933
C. 4859473
D. 3847294
Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 3


Câu 20: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau.
A. 30240
B. 32212
C. 23460
D. 32571
100
3
2
Câu 21: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn
chia hết cho và .
16
17
20
12
A. .
B. .

C. .
D.
.
A = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}
Câu 22: Cho tập
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một
khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
A. 15120
B. 23523
C. 16862
D. 23145
1, 2,3, 4,5, 6, 7
Câu 23: Từ các số
lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia
hết cho 5
A. 360
B. 120
C. 480
D. 347
A = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6}
Câu 24: Cho tập
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và
chia hết cho 5.
A. 660
B. 432
C. 679
D. 523
5
10
Câu 25: Số các số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho

là:
3260
3168
9000
12070
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A = { 0,1, 2,3, 4,5, 6}
Câu 26: Cho tập hợp số :
.Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau
và chia hết cho 3.
A. 114
B. 144
C. 146
D. 148
9
2011
Câu 27: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà mỗi số
chữ số và trong đó có ít
9
nhất hai chữ số .
92011 − 2019.92010 + 8
92011 − 2.92010 + 8
9

9
A.
B.
92011 − 92010 + 8
92011 − 19.92010 + 8
9
9
C.
D.
A
Câu 28: Từ thành phố
đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con
đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.
A. 42
B. 46
C. 48
D. 44
3
2
Câu 29: Từ thành phố A đến thành phố B có con đường, từ thành phố A đến thành phố C có con
3
2
đường, từ thành phố B đến thành phố D có con đường, từ thành phố C đến thành phố D có con
đường, khơng có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi
từ thành phố A đến thành phố D.
6
18
36
12
A. .

B. .
C. .
D. .
Câu 30: Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến
thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và khơng có con đường nào nối
B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D.
A. 156
B. 159
C. 162
D. 176

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 4


Câu 31: Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng trịn. Cứ hai đội
thì gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra.
A. 190
B. 182
C. 280
D. 194
10
Câu 32: Có
cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người phụ nữ
trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó khơng là vợ chồng:
100
91
10
90

A.
.
B. .
C. .
D. .
Câu 33: Hội đồng quản trị của công ty X gồm 10 người. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra ba người vào ba
vị trí chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí, biết khả năng mỗi người là như nhau.
A. 728
B. 723
C. 720
D. 722
5
1
1
Câu 34: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm món ăn trong món, loại quả
5
3
tráng miệng trong loại quả tráng miệng và một nước uống trong loại nước uống. Có bao nhiêu
cách chọn thực đơn:
25
75
100
15
A.
.
B. .
C.
.
D. .
8

Câu 35: Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có màu khác nhau,
8
các cây bút chì cũng có màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn
64
16
32
20
A.
.
B. .
C. .
D.
.
12
Câu 36: Trong một tuần, bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong
người bạn của
mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (Có thể thăm một bạn
nhiều lần).
7!
35831808
12!
3991680
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
3

3
Câu 37: Có bao nhiêu cách sắp xếp nữ sinh, nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam
và nữ ngồi xen kẽ:
6
72
720
144
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
7
3
790
Câu 38: Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có chữ số và bắt đầu bởi chữ số đầu tiên là
. Hỏi ở
Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
1000
100000
10000
1000000
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
Câu 39: Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người.
A. 81
B. 68
C. 42
D. 98
Câu 40: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho :
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?
A. 72
B. 74
C. 76
D. 78
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau ?
A. 40
B. 42
C. 46
D. 70
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D khơng được ngồi kề nhau ?
A. 32
B. 30
C. 35
D. 70
Câu 41: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi
cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi
trong mỗi trường hợp sau :

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 5

a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau.
A. 1036800
B. 234780
C. 146800
D. 2223500
b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
33177610
34277600
33176500
A.
B.
C.

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

D.

33177600

Trang 6


PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI
QUY TẮC ĐẾM
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Qui tắc cộng:
a) Định nghĩa: Một cơng việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B.
Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và khơng trùng với bất kì

cách nào trong phương án A thì cơng việc đó có m + n cách thực hiện.
b) Công thức quy tắc cộng
A1 , A2 ,..., An
Nếu các tập
đôi một rời nhau. Khi đó:
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 + A2 + ... + An
2. Qui tắc nhân:
a) Định nghĩa:
Một cơng việc nào đó có thể bao gồm hai cơng đoạn A và B. Nếu cơng đoạn A có m cách thực
hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đó có m.n cách thực hiện.
b) Cơng thức quy tắc nhân
A1 , A2 ,..., An
Nếu các tập
đôi một rời nhau. Khi đó:
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 . A2 ..... An
.
3. Các bài toán đếm cơ bản
Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
x = a1...an
Khi lập một số tự nhiên
ta cần lưu ý:
ai ∈ { 0,1, 2,...,9}
a1 ≠ 0
*
và
.
⇔
a
n
x

* là số chẵn
là số chẵn
⇔ an
x
* là số lẻ
là số lẻ
3 ⇔ a1 + a2 + ... + an
3
x
* chia hết cho
chia hết cho
x
4 ⇔ an −1an
4
* chia hết cho
chia hết cho
5 ⇔ an ∈ { 0, 5}
x
* chia hết cho
⇔x
3
x
* chia hết cho 6
là số chẵn và chia hết cho
8 ⇔ an− 2 an −1an
8
x
* chia hết cho
chia hết cho
9 ⇔ a1 + a2 + ... + an

9
x
* chia hết cho
chia hết cho .
11 ⇔
x
* chia hết cho
tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết
11
cho .

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 7


25 ⇔

x

00, 25,50, 75

* chia hết cho
hai chữ số tận cùng là
.
Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
Chú ý: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động
T
. Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau

Cách 1: Đếm trực tiếp
•
•
•

H

thỏa mãn tính chất

Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó

Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
H
Trong trường hợp hành động
chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài tốn như sau:
H
T
•
Đếm số phương án thực hiện hành động
(khơng cần quan tâm đến có thỏa tính chất hay
a

khơng) ta được
•

phương án.

Đếm số phương án thực hiện hành động

H

khơng thỏa tính chất
a −b
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là:
.

T

ta được

b

phương án.

B – BÀI TẬP
1, 2,3, 4,5, 6, 7

Câu 1: Từ các số
1. Số chẵn
A. 360

lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là:
B. 343

C. 523

D. 347

2. Số lẻ
A. 360

B. 343

C. 480

D. 347

Hướng dẫn giải:
Gọi số cần lập

x = abcd a, b, c, d ∈ { 1, 2,3, 4,5, 6, 7}

;

a , b, c , d

và

đôi một khác nhau.
d
x
x
1. Công việc ta cần thực hiện là lập số thỏa mãn là số chẵn nên phải là số chẵn. Do đó để thực
hiện cơng việc này ta thực hiện qua các công đoạn sau
2, 4, 6
d
d
d

d
Bước 1: Chọn : Vì là số chẵn nên chỉ có thể là các số
nên có 3 cách chọn.
{ 1, 2,3, 4,5, 6, 7} \ {d}
a
a
Bước 2: Chọn : Vì ta đã chọn d nên chỉ có thể chọn một trong các số của tập
6
a
nên có cách chọn
b
5
b
Bước 3: Chọn : Tương tự ta có cách chọn
c

Bước 4: Chọn : Có 4 cách chọn.

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 8


Vậy theo quy tắc nhân có:

3.6.5.4 = 360

số thỏa yêu cầu bài tốn.

d

x
x
2. Vì số cần lập là số lẻ nên phải là số lẻ. Ta lập qua các công đoạn sau.
Bước 1: Có 4 cách chọn d
Bước 2: Có 6 cách chọn a
Bước 3: Có 5 cách chọn b
Bước 4: Có 4 cách chọn c
Vậy có 480 số thỏa u cầu bài tốn.
1,5, 6, 7
4
Câu 2: Cho các số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ số với các chữ số khác
nhau:
64
256
12
24
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
abcd , a ≠ 0
4
Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm là:
, khi đó:

a
4
có cách chọn
b
3
có cách chọn
c
2
có cách chọn
d
1
có cách chọn
4.3.2.1 = 24
Vậy có:
số
B
Nên chọn .
2,3, 4,5
4
Câu 3: Từ các chữ số
có thể lập được bao nhiêu số gồm chữ số:
256
120
16
24
A.
.
B.
.
C.

.
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
abcd , a ≠ 0
4
Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm là:
, khi đó:
a
4
có cách chọn
b
4
có cách chọn
c
4
có cách chọn
d
4
có cách chọn
4.4.4.4 = 256
Vậy có:
số
A
Nên chọn .
0,1, 2, 4, 5, 6,8
Câu 4: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số
.
A. 252
B. 520

C. 480
D. 368
Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 9


Hướng dẫn giải:
Chọn B.
x = abcd ; a, b, c, d ∈ { 0,1, 2, 4,5, 6,8}
Gọi
.
Cách 1: Tính trực tiếp
d ∈ { 0, 2, 4, 6,8}
x
Vì là số chẵn nên
.
d =0⇒
d
TH 1:
có 1 cách chọn .
a ∈ { 1, 2, 4,5, 6,8}
d
Với mỗi cách chọn ta có 6 cách chọn
b ∈ { 1, 2, 4,5, 6,8} \ { a}
a, d
Với mỗi cách chọn
ta có 5 cách chọn
c ∈ { 1, 2, 4, 5, 6,8} \ { a, b}
a, b, d

4
Với mỗi cách chọn
ta có cách chọn
1.6.5.4 = 120
Suy ra trong trường hợp này có
số.
d ≠ 0 ⇒ d ∈ { 2, 4, 6,8} ⇒
TH 2:
có 4 cách chọn d
d
a≠0
Với mỗi cách chọn , do
nên ta có 5 cách chọn
a ∈ { 1, 2, 4,5, 6,8} \ { d }
.
b ∈ { 1, 2, 4,5, 6,8} \ { a}
a, d
Với mỗi cách chọn
ta có 5 cách chọn
c ∈ { 1, 2, 4, 5, 6,8} \ { a, b}
a, b, d
4
Với mỗi cách chọn
ta có cách chọn
4.5.5.4 = 400
Suy ra trong trường hợp này có
số.
120 + 400 = 520
Vậy có tất cả
số cần lập.

Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù)
0,1, 2, 4, 5, 6,8
A=
Gọi
{ số các số tự nhiên có bốn chữ số đơi một khác nhau được lập từ các số
}
0,1,
2,
4,5,
6,8
B=
{ số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số
}
0,1, 2, 4,5, 6,8
C=
{ số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đơi một khác nhau được lập từ các số
}
C = A−B
Ta có:
.
A = 6.6.5.4 = 720
Dễ dàng tính được:
.
B
Ta đi tính
?
⇒ d ∈ { 1,5} ⇒ d
x = abcd
là số lẻ
có 2 cách chọn.

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 10


Với mỗi cách chọn

d

a

a ≠ 0, a ≠ d

ta có 5 cách chọn (vì
)
a, d
b
Với mỗi cách chọn
ta có 5 cách chọn
a, b, d
c
Với mỗi cách chọn
ta có 4 cách chọn
B = 2.5.5.4 = 200
Suy ra
C = 520
Vậy
.
2,3, 4,5, 6, 7

6
3
6
Câu 5: Cho chữ số
số các số tự nhiên chẵn có chữ số lập thành từ chữ số đó:
36
18
256
108
A. .
B. .
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
abc, a ≠ 0
3
Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm là:
, khi đó:
3
c
có cách chọn
6
a
có cách chọn
b
6
có cách chọn

3.6.6 = 108
Vậy có:
số
D
Nên chọn .
Câu 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
40
45
50
55
A.
.
B.
.
C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
n −1
n
n
Nếu chữ số hàng chục là thì số có chữ số hàng đơn vị là
thì số các chữ số nhỏ hơn năm ở
n
1
≥
hàng đơn vị cũng bằng . Do chữ số hang chục lớn hơn bằng còn chữ số hang đơn vị thi .
Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
B

nên chọn .
Câu 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:
5
15
55
10
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
{ 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}
9
Với một cách chọn chữ số từ tập
ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ
tự giảm dần.
{ 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}
10
9
Ta có
cách chọn chữ số từ tập
10
D
Do đó có
số tự nhiên cần tìm. nên chọn .
Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 11

3
Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số:
900
901
899
A.
.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
3
100
999
999 − 100 + 1 = 900
Cách 1: Số có chữ số là từ
đến
nên có
số.
Cách 2:
abc, a ≠ 0
3
Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm là:
, khi đó:
9
a
có cách chọn

b
10
có
cách chọn
10
c
có
cách chọn
9.10.10 = 900
Vậy có:
số
A
Nên chọn .
Câu 9: Cho các chữ số 1, 2, 3,., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số
a) Có 4 chữ số đơi một khác nhau
A. 3024
B. 2102
C. 3211
b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và không vượt quá 2011.
A. 168
B. 170
C. 164
Hướng dẫn giải:
x = abcd a, b, c, d ∈ { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}
1. Gọi số cần lập
,
9.8.7.6 = 3024
a) Có
số
d ∈ { 2, 4, 6,8}

x ≤ 2011 ⇒ a = 1
x
b) Vì chẵn nên
. Đồng thời
b, c
d
7.6
• a =1⇒ a
có 1 cách chọn, khi đó có 4 cách chọn;
có
cách
1.4.6.7 = 168
Suy ra có:
số
Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có
lặp lại:
60
40
A.
.
B.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi số tự nhiên có
a
4
có cách chọn
b
4

có cách chọn

3

3

D.

999

D. 3452
D. 172

0, 2, 4, 6,8

chữ số lập từ các số
C.

48

với điều các chữ số đó khơng
.

D.

10

abc, a ≠ 0
chữ số cần tìm là:

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

.

, khi đó:

Trang 12

.


c

có

3

cách chọn
4.4.3 = 48
Vậy có:
số
C
Nên chọn .

A = {a, b, c, d } B = {c, d , e}
Câu 11: Cho hai tập hợp
;
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
N ( A) = 4
N ( B) = 3

N ( A ∪ B) = 7
N ( A ∩ B) = 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
A ∪ B = { a, b, c, d , e} ⇒ N ( A ∪ B ) = 5
Ta có :
.
1, 2,3, 4,5, 6, 7
5
7
Câu 12: Cho các số
. Số các số tự nhiên gồm chữ số lấy từ chữ số trên sao cho chữ
3
số đầu tiên bằng là:
7!
240
2401
75
A. .
B. .
C.
.

D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
abcde
Gọi số cần tìm có dạng :
.
( a = 3)
a
Chọn
: có 1 cách
bcde
74
Chọn
: có
cách
1.7 4 = 2401
Theo quy tắc nhân, có
(số)
1,3,5
3
Câu 13: Từ các số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ số:
6
8
27
12
A. .
B. .
C. .

D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
abc
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng
.
b
a
c
Khi đó: có 3 cách chọn, có 3 cách chọn, có 3 cách chọn.
3.3.3 = 27
Nên có tất cả
số
2
Câu 14: Có bao nhiêu số có chữ số, mà tất cả các chữ số đều lẻ:
25
20
30
10
A.
.
B.
.
C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
ab
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng

.
b
a
Khi đó: có 5 cách chọn, có 5 cách chọn.

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 13


Nên có tất cả

5.5 = 25

số.

5
4
Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lớn hơn và đôi một khác nhau:
240
120
360
24
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
abcde
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng
.
b
d
a
c
e
Khi đó: có 5 cách chọn, có 4 cách chọn, có 3 cách chọn, có 2 cách chọn, có 1 cách chọn.
5.4.3.2.1 = 120
Nên có tất cả
số.
Câu 16: Cho tập. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
A. 720
B. 261
C. 235
D. 679
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x = abcd a, b, c, d ∈ { 0,1, 2,3, 4,5, 6} ; a ≠ 0
Gọi số cần lập
,
b, c, d
6.5.4
a:
Chọn
có 6 cách; chọn

có
720
Vậy có
số.
1, 2,3
Câu 17: Từ các số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số
khác nhau:
15
20
72
36
A. .
B.
.
C.
.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
TH1: số có 1 chữ số thì có 3 cách.
3.2 = 6
TH2: số có 2 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có
số.
3.2.1 = 6
TH3: số có 3 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có
số
3 + 6 + 6 = 15
Vậy có
số.

Câu 18: Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn
chữ số đứng cuối lẻ.
A. 11523
B. 11520
C. 11346
D. 22311
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
a1 4
a8
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên có cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên
có 4 cách chọn. Các số
6.5.4.3.2.1
cịn lại có
cách chọn
2
4 .6.5.4.3.2.1 = 11520
Vậy có
số thỏa u cầu bài tốn.
Câu 19: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
A. 3999960
B. 33778933
C. 4859473
D. 3847294

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 14

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.
Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị
trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là :
24 ( 104 + 103 + 102 + 10 + 1) = 24.11111
24.11111( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 3999960

Vậy tổng các số có 5 chữ số là :

.

Câu 20: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau.
A. 30240
B. 32212
C. 23460
D. 32571
Hướng dẫn giải:
a1a2 a3a4 a5
Gọi số in trên vé có dạng
a1
a1
Số cách chọn
là 10 ( có thể là 0).
a2
Số cách chọn
là 9.
a3
Số cách chọn

là 8.
a4
Số cách chọn
là 7.
a5
Số cách chọn
là 6.

100
3
2
Câu 21: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn
chia hết cho và .
16
17
20
12
A. .
B. .
C. .
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
100
3 96
2
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn
chia hết cho và là .
100

3 0
2
Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn
chia hết cho và là .
96 − 0
+ 1 = 17
100
3
C
6
2
Số các số tự nhiên nhỏ hơn
chia hết cho và là
nên chọn .
A = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}
Câu 22: Cho tập
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một
khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
A. 15120
B. 23523
C. 16862
D. 23145
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
d ∈ { 1,3, 7} ⇒ d
x
Vì lẻ và khơng chia hết cho 5 nên
có 3 cách chọn
7.6.5.4.3.2.1
Số các chọn các chữ số còn lại là:

15120
Vậy
số thỏa yêu cầu bài toán.
Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 15


1, 2,3, 4,5, 6, 7

Câu 23: Từ các số
hết cho 5
A. 360
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia
B. 120

C. 480

D. 347

d
⇒
x
Vì chia hết cho 5 nên chỉ có thể là 5
có 1 cách chọn d.
Có 6 cách chọn a, 5 cách chọn b và 4 cách chọn c.
1.6.5.4 = 120

Vậy có
số thỏa u cầu bài tốn.
A = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6}

Câu 24: Cho tập
chia hết cho 5.
A. 660
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x = abcde

Gọi
• e=0⇒e

. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và
B. 432

C. 679

D. 523

e ∈ { 0, 5} , a ≠ 0

là số cần lập,
a, b, c, d : 6.5.4.3

có 1 cách chọn, cách chọn
Trường hợp này có 360 số
a, b, c, d : 5.5.4.3 = 300
e =5⇒e

có một cách chọn, số cách chọn
Trường hợp này có 300 số
660
Vậy có
số thỏa yêu cầu bài toán.
5
10
Câu 25: Số các số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho
là:
3260
3168
9000
A.
.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
abcde
( a ≠ 0)
Gọi số cần tìm có dạng :
.
( e = 0)
e
Chọn : có 1 cách
( a ≠ 0)
a
Chọn

: có 9 cách
bcd
103
Chọn
: có
cách
1.9.103 = 9000
Theo quy tắc nhân, có
(số).

D.

12070

.

A = { 0,1, 2,3, 4,5, 6}

Câu 26: Cho tập hợp số :
và chia hết cho 3.
A. 114
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

.Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau
B. 144

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

C. 146

D. 148

Trang 16


Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con
{0,1, 2,3}, {0,1,2,6} {0,2,3,4} {0,3,4,5} {1,2,4,5} {1,2,3,6} { 1,3,5, 6}
các chữ số chia hết cho 3 là
,
,
,
,
,
.
4(4!− 3!) + 3.4! = 144
Vậy số các số cần lập là:
số.
9
2011
Câu 27: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà mỗi số
chữ số và trong đó có ít
9
nhất hai chữ số .
92011 − 2019.92010 + 8
92011 − 2.92010 + 8
9
9
A.
B.

92011 − 92010 + 8
92011 − 19.92010 + 8
9
9
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
X
Đặt
là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
A=
{ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}
( m ≤ 2008)
2011− m
0
m
Với mỗi số thuộc A có
chữ số
thì ta có thể bổ sung thêm
số vào phía trước
thì số có được khơng đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng
a1a2 ...a2011; ai ∈ { 0,1, 2,3,...,9}
A0 = { a ∈ A |

A1 = { a ∈ A |

mà trong
mà trong

a

khơng có chữ số 9}

a

có đúng 1 chữ số 9}
9 −1
1+
9
•
Ta thấy tập A có
phần tử
A0
•
Tính số phần tử của
2011

2010

x ∈ A0 ⇒ x = a1...a2011; ai ∈ { 0,1, 2,...,8} i = 1, 2010
Với
suy ra

a2011 = 9 − r
và

A0
có

9

r ∈ [ 1;9] , r ≡ ∑ ai
với

i =1

. Từ đó ta

2010

phần tử
A1
•
Tính số phần tử của
A1
Để lập số của thuộc tập
ta thực hiện liên tiếp hai bước sau
{ 0,1, 2...,8}
2010
Bước 1: Lập một dãy gồm
chữ số thuộc tập
và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số
2009
9
các dãy là
Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 17

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ
sung số 9
A1
2010.92009
Do đó
có
phần tử.
Vậy số các số cần lập là:
92011 − 1 2010
9 2011 − 2019.92010 + 8
2009
1+
− 9 − 2010.9 =
9
9
.
A
Câu 28: Từ thành phố
đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con
đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.
A. 42
B. 46
C. 48
D. 44
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố A đến
6.7 = 42
thành phố B ta có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy có

cách đi từ thành phố A
đến B.
3
2
Câu 29: Từ thành phố A đến thành phố B có con đường, từ thành phố A đến thành phố C có con
3
2
đường, từ thành phố B đến thành phố D có con đường, từ thành phố C đến thành phố D có con
đường, khơng có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi
từ thành phố A đến thành phố D.
6
18
36
12
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến B rồi đến D là

3.2 = 6

.

2.3 = 6
Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến C rồi đến D là
.

6 + 6 = 12
Nên có :
cách.
Câu 30: Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến
thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và khơng có con đường nào nối
B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D.
A. 156
B. 159
C. 162
D. 176
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Để đi từ A đến D ta có các cách đi sau
A→B→D
10.6 = 60
: Có
A→C → D
9.11 = 99
: Có

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 18


Vậy có tất cả

159

cách đi từ A đến D

Câu 31: Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội
thì gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra.
A. 190
B. 182
C. 280
D. 194
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
19.20
Cứ mỗi đội phải thi đấu với 19 đội cịn lại nên có
trận đấu. Tuy nhiên theo cách tính này thì một
19.20
= 190
2
trận đấu chẳng hạn A gặp B được tính hai lần. Do đó số trận đấu thực tế diễn ra là:
trận.

10

Câu 32: Có
cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người phụ nữ
trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó khơng là vợ chồng:
100
91
10
90
A.
.
B. .

C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
10
1
Có
cách chọn người đàn ông.
10
1
Có
cách chọn người phụ nữ.
Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai
10.10 − 10 = 90
người đó khơng là vợ chồng:
D
Nên chọn .
Theo em nên làm như thế này cho tiện
10
10
1
Chọn người trong
người đàn ông có
cách.
9
9
1
Chọn người trong người phụ nữ khơng là vợ của người đàn ơng đã chọn có cách.
10.9 = 90
Vậy có

cách chọn
Câu 33: Hội đồng quản trị của công ty X gồm 10 người. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra ba người vào ba
vị trí chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí, biết khả năng mỗi người là như nhau.
A. 728
B. 723
C. 720
D. 722
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Chọn chủ tịch có 10 cách chọn, phó chủ tịch có 9 cách và thư kí có 8 cách. Do đó có tất cả
10.9.8 = 720
cách chọn.
1

5

1
Câu 34: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm món ăn trong món, loại quả
5
3
tráng miệng trong loại quả tráng miệng và một nước uống trong loại nước uống. Có bao nhiêu
cách chọn thực đơn:
25
75
100
15
A.
.
B. .
C.

.
D. .
Hướng dẫn giải:

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 19


Chọn B.
5
5
1
Chọn món ăn trong món có cách
5
5
1
Chọn loại quả tráng miệng trong loại quả tráng miệng có cách
3
3
1
Chọn nước uống trong loại nước uống có cách
5.5.3 = 75
Số cách cách chọn thực đơn:
cách
B
Nên chọn .

8
Câu 35: Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có màu khác nhau,

8
các cây bút chì cũng có màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn
64
16
32
20
A.
.
B. .
C. .
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Chọn cây bút mực : có 8 cách
Chọn cây bút chì : có 8 cách
Theo quy tắc nhân, số cách mua là : 8.8 = 64 (cách )
12
Câu 36: Trong một tuần, bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong
người bạn của
mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (Có thể thăm một bạn
nhiều lần).
7!
35831808
12!
3991680
A. .
B.
.
C.

.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
12
Thứ 2 : có
cách chọn bạn đi thăm
12
Thứ 3 : có
cách chọn bạn đi thăm
12
Thứ 4 : có
cách chọn bạn đi thăm
12
Thứ 5 : có
cách chọn bạn đi thăm
12
Thứ 6 : có
cách chọn bạn đi thăm
12
Thứ 7 : có
cách chọn bạn đi thăm
12
Chủ nhật : có
cách chọn bạn đi thăm
127 = 35831808
Vậy theo quy tắc nhân, có
(kế hoạch)
3

3
Câu 37: Có bao nhiêu cách sắp xếp nữ sinh, nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam
và nữ ngồi xen kẽ:
6
72
720
144
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2.1
Chọn vị trí 3 nam và 3 nữ:
cách chọn.

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 20


3.2.1
Xếp 3 nam có:
cách xếp.
3.2.1
Xếp 3 nữ có:

cách xếp.
2
2.1. ( 3.2.1) = 72
Vậy có
cách xếp.

7
3
790
Câu 38: Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có chữ số và bắt đầu bởi chữ số đầu tiên là
. Hỏi ở
Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
1000
100000
10000
1000000
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
790abcd
Gọi số điện thoại cần tìm có dạng
.
b

d
a
c
Khi đó: có 10 cách chọn, có 10 cách chọn, có 10 cách chọn, có 10 cách chọn.
10.10.10.10 = 104
Nên có tất cả
số.
Câu 39: Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người.
A. 81
B. 68
C. 42
D. 98
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Để xếp A ta có 3 cách lên một trong ba toa
Với mỗi cách xếp A ta có 3 cách xếp B lên toa tàu
Với mỗi cách xếp A,B ta có 3 cách xếp C lên toa tàu
Với mỗi cách xếp A,B,C ta có 3 cách xếp D lên toa tàu
3.3.3.3 = 81
Vậy có
cách xếp 4 người lên toa tàu.
Câu 40: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho :
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?
A. 72
B. 74
C. 76
D. 78
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau ?
A. 40
B. 42

C. 46
D. 70
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau ?
A. 32
B. 30
C. 35
D. 70
Hướng dẫn giải:
a) Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách chọn một người khác
phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách chọn
vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6.
6.3.2.2.1.1 = 72
Vậy có :
cách.
b) Cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ nhất và chỗ thứ hai, có 2 cách. Tiếp đến, chỗ thứ ba có 2
cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn.
Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ hai và chỗ thứ ba. Khi đó, chỗ thứ nhất có 2 cách
chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn.
Tương tự khi cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ ba và thứ tư, thứ tư và thứ năm, thứ năm và thứ
sáu.
5.2.2.2.1.1. = 40
Vậy có :
cách.

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

Trang 21


c) Số cách chọn để cặp nam nữ đó khơng ngồi kề nhau bằng số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để

cặp nam nữ đó ngồi kề nhau.
72 − 40 = 32
Vậy có :
cách
Câu 41: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi
cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi
trong mỗi trường hợp sau :
a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau.
A. 1036800
B. 234780
C. 146800
D. 2223500
b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
33177610
34277600
33176500
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải:

D.

33177600

Ta đánh số liên tiếp 12 chỗ ngồi bằng các số từ 1 đến 6 thuộc một dãy và từ 7 đến 12 thuộc một dãy
12 3456
12 11 10 9 8 7
a)
Vị trí

1
2
Số
cách
xếp

12

6

3

4

5

6

7

8

9

10

11

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1
2
1

8
2

6
2

7
1

12.6.52.42.32.22.1 = 1036800

Vậy có
b)
Vị trí 1
12
2
11
Số
12
6
10
5
cách
xếp
33177600
Vậy có:
cách xếp.

3
8

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

cách xếp
10
4

4
6

9
3

5
4

Trang 22