Các quy tắc tính đạo hàm

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Các quy tắc tính đạo hàm I.. KiÕn thøc c¬ b¶n 1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp. (Ký hiệu U=U(x)) (C lµ h»ng sè) C  =0 x  =1 (n  N, n  2) x n  =n.xn-1 U n  =n.Un-1. U    (x  0) 1 1  1  U   =- 2   =- 2  x x U  U 1  U (x>0) ( x ) = U = 2 x 2 U 2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)). U  V  = U   V .  . UV . = U V  UV . (k .U ). = k .U  (k lµ h»ng sè). U    V  1   V . 3. II.. III.. . =. U .V  U .V  V2. . =-. 1 V2. §¹o hµm cña hµm sè hîp: g(x) = f[U(x)]. g ' x = f 'u . U x. Kü n¨ng c¬ b¶n Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số. Tính được đạo hàm hàm số hợp. Mét sè vÝ dô A.VÝ dô tù luËn VD1. Tính đạo hàm của các hàm số 1/. 1 2. y=2x5-3x4+x3- x2+1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 2. 4 3. 1 4. 2/. y= x4- x3+ x2+3x-2. 3/. y=2x2 (x-3). 4/. y=. mx  2 m 1. víi m lµ tham sè kh¸c -1. Gi¶i 1/. Ta cã: y ' = 10x4-12x3+3x2 –x. 2/. Ta cã: 1 y ' = 2x3- 4x2+ x+3 2. 3/. Ta cã: y= 2x3- 6x2  y ' = 6x2-12x. 4/. Ta cã: y= y' =. m 2 x+ m 1 m 1. Do m lµ tham sè kh¸c (-1), nªn. m m 1. VD2. Tính đạo hàm các hàm số 3x 2  x  1 4x  1. 1/. y=. 1 x 1. 3/. y=. 2/. y=. x2 x 1. 4/. y=(3x-2)(x2+1). Gi¶i: 1/. Ta cã: y' = -. 2/. ( x  1)' 1 =2 ( x  1) ( x  1) 2.  x  -1. Ta cã:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> y' =. ( x  2)'.(x  1)  ( x  2).( x  1)' ( x  1)  ( x  2) 3 = = 2 2 ( x  1) ( x  1) ( x  1) 2. -1 3/. Ta cã: y' =. 4/. (3 x 2  x  1)' (4 x  1)  (3 x 2  x  1)(4 x  1)' (4 x  1) 2. =. (6 x  1)(4 x  1)  (3 x 2  x  1).4 (4 x  1) 2. =. 12 x 2  6 x  5 (4 x  1) 2. x. 1 4. Ta cã: y ' = (3 x  2)' (x2+1) - (3x-2) ( x 2  1)'. = 3(x2+1)-(3x-2).2x = 3x2+3- 6x2+4x = -3x2+4x+3 VD3. Tính đạo hàm của các hàm số 1/. y= x 1  x 2. 2/. y= x (x2- x +1). 3/. y=. 1 x 1 x. Gi¶i: 1/. Ta cã:. . y ' = ( x) . 1  x 2 +x 1  x 2. = 1 x2 + 2/. x2 1 x2. =. . 1  2x 2 1 x2. Ta cã: y ' = ( x ) (x2- x +1) + x ( x 2  x  1). Lop12.net. x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> = = 3/. x2  x 1 2 x x2  x 1 2 x. 1. + x (2x+ 2x x -. 2 x. ). 1 2. x > 0. Ta cã:. . (1  x) 1  x  (1  x) 1  x y' = 1 x. 1 x . 1 x. 2 1 x 1 x. = =. . 2(1  x)  1  x 2(1  x) 1  x. =.  x3 2(1  x) 1  x. VD4. Tính đạo hàm hàm số 1/. y= (2x+3)10. 2/. y= (x2+3x-2)20. 3/. y=. x2 x2  a2. (a lµ h»ng sè). Gi¶i: 1/. Ta cã: y ' = 10(2x+3)9. (2 x  3)'. = 20(2x+3)9 2/. Ta cã: y ' = 20(x2+3x-2)19. ( x 2  3 x  2). = 20(x2+3x-2)19.(2x+3) 3/. Ta cã: y' =. ( x 2 )' x 2  a 2  x 2 ( x 2  a 2 ) x2  a2. Lop12.net.  x <1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x3. 2x x 2  a 2 . =. x2  a2. x2  a2. =. x 3  2 xa 2 (x 2  a 2 )3. VD5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7 1/. T¹i ®iÓm A(1;5). 2/. Song song víi ®­êng y=6x+1. Gi¶i: Ta cã: y ' = 3x2-3 1/. HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i A lµ k = y ' (1) = 0  Phương trình tiếp tuyến cần viết là:. y = 5. 2/. Gäi tiÕp ®iÓm lµ M(x0;y0) y0= x03-3x0+7 Ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ k = 6  y ' (x0) = 6  3x02-3 = 6  x0 = . 3. Víi x0 = 3  y0=7.  Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6 3. Víi x0 =- 3  y0=7  Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6 3. VD6. Cho hµm sè. y=. x2  x 1 x 1. Giải bất phương trình khi y '  0 Gi¶i:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ta cã: + y' =. ( x 2  x  1)' ( x  1)  ( x 2  x  1)( x  1)' ( x  1)2. (2 x  1)( x  1)  ( x 2  x  1) = ( x  1) 2. =. x 2  2x ( x  1) 2.  x  -1. x 2  2x Do đó: y '  0  0 2 ( x  1).  x  1  x  2   2  x  2 x  0 x  0 B. VÝ dô tr¾c nghiÖm Chọn những phương án đúng trong ví dụ sau: VD7. Cho hµm sè y= A.. 1 5. 1 , khi đó y ' (2) bằng 2x  1. B.. 1 5. C.. 1 25. D. . 1 25. VD8: Cho hàm số y= 2 x , khi đó y ' (4) bằng A. 2 2. B.. 1 2 2. C.. 2 2. D.. 2 4. VD9. Cho hàm số y=(x+1)5, khi đó y ' (2) bằng A.-5. B.5. C.-1. D.1. VD10. Cho hàm số y=2x- x , khi đó y' (1) bằng A.. 1 2. B.. 3 2. C. 1. t¹i. Lop12.net. D. Kh«ng tån.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> x 1 , khi đó y' (1) bằng x2. VD11. Cho hµm sè y= A.0. B.-1. C.-. 1 2. D.-. 1 3. VD12. Cho hàm số y=2x3-3x2+3, khi đó phương trình y' =0 có nghiệm A. x=0 vµ x=1 x=3. B. x=0 vµ x=-1. VD13. Cho hµm sè y=. A.. 4 2 x  34. A.. 7. 2 x  1. 2. D.. x=-1. D.. 4 2 x  33. D.. 5 2 x  12. vµ. 1 . §¹o hµm y' b»ng 2 x  32. B.. VD14. Cho hµm sè y=. C. x=1 vµ x=3. 1 2 x  33. C.. 2 2 x  33. x4 , đạo hàm y' bằng 2x  1. B.. 7 2 x  12. C.. 5 2 x  12. x2  1 VD15. Cho hµm sè y= , khi đó tập nghiệm của phương trình y' x >0 lµ A. S =(- ;1 ]  [1;+  ). C. S =(- ;1)  (1;). B. S =(- ;0) )  [1;+  ). D. S = (  ;1)  (0;). VD16. Cho hµm sè y=. x3 , khi đó bất phương trình y' 0 có tập 4x  1. nghiÖm lµ: A. S =(. 1 ; ) 4. B. S =[. 1 ; ) C. S =[3;+  ) 4. D. S  . §¸p ¸n: VD7 C. VD8 D. VD9 A. VD10 B. VD11 D. VD12 A. IV. Bµi tËp. A. Bµi tËp tù luËn.. Lop12.net. VD13 D. VD14 B. VD15 C. VD16 D.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài1. Tính đạo hàm của các hàm số: 7/ y= x  3  4  x. 1/ y=x3 -2x2+x- x +1 2/ y=. x 1 2x  3. 8/ y= x 2  3. 7. x2  2x  2 3/ y= x2 4/ y=. 9/ y=(x-2) x 2  1. 1 x 1 x. 10/ y= x 2  2   x 2  4 2. 11/ y= x  1 x 2  x  1. 5/ y= 2 x 2  3 x  4 6/ y=. x. x2  x  3 2x  1. 12/ y=. 9  x2. Hướng dẫn: 1/ y'  3 x 2  4 x  1 . 1 2 x. , x  0. 1 1  2 x3 4x. 7/ y' . víi-. 3<x<4 2/ y' . 5 2 x  32. x . 3 2. 8/ y'  14 x( x 2  3) 6. x2  4x  2 x  2 3/ y'  x  2 2 4/ Ta cã: y=1-.  y'  . 5/ y'  6/ y ' . 2 , x 0 1 x. . 1. x 1 x. . 2. x  0. 4x  3 2 2 x 2  3x  4 9  2x 2. 9  x . 2 3. víi -3< x <3. Lop12.net. 9/ y' . 2x2  2x  1 x2  1. 10/ y'  4 x( x 2  2)  12/ y' . x x2  4.  11 2(2 x  1) 2 x 2  x  3.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1 Bài 2. Cho hàm số: y= x 3  3 x 2  2 mx  1 tìm m để 3. 1/ y' là bình phương của một nhị thức 2/ y' 0 x  R 3/ y' <0 x  (0;1) 4/ y' >0 x >0 Hướng dẫn: Ta cã: y   x 2  6 x  2 m  g(x). 1/ Ta ph¶i cã:  =0.  9  2m  0.  m=. 9 2. 2/ Ta ph¶i cã:   0  9-2m  0.  m. 9 2. 3/ Ta ph¶i cã:  g ( 0)  0 2 m  0   m<0  g ( 1 )  0  5  2 m  0  . 4/ Ta ph¶i cã: + HoÆc  <0  m >     0  + HoÆc  g (0)  0 S  0 2. 9 2. HÖ v« nghiÖm. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (c ) y=x3-3x2 biết tiếp tuyến vuông góc 1 víi ®­êng th¼ng y= x 3 Hướng dẫn: + Ta cã y  = 3x2-6x + Gäi (x0;y0) lµ tiÕp ®iÓm, y0=x03 -3x02 Ta ph¶i cã: 3x02-6x0=-3  x0=1 =>y0=-2 => phương trình tiếp tuyến là: y=-3x+1 Bµi 4. Cho ®­êng cong (c)): y=. x 1 . Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến x3. của (c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =-x+1 Hướng dẫn: + Ta cã y  =. 4 ( x  3) 2. + HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = -1 + Gäi (x0; y0) lµ tiÕp ®iÓm, y0=. x0  1 x0  3. Ta ph¶i cã:  x0  1 4   1  x  5 ( x0  3) 2  0. + Ta cã 2 tiÕp tuyÕn lµ y = -x vµ y = -x+8 + Từ đó suy ra kết quả B. Bµi tËp tr¾c nghiÖm Chọn phương án đúng trong các bài tập sau:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bµi 4. Cho hµm sè y =. 1 , y (1) b»ng 2x. 1 C. 1 2 2x  1 Bµi 5. Cho biÕt hµm sè y = , y (1) b»ng x 1 A.. 1 2. D. - 1. B.. 3 3 1 B. C. 4 4 2 Bµi 6. Cho hµm sè y = x  1 , y (2) b»ng A.. A.. 3. 3. B. -. C.. D.. 1. 1 2. D. -. 2 3. 1 2 3. Bµi 7. Cho hµm sè y =(1-3x)6, y (0) b»ng A. 1. B. -1. Bµi 8. Cho hµm sè y = lµ: Bµi 9. Cho hµm sè f(x)= cã tËp nghiÖm lµ:. . Bµi 10. Hµm sè y=. A.. y . D. - 18. 2 x  1 , Khi đó tập nghiệm của bất phương trình y   0 ) C. S =(0;  ) D. S =  và g(x) = 2x-3. Bất phương trình f ( x)  g ( x). B. S =[0; . A. S =IR. A. S =. C. 18. 2. x2+3x-1. B. S =. 2x  3 cã x4. 11 ( x  4) 2. (. 1 ;) 2. B. y  .  11 ( x  4) 2. C. S =. C.. [. 1 ;) 2. y . 5 ( x  4) 2. D. –S =. D.. . y . 5 ( x  4) 2. Bµi 11. Hµm sè y = x x cã. 1. 3. 3 x 2 x 2 x 2 3 2 Bài 12. Hàm số y = x +2x -mx+1 có y   0x  IR, khi đó tập các giá trị của m lµ: A.. y . A. T= ( ;. 4 ] 3. B.. y  1  x. B. T= (  ;. 4 ) 3. Lop12.net. C.. y . C. T = (  ;1]. D.. y . D. T= (  ;1 ).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> mx có y   0x  IR \ {2} Khi đó tập các giá trị của m là: x2. Bµi 13. Hµm sè y =. 1 1 ;) B. T= (  ; ) 2 2 Bµi 14. Hµm sè y = (2x+3)10 cã. C. T = (  ;0). A. T= (. A.. y   10(2 x  3) 9. B.. y   20(2 x  3) 9. D.. y   20(2 x  3)10. 2x. A. y  . x 2  3x  5 2x  3 2 x 2  3x  5 x. C. y    D. y  . C.. x 2  3 x  5 cã. Bµi 15. Hµm sè y =. B. y  . y   10(2 x  3)10. D. T= (  ;0]. x  3x  5 2. 2x  3 x  3x  5 2. §¸p ¸n: B4. B. B5. A. B6. C. B7. D. B8. B. B9. C. B10. A. Lop12.net. B11. D. B12. B. B13. A. B14. C. B15. B.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>