PHUONG PHAP GIAI TOAN GIAI TICH 11 HAY

<span class='text_page_counter'>(1)</span>GIỚI HẠN. I . GIỚI HẠN DÃY 1/Định nghĩa 1 : dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số lim un 0 dương bé tuỳ ý kể từ một số dương nào đó trở đi . ký hiệu : x   hay un  0 khi n   lim(vn  a) 0 2/Định nghĩa 2 : dãy số (vn) có giới hạn là a ( hay vn dần tới a khi n dần tới  nếu x  . lim vn a Ký hiệu : x   hay vn  a khi n   . 3/Một vài giới hạn đắc biệt : 1 1 a. lim 0 b. lim k 0 c. lim q n 0(| q | 1) x   n x  n x   d . un c  lim un  lim c c x  . x  . 4/Một số tính chất lim un a , lim vn b x   a)Nếu x  thì  lim (un  vn ) a  b ,  lim (un  vn ) a  b x  . x  .  lim (un .vn ) a.b. ,  lim (. x  . x  . un a ) vn b. lim un a a 0, lim un  a x   b)Nếu un 0 với mọi n và x  thì. lim un a. Chú ý : x   thì ta có thể viết limun=a 5/Giới hạn vô cực a/Định nghĩa ; .Ta nói dãy số un có giới hạn  khi n   nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số lim un  hạng nào đó trở đi ký hiệu : x  . lim ( un )  .Ta nói dãy số un có giới hạn   khi n   nếu x  . b/Các tính chất : u Lim n 0 vn a. Nếu limu =a và limv =  thì n. n. lim b. Nếu limun=a>0 và limvn=0 và vn>0 với mọi n thì c. Nếu limun=  và limvn=a >0 thì limun.vn=  .. un  vn. II>GIỚI HẠN HÀM SỐ : 1>Định nghĩa 1 : Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0} Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu vớidãy số (xn) bất kỳ ,xn  K\{x0} và f ( x ) L xn  x0 ta có : f ( xn )  L . Ta ký hiệu : xlim  x0 . 2>Các tính chât ( về giới hạn hữu hạn ) lim f ( x ) L lim g ( x) M a/Giả sử x x0 và x x0 khi đó ta có :  lim  f ( x)  g ( x)  L  M  lim  f ( x)  g ( x )  L  M x  x0.  lim  f ( x).g ( x)  L.M x  x0. x  x0.  lim. x  x0. f ( x) L  ( M 0) g ( x) M.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> L 0, lim f ( x )  L lim f ( x) L x  x0 b/Nếu f ( x) 0 và x x0 thì (Chú ý dấu của F(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn với x khác x0 ) . lim x  x0 lim x k  x0k lim c c NHẬN XÉT : x  x0 từ đó ta có x  x0 , x  x0 với c là hằng số . 3>Giới hạn một bên Định nghĩa 2 : Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b) Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số xn bất kỳ với lim f ( x) L x0<xn<b và xn  x0 thì f ( xn )  L khi đó ta ký hiệu : x  x0 Cho hàm số y=f(x) xác định trrn khoảng (a;x0) Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số xn bất kỳ với a<xn<x0 lim f ( x ) L và xn  x0 thì f ( xn )  L khi đó ta ký hiệu : x x0. lim f ( x) L  lim f ( x)  lim f ( x) L. x  x0. x  x0 x  x0 Chú ý : 4>Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực . Định nghĩa 3 :  a;  . a/Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L khi x   nếu với mọi dãy (xn) bất kỳ , xn >a và xn   ta có f ( x) L f ( xn )  L khi đó ta ký hiệu : xlim   .   ;b  . b/ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L khi x    nếu với mọi dãy (xn) bất kỳ , xn <b và xn    ta có f ( x) L f ( xn )  L khi đó ta ký hiệu : xlim  . Chú ý : a/Với c và k là hằng số và k là nguyên dương ta luôn có :. lim c c ; lim. x  . x  . c c xk. b/Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x  x0 vẫn còn đúng với khi x  ( x   ) . 5>Giới hạn vô cực của hàm số . a/Định nghĩa 4 :  a;   Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng Ta nói hàm số y=f(x) có gới hạn là   khi x   nếu với dãy số (xn) bất kỳ xn>a và xn   ta có lim f ( x)   f  xn    khi đó ta ký hiệu là : x  lim f ( x)   lim ( f ( x ))   x   NHẬN XÉT : x  b/Một vài giới hạn đặc biệt lim x k  x (1)   với k là nguyên dương . k lim x  (2) x   nếu k là lẻ k lim x  (3) x    nếu k là chẵn c/ một vài qui tắc về giới hạn vô cực . *Giới hạn của tích f(x).g(x) lim f ( x ) L 0 , lim g ( x) ( ) lim f ( x ).g ( x ) x  x0 Nếu x  x0 thì x  x0 theo các qui tắc sau : lim f ( x ) lim g ( x) lim f ( x ).g ( x ) x  x0. x  x0. x  x0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> L>0.  .  . L<0.  . . lim g ( x). Dấu g(x). . Tuỳ ý. f ( x) x  x0 g ( x ) 0. +. . -. . +. . -. . lim. *Giới hạn của thương. x  x0. . f ( x) g ( x). lim f ( x ). x  x0. L. x  x0. L>0 0. L<0. lim. HÀM SỐ LIÊN TỤC. A- KIẾN THỨC CẦN NHỞ: 1. Hàm số liên tục tại một điểm: x   a; b  Giả sử hàm số f(x) xác định trên (a;b), o  lim f  x   f  xo  f  x x  xo * ĐN1: liên tục tại xo  lim f  x   lim f  x   f  xo  f  x x  x0 * ĐN2: liên tục tại xo x  x0 * Hàm số không liên tục tại xo được gọi là gián đoạn tại xo. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn: f  x f  x x   a; b  a, liên tục trên (a;b)  liên tục tại mọi o lim f  x   f  a  lim f  x   f  b  f  x f  x b, liên tục trên [a;b]  liên tục trên (a;b) và x a  , x b 3. Các định lí: a, Định lí 1: - Hàm số đa thức liên tục trên  - Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên tuèng khoảng xác định của nó. b, Định lí 2: Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số khác 0) các hàm số liên tục tại xo là hàm số liên tục tại xo  f  x  liên tục trên  a; b   c   a; b  : f  c  0  f a . f b  0      c, Định lí 3: . ĐẠO HÀM. A- KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa: Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại xo, tính ∆y = f (xo + ∆x) - f (xo) Vy Bước 2: Lập tỉ số V x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vy Bước 3: Tính V x®0 V x lim.  Chú ý: Khi thay xo bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x Î ( a; b ). 2. Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm: f (x) có đạo hàm tại xo thì f (x) liên tục tại xo.Chiều ngược lại không đúng 3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: k = f /(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo;yo) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo;yo) là. y - yo = f / ( xo ) ( x - xo ) * Cho hai đường thẳng d1: y k1 x  a1 , d2: y k2 x  a2 + d1 // d 2  k1 k2 + d1  d 2  k1.k2  1 4. Các công thức tính đạo hàm: Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản. ( C )′ =0. Đạo hàm của hàm số hợp. (C là hằng số). ( x )′ =1. (kx)’=k (k lµ h»ng sè ). ′. ′. ( x n ) =n.xn-1  1 1    2 x x. √ x ¿′ = ¿. 1. (n. N, n. (x. 0). 2). (x>0). 2√x ❑.  U 1    2 (U 0) U U.  U. . . U 2 U. (U  0). ❑. ( sinU ) =cos U . U ❑ ( cos U )❑=− sinU . U ❑ ❑ 1 . ( tan U ) = 2 U ❑ cos U 1 ( cot U )❑=− 2 U ❑ sin U. ( sin x ) =cos x ( cos x )❑=−sin x ❑ 1 ( tan x ) = 2 =1+ tan 2 x cos x 1 ( cot x )❑ =− 2 =− ( 1+cot 2 x ) sin x - Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).    U V  U V  UV  UV  UV . 1 1    2 V V - Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f ' u . U 'x - Đạo hàm cấp cao của hàm số   U  U.V  U.V    V2 V. ( U n ) =n.Un-1. U '. (k.U) k.U. (k là hằng số).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> /. Đạo hàm cấp 2 :. f "(x) =  f(x)'. Đạo hàm cấp n :. f n (x) =  f (x) n-1 . /.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>