Bài giảng Đại số 9 - Tiết 48: Hệ thúc Vi-et, luyện tập

TIẾT 48: HỆ THỨC VI­ET – LUYỆN TẬP
24/4


 I: LÝ THUYẾT HỆ THỨC VI­ET VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi­ét
    a) Định lí Vi­et:
Nếu ax2 + bx + c = 0 (a     0) 
có 2 nghiệm x1 và x2 thì   : 
x1 + x
x1 .x2

2= −

c
=
a

b
a

  

Phrăng­xoa Vi­ét là nhà tốn 
học , luật sư và là nhà chính trị 
gia nổi tiếng của Pháp, ơng đã 
phát hiện ra mối quan hệ giữa 
các nghiệm và các hệ số của 
phương trình bậc hai và nó 
được phát biểu thành định lí 
mang tên ơng.

 I: LÝ THUYẾT HỆ THỨC VI­ET VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi­ét
Dạng 1:  Tính tổng và tích các 
nghiệm (nếu có) của phương trình.
    a) Định lí Vi­et:
Bài 25: Đối với mỗi phương trình 
2
Nếu ax  + bx + c = 0 (a     0) 
sau , kí hiệu x1 và x2 là 2 nghiệm    
có 2 nghiệm x1 và x2 thì   : 
( nếu có). Khơng giải phương 
b
trình, hãy điền vào chỗ trống 
x1 + x 2 = −
a

x1 .x2

c
=
a

  

281>0
a/ 2x2 ­17x+1 = 0       =………..
1
17

x1 + x2 =……         x1 . x2 =…….
2
2
­31<0
c/ 8x  – x +1=0           =………..
2

Khơng có giá trị
x1 + x2 = …….  
 
Khơng có giá trị
x1 . x2 =…….


* Lưu ý : 
Khi tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai khơng 
chứa tham số m ta thực hiện như sau: 
Bước 1: Kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay khơng, bằng cách 
tính       . Hoặc nếu a và c trái dấu thì phương trình ln có nghiệm.
Bước 2: Tính tổng và tích hai nghiệm.
Nếu phương trình có nghiệm thì 

−b
x1 + x2 =
a
c
x1.x2 =
a

Nếu phương trình khơng có nghiệm thì khơng có tổng x1 + x2  và 

tích x1 . x2


Hệ thức Vi­ét và ứng 
dụng
* Nếu x1, x2 là hai
nghiệm của phương
trình ax2 + bx + c = 0
(a 0) thì

x1

b
a

x2

x1 .x2

c
a

Bài tập 30 (SGK)
Tìm giá trị của m để phương trình
có nghiệm, rồi tính tổng và tích các
nghiệm theo m.
b) x2 + 2(m-1)x + m2 = 0.
Giải
b) Để phương trình có nghiệm khi và chỉ
khi ’ 0, tức là:

(m -1)2 – 1.m2 0 m2 - 2m +1 – m2 0

1
-2m -1 m
1
2
thì phương trình có nghiệm.

- 2m + 1
Vậy m

0

2

Do đó, ta có:

−2(m − 1)
x1 + x2 =
= −2(m − 1)
1
m2
2
x1 .x2 =
=m
1


 I: LÝ THUYẾT HỆ THỨC VI­ET VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi­ét

    a) Định lí Vi­et:
Nếu ax2 + bx + c = 0 (a     0) 

VD1. Cho phương trình                          
 2x2 – 5x + 3 = 0

có 2 nghiệm x1 và x2 thì   : 

Ta thấy a+b+c = 2+(­5)+3=0

x1 + x 2 = −
c
a

b
a

  

 => Phương trình có một nghiệm là 
x1=1.

3
Nghiệm cịn lại là x2 = 
2
b) Áp dụng: ( nhẩm nghiệm)
x1 .x2 =

Nếu phương trình: ax2 + bx + c 
VD2. Cho phương trình 3x2 +7x + 4 = 0

= 0 (a     0) có: a + b + c = 0 thì 
c
Ta thấy a­b+c=3­7+4=0 
x1= 1 , x2 = a
Phương trình có một nghiệm x1= ­1. 
Nếu phương trình: ax2 + bx + c 
−4
= 0 (a    0) có: a ­ b + c = 0 thì:  Nghiệm cịn lại là  x  = 
2
−c
3
x1 = ­1, x2 = a


 I: LÝ THUYẾT HỆ THỨC VI­ET VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi­ét
Giải:
    a) Định lí Vi­et:
b) Áp dụng: ( nhẩm nghiệm)
Nếu phương trình:ax2 + bx + c= 0 
  (a           0) có: a + b + c = 0 thì 
c
x1= 1 , x2 = a
Nếu phương trình: ax2+bx+c=0 
(a          0) có: a ­ b + c = 0 thì: 
−c
x1 = ­1, x2 = a

−2
5

Dạng 2:   Nhẩm nghiệm
?4. Tính nhẩm nghiệm của các 
phương trình.
a/ ­5x2 + 3x + 2 = 0  
b/ 2004x2 + 2005x + 1 = 0

−1
2004


Bài 26: sgk/53
Dùng điều kiện a+b+c=0 hoặc a­b+c=0 để tính nhẩm 
nghiệm của mỗi phương trình sau: 
a) 35x2­37x+2=0;                                           b) 7x2+500x­507=0

2
35

−507
7


 I: LÝ THUYẾT HỆ THỨC VI­ET VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi­ét
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích
 Hai số u và v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của 
phương trình:  x2 – Sx + P = 0 ( đk: S2­ 4P       0)
*Áp dụng:
Dạng 3: Tìm 2 số khi biết tổng và tích của 

chúng.
Ví dụ 1: Tìm 2 số khi bi
ết tổng  ?5. Tìm hai số biết tổng của 
của chúng bằng 27, tích của  chúng bằng 1, tích của chúng 
chúng bằng 180.
bằng 5.
Giải:
Hai số cần tìm là nghiệm của 
phương trình: x2 – x + 5 = 0 
 = (­1)2 – 4.1.5 =  ­ 19  < 0
Vậy hai số cần tìm là 15 và 

Vậy khơng có hai số nào có tổng 
bằng 1, tích bằng 5.


 Hai số u và v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của 
phương trình:  x2 – Sx + P = 0 ( đk: S2­ 4P       0)
Bài 28: sgk/53
                    Tìm hai số u, v trong mỗi trường hợp sau:
a) u+v=32; u.v=231;                               c) u+v=2; u.v=9. 
Hai số cần tìm là nghiệm của 
Hai số cần tìm là nghiệm của 
2
phương trình: x2 – 32x + 231 = 0  phương trình: x  – 2x + 9 = 0 
V' = (−16) 2 − 1.231 = 256 − 231 = 25; V' = (−1) 2 − 1.9 = 1 − 9 = −8 < 0
25 = 5;
x1 = 16 + 5 = 21;  x 2 = 16 − 5 = 11
Vậy khơng có hai số nào có tổng 
bằng 2, tích bằng 9.

Vậy hai số cần tìm là 21 và 
11.ụ 2: Tính nhẩm nghiệm của  Bài 27: Tính nhẩm nghiệm của 
Ví d
phương trình x2­5x+6=0.

phương trình: a) x2­7x+12=0

Giải: 

Giải: 

Vì 2+3=5; 2.3=6 nên x1=2; x2=3 là 
hai nghiệm của phương trình đã 
cho.

Vì 4+3=7; 4.3=12 nên x1=4; x2=3 
là hai nghiệm của phương trình 
đã cho.


Hệ thức Vi­ét và ứng 
dụng

Bài tập 32 (SGK)
Tìm hai số u và v, biết:

c) u

v

5, uv

24.

Giải
* Muốn tìm hai số u và v,
biết u + v = S, uv = P, ta Đặt –v = t, ta có: u + t = 5, ut = - 24.
2
x
Sx P 0 Do đó u và t là nghiệm của
giải PT:….………………..
2
phương
trình
x
– 5x – 24 = 0
(Điều kiện để có u và v là
2
= (-5)2 – 4.1.(-24) = 121;
S
4
P
0
……………….)

121

x1

11.

( 5) 11
8 ; x2
2.1

( 5) 11
2.1

3.

Do đó u = 8, t = -3 hoặc u = -3, t = 8.
Vậy u = 8, v = 3 hoặc u = - 3, v = - 8.



HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ HỌC:

* Đối với bài học ở tiết học này:
­ Học thuộc định lí Vi­ét.
­ Nắm vững cách nhẩm nghiệm của phương 
trình 
2
 ­ N              ax
ắm vững cách tìm hai s
 + bx + c = 0 ố biết tổng và tích.
 ­ Làm bài tập : 25b,d; 26c,d; ; 27b; 28b;29, 31, 
32 sgk.
Bài 35, 36, 37, 38, SBT

Hệ thức Vi­ét và ứng 
dụng
Nếu
x
,
x
là
hai nghiệm
•
1
2
của phương trình
ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì
x1

b
a

x2

x1 .x2

c
a

HD
b) 3x2 + 8x + 2.
Ta có:
2

V' = 4 − 3.2 = 16 − 6 = 10; V' = 10;
−4 + 10
−4 − 10
x1 =
;  x 2 =
3
3

Bài tập 33 (SGK)
Chứng tỏ rằng nếu phương
trình ax2 + bx + c = 0 có hai
nghiệm là x1 và x2 thì tam thức
ax2 + bx + c phân tích được
thành nhân tử như sau:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Áp dụng: Phân tích đa thức
thành nhân tử.
a) 2x2 – 5x + 3; b) 3x2 + 8x + 2

−4 − 10
−4 + 10
=> 3x + 8x + 2 = 3(x)(x)
3
3
2


Luật chơi:  Có 3 hộp quà khác nhau, trong mỗi 

hộp  quà  chứa  một  câu  hỏi  và  một  phần  q 

hấp dẫn. Nếu trả lời đúng câu hỏi thì món q 
hiện  ra.  Nếu  trả  lời  sai  câu  hỏi  thì  món  quà 
không hiện ra. 


TRẮC NGHIỆM
Nghiệm của phương trình 5x2 – 15x+10 = 0 là:
A

xx1= ­1; x
= ­2
1= ­1; x22= ­2

Sai

B

xx1= 1; x
= ­2
2
= 1; x
1
2= ­2

Sai

C

x1= 1; x2= 2

Đúng

D

Phương trình vơ nghiệm

Sai


Phần thưởng là một điểm 10


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Chọn câu trả lời đúng  
:
        Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình 
nào:

A

x2 ­ 2x + 5 = 0

Sai

B

x2 ­ 7x + 10 = 0

Đúng

C

x2 + 2x – 5 = 0

Sai

D

x2 + 7x + 10 = 0

Sai


Phần thưởng là một tràng 
pháo tay của cả lớp!


TRẮC NGHIỆM
Tích 2 nghiệm của pt 5x2 – 15x+10 = 0 là:
A
B

xx1. x
= 2
1. x22= 2

Đúng

xx1.x.x2= ­3

1 2= ­3

Sai

C

x1.x2= 3

Sai

D

x1. x2 = ­2

Sai


Phần thưởng là một số hình  ảnh 
để “giải trí”


II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP(Ôn thi vào lớp 10)


Dạng 1:  Tính tổng và tích các nghiệm 
(nếu có) của phương trình.
Bài  tập  .  Khơng  giải  phương  trình,  hãy 
tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của 
các phương trình sau:
     a) 5x  – x – 4 = 0                      

2

∆ = b 2 − 4ac = 52 − 4.5.(−4) = 105 f 0

nên phương trình có 2 nghiệm x1, x2. 
Theo hệ thức Vi­ét ta có:
x1 + x2  =  ­b/a  =  ­(­1)/5 = 1/5  và 
x1 .x2 =  c/a =  ­ 4/5
M ở rộng  : 
Tính giá trị của b.t :  A = 5x1 – 10x1x2 + 5x2  
A = 5(x1 + x2 ) – 10x1x2
Thay hệ thức Viet vào A, ta có :
 A = 5.1/5 – 10.(­4/5) = 13

Dạng 2:   Nhẩm nghiệm

Giải các phương trình sau:
a) 35x2 – 37x + 2 = 0 
Phương trình  có hệ số : 
a + b + c = 35 + (– 37) +2 = 0
c
2
=> x1 = 1    và    x 2 = =
a
35
b)  x2 – 49x – 50 = 0
Phương trình  có hệ số : 
a ­ b + c = 1 ­ (­ 49) + (­50) = 0
=> x  = ­1,    x 2 = 1

c
−50
== 50
a
1


            2. Giải phương trình 
             ­2x2 + 3x – 7 = 0

∆ = b 2 − 4ac = 32 − 4.(−2).(−7) = ­ 47 < 0
=> Phương trình vơ nghiệm

Dạng 2:   Nhẩm nghiệm

1. Giải các phương trình sau:
a) 35x2 – 37x + 2 = 0 
Ta có: a + b + c = 35 + (– 37) +2 = 0
=> x1 = 1,    x 2 =

c
2
=
a 35

b)  x2 – 49x – 50 =0

Ta có: a ­ b + c = 1 ­ (­ 49) + (­50) = 0
=> x1 = ­1,    x 2 = -

c
−50
== 50
a
1

c) x2 + 7x + 12 = 0
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 72 – 4.1.12 = 1 > 0
Theo hệ thức Vi­ét ta có:

−b −7
=
= −7
a
1
=>
c 12
x1.x2 = =
= 12
a
1
=> x1 = ­3, x2 = ­4
x1 + x2 =