tai lieu t6

<span class='text_page_counter'>(1)</span>A/ §ÆT VÊN §Ò Phần i/ lý do chọn đề tài Cïng víi mét sè d¹ng to¸n quan träng cña ch¬ng tr×nh To¸n líp 9 phÇn §¹i sè nh : gi¶i ph¬ng tr×nh, gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, ph¬ng trình bậc hai chứa tham số, … thì các dạng toán liên quan đến căn thức bậc hai, căn thức bậc ba thuộc kiến thức chơng I đại số 9 là một nội dung quan trọng và điển hình, nó chứa đựng nhiều kiến thức tổng hợp. Qua tìm hiểu, nghiên cứu các đề thi toán vào THPT (cả Chuyªn vµ kh«ng Chuyªn) t«i thÊy tØ lÖ c¸c bµi to¸n thuéc kiÕn thøc chơng I Đại số 9 là vào khoảng 20% đề bài. hơn nữa các kiến thức và dạng toán của nó còn đợc áp dụng làm cơ sở, nền tảng cho kiến thức cña c¸c ch¬ng sau, cña c¶ ch¬ng tr×nh to¸n cÊp III. Phần ii/ đối tợng và phạm vi nghiên cứu  §èi tîng : C¸c d¹ng to¸n n©ng cao ch¬ng I §¹i sè 9 vµ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i chóng.  Ph¹m vi nghiªn cøu : Ch¬ng I. §¹i sè 9 3. mức độ giảI toán nâng cao của học sinh khối 9 trêng thcs v©n xu©n. §a sè häc sinh khèi 9 trêng THCS V©n Xu©n lµ con em n«ng d©n cha hoµn toµn cã nhiÒu thêi gian dµnh cho viÖc häc tËp nh÷ng bµi to¸n n©ng cao. H¬n n÷a, khèi 9 n¨m nay gÇn nh kh«ng cã em nµo thùc sự có tố chất về môn Toán kể cả các em trong đội tuyển đi dự thi học sinh giái To¸n còng vÉn cha nhän. MÆt kh¸c cã thÓ thÊy r»ng c¸c d¹ng toán nâng cao thờng tổng hợp rất nhiều kiến thức từ các lớp dới, do đó đòi hỏi học sinh nếu muốn làm đợc thì cần phải kiên trì làm toán khó ngay từ các lớp 6, 7, 8. Có thể nói mức độ giải toán nâng cao của học sinh trêng THCS V©n Xu©n cßn nhiÒu h¹n chÕ. 4. nh÷ng viÖc lµm cña b¶n th©n Để giúp cho đối tợng học sinh khá, giỏi tiếp xúc, làm quen và tiến tới làm đợc một số dạng toán nâng cao chơng I Đại số 9 tôi đã nghiên cứu, đa ra một số kinh nghiệm của bản thân nhằm giúp các em có phơng pháp, kỹ năng tốt để giải toán khó. B) néi dung Trớc hết, ta cùng xem lại các đơn vị bài học có trong chơng này. Chơng I Đại số 9 có tiêu đề là : Căn bậc hai, căn bậc ba. §1. C¨n bËc hai 2. Đ2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A  A §3. Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> §4. Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng §5. B¶ng c¨n bËc hai Đ6. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Đ7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) §8. Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai §9. C¨n bËc ba ¤n tËp ch¬ng I Chóng ta còng yªu cÇu häc sinh ph¶i n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc vµ kü n¨ng sau ®©y : + 7 hằng đẳng thức đáng nhớ ( vận dụng hai chiều) + C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö + Các công thức biến đổi tơng đơng các căn thức Bây giờ ta cùng xây dựng một sơ đồ t duy đơn giản về một số dạng to¸n n©ng cao cho ch¬ng nµy.. *d¹ng to¸n 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh. Yêu cầu : HS cần phải nắm thành thạo các công thức biến đổi tơng đơng và có kỹ năng thực hiện phép tính tốt. Bµi 1. TÝnh 2 2 2 2 1+ ⋅ 1+ ⋅ 1+ ⋅⋅ 1+ 3 4 5 2006 Thi vµo THPT Chuyªn NguyÔn Tr·i, H¶i D¬ng 2006-2007. √ √ √ Híng dÉn: Ta cã. √.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 2 2 2 1+ ⋅ 1+ ⋅ 1+ ⋅⋅ 1+ 3 4 5 2006. √ √ √. √. =. 5 6 7 2008 ⋅ ⋅ ⋅⋅ 3 4 5 2006 = 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅⋅ 2008 3 4 5 2006. √ √ √ √. √(. ). = 2007⋅ 2008 3⋅4 = √ 502⋅669. √. NhËn xÐt: Từ bài toán trên ta có thể khai thác sâu hơn để có đề toán sau: Bµi 1.1 T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt sao cho biÓu thøc T= 1+ 1 ⋅ 1+ 1 ⋅ 1+ 1 ⋅ ⋅ 1+ 1 2 3 4 n cã gi¸ trÞ kh«ng nhá h¬n 2009. 2 (KQ n 2 2009  1 ) Bµi 2. TÝnh. √ √ √. √ 3. 1+ √. √. 84 3 84 + 1− √ 9 9. √. Thi vào THPT Chuyên đại học KHTN, ĐHQG Hà. Néi. NhËn xÐt : ở đây ta không thể dùng các phép biến đổi tơng đơng mà phải sử dông kiÕn thøc quy vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh. Híng dÉn: §Æt x= 3 1+ √ 84 + 3 1− √84. √. th×. 3. x =¿. 9. √ √. 9. 2+3 ⋅ 3 1 −. 84 ⋅x 2 9. 2  x  x 3  x  2 0 ⇔ ( x −1 ) ( x2 + x +2 )=0 2 > 0 víi x + x +2. DÔ thÊy mäi x . nªn x=1 *d¹ng to¸n 2: So s¸nh hai sè. Bµi 3. Sè √ 4+ √7 − √ 4 − √7 − √2 vµ sè 0, sè nµo lín h¬n ? Híng dÉn: §Æt P= √ 4+ √7 − √ 4 − √7 − √2 .P = √ 8+2 √7 − √ 8− 2 √7 −2 = √ 7+1− ( √ 7 −1 ) −2 = 0. Từ đó P = 0. Bµi 4. So s¸nh √ a+9+ √ a vµ √ a+7+ √a+ 1 víi. Thi vô địch CHDC Đức, 1974.. ⇒√2. a>7 Thi HSG líp 9, TØnh Thõa Thiªn HuÕ, 1994. Híng dÉn:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> §Æt. x=¿ √ a+9+ √ a y=¿ √ a+7+ √ a+ 1 , a>7 th× x> 0 , y > 0 vµ x 2 − y 2 =1+ 2. [ √ a ⋅ ( a+ 9 ) − √ ( a+1 ) ( a+7 ) ] Ta CM đợc a . ( a+9 )> ( a+1 ) ( a+7 ) Từ đó x 2> y2 ⇒ x> y ( do x> 0 , y > 0 ) VËy √ a+9+ √ a > √ a+7+ √a+ 1. víi. a>7. .  d¹ng to¸n 3. Rót gän biÓu thøc; Bµi 5. Rót gän biÓu thøc P=. Híng dÉn: §iÒu kiÖn. 2 √ a+ 3 √ b 6 − √ ab − √ ab+2 √ a −3 √ b −6 √ ab+ 2 √ a+ 3 √b+ 6 Thi vµo THPT Chuyªn VÜnh phóc, 2001-2002.. a , b>0 ,a ≠ 9 2 √ a+3 √ b √ ab − 6 P= + ( √ b+2 ) ( √ a −3 ) ( √ b+2 ) ( √ a+3 ) 2 a+ 9 √b +a √ b+18 ¿ ( √ b+ 2 ) ( a− 9 ) ( √ b+2 ) ( a+ 9 ) ¿ ( √ b+ 2 ) ( a −9 ) a+ 9 ¿ a− 9. Bµi 6. Rót gän biÓu thøc : P=. x y x+ y + − √ xy + y √ xy − x √ xy Thi vµo THPT Chuyªn Lam S¬n, Thanh Ho¸, 2001-2002. NhËn xÐt : §©y ch¾c ch¾n lµ mét bµi “kh«ng dÔ” víi nhiÒu HS ( kÓ c¶ HS khá). Phơng pháp đợc dùng ở đây không phải là quy về mẫu thức chung mµ ph¶i dïng lîng liªn hîp cña tõng mÉu. x+ y P=− KQ : x− y ( Víi §K xy >0, √ xy + y ≠0, √ xy − x ≠ 0 ) Bµi 7. Thu gän biÓu thøc A. 7 5  7. 5.  3 2 2 7  2 11 Thi vµo líp 10 THPT chuyªn Tp Hå ChÝ Minh, 2010-2011( ngµy 21/6/2010.). Híng dÉn: ë bµi nµy ta kh«ng nh×n thÊy ngay sù liªn hÖ nµo gi÷a c¸c thµnh phÇn trong biểu thức A. Có thể vấn đề ở ta đặt. 7 5  7. 5. ?.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x  7 5  7. 5 thì x  0..  7  5  7  5 .  x 2 14  2.  x 2 14  2 44  x 2 14  4 11  x  14  4 11. Từ đó A. . . 7 5  7. 5. 14  4 11 7  2 11. . . 14  4 11  7  2 11.  2 1. 3 2 2. . 7  2 11. . 21 2 1. 2 1. *d¹ng to¸n 4. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. Bµi 8. Cho M =x 4 −2 x 3+3 x 2 − 2 x +2 TÝnh gi¸ trÞ cña M biÕt r»ng. 2. x − x= √2 −1 Thi HSG To¸n 9, huyÖn vÜnh Têng, 2004-2005. Híng dÉn: Phơng pháp tính trực tiếp xem x băng bao nhiêu sau đó thay vào biểu thøc M trong trêng hîp nµy lµ kh«ng hîp lý ! Ta cã : x 2 − x= √2 −1  x2  x 1  2 2 2 ⇒ ( x − x+1 ) =2 4 3 2 ⇒ x −2 x +3 x − 2 x +1=2. Từ đó M =3 Bµi 9. Cho 1 12  135 3 12  135  x  1 3   3 3 3  . Kh«ng dïng m¸y tÝnh cÇm tay, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2. M  9 x3  9 x 2  3 Thi vµo Líp 10 THPT Chuyªn NguyÔn Tr·i, H¶i D¬ng, 2010-2011 (ngµy 08 th¸ng 7 n¨m 2010.). . . Híng dÉn: ở bài này chúng ta cần sử dụng khéo léo các hằng đẳng thức và các kỹ thuật biến đổi. Tõ gi¶ thiÕt, suy ra.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3x  1  3. 12  135 3 12  135  3 3. Sử dụng hằng đẳng thức.  a  b. 3. a3  b3  3ab  a  b . Ta đợc   3x  1  3 12  3 135  3 12  3 135  3.    . 3. 12 3 12  135 12  135  3 12  135 3 12  135  2  3    3 3 3  3 3    144  135  3 x  1 9 8  3  3 x  1 8  3 3. Hay. 9 x  5 27 x 3  27 x 2  9 x  1 9 x  5  27 x 3  27 x 2  6 0  9 x 3  9 x 2  2 0. Suy ra M  9 x3  9 x2  3. . . 2.  9 x 3  9 x 2  2  1  . . .  0  1 1. 2. 2. Bµi 10. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. A  x 31  x 3  x 2010. . . 2009. Víi x. . 3 2 5. . 3. 17 5  38. 5  14  6 5 Thi HSG Tp Hµ Néi, 2009-2010( ngµy 31 th¸ng 3 n¨m 2010.). Híng dÉn ë bµi nµy cã ®iÒu thó vÞ lµ ngêi ta lÊy ngµy thi (31-3-2010) lµ c¸c sè mò trong biÓu thøc cÇn tÝnh to¸n. Híng gi¶i ë ®©y lµ ta tÝnh trùc tiÕp x xem nó có giá trị bằng bao nhiêu, sau đó thay vào biểu thức cần tính . Ta cã. . 3.   5. 5 2 . 3.  . 2.  3  5 2  3  5 22  23. = 5 5  6 5  12 5  8 17 5  38.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Từ đó x. . 3 2 5. . 3. 17 5  38. 5  14  6 5.  .   5  2 5   3 5 3  2  5  5  2   3 2 5. 3. 2. 5 3. . Thay. x 1. 3 5 2. . 1. 3. 2. 5. . 3. vào biểu thức A, ta đợc A  x 31  x 3  x 2010. . . 2009.  131  13  12010. .  1  1  1. . 2009. 2009. 12009 1. * d¹ng to¸n 5. Gi¶i ph¬ng tr×nh Cã thÓ nãi trong c¸c kú thi HSG, thi vµo THPT chuyªn th× d¹ng toán giải phơng trình thờng xuyên có mặt, thậm chí trong các đề thi vµo §¹i häc còng thÊy nã kh«ng Ýt. D¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh chøa đựng những kỹ năng rất cần thiết cho học sinh trong việc học toán. Ta cïng xÐt mét vµi vÝ dô sau Bµi 11. Gi¶i ph¬ng tr×nh 1  x  y  z 2 Thi vµo líp 10 chuyªn Tin, THPT chuyªn Lam S¬n - Thanh Hãa, 2009 - 2010 ( Ngµy 19 th¸ng 6 n¨m 2009 ) x  2  y  2009  z  2010 . Híng dÉn §iÒu kiÖn: Ta cã. x 2; y  2009; z 2010..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> x  2  y  2009  z  2010 .   x  y  z  2  x  y  z 2. 1  x  y  z 2.  z  2010  0. x  2  y  2009  z  2010 x  2  y  2009 .    x  2   2 x  2  1    y  2009   2 y  2009  1    z  2010   2 z  2010  1 0      . . 2. 2.        x  2  1 0  x  2  1 0      y  2009  1 0   y  2009  1 0    z  2010  1  z  2010  1 0    . x 2 1 . y  2009  1 . 2. z  2010  1 0. 2. 2. 2.  x  2 1    y  2009 1    z  2010 1.  x  2 1   y  2009 1   z  2010 1 .  x 3 (thoûa maõn ñieàu kieän)   y  2008 (thoûa maõn ñieàu kieän) z 2011 (thoûa maõn ñieàu kieän) . Kết luận: Phơng trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất.  x; y; z   3;.  2008; 2011. NhËn xÐt: Bµi to¸n nµy ¸p dông tÝnh chÊt A 2 0 với mọi A. Từ đó, nếu một tổng các bình phơng bằng 0 thì mỗi bình phơng phải b»ng 0. Bµi 12. Gi¶i ph¬ng tr×nh x  7  9  x x 2  16 x  66 Thi HSG To¸n 9 huyÖn VÜnh Têng, 2010-2011. Híng dÉn : Ta dùng tính chất bất đẳng thức : NÕu  A  x  c với mọi x thuộc tập xác định của A  x    B  x  c với mọi x thuộc tập xác định của B  x   c là một số thực. Khi đó phơng trình A  x  = B  x  coù nghieäm khi vaø chæ khi A  x  B  x  c. Trë l¹i bµi to¸n, ta cã §Æt.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> A x  x  7  9  x. §KX§ : 7 x 9 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có A  x   x  7  9  x 1  x  7  1 9  x    12  12   . . x 7. 2.  . 2  9  x   2  x  7  9  x   2 2 2 . . VËy A  x  2  1. §Æt B  x  x 2  16 x  66  x 2  16 x  64  2. . . 2.  x  8  2 2 với mọi x. VËy B  x  2.  2. Từ (1) và (2) suy ra phơng trình đã cho chỉ có nghiệm khi và chỉ khi  A  x  B  x  2   x 7 9 x   x 8  thoûa maõn ñk   1  1  x  8  2 0  đã cho có một nghiệm duy nhất x 8. VËy ph¬ng tr×nh Nhận xét: ở bài tập 11 và bài tập 12 ta đã dùng tính chất của bất đẳng thức để giải phơng trình ( mức độ trung bình). Bây giờ ta sẽ xét một vài phơng trình giải bằng cách đặt ẩn phụ kết hợp đa về phơng trình tÝch, sö dông l¬ng liªn hîp, … Bµi 13. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 x  1  3 4 x 2  2 x  1 3  8 x 3  1 Thi vµo líp 10 THPT chuyªn §HKHTN-§HQGHN, 2010-2011, vßng I. Híng dÉn: Vì hai vế của phơng trình đều dơng nên ta có thể nghĩ đến bình phơng hai vế nhng đó chắc chắn không phải là cách giải tối u. 8 x 3  1  2 x  1 4 x 2  2 x  1. NhËn thÊy §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ:. . . 2 x  1 0  x . §Æt. 1 2. A  2 x  1; B  4 x 2  2 x  1 với điều kiện A 0, B  0. Khi đó phơng trình đã cho tơng đơng với. A  3B 3  AB. Ta cã.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> A  3B 3  AB  AB  3  A  3B 0   AB  A    3B  3  0  A  B  1  3  B  1 0   B  1  A  3 0  B  1 0    A  3 0.  1 .  B 1   A 3.  1  2. 4 x 2  2 x  1 1  4 x 2  2 x  1 1  4 x 2  2 x 0  2 x 0  2 x  2 x  1 0    2 x  1  0 .  2 .  x 0 (thoûa maõn ñk)   x  1 (thoûa maõn ñk)  2. 2 x  1 3  2 x  1 9  2 x 8  x 4 ( thoûa maõn ñk ). Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm 1 x1 0, x2  , x3 4. 2. Bµi 14. Gi¶i ph¬ng tr×nh. . x 3 . Híng dÉn ë bµi nµy ta còng nhËn thÊy. . . x 1  x 2  3 x 3. Thi vµo líp 10 THPT chuyªn tØnh Hµ TÜnh, 2010-2011.. x 2  3x .  x  3 x . x 3 x. Do vậy, nếu ta đặt nh ở bài 13 thì ta có.  A  B   1  AB  3 Nhng mµ khi chóng ta khai triÓn ra th× ta kh«ng t×m thÊy híng ®i kh¶ quan nµo c¶, vËy c¸ch gi¶i nh bµi 13 cã vÎ kh«ng hîp lý? Ta nhËn thÊy 2. . 2.   x  . 3  x  3  x . x 3 . x 3 . x. . x 3  x. . Do đó ta có hớng giải nh sau §KX§ cña ph¬ng tr×nh : x 0 Ta cã. . x 3 . . . . x 1  x 2  3 x 3   . Do x  3  x với mọi x nªn Nên từ (1) ta đợc. . x 3  x 3 . . x 3  x 3 .  x   1  x  3 x   x  3    x  x   1  x  3 x   x  3  x  x  3  x  . x 1  x 2  3 x  x  3  x 2. 2. x 0. 2. 2. (1).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1  x 2  3x  x  3  x (2). Bây giờ nếu ta dùng cách giải nh bài 13 thì đúng hớng rồi!.  1  AB A  B  AB  1  A  B 0   A  1  B  1 0  Phần lời giải còn lại xin đợc không đa ra nữa, kết quả phơng trình đã x 1 . cho ( bµi 14) cã 1 nghiÖm duy nhÊt * Dạng toán 6. Chứng minh bất đẳng thức Trong mục này tôi chỉ đa ra một số bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng kiến thức chơng I Đại số 9 và một số bất đẳng thức đơn giản kh¸c Bµi 15. Cho a, b  0 lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n a  b 1 . Chøng minh r»ng a  3 b a 2  b3  2010 2011. Híng dÉn Tõ gi¶i thiÕt suy ra. 0  a, b  1 a  a2. Víi 0  a  1 ta chøng minh ThËt vËy, a  a2 . a  a2  0  . 0  b 1. Víi ThËt vËy,. 3. ta chøng minh.  1.   a  1  a  1 . a 1 a a  0. . a  a  0. Đúng. b  b3  2 . từ 0  b  1 ta có b8  18 hay b8  1  1  b8  0. 3. Tõ. Tõ. b  b3 . 3.   b  3. b. 3. 3.  b  b9  b  b9  0  b 1  b8  0 Đúng!.  1 suy ra a a2 a2   2010 2010 2011.  3. b b3 b3   2010 2010 2011.  4.  2  suy ra 3. Tõ. .  3. vaø  4 . cộng hai vế cùng chiều, ta đợc a  3 b a 2  b3  2010 2011. Bµi 16. Chøng minh r»ng. (®pcm). .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1 1 1 1 88    ...   2 3 2 4 3 2010 2009 45 Thi vµo líp 10 chuyªn To¸n, Tin THPT chuyªn Th¸i B×nh, 2009-2010. Híng dÉn Tríc hÕt ta chøng minh víi k lµ sè nguyªn d¬ng bÊt kú th× 1.  k  1.  1  2  k  k.  k  1  k   k 1 k. k 1 . k. . k 1 . 1.   k 1 . ThËt vËy, ta cã 1.  k  1. k. . . .  k 1. . k 1  k k. . k 2 k 1. k 1. . 2. . 2 . . k. k 1 . k. k 1  k.  2 . 1.  k. . 1.   k 1 . Từ đó  1 1 1   2  2 2 1  1  1 1  2  3 2  2  1 1  2  4 3  3 .... 1   ; 2 1   ; 3 1   ; 4. 1.  1  2  2010 2009  2009. 1.  . 2010 . Cộng cùng chiều các bất đẳng thức trên ta đợc 1 1 1 1    ...  2 3 2 4 3 2010 2009  1  1 1 1 1 1 1 1  1   2       ...    2  1   2 2 3 3 4 2009 2010  2010   1    1  1  88  2 1  ñpcm   2  1   45 45 2025     x , y 17. Gi¶ sö , z lµ nh÷ng sè d¬ng tháa m·n ®iÒu kiÖn x  y  z 1 .. Bµi Chøng minh r»ng. xy  z  2 x 2  2 y 2. 1 1  xy Thi vµo líp 10 THPT chuyªn §HKHTN-§HQG Hµ Néi, 2010-2011(vßng 2). Híng dÉn : Trong bất đẳng thức cần chứng minh, ta thấy h¬n c¶, v×. 2 x 2  2 y2. lµ quen thuéc.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 2 x 2  y 2  x  y . . . 2. x , y.  1. ThËt vËy, 2. 2 x 2  y 2  x  y   2 x 2  2 y 2  x 2  2 xy  y 2. . .  x 2  y 2 2 xy  x 2  y 2  2 xy 0 2.   x  y  0 Đúng!. Tõ (1) ta cã 2 x 2  2y2  2 x 2  y2 . .  x  y. . 2. x  y.  x, y  0 . Từ đó xy  z  2 x 2  2 y 2 1  xy. xy  z  x  y. . 1  xy.  *. Ta sÏ chøng minh xy  z  x  y 1  xy. 1.  **. ThËy vËy.  ** . xy  z  x  y 1  xy. . xy  z  x  y  x  y  z  xy. . xy  z z  xy . . xy  z. 2.  .  z  xy. . 2.  xy  z z 2  2z xy  xy.  z z2  2 z xy  1 z  2 xy.  z  0.  x  y  z z  2 xy  x  y 2 xy  x  y  2 xy 0 . . x. y. . 2. 0. Đúng!. Từ (*) và (**) ta có bất đẳng thức đã cho đợc chứng minh. Một dạng toán rất gần với chứng minh bất đẳng thức là tìm cực trị, chóng ta cïng xÐt mét vÝ dô. Bµi 18. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P. x 1 x. . y 1 y. Víi c¸c sè d¬ng x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn. x  y 1 Thi GVG TØnh Hµ TÜnh, 2009-2010. Ta sÏ ®a ra 2 c¸ch gi¶i cho bµi to¸n nµy *Híng gi¶i 1: Thiªn vÒ khai th¸c gi¶ thiÕt, kÕt hîp sö dông mét sè bÊt đẳng thức cơ bản, nhng mấu chốt là ý “đặt ẩn phụ” 1  x y; 1  y x , khi đó Tõ gi¶ thiÕt cã thÓ thÊy.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> P. x 1 x. . y 1 y. x. . y. . y x. B©y giê ta khai th¸c gi¶ thiÕt. x  y 1 .. Ta cã. x  y 1 x  1 y  12  12. .   x  y . 2.1  2.  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, x  y 1 L¹i cã x y y x. x.  y 2. y.  x 2. y x.  y 2 x  x 2 y.  Áp dụng bất đẳng thức Cô  si cho hai số dương  x. P. 1 x. . y 1 y.  x y. Từ đó suy ra Nhng mµ theo lý luËn trªn ta l¹i cã x y 2. Kh«ng cïng chiÒu! B©y giê ta thö ®i theo mét híng kh¸c - §Æt Èn phô . §Æt 1  Khi đó. x u;. 1  y v.. víi ®iÒu kiÖn. 0  u, v  1.. 1  x u2  x 1  u2 ; 1  y v2  y 1  v 2 .. VËy 1  u2 1  v2 P  u v 1 1   u  v u v  1 1      u  v  u v. L¹i cã u  v  1 x  1 y 1. 1  x  1. 1  y  12  12  1  x  1  y   2  2   x  y    2  2  1  2. . . Mặt khác ta chứng minh đợc 1 1 4   u v uv. Từ đó. víi mäi.  1 1 4 P      u  v    uv u v. 2. 4 2. u, v  0 . . 2 2 2 . 2 2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ. 2. đạt đợc khi. u v   x y 1 y 1  1 x    x y   1 2  x  y 1  1 x  y  1  . *Híng gi¶i 2: Sö dông ph¬ng ph¸p “®iÓm r¬i” trong chøng minh bÊt đẳng thức Dự đoán P đạt giá trị nhỏ nhất khi  x y 1  x y   2  x  y 1. Khi đó 1  x 1  y . 1 2. Ta cã P. x 1 x. . y 1 y. x. . 1 2. y.. 1 2.  1  1  x  . 2  1  y  . 21     1  x y     2 1 1 1 x .    1 x . 2 2            x 1 x y 1  2x 2y  y          2 2  1 x  1 1 y  1  2 3 x 3 y  3  x 3     2 2 2 2  2 2   2 2. §Æt Q. Th×. x 3  x 2. . y 3  y 2.    y  .

<span class='text_page_counter'>(16)</span>      x   y  Q   1    1  2  3  x   3  y  2  2  3 3  2  2 2 3 3  x  y 2 2   3 1 1      2 3 2 3  y    x 2 2  3 4 3 4 3 4    2   2   2 1 3 2 3 2 3   x  y 2 3 1  x  y 2 2 P  2.Q  2.1  2 Từ đó *Mét sè d¹ng to¸n kh¸c Bµi 19. T×m tËp hîp c¸c sè h÷u tû x sao cho √ x2 +9 lµ mét sè h÷u tû. Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Hải Dơng, 2005-2006.. Híng dÉn: §Æt √ x2 +9 ¿ x+t víi Suy ra x 2+ 9=( x +t )2 ⇒ x=. t ∈Q. ,. t≠0. 9 −t 2 2t. VËy tËp hîp c¸c sè h÷u tû x cÇn t×m lµ. {. 9 −t 2 , t ∈ Q, t ≠ 0 2t. Nhận xét: Cách đặt Bµi tËp t¬ng tù. }. x 2  9 x  t. lµ mét sù kh«n ngoan !. Bµi 19.1 T×m tËp hîp c¸c sè h÷u tû x sao cho sè h÷u tû. Híng dÉn: 2. §Æt x Khi đó.  2010 x  2011  x  1005  t víi t  Q, t 0. x 2  2010 x  2011. ..  2011  10052  t 2   1005, t  Q, t 0   2t  . lµ mét.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> x 2  2010 x  2011  x  1005  t  x 2  2010 x  2011  x  1005  t . 2. 2.  x 2  2010 x  2011  x  1005  2  x  1005 t  t 2  x 2  2010 x  2011  x 2  2010 x  10052  2  x  1005  t  t 2  2011 10052  2  x  1005 t  t 2  2  x  1005 t 2011  10052  t 2  x  1005 . 2011  10052  t 2 2t 2. 2011  10052  t 2  2010t 2011   t  1005  2011  10052  t 2  x  1005   2t 2t 2t 2  2011   t  1005    , t  Q, t 0   2t   VËy tËp hîp c¸c sè h÷u tû x cÇn t×m lµ . . x. . 2011 2010. DÔ thÊy cho t 1005 th× là một giá trị thỏa mãn yêu cầu của đề bµi ( dÔ dµng kiÓm tra!) Tõ c¸ch gi¶i 2 phÇn trªn ta cã thÓ x©y dùng bµi to¸n tæng qu¸t h¬n 2. Bµi 19.2 T×m tËp hîp c¸c sè h÷u tû x sao cho x  mx  n lµ mét sè h÷u tỷ, trong đó m, n là các số hữu tỷ cho trớc. Bµi 20. Chøng minh r»ng : Sè x 0= 3√5 −1 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3 x2 −5 x − 2=0 . √ √5 −2 Thi HSG To¸n 9, tØnh Yªn b¸i, 2008-2009. Híng dÉn: DÔ thÊy nÕu ta thay trùc tiÕp sè x 0= 3√5 −1 vµo ph¬ng tr×nh th× sÏ gÆp √ √5 −2 khó khăn, vậy tại sao không thử tìm cách biến đổi tơng đơng nó? x0 . 5 1 3. 5 2.   x0 . 3.      . 51   5  2 . 3. . . 5 1. 3. 3. 5 2 8 5  16 5 2 8. . . 5 2. . 5 2. 8 23. Suy ra x0 2 thay. x0 2. vµo ph¬ng tr×nh. 2. 3 x −5 x − 2=0. . Ta đợc.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 3 22  5 2  2 0  12  10  2 0  0 0. Đúng!. VËy ta cã ®pcm. c) kÕt luËn Cµng ®i s©u t×m hiÓu c¸c bµi to¸n thi chóng ta thÊy c¸c d¹ng toán nâng cao Chơng I .Đại số 9 càng đợc khai thác ở nhiều khía cạnh và rất đáng chú ý. Nó có thể tích hợp với nhiều dạng toán khác tạo nên nh÷ng bµi to¸n hay. Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi về vấn đề Hớng dẫn học sinh một số dạng toán nâng cao chơng I Đại số 9. Rất mong đợc các đồng chí đồng nghiệp tham gia góp ý. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n..

<span class='text_page_counter'>(19)</span>