De HSG Toan 8 dap an 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề thi HSG huyện năm học 2011 – 2012 M«n to¸n líp 8. Thêi gian: 120 phót. phßng gD- ®t Y£N THÕ trờng thcs đồng lạc m· §Ò: 001. 3. 3. 3. Bµi 1: 1) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a  b  c  3abc 3 2 2) Cho a  3ab 5 vµ. Bµi 2: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh:. b3  3a2b 10 . TÝnh S = a2  b2. x 8  2x 4  x 2  2x  2 0. 2) Cã tån t¹i hay kh«ng sè nguyªn d¬ng n sao cho. n6  26n 212011. 23  1 3 3  1 20113  1  3 ...  3 20113  1 Bµi 3: Rót gän biÓu thøc A = 2  1 3  1 Bµi 4: Cho ABC vu«ng t¹i A, cã AB < AC. KÎ ph©n gi¸c AD. Gäi M vµ N lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn AB vµ AC. BN c¾t CM t¹i K, AK c¾t DM t¹i I, BN c¾t DM t¹i E, CM c¾t DN t¹i F. 1) Chøng minh r»ng EF // BC 2) Chøng minh r»ng K lµ trùc t©m cña AEF  3) TÝnh sè ®o cña BID Bµi 5: Cho a, b, c, d, e > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c + d + e = 4.. P.  a  b  c  d  a  b  c   a  b . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. abcde. Lu ý: Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào ----- HÕt -----. đáp án đề thi HSG huyện lớp 8 M«n to¸n Thêi gian: 120 phót. phßng gD- ®t Y£N THÕ trờng thcs đồng lạc m· §Ò: 001 Bµi 1: (5 ®iÓm) 3. 1) (3 ®iÓm). 3 a3  b 3  c 3  3abc =  a  b   3ab  a  b   c  3abc. (1 ®).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> =.  a  b  c    a  b . =.  a  b  c  a. 2. 2.  c  a  b   c 2   3ab  a  b  c  . 2. 2.  b  c  ab  bc  ac. 3 2 Ta cã a  3ab 5 . 2) (2 ®iÓm). b. 3 2 vµ b  3a b 10  6. Suy ra 125 = Bµi 2: (5 ®iÓm) 8. 4. a 3. 3.  3ab2. . . 2. . 4 2. . 4. 1) (3 ®iÓm) x  2x  x  2x  2 0  x  2x  1  x V×.  x  1. 0.  x  1. ;. 2. (0,5 ®). 6 2 4 4 2  b  6a b  9a b 100 2. a  b  3a b  3a b  a  b. 8. 2. 6 4 2 2 4  a  6a b  9a b 25. 2. 2 4. 2. 4. (1 ®). 25.  3a2b 100. 6. (1 ®). 2. 2. . (0,5 ®). 3 2 2 . Do đó S = a  b = 5 2.  2x  1 0   x  1   x  1 4. (1 ®) 2. 0. 0. (1,5 ®). (0,5 ®) 4.  x  1 0  Nên phơng trình tơng đơng  x  1 0  x = 1 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1 6 n 2011 2) (2 ®iÓm). Gi¶ sö tån t¹i n  N* sao cho n  26 21 . Ta cã 26n cã tËn cïng lµ 6 vµ 212011 cã tËn cïng lµ 1. Vậy n6 có tận cùng phải là 5, do đó n có tận cùng là 5..  . 6.  . (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®). 402. ...5  26...5  215 .21 6 n 2011 Khi đó n  26 21 có dạng ...25  ...76  ...01 .21   ...01 ...21 , v« lÝ VËy kh«ng tån t¹i sè nguyªn d¬ng n tháa m·n bµi to¸n. (0,5 ®).  . (0,5 ®) (0,5 ®). Bµi 3: (2 ®iÓm). NhËn xÐt r»ng mçi sè h¹ng cña tæng cã d¹ng 2 2   k 3  1  k  1 k  k  1  k  1   k  1   k  1  1   k 3  1  k  1 k 2  k  1  k  1 k 2  k  1.  . Ta cã.  .  . .       1.2...2010. 3  3  1 4 S 3.4...2012  2  2  1 3 =  2012  2011 2. . víi k = 2, 3, …, 2011 2010. 2012  2012  1. 2. (1 ®).      4  1 ...  2012  2012  1  3  1 ...  2011  2011  1 2. 1. 3  3  1 2. 4  4  1 S . ... 3 22  2  1 4 3 2  3  1 2012 20112  2011  1 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. = 3.1006.2011 Bµi 4: (6 ®iÓm). VÏ h×nh kh«ng chÝnh x¸c kh«ng cho ®iÓm c¶ bµi. (1 ®). 1) (2 đ). Chứng minh đợc tứ giác AMDN lµ h×nh vu«ng (0,5 ®) MF BD BM BM ME     FC DC MA DN ED (1®) MF ME  hay FC ED  EF // DC hay EF // BC (0,5 ®). A. 2) (2 đ). Theo định lí Thales ta có AN DN NC NF NF     AB AB AC AM AN. (0,5 ®) M K. B. E. I. N. F.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> D AN NF  0   hay AB AN vµ BAN ANF 90    NAF  ABN  NAF NBA  AF  BN. LËp luËn t¬ng tù cã AE  CM. VËy K lµ trùc t©m cña AEF 3) (2 ®). K lµ trùc t©m cña AEF  AK  EF mµ EF // BC  AK  BC KÕt hîp víi DM  AB  I lµ trùc t©m cña ABD. 0 0 0 0   VËy BID 180  BAD 180  45 135. C. (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (1 ®). Bµi 5: (2 ®iÓm). x  y Ta cã . 2. 2. 0  x 2  2xy  y 2 4xy   x  y  4xy 2. . DÊu “=” x¶y ra khi x = y. (0,5 ®). x  y  4xy ¸p dông liªn tiÕp B§T  ta cã 2 2 4 = (a + b + c + d + e)  4(a + b + c + d)e (1) (a + b + c + d)2  4(a + b + c)d (2) (a + b + c)2  4(a + b)c (3) (a + b)2  4ab (4) Do a, b, c, d, e > 0 nên các vế của các BĐT trên đều dơng. Nhân từng vế của chúng và rút gọn ta đợc 16(a + b + c + d)(a + b + c)(a + b)  256abcde  a  b  c  d  a  b  c   a  b  16 P abcde  . (1 ®) 1  a  b  c  d  e 4 a b   a  b  c  d e 4   1   c  a  b  c d 2 a  b c   d 1 a b e 2  DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 1 1 Vậy GTNN của P bằng 16 đạt đợc khi a = b = 4 ; c = 2 ; d = 1 và e = 2 (0,5 ®). Lu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa -------HÕt -----.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>