Tải bản đầy đủ (.pdf) (62 trang)

Một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.05 MB, 62 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ THỊ NĂM

MỘT SỐ BÀI TỐN
VỀ ĐƯỜNG TRỊN TIẾP XÚC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ THỊ NĂM

MỘT SỐ BÀI TỐN
VỀ ĐƯỜNG TRỊN TIẾP XÚC
Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Nguyễn Việt Hải


THÁI NGUYÊN - 2018




❉❛♥❤ ♠ö❝ ❤➻♥❤
✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸
✶✳✹
✶✳✺
✶✳✻
✶✳✼
✶✳✽
✶✳✾
✶✳✶✵
✶✳✶✶
✶✳✶✷
✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸
✷✳✹
✷✳✺
✷✳✻
✷✳✼
✷✳✽
✷✳✾
✷✳✶✵
✸✳✶
✸✳✷

✸✳✸

❇➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇ê s✉♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➙♠ I ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❛✮ P Q ✤✐ q✉❛ I ❀ ❜✮ P Q ✤✐ q✉❛ IC ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❝✮ P Q ✤✐ q✉❛ IA❀ ❞✮ P Q ✤✐ q✉❛ IB ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
trữớ ủ ừ ỵ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ứ t t ỵ r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ r ố ợ ữớ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
■▼❖ ✷✵✶✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚ê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ trá♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❧ỵ♥ ♥❤➜t
◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲í✐ ❣✐↔✐ ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲í✐ ❣✐↔✐ ✤↕✐ sè✲❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❙❝❤❡❧❧❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❑❤✐ R = 12 ❀ a = sin α, b = sin β, c = sin γ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
P❤➨♣ ❞ü♥❣ ♣❤ö ✶ ✈➔ ♣❤➨♣ ❞ü♥❣ ♣❤ö ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
P❤➨♣ ❞ü♥❣ ❜➡♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦●❡❜r❛✱ ♥➠♠ ✷✵✶✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ❇ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❛r❜❡❧♦s ✲ ❤➻♥❤ ✧❝♦♥ ❞❛♦ t❤ñ ✤è♥❣ ❣✐➛②✧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✣÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❛r❜❡❧♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ tự t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳






✶✵
✶✶
✶✷
✶✸
✶✹
✶✻
✶✼
✶✽
✷✵
✷✶
✷✹
✷✺
✷✻
✷✽
✷✾
✸✵
✸✷
✸✸
✸✾
✹✶
✹✷


✐✐

✸✳✹
✸✳✺
✸✳✻

✸✳✼
✸✳✽
✸✳✾
✸✳✶✵
✸✳✶✶
✸✳✶✷

❇❛ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❛r❜❡❧♦s ❆❇❈ ✳
❈→❝❤ ❞ü♥❣ t❤ù t÷ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✳ ✳
ữớ trỏ rs tự t tự
ỵ ❇❛♥❦♦❢❢ t❤ù ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ❜❛ ✈➔ t❤ù t÷ ✳
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ♥➠♠ ✈➔ t❤ù s→✉
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ❜↔②✱ t❤ù t→♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ❝❤➼♥ ✈➔ ❝➦♣ t❤ù ♠÷í✐ ✳ ✳ ✳
❈➦♣ t❤ù ♠÷í✐ ♠ët ✈➔ ❝➦♣ t❤ù ♠÷í✐ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳































































✹✸
✹✺
✹✻
✹✼
✹✽
✹✾
✺✵
✺✶
✺✷


✐✐✐


▼ư❝ ❧ư❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ð ✤➛✉
✶ ❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤

✶✳✶ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥
❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❝❤ù♥❣ ỵ t
ứ ỵ t ỵ r
ử ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❇➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐

✷✳✶ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✶ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✷ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ✤↕✐ sè✲❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❙❝❤❡❧❧❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❦✐➸✉ ▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳✶ ❍❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❝❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➔ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣
✷✳✹✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸ ✣÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❛r❜❡❧♦s












✈✐






✶✷
✶✹
✶✼

✷✵
✷✵
✷✷
✷✹
✷✹
✷✻
✸✶
✸✶
✸✹
✸✼


✸✽

✸✳✶ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽


✐✈

✸✳✷ ✣÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❛r❜❡❧♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷✳✶ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❆r❜❡❧♦s ✳ ✳
✸✳✷✳✷ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❛r❜❡❧♦s ❆❇❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸ ❈→❝ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s tr♦♥❣ ❛r❜❡❧♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸✳✶ ❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ♥❤➜t ✈➔ t❤ù ❤❛✐ ✳ ✳
✸✳✸✳✷ ❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ❜❛ ✈➔ t❤ù t÷ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸✳✸ ❈→❝ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ♥➠♠ ✈➔ t❤ù s→✉
✸✳✸✳✹ ❈→❝ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ❜↔② ✈➔ t❤ù t→♠
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✵
✹✵
✹✹
✹✺
✹✺
✹✽
✹✾
✺✵
✺✹






stt ỵ
O9
a
(ABC)
(O)
(OA, rA)
✻ [ABC]
✼ (P Q)
✽ O(r)
✾ t = a ab
+b
✶✵ (Wk ), (Wk )
(CXY )

ở ỵ
ữớ trỏ ❊✉❧❡r
❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ tr♦♥❣ A
✣÷í♥❣ trá♥ ✤✐ q✉❛ ✸ ✤✐➸♠ A, B, C
✣÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O
❚➙♠✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ▼❛❧❢❛tt✐ tr♦♥❣ A
❍➻♥❤ ❛r❜❡❧♦s
◆û❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ P Q
✣÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ r
❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s
✣÷í♥❣ trá♥ ❇❛♥❦♦❢❢ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❛r❜❡❧♦s




✶✶
✶✼
✷✹
✷✷
✸✽
✸✽
✹✺
✹✻
✹✼


✈✐

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♠ët ❝→❝❤ tổ ổ
ữủ sỹ ữợ ú ✤ï ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❝õ❛ P●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱✐➺t ❍↔✐✱
●✐↔♥❣ ✈✐➯♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❍↔✐ P❤á♥❣✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❜➔②
tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ t❤➛② ✈➔ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ tr✐ ➙♥ ♥❤➜t ❝õ❛ tỉ✐ ✤è✐ ✈ỵ✐
♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ t❤➛② ✤➣ ❞➔♥❤ ❝❤♦ tỉ✐✳
❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ỏ t qỵ t
ổ ợ ❈❛♦ ❤å❝ ❑✶✵❇ ✭✷✵✶✻ ✲ ✷✵✶✽✮ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❦❤♦❛ ❍å❝
✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ỳ tự qỵ
ụ ữ t tỉ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝✳
❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ t t tợ ỳ
ữớ ❧✉ỉ♥ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❤é trđ ✈➔ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt
q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❳✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦
❍↔✐ P❤á♥❣✱ t❤→♥❣ ✶✵ ♥➠♠ ✷✵✶✽
◆❣÷í✐ ✈✐➳t ▲✉➟♥ ✈➠♥


❱ơ ❚❤à ◆➠♠




▼ð ✤➛✉
✶✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥
❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ✤÷í♥❣ trá♥ ❧✉ỉ♥ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ♥❤➔
t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠✳ ◆❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ sü t ú ừ ữớ trỏ
ợ t t✉ê✐ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❤÷ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t✱ ❜➔✐ t♦→♥
❋❡✉❡r❜❛❝❤✱ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐✱ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ✤÷í♥❣ trá♥ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝
❛r❜❡❧♦s ✭✧❤➻♥❤ ❝♦♥ ❞❛♦ ❝õ❛ t❤ñ ✤â♥❣ ❣✐➛②✧✮ ✳✳✳❙ü ❞➝♥ ❞➢t tø ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②
s❛♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ❝ị♥❣ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ✤➣ ♠❛♥❣ ❧↕✐ ♥❤✐➲✉ ❦➳t
q✉↔ t✉②➺t ✈í✐ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❊✉❝❧✐❞❡✳ ✣➸ ❤✐➸✉ ❜✐➳t t❤➯♠ ✈➲ ❝→❝ ❝→❝ ✤÷í♥❣
trá♥ t✐➳♣ ①ó❝✱ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❝❤ó♥❣✱ →♣ ❞ư♥❣ ✤÷đ❝
✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✱ tæ✐ ✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✧▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ✤÷í♥❣ trá♥
t✐➳♣ ①ó❝✧✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔✿
✲❚➻♠ ❤✐➸✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝✿ ❜➔✐ t♦→♥
❚❤❡❜❛✉❧t✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤✱ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐✱ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ✤÷í♥❣
trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❛r❜❡❧♦s ✳
✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠é✐ ❜➔✐ t♦→♥ ợ ỳ ở ữủ t t tr
tỹ t sù ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✱ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ỵ✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥
❧✐➯♥ q✉❛♥✳
✲ ❈→❝ ❦➳t ❧✉➟♥ ❦❤♦❛ ❤å❝ rót r❛ tø ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ →♣ ❞ư♥❣ t
ồ s ọ ờ tổ
ỗ ữù ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❞↕② ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ❦❤â ð tr÷í♥❣ ❚❍❈❙ ✈➔ ❚❍P❚
❣â♣ ♣❤➛♥ ✤➔♦ t↕♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❤å❝ ❣✐ä✐ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝✳





✷✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✱ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ ❣✐↔✐ q✉②➳t
❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥â✐ tr➯♥✱ →♣ ❞ư♥❣ ✤÷đ❝
❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ ✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣
❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤
❳➨t ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✈➔ ♠è✐ ❧✐➯♥
❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➭♣ ✤➩
♥❤➜t ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ❊✉❝❧✐❞❡ tr↔✐ q✉❛ ♥❤✐➲✉ ♥➠♠ t❤→♥❣ ✈ỵ✐
ự ữỡ ỗ
ợ t ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤
✶✳✷✳ t ỡ


ữỡ t tt
ợ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝❤✐
t✐➳t ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❝❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ❜➜t ❦ý✱ ❣✐↔✐ t❤➼❝❤ ✤➛② ✤õ
t↕✐ s❛♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐❣è❝
✈➔ ✤➙✉ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❜❛♦ ỗ ử s
ợ t t tt
ớ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝
✷✳✸✳ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐
✷✳✹✳ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❦✐➸✉ ▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝✳

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ✣÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❛r❜❡❧♦s
❍➻♥❤ ❤å❝ ❛r❜❡❧♦s ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♥û❛ ✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝✱ ❝❤ú ✧❛r❜❡❧♦s✧
✤÷đ❝ ❣❤➨♣ tø ✼ ❝❤ú ❝→✐ α, ̺, β, η, λ, θ, ς t❤➔♥❤ ✭α̺βηλθς ✮✳ ❍➻♥❤ ❛r❜❡❧♦s ❧➔
❜❛ ♥û❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ợ ữớ tr ởt ữớ t q
trü❝ q✉❛♥✱ ♥❣÷í✐ t❛ ❣å✐ ❛r❜❡❧♦s ❧➔ ✧❤➻♥❤ ❝♦♥ ❞❛♦ ❝õ❛ t❤ñ ✤â♥❣ ❣✐➛②✧✳





❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❛r❜❡❧♦s✱ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣
trá♥ t✐➳♣ ①ó❝✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ♥➯✉ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✽ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s ❝õ❛
♠ët ❛r❜❡❧♦s✱ ❝➟♣ ♥❤➟t ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ♣❤→t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✳
◆ë✐ ỗ
ởt số t ỡ
ữớ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s✳
✸✳✸✳ ❉ü♥❣ ❝→❝ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❛r❜❡❧♦s✳




❈❤÷ì♥❣ ✶
❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥
❋❡✉❡r❜❛❝❤
◆❣÷í✐ t❛ ❤❛② ♥â✐ ✤➳♥ ✈➫ ✤➭♣ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝✳ ❱➟② ✤➙✉ ❧➔ ✈➫ ✤➭♣ ❝õ❛ ♥â❄
✣æ✐ ❦❤✐ ❝❤➾ ①✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝ư t❤➸ ❧↕✐ ❞➝♥ tỵ✐ ♠ët ❜ù❝ tr❛♥❤
t❤➟t ✤➭♣✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ ❜ù❝ tr❛♥❤ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ ❦➳t q✉↔ t♦→♥ ❤å❝ ♥ê✐ t✐➳♥❣✱
①✉➜t ♣❤→t tø ♥❤ú♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ❜✐➺t✱ t÷ð♥❣ ♥❤÷ ❦❤ỉ♥❣ ❝â q✉❛♥ ❤➺ ❣➻
♥❤÷♥❣ ❧↕✐ t ợ r ữỡ t s t ỵ ờ
t ữớ trỏ t ú ỵ r ỵ t
ú ữủ ❜ð✐ ❤❛✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ð ♥❤ú♥❣ ❦❤♦↔♥❣
t❤í✐ rt ỵ tự t r ớ ỵ tự
r q ởt tớ ộ ỵ õ ởt t ủ ♣❤➨♣
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❞ü❛ tr➯♥ ♥❤ú♥❣ ❝→❝❤ ♥❤➻♥ ♥❤➟♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ổ õ q
r ỵ ữ ❝❤à ❡♠ r✉ët✿ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤→❝
♥❤❛✉ ❝õ❛ ❝ị♥❣ ♠ët sü ❦✐➺♥ t♦→♥ ❤å❝✳

✶✳✶

●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t
✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤

✶✳✶✳✶

❇➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤

❚❛ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ♠ët ✈➔✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❜✐➳t✳ ❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣
t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝❤➼♥ ✤✐➸♠ s❛✉ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥✿ ❜❛ ❝❤➙♥ ✤÷í♥❣ ❝❛♦
D, E, F ❀ ❜❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝→❝ ❝↕♥❤ M, N, P ✈➔ ❜❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣




ố trỹ t ợ t ỵ HA, HB , HC ✳ ✣÷í♥❣ trá♥ ✤✐ q✉❛
✾ ✤✐➸♠ ✤â ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ ❙ü ❦✐➺♥ ✤➦❝ ❜✐➺t ♥➔② ✤÷đ❝
t➻♠ r❛ ♥➠♠ ✶✼✻✺ ❜ð✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ t❤✐➯♥ t➔✐ ▲❡♦♥❛r❞ ❊✉❧❡r ✭✶✼✵✼✲✶✼✽✸✮✱
❜ð✐ ✈➟② ♥â ❝á♥ ❝â t➯♥ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❊✉❧❡r✳ ◆➠♠ ✶✽✷✷✱ ❑✳ ❋❡✉❡r❜❛❝❤
ự ữủ ỵ õ t t ừ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ ❚➼♥❤
❝❤➜t ♥➔② ♥ê✐ t✐➳♥❣ ✤➳♥ ♠ù❝ ❧ó❝ ➜② ♥❤✐➲✉ ♥❣÷í✐ ❝á♥ ❣å✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥➔② ❧➔
✤÷í♥❣ trỏ r
ỵ t r r ồ t ữớ trỏ

t ú ợ ữớ trỏ ở t ữớ trỏ t

ợ r ữớ trỏ t ữớ trỏ t ú ợ ♠ët ❝↕♥❤
t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ ♣❤➛♥ ❦➨♦ ❞➔✐ ❝õ❛ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❦✐❛✳ ◆❤÷ ✈➟② ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣
t❛♠ ❣✐→❝ ABC ù♥❣ ợ õ A ữớ trỏ t ú ợ BC ✈➔ ♣❤➛♥

❦➨♦ ❞➔✐ ❝↕♥❤ AB ✭✈➲ ♣❤➼❛ B ✮ ✈➔ ❝↕♥❤ AC ✭✈➲ ♣❤➼❛ C ✮✳ ▼é✐ t❛♠ ❣✐→❝ õ
ữớ trỏ t ừ ỵ ❧➔ ❑❛r❧ ❲✐❧❤❡❧♠ ❋❡✉❡r❜❛❝❤
✭✶✽✵✵✲✶✽✸✹✮ ❧➔ ♠ët ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❣÷í✐ ✣ù❝✱ ❛♥❤ tr❛✐ ❝õ❛ ♥❤➔ tr✐➳t ❤å❝ ♥ê✐
t✐➳♥❣ ▲✉❞✇✐❣ ❋❡✉❡r❜❛❝❤✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ♥❤➟♥ ❤å❝ ✈à t✐➳♥ s➽ ✈➔♦ ♥➠♠ ✷✷ t✉ê✐ ỉ♥❣
trð t❤➔♥❤ ❣✐→♦ s÷ t♦→♥ ❤å❝ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ●②♠♥❛s✐✉♠ t↕✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❊r❧❛♥❣❡♥✳
❚❤➔♥❤ ♣❤è ♥➔② s❛✉ ✺✵ ♥➠♠ ♣❤→t ♠✐♥❤ ❝õ❛ ❋❡✉❡r❜❛❝❤✱ ♥➠♠ ✶✽✼✷✱ ①✉➜t ❤✐➺♥
✧❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❊r❧❛♥❣❡♥✧ ❝õ❛ ❋❡❧✐① ❑❧❡✐♥ ✈➲ ✧❍➺ t❤è♥❣ ❤â❛ ❤➻♥❤ ❤å❝✧✱ ♠ð
✤➛✉ ❝❤♦ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❤✐➺♥ ✤↕✐✳ ◆❣➔② ♥❛② tr♦♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ỵ
r số sỷ ử ổ ử ữ ỵ
Pt tờ qtữ ụ ❝â ♥❤ú♥❣ ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥ sì
❝➜♣✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤â t❤✉ë❝ ✈➲ ❱✳Pr♦t❛s♦♣✱ t→❝ ❣✐↔
❝õ❛ tr õ t ỵ r trữớ ủ r
ừ ỵ ✤➙② ❧➔ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ❜➡♥❣
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sì ❝➜♣✿
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû O9 , O, I, r, R ữ ỵ t QOS ữớ
ổ ❣â❝ ✈ỵ✐ BC ✱ F, N ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ O9, I ❧➯♥ BC ✱ P ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉
❝õ❛ A OQ
R
r ữợ ự
ữợ (O9 ) t ú tr♦♥❣ ✈ỵ✐ (I, r) ⇐⇒ O9 I =
2
♠✐♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t sỡ ỗ s
ự P O = 2EF




✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ IN.QP = M K.DN = M N.N K
R2
R2

2
✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ O9 I =
+ r − IN (QP + P O) =
+ r2 − Rr =
2
2
2
R
−r
2
2

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ (O9 ) t ú ợ ữớ trỏ (Ia )
t tr A ữợ ự tỹ t sỡ ỗ s

ữợ

Ia Xa BC ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ M N.Xa K = M K.Xa D✳
✷✳ ❍↕ O9 L ⊥ Xa Ia ✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ O9 Ia2 =
M N.Xa K

✸✳ ❚ø ✤â ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤✉ ✤÷đ❝

O9 Ia2

=

OA2
+ Xa Ia2 + P O.Xa Ia +
4


R
+ ρa
2

2

=⇒ O9 Ia =

R
+ ρa ✱
2

tr♦♥❣ ✤â ρa = ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ t tr A

t r

ợ sỡ ỗ õ t ự ữủ ỵ r tr♦♥❣
♣❤➛♥ s❛✉ t❛ s➩ t✐➳♣ ❝➟♥ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❦❤→❝✳




✶✳✶✳✷

❇➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t

❑❤→❝ ✈ỵ✐ ❋❡✉❡r❜❛❝❤✱ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ♥❣÷í✐ P❤→♣ ❱✐❝t♦r ❚❤❡❜❛✉❧t
✭✶✽✽✷✲✶✾✻✵✮✱ t→❝ ❣✐↔ ❝õ❛ ❤ì♥ ✶✵✵✵ ✤à♥❤ ỵ t r ởt t
r tt t ỵ t tr

ú ✤â ❝❤ù♥❣ tä ❚❤❡❜❛✉❧t ❧➔ ♠ët t→❝ ❣✐↔ ❝â ✉② t➼♥✳ ✣✐➲✉ ❦❤→
♥❣↕❝ ♥❤✐➯♥ ❧➔ ❚❤❡❜❛✉❧t ❧ó❝ ✤â ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ♣❤♦♥❣ ❣✐→♦ s÷✳ ❑❤✐ ✤â ✭✈➔ ♥❣❛②
❝↔ ❜➙② ❣✐í✮ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❦❤æ♥❣ ♠❛♥❣ ❧↕✐ ♠ët t❤✉ ♥❤➟♣ ✤→♥❣ ❦➸
♥➯♥ ❚❤❡❜❛✉❧t tr♦♥❣ s✉èt ♥❤✐➲✉ ♥➠♠ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ✈➝♥ ð tr♦♥❣ ♠ët ❝➠♥ ♣❤á♥❣
t❤✉➯ ❝õ❛ ♥❣➔♥❤ ❜↔♦ ❤✐➸♠✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ ❜è ❝õ❛ ❚❤❡❜❛✉❧t ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❤ì♥ ❝↔

❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ỹ ữớ trỏ t

ỵ ữớ trá♥ ❝â t➙♠ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣✳ ❚❛ ❣å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣
❧➔ ❤➻♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ✷ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✈➔ ♠ët ❝✉♥❣ trá♥✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ tr➯♥ ❤➻♥❤
✶✳✷✱ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ ADB ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ❤❛✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ AD, DB ✈➔ ❝✉♥❣
⌢ BA ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ◆❣÷í✐ t❛ ❣å✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣
trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ ADB, ADC ữớ trỏ t
ự ợ ữớ trỏ ♥ë✐ t✐➳♣✳ ❚÷ì♥❣ tü ❝â ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ù♥❣ ợ
ữớ trỏ t õ ỹ ữớ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ♥❤÷ s❛✉✿
✲ ❉ü♥❣ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣ I ❝õ❛ ∆ABC ✈➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ Dt ❝õ❛ ADB ✳
✲ ❉ü♥❣ q✉❛ I ✤÷í♥❣ Ix ⊥ Dt✱ Ix ∩ BC = F ✳




✲ ❉ü♥❣ q✉❛ F ✤÷í♥❣ F y ⊥ BC ✱ F y ∩ Dt = K ✳
✲ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ (K, KF )✳ ✣â ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝➛♥ ❞ü♥❣✳
✣à♥❤ ỵ t t r BC ừ t ABC

D tũ ỵ ỹ ữớ trỏ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ ADB
✈➔ ADC ✳ ❑❤✐ ✤â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤â q t ở
t ừ ABC

ỵ t


ỵ ữủ t ổ ố ữợ ởt ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔♦ ♥➠♠
✶✾✸✽ ✭❦❤æ♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✮✱ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜➡♥❣
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➼♥❤ t♦→♥ ✈➔♦ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✶✾✼✵ s❛✉ ❦❤✐ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➣ ♠➜t✳
▼➣✐ ✤➳♥ ♥➠♠ ✶✾✽✻✱ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➡♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ t
tú ợ ữủ t ụ õ ởt ự
ỵ ữủ ổ ố t ❜ð✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❊✳ ❉✳ ❑✉❧❛♥♥✐♥ tr♦♥❣
✧●✐→♦ ❞ö❝ ❚♦→♥ ❤å❝✧✱ t➟♣ ✶✶✱ ♥➠♠ ✷✵✵✼✳ ❈→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❤❛✐ ✤à♥❤ ỵ ừ
ú tổ ữ s rữợ t ❧↕✐ ✈➔ ❜ê s✉♥❣ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥
q✉❛♥ ✤➳♥ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✱ s❛✉ ✤â ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➔✐
t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ✭❜ê ✤➲ ❙❛✇❛②❛♠❛✮✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ t ố ũ
ự ỵ r tứ ỵ t




✶✳✷

❇➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥

❈❤õ ✤➲ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ♥➔② ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❤❛✐ ❜➔✐
t♦→♥ ♥➯✉ tr➯♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❞ü❛ ✈➔♦ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✱ ❤❛② ữủ ồ ờ
ỵ tữ ừ ❜→♦ ❬✼❪✳
✣➸ t❤➜② ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝ị♥❣ ♠ët sü ❦✐➺♥ ❤➻♥❤
❤å❝ t❛ ❤➣② ♥❤ỵ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➻♥❤ ❤å❝ s❛✉ ✤â s➩ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✱ tø ✤â rút r ỵ t tứ õ ự
ỵ ❋❡✉❡r❜❛❝❤✳
❚❛ ❜ê s✉♥❣ t❤➯♠ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ❝õ❛ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣✿

❍➻♥❤ ✶✳✹✿ ❇ê s✉♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➙♠


I

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳

✭❛✮ ❈❤♦ ∆ABC ✱ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ (O)✱ ✤÷í♥❣ trá♥
♥ë✐ t✐➳♣ ❧➔ (I)✳ ❑➨♦ ❞➔✐ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ BAC ❝➢t ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣
ð L t❤➻ LI = LB = LC ✳

✭❜✮ ❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ C1 ✈➔ C2 ✱ C1 ð tr♦♥❣ C2 ✱ t✐➳♣ ①ó❝
C2 ð T ✱ t✐➳♣ ①ó❝ ✈ỵ✐ ❞➙② ❝✉♥❣ BC ❝õ❛ C2 ð Q✳ ❚✐❛ T Q ❝➢t C2 t↕✐
L✳ ❑❤✐ ✤â✱ L ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ CB ✱ T L ❧➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ BT C ✈➔
LQ.LT = LB 2 = LC 2 ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭❛✮✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈➻ LAB = LAC ♥➯♥ L ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛
❝✉♥❣ ⌢ BC ❤❛② LB = LC ✳ ●å✐ M ❧➔ ❣✐❛♦ ừ õ ACB
ợ ữớ trỏ t t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ●â❝ IBL ❝❤➢♥ ❝✉♥❣ M L ♥➯♥
❝â sè ✤♦ ❜➡♥❣ ♥û❛ tê♥❣ ❝→❝ ❝✉♥❣ M C ✈➔ CL✳ ◆â ❧↕✐ ❜➡♥❣ ♥û❛ tê♥❣ sè ✤♦


✶✵

❝→❝ ❝✉♥❣ AM ✈➔ LB ✭✈➻ ⌢ AM =⌢ M C ✈➔ ⌢ LB =⌢ CL✮✱ ❜➡♥❣ ❣â❝
BIL✳ ❙✉② r❛ IBL = BIL✱ ❝✉è✐ ❝ò♥❣✱ LI = LB = LC ✳ ❍♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣
tü t❛ ❝â t❤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ự t t ố ợ t ữớ trỏ
t t❛♠ ❣✐→❝✳
✭❜✮✳ ❳➨t ♣❤➨♣ ✈à tü t➙♠ T ✱ ❜✐➳♥ C1 t❤➔♥❤ C2 ✳ ◆â s➩ ❜✐➳♥ ✤✐➸♠ Q t❤➔♥❤
✤✐➸♠ L ữớ t BC t ú ợ C1 t Q t ữớ t s
s ợ BC t ú C2 t↕✐ L✳ ❱➻ t✐➳♣ t✉②➳♥ ♥➔② s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ BC ♥➯♥
L ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝✉♥❣ CB ✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ❝→❝ ❣â❝ ♥ë✐ t✐➳♣ LCB, LT C ❜➡♥❣
♥❤❛✉ ♥➯♥ t❛♠ LCQ ỗ ợ t LT C tø ✤â LQ.LT =

LB 2 = LC 2 ✳
❍♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü t❛ ❝â t❤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t t ố
ợ t ữớ trỏ t t ❑❤✐ ✤â✱ T L ❧➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ ❦➲
✈ỵ✐ ❣â❝ BT C

ỵ t ỡ r BC ừ t ABC

tũ ỵ ởt M ✳ ❱➩ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ ♠ët ữớ trỏ t
J t ú ợ M A, M B ❧➛♥ ❧÷đt t↕✐ P ✈➔ Q✱ t✐➳♣ ①ó❝ ✤÷í♥❣ trá♥ (O) ð
✤✐➸♠ T ✳ ❑❤✐ ✤â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ P Q ✤✐ q✉❛ I ✳

❍➻♥❤ ✶✳✺✿ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥





ữợ ữớ t QI t ❧↕✐ ✤÷í♥❣ trá♥ (J)
t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✭❛✮✱ L❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ BC ✳

ð P ′✱ AI ❝➢t (O) ð L✱

❚❛ ❝â BQT = QP ′T = T AI ✮✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ s✤ BQT = 12 s✤(⌢
1
CL+ ⌢ BT ) = s✤ (⌢ BL+ ⌢ BT ) =s✤ T AI =⇒ BQT = T AI ✳
2
◆❣♦➔✐ r❛✱ ❣â❝ BQT ❧➔ ❣â❝ ❣✐ú❛ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✈➔ ♠ët ❞➙② ❜➡♥❣ ❣â❝ ♥ë✐ t✐➳♣
QP T ũ ởt
ữợ ự ❚ù ❣✐→❝ AP ′ IT ♥ë✐ t✐➳♣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â QP ′ T =
T AI ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ AIT = AP ′ T ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✭❜✮✱ LQ.LT =

LB 2 = LI 2 ✳ ❙✉② r❛ ∆LQI ∼ ∆LIT ✳ ❚ø ✤â s✉② r❛✿ LQI = LIT ✳ ◆❤÷
✈➟②✱ T QP ′ = AIT = AP T
ữợ tự T QP = AP ′ T ❝❤ù♥❣ tä AP ′ t✐➳♣ ①ó❝ (J)✳ ❉♦ õ
P P
ữợ





P Q q I



P Q q IC

ợ tt ữ tr t ❝ì ❜↔♥✱ ❦❤✐ ✤â✱ ✤÷í♥❣ trá♥
(AP F ) ✤✐ q✉❛ t➙♠ I ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳
❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❧➔ M C ú ữớ
trỏ (J) t ú ợ CA, CB t ú ợ ữớ trỏ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣
❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳


✶✷

❍➻♥❤ ✶✳✼✿

❝✮

P Q ✤✐ q✉❛ IA ❀


❞✮

P Q ✤✐ q✉❛ IB

t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❝â t❤➸ ♠ð rë♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤→❝
t❤❡♦ q✉❛♥ ❤➺ ❝õ❛ (J) ≡ γ ✈ỵ✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ❚r➯♥ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✶✳✻✱✶✳✼ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ ✹ ❦❤↔ ♥➠♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ M ❝â t❤➸ ♥➡♠ tr➯♥ ❝↕♥❤ BC ❤♦➦❝ tr➯♥ ♣❤➛♥
❦➨♦ ❞➔✐✱ ❤➻♥❤ ✶✳✻ ❛✮✱ ❜✮❀ ✶✳✼ ❝✮✱ ❞✮✳ ❚➜t ❝↔ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tr➯♥ ✤➲✉ ✤ó♥❣
✈➔ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✳
✶✳✷✳✶

⑩♣ ❞ư♥❣ t ỡ ự ỵ t

t t t ú ỵ t s
✤➲ ✶✳✷✳ ❑➫

t✐➳♣ t✉②➳♥ ❝❤✉♥❣ tr♦♥❣ ✈➔ ❝❤✉♥❣ ♥❣♦➔✐ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣
trá♥✳ ❑❤✐ ✤â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ♥❤➜t ✈➔
✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ❤❛✐ ❝➢t ♥❤❛✉ tr➯♥ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ t➙♠✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➺♥❤ ✤➲
●✐↔ sû (O1) ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù t A1, B1 t tr (O1) ỵ
t÷ì♥❣ tü tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ❤❛✐ ✭❝→❝ ✤✐➸♠ A1, A2 ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët t✐➳♣
t✉②➳♥✮✳ ❉ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ δ, β t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ A1A2, B1B2✳
✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ O1A1 t ú ợ ữớ t O1B1 t ú ợ β ✳ ◆❣❤➽❛
❧➔ O1A21 = O1B12✱ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ ❝õ❛ O1 ố ợ ữỡ t ừ O1





ố ợ
t tữỡ tỹ ố ợ ✤✐➸♠ A2, B2✳ ❚❛ s✉② r❛ O1O2 ❧➔ trư❝ ✤➥♥❣
♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ δ, β ✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ ❝→❝ ữớ t A1B1, A2B2
s s ợ ừ ❝→❝ ❣â❝ ❣✐ú❛ ❝→❝ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❦➲ ♥❤❛✉ ♥➯♥
✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ t↕✐ E ✳ ●✐❛♦ ✤✐➸♠ E ữớ
ữợ ởt õ ổ õ tở ❝↔ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ δ, β ✳ ●✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛
❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥➔② t➜t ♥❤✐➯♥ ♥➡♠ tr➯♥ trư❝ ✤➥♥❣ ♣❤÷ì♥❣ O1O2 ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❍➻♥❤ ✶✳✽✿ ❈→❝ tr÷í♥❣ ủ ừ ỵ t

ớ t tr ự ỵ t ữớ
t ố t ừ ữớ trỏ t tự t ợ
M A M B ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ữớ trỏ t tự
ợ M A M C ❝➢t ♥❤❛✉ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ t➙♠ ✭▼➺♥❤
✤➲ ✶✳✷✮✳ ▼➦t ❦❤→❝ t❤❡♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ ✤✐ q✉❛
t➙♠ I ♥➯♥ t❛ ❝â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t➙♠ ✤✐ q✉❛ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣ I ❝õ❛ ∆ABC ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳


✶✹

◆➳✉ ❞ị♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ tr➯♥ ❝→❝ ❤➻♥❤
✶✳✻ ✈➔ ❤➻♥❤ ✶✳✼ t❤➻ ♥❤➟♥ ữủ ỵ t tờ qt ợ ồ tr
ừ M ✈➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✭tr➯♥ ❤➻♥❤ ✶✳✽ t❛ ỵ ữớ
trỏ 1, 2


ứ ỵ t ỵ r


ứ t t ỵ r

ớ t t t s tr ự
ỵ r ữ ỵ r ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ①✉➜t ❤✐➺♥ r➜t sỵ♠ s♦ ✈ỵ✐ ❜➔✐
t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t✳ ✣➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ t q t
ữủ ởt tr ỳ ỵ t ừ ồ ữ
s r ỵ r tứ ỵ t t t
ợ P ự ỵ r ỡ ❣✐↔♥ ✈➔ ♥❣➢♥ ❤ì♥ s♦


✶✺

✈ỵ✐ ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➣ tâ♠ t➢t ð tr➯♥✳ ●✐↔ sỷ ABC t trữợ
A1 , B1 , C1 ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝→❝ ❝↕♥❤✱ A2 , B2 , C2 ❧➔ ❝→❝ ❝❤➙♥ ✤÷í♥❣ ❝❛♦✳ ❙→✉
✤✐➸♠ ✤â ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥✱ ✤â ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ ❈➛♥
ự õ t ú ợ ữớ trỏ ở t ✈➔ ❜❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣
❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ t ữớ trỏ ỗ ữớ trỏ ở t ♠ët
tr♦♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ t✐➳♣ ①ó❝ ợ AC s
ữớ trỏ ữớ trỏ t ố ợ ởt t ♥➔♦
✤â ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ ◆➳✉ ❧➔♠ ữủ õ t ỵ
r s ữủ ự ❚❤➟t ✈➟②✱ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✭t❤❡♦
❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤✦✮ t✐➳♣ ú ợ ữớ trỏ t t tự ✤÷í♥❣
trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ ✣✐➲✉ ✤â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ t ú ợ ữớ
trỏ ở t ởt ữớ trỏ t ụ ữ ố ợ
ữớ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ❝á♥ ❧↕✐✳ ❱➜♥ ✤➲ ❝❤➼♥❤ ð ✤➙② ❧➔ ❧➜② t❛♠ ❣✐→❝ ♥➔♦ ♥ë✐
t✐➳♣ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠❄ ❚❛♠ ❣✐→❝ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ A1B1C1 ❤❛② t❛♠
❣✐→❝ trü❝ t➙♠ A2B2C2 ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ✤↕t ②➯✉ ❝➛✉✳ ❚❤➟♠ ❝❤➼ ♥➳✉ ❝❤➾ ợ
A1B1C1A2B2C2 t s tỗ t t❛♠ ❣✐→❝✱ t➜t ❝↔ ❝❤ó♥❣ ✤➲✉ ♥ë✐
t✐➳♣ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ ◆❤÷♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤â t❛ ❝❤➾

❧➜② ♠ët✱ ✤â ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ B1B2A2 ✭❤➻♥❤ ✶✳✾✮✳ ❈→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ❤❛✐ ❝❤➙♥
✤÷í♥❣ ❝❛♦ ✭A2, B2✮ ✈➔ ♠ët tr✉♥❣ ✤✐➸♠ B1✳ ✣✐➸♠ C ✤â♥❣ ✈❛✐ trá ✤✐➸♠ M ✱
♥â ♥➡♠ tr➯♥ ❝↕♥❤ B2B1 ❦➨♦ ❞➔✐ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ B1B2A2✳
✣÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱ t✐➳♣
①ó❝ ❝↕♥❤ AC ❧➔ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤è✐ ✈ỵ✐ t❛♠ ❣✐→❝ B1B1A2 ✈➔ ✤è✐
✈ỵ✐ ✤✐➸♠ C tr➯♥ ✤÷í♥❣ B1B2 ❦➨♦ ❞➔✐✳ ❑❤✐ ✤â ①✉➜t ❤✐➺♥ trữớ ủ
ỵ t tr M ♥➡♠ tr➯♥ ♣❤➛♥ ❦➨♦ ❞➔✐
❝õ❛ ❝↕♥❤ t❛♠ ❣✐→❝✮✳ ◆❤÷ tr ỵ t t M
ổ ð tr➯♥ ❝↕♥❤ ♠➔ tr➯♥ ♣❤➛♥ ❦➨♦ ❞➔✐ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t t t s
ữủ ỵ r õ ỵ ũ ởt ố ❝↔
❤❛✐ ✤➲✉ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤í ✧❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✧✳
❇➙② ❣✐í t❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣
t✐➳♣ ✤â ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤è✐ ✈ỵ✐ t❛♠ ❣✐→❝ B1B1A2 ✈➔
✤✐➸♠ C ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❦➨♦ ❞➔✐ ❝õ❛ ❝↕♥❤ B1B2✳ ✣➸ ❧➔♠ ✤✐➲✉ ✤â t❛ ❧↕✐
❞ị♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✳ ◆➳✉ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ M N ♥è✐ ❝→❝

t✐➳♣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈ỵ✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ CA ✈➔ CB
✤✐ q✉❛ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣ I1 ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ B1 B2 A2 ✱ t❤➻ t➜t ❝↔ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳


✶✻

❚❤➟t ✈➟②✱ q✉❛ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ I1 ❦➫ ữớ t M N t
õ ợ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ CA2 ✈➔ CB2✱ ❦❤✐ ✤â tø ✤à♥❤ ỵ
ỡ tứ trữớ ủ rút r r ữớ trỏ t ú ợ
ữớ t t↕✐ ✤✐➸♠ M ✈➔ N ✭✤â ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝
ABC ✮✱ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ A2 CB2 ✱ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣
CA2 , CB2 ✈➔ ❝✉♥❣ B2 A2 ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ õ t ú
ợ ữớ trỏ ố ợ ữớ trỏ t ự
t tữỡ tü✳


❍➻♥❤ ✶✳✶✵✿ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸

◆❤÷ ✈➟② t❛ ❝❤➾ ❝á♥ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ M N ✤✐ q✉❛ t➙♠ ♥ë✐
t✐➳♣ I1 ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ B1B2A2✳ ✣➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ t❛ s➩ ♣❤→t ❜✐➸✉ t❤➔♥❤ ♠➺♥❤
✤➲ s❛✉✿
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC

tũ ỵ ừ õ
B ợ ữớ t ự ữớ tr s s ợ CB t
ợ t ừ ữớ trỏ ở t✐➳♣ t↕✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ CA ✈➔ CB ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➺♥❤ ✤➲✳ ●✐↔ sû I ❧➔ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ M, N ❧➔ ❝→❝ t✐➳♣ ✤✐➸♠
tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ CA, CB ❀ K ừ õ B ợ ữớ tr✉♥❣
❜➻♥❤ B1C1✳ ❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ K, M, N t❤➥♥❣ ❤➔♥❣✳ ❚❛ ❝â BKC1 =
B1 = B2 =⇒ C1 B = C1 K ✳ ❉♦ ✤â✱ tr✉♥❣ t✉②➳♥ KC1 ❝õ❛ ∆ABK ❜➡♥❣
♥û❛ ❝↕♥❤ AB ♥➯♥ AKB = 900✳ ❑❤✐ ✤â tù ❣✐→❝ AM KI ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷đ❝✱ t❛
s✉② r❛✿ KM C = KIA = 900 − 21 C = N M C ✭✈➻ CM IN ♥ë✐ t✐➳♣✮✱ ♥❣❤➽❛


✶✼

❧➔ K ∈ M N ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣
ự ỵ r ố ợ ữớ trỏ ♥ë✐ t✐➳♣✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ AA2 C ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ♥➯♥ B1 A2 = B1 C ✱ ❞♦ ✤â✱ t✐❛
B1 C1 s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ BC ❧➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ A2 B1 A✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔ ♥â ❝❤ù❛ ✤✐➸♠
I1 ✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ✤✐➸♠ C1 ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ B1 B2 A2 ✱ ❞♦
✤â✱ C1 I1 = C1 A2 ✳ ◆❤÷♥❣ ✈➻ t❛♠ ❣✐→❝ AA2 B ✈✉ỉ♥❣ ♥➯♥ C1 A2 = C1 B ✳ ◆❤÷
✈➟②✱ t❛♠ ❣✐→❝ BC1 I1 ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥✳ ❑❤✐ ✤â tø ✤➥♥❣ t❤ù❝ I1 BC = BI1 C1
s✉② r❛ BI1 ❧➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ B ✳ ⑩♣ ❞ư♥❣ ♠➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸ t❛ ✤÷đ❝ ✤✐➸♠ I t❤✉ë❝
M N ✳ ❚❤❡♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ M N ✤✐ q✉❛ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐


❍➻♥❤ ✶✳✶✶✿ ỵ r ố ợ ữớ trỏ t
t t ❣✐→❝ B1 B2 A2 ✱ ❜ð✐ ✈➟② ✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❣â❝
C t↕✐ M ✈➔ N ✭✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✮ t✐➳♣ ①ó❝ ợ ữớ
trỏ B1 B2 A2 tự ữớ trỏ ở t t ABC t ú ợ ữớ
trỏ ✤✐➸♠✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ỵ ữủ
ự t






✷✵✶✷✮ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ (O) ợ

ữớ BB , CC t✉②➳♥ ❝õ❛ (O) t↕✐ B, C ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ t↕✐ X ✳


×