Một số ứng dụng của phương trình sai phân giải toán sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHAN THỊ THU HUYỀN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG
TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHAN THỊ THU HUYỀN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG
TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS: Nguyễn Thị Ngọc Oanh

THÁI NGUYÊN - 2019

1

Mục lục
Trang
3

Lời nói đầu
Chương 1

Một số kiến thức cơ bản về phép tính sai phân

1.1. Định nghĩa

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Nguồn gốc phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . 12
1.4. Toán tử ∆ và E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Các tính chất cơ bản của toán tử sai phân . . . . . . . . . 16
1.6. Toán tử ∆−1 và phép lấy tổng . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 2

Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng 24

2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Cách tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng . . . . . . . . 26

2.3. Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân
tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. Phương trình tuyến tính tổng qt . . . . . . . . . 28
2.3.2. Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn . . . . 31
2.3.3. Phương trình dạng yk+1 = Rk yk . . . . . . . . . . 35
2.4. Một số ứng dụng trong giải toán sơ cấp . . . . . . . . . . . 35
2.4.1. Tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2. Dãy Số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.3. Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


2

2.4.4. Một số dạng toán liên quan tới dãy số . . . . . . . 47
Kết luận

53


3

Lời nói đầu
Phương trình sai phân là một lĩnh vực được nhiều nhà khoa học quan
tâm bởi tính hữu hiệu của nó khi giải số các mơ hình đề xuất, ta có thể
tham khảo ứng dụng đa dạng của phương trình sai phân trong tài liệu
[3] và các tài liệu tham khảo của nó. Bên cạnh những ứng dụng mạnh
mẽ của phương trình sai phân khi nghiên cứu các mơ hình phức tạp thì
phương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu quả khi giải các bài tốn
trong chương trình phổ thơng như: tính tổng chuỗi, tìm số hạng tổng
qt, chứng minh bất đẳng thức,. . . .

Luận văn gồm có trong hai chương.
Chương 1 trình bày lại một số kiến thức liên quan tới phương trình
sai phân như định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, toán tử ∆ và toán tử
E, toán tử ∆−1 ,. . . .
Chương 2 nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìm
nghiệm tổng qt của phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giới
thiệu một số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến
tính cấp một. Phần cuối của chương trình bày một vài ứng dụng của
phương trình sai phân trong việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng
quát của dãy số và một số bài toán liên quan.
Để thực hiện và hoàn thành đề tài Luận văn này, em xin gửi lời cảm
ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, bộ phận Sau đại học - Phòng đào
tạo, Khoa Toán- Tin trường Đại học Khoa học – Đại Học Thái Nguyên
cùng quý thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ em trong suốt
quá trình hoc tập và nghiên cứu.


4

Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè và
các anh chị trong lớp đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình học
tập và nghiên cứu đề tài của mình.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị
Ngọc Oanh người hướng dẫn khoa học đã trực tiếp dành thời gian, công
sức hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019
Học viên

Phan Thị Thu Huyền

5

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản về phép
tính sai phân
Trong chương này chúng tơi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản nhất
liên quan tới phép tính sai phân, các định nghĩa và định lý về nghiệm,
sự tồn tại và duy nhất nghiệm; toán tử sai phân ∆ cùng các tính chất
cơ bản, tốn tử dịch chuyển E. . . . Nội dung của chương này được tham
khảo chính trong các Chương 1 và Chương 2 tài liệu [2], Chương 1 tài
liệu [3].

1.1.

Định nghĩa

Một dãy số là một hàm mà miền xác định của nó là tập các số nguyên.
Trong phần này, chúng ta sẽ xét các dãy mà miền xác định là các số
nguyên không âm. Ta ký hiệu số hạng tổng quát của dãy là yk và sử
dụng ký hiệu {yk } để biểu diễn dãy y0 , y1 , y2 , . . .
Cho dãy số {yk } thỏa mãn

yk+n = F (k, yk+n−1 , yk+n−2 , . . . , yk ).

(1.1)

Khi cho trước giá trị ban đầu thì ta có thể tính tốn được các giá trị

cịn lại. Như vậy, từ phương trình (1.1), rõ ràng nếu n giá trị liên tiếp
của yk xác định một cách cụ thể thì dãy {yk } được xác định một các

duy nhất. Các giá trị cụ thể này được gọi là các điều kiện ban đầu.


6

Định nghĩa sau đây cho ta sự liên hệ giữa dãy và phương trình sai
phân.
Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường là một quan hệ có
dạng cho trước bởi phương trình (1.1).
Định nghĩa 1.2 Cấp của phương trình sai phân là hiệu giữa chỉ số cao
nhất và chỉ số thấp nhất xuất hiện trong phương trình.
Phương trình cho dưới dạng (1.1) là một phương trình sai phân cấp n
khi và chỉ khi thành phần yk xuất hiện trong hàm F trong vế phải. Chú
ý rằng dịch chuyển trong các chỉ số khơng đổi cấp của phương trình sai
phân. Chẳng hạn như với số nguyên r
yk+n+r = F (k + r, yk+n+r−1 , yk+n+r−2 , . . . , yk+r )

(1.2)

là một phương trình sai phân cấp n và tương đương với phương trình
(1.1).
Định nghĩa 1.3 Một phương trình sai phân được gọi là tuyến tính nếu
nó được cho dưới dạng
yk+n + a1 (k)yk+n−1 + a2 (k)yk+n−2 + · · · + an−1 (k)yk+1 + an (k)yk = Rk ,

(1.3)

trong đó ai (k), i = 1, 2, . . . , n và Rk là các hàm của k cho trước.
Định nghĩa 1.4 Một phương trình sai phân được gọi là phi tuyến nếu
nó khơng tuyến tính.
Định nghĩa 1.5 Một nghiệm của phương trình sai phân là một hàm
φ(k) thỏa mãn phương trình.
Các ví dụ sau đây sẽ làm rõ các định nghĩa vừa được đưa ra ở phần
trên.


7

Ví dụ 1.1 Xét một số phương trình sau
yk+1 − 3yk + yk−1 = e−k
yk+1 = yk2

(bậc hai, tuyến tính),
(bậc một, phi tuyến),
(bậc bốn, tuyến tính),

yk+4 − yk = k2k

yk+1 = yk − (1/100)yk2

(bậc một, phi tuyến),

yk+3 = cos yk
(bậc ba, phi tuyến),
k
yk+2 + (3k − 1)yk+1 −
yk = 0

(bậc hai, tuyến tính).
k+1
Ví dụ 1.2 Hàm
φ(k) = 2k
là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bậc một
yk+1 − 2yk = 0,
vì khi thay φ(k) vào phương trình, ta thu được
2k+1 − 2.2k = 0
Ví dụ 1.3 Phương trình phi tuyến bậc nhất
2
− yk2 = 1
yk+1

có nghiệm
φ(k) =

√

(1.4)

k+c

trong đó c là hằng số. Thật vậy, thế φ(k) vào phương trình (1.4) thu
được
√
√
( k + 1 + c)2 − ( k + c)2 = (k + 1 + c) − (k + c) = 1.
Ví dụ 1.4 Phương trình tuyến tính bậc hai
yk+1 − yk−1 = 0
có hai nghiệm,

φ1 (k) = (−1)k ,

φ2 (k) = 1.

(1.5)


8

Gọi c1 và c2 là hai hằng số tùy ý. Bây giờ, ta thấy hàm
ϕ(k) = c1 ϕ1 (k) + +c2 ϕ2 (k) = c1 (−1)k + c2
cũng là một nghiệm. Thật vậy, thế ϕ(k) phương trình (1.5) ta được
c1 (−1)k+1 + c2 − c1 (−1)k−1 − c2 = 0.

1.2.

Nguồn gốc phương trình sai phân

Giả sử rằng yk là phần tử tổng quát của dãy {yk } được xác định theo

một hàm cụ thể của k và n cùng các hằng số c1 , c2 , . . . , cn nào đó. Bây
giờ, ta sẽ chỉ ra rằng yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n.
Theo giả thiết, ta có
yk = f (k, c1 , c2 , . . . , cn )

(1.6)

và
yk+1 = f (k + 1, c1 , c2 , . . . , cn ),
...

(1.7)

yk+n = f (k + n, c1 , c2 , . . . , cn ).
Đây là một dãy gồm n + 1 phương trình với n hằng số ci , i = 1, 2, . . . , n.
Khử các hằng số ci ta nhận được quan hệ có dạng
G(k, yk , yk+1 , . . . , . . . , yk+n−1 ) = 0

(1.8)

Đây là một phương trình sai phân cấp n. Như vậy, nếu phần tử tổng
quát yk của dãy {yk } có thể biểu diễn như là hàm của k và n hằng số
nào đó thì yk sẽ thỏa mãn một phương trình sai phân cấp n.

Ví dụ 1.5 Các đa thức Chebyshev được xác định bởi biểu thức sau
Ck (x) =

1
2k−1

cos(k cos−1 x), k = 0, 1, 2, . . . , ; |x| < 1.

(1.9)

Bây giờ ta sẽ chỉ ra các hàm này quan hệ truy hồi với nhau theo phương
trình sau đây

1
Ck+1 (x) − xCk (x) + Ck−1 (x) = 0
4

(1.10)


9

trong đó, từ phương trình (1.9) ta có
C0 (x) = 2,

C1 (x) = x.

Từ công thức
cos(θ1 ± θ2 ) = cos θ1 cos θ2 ∓ sin θ1 sin θ2 ,
từ đây suy ra
1
cos[(k + 1) cos−1 x]
k
2
1
= k cos(cos−1 x) cos(k cos−1 x)
2
1
− k sin(cos−1 x) sin(k cos−1 x).
2

Ck+1 x =

Do đó,
1
2

Ck+1 (x) + Ck−1 (x) = k−1 cos(cos−1 x) cos(k cos−1 x)
4
2
x
= k−1 cos(k cos−1 x)
2
=xCk (x),
và đây chính là phương trình (1.10).
Ví dụ 1.6 Cho k là số ngun khơng âm, xét tích phân
π
cos(kθ) − cos(kφ)
Ik (φ) =
dθ
cos
θ
−
cos
φ
0

(1.11)

Trong đó I0 = 0 và I1 = π. Do biết Ik với k = 0 và k = 1, ta thử tìm
mối quan hệ tuyến tính giữa Ik+1 , Ik và Ik−1 . Nếu tìm thấy cơng thức
liên hệ này, ta có thể sử dụng để tính Ik thơng qua truy hồi.
Định nghĩa toán tử L như sau:
LIk = AIk+1 + BIk + CIk−1

(1.12)

trong đó A, B và C là các hằng số độc lập với k và θ; tuy nhiên, chúng
có thể phụ thuộc vào φ. Do đó,
L cos(kθ) = A cos(k + 1)θ + B cos(kθ) + C cos(k − 1)θ
= [(A + C) cos θ + B] cos(kθ) − [(A − C) sin θ] sin(kθ).

(1.13)


10

Nếu lấy A = C, B = −2A cos φ và đặt A = 1, vậy thì phương trình

(1.13) trở thành

L cos(kθ) = 2(cos θ − cos φ) cos(kθ),
đại lượng này tỷ lệ với mẫu số trong biểu thức tích phân của phương
trình (1.11).
Bây giờ, áp dụng tốn tử L vào cos(kφ) ta được kết quả
L cos(kφ) = 0.
Do đó, áp dụng toán tử L cho cả hai vế của phương trình (1.11) ta được
π

LIk (φ) =
0

L cos(kθ) − L cos(kφ)
dθ
cos θ − cos φ

π

=2

(1.14)

cos(kθ)dθ = 0
0

Như vậy tích phân Ik (ϕ) thỏa mãn phương trình
Ik+1 − (2 cos φ)Ik + Ik−1 = 0
đối với k = 1, 2, . . . . Vì I0 và I1 ta có thể xác định Ik bằng công thức
truy hồi trên với bất kỳ giá trị nguyên dương nào của k.
Ví dụ 1.7 Giả sử phương trình vi phân sau đây:
dy
= f (y, t)
(1.15)
dt
trong đó f (y, t) là một hàm cho trước của y và t, khơng thể lấy tích
phân theo các hàm số sơ cấp. Ta sẽ sử dụng lược đồ đơn giản sau đây
để tìm nghiệm số.
Trước tiên ta xây dựng lưới tk = (∆t)k, trong đó ∆t là một khoảng thời
gian t cố định, còn k là số nguyên. Tiếp theo ta thay thế đạo hàm bằng
xấp xỉ,
y(t + ∆t) − y(t) yk+1 − yk
dy(t)
→
=
dt
∆t
∆

trong đó yk là xấp xỉ theo nghiệm chính xác của phương trình (1.15) tại
thời điểm t = tk , tức là,
yk ≃ y(tk ).


11

Cuối cùng, thay thế vế bên phải của phương trình (1.15) bằng
f (y, t) → f [yk , (∆t)k].
Thế vào phương trình đầu ta nhận được
yk+1 − yk
= f (yk , (∆t)k)
∆t
hoặc
yk+1 = yk + (∆t)f (yk , (∆t)k).

(1.16)

Nếu y0 được xác định thì ta cũng xác định được yk đối với k = 1, 2, . . . .
Lược đồ (1.16) được gọi là lược đồ Euler được sử dụng để tìm nghiệm
số của phương trình (1.15).
Ví dụ 1.8 Cho số hạng tổng quát yk của dãy {yk } được xác định như

sau

yk = A2k ,
trong đó A là một hằng số nào đó. Vì chỉ có một hằng số nên phương
trình sai phân có nghiệm cho bởi cơng thức (1.8) là phương trình cấp
một. Ta có thể tìm được như sau
yk+1 = A2k+1 = 2A2k = 2yk .

Ví dụ 1.9 Giả sử yk được cho bởi biểu thức
yk = c1 2 k + c2 5 k ,
trong đó c1 và c2 là hằng số tùy ý. Do đó, yk phải thỏa mãn một phương
trình vi phân bậc hai. Để xác định phương trình này, ta tính yk+1 và
yk+2 :
yk+1 = 2c1 2k + 25c2 5k ,
yk+2 = 4c1 2k + 25c2 5k .
Khử c1 và c2 ta nhận được
yk

1 1

yk+1 2 5
yk+2 4 25

=0


12

hay
yk+2 − 7yk+1 + 10yk = 0.
Ví dụ 1.10 Xét yk được cho bởi
yk = Ak + f (A),

(1.17)

trong đó A là một hằng số tùy ý và f là một hàm bất kỳ của A. Ta có
yk+1 = Ak + f (A) + A = yk + A,
hoặc

A = yk+1 − yk

(1.18)

Thế kết quả của phương trình (1.18) vào phương trình (1.17) ta được
yk = (yk+1 − yk )k + f (yk+1 − yk )
là phương trình vi phân cấp một phi tuyến tổng quát.

1.3.

Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Rõ ràng với một phương trình sai phân cho trước, nếu một nghiệm
tồn tại thì khơng có gì đảm bảo rằng nghiệm này là duy nhất. Nghiệm
phải bị hạn chế bởi các điều kiện ban đầu thêm vào với số lượng bằng
với cấp của phương trình. Định lý sau đây phát biểu về sự tồn tại và
tính duy nhất của nghiệm.
Định lý 1.1 Cho
yk+n = f (k, yk , yk+1 , . . . , yk+n−1 ), k = 0, 1, 2, 3, . . .

(1.19)

là một phương trình sai phân cấp n. Phương trình này có một và chỉ
một nghiệm tương ứng với bộ n giá trị đầu y0 , y1 , . . . , yn−1 .
Chứng minh. Nếu các giá trị y0 , y1 , . . . , yn−1 được cho trước thì phương
trình sai phân với k = 0 xác định duy nhất yn . Nếu yn đã xác định định,
phương trình sai phân với k = 1 cho ta yn+1 . Tiếp tục như vậy, với mọi
k ≥ n ta xác định được tất cả các yk .

13

1.4.

Toán tử ∆ và E

Toán tử ∆ được xác định như sau
∆yk ≡ yk+1 − yk .

(1.20)

Biểu thức yk+1 − yk được gọi là sai phân của yk và ta gọi ∆ là toán tử
sai phân (cấp một). Toán tử sai phân cấp hai được ký hiệu ∆2 và được

cho như sau
∆2 yk =∆(∆yk ) = ∆(yk+1 − yk )
=∆yk+1 − ∆yk = (yk+2 − yk+1 ) − (yk+1 − yk )
=yk+2 − 2yk+1 + yk .
Một cách tổng quát, với n nguyên dương, ta định nghĩa
∆(∆n yk ) = ∆n+1 yk .

(1.21)

∆m ∆n yk = ∆n ∆m yk = ∆m+n yk ,

(1.22)

Và từ đây ta có

với các số nguyên dương m, n. Giả sử phương trình (1.22) thỏa mãn khi

m = 0, ta tìm được
∆0 ∆n yk = ∆n+0 yk = ∆n ∆0 yk .
Như vậy ∆0 là toán tử đồng nhất
∆ 0 yk = yk .
Rõ ràng ∆ thỏa mãn các tính chất
i. ∆(xk + yk ) = ∆xk + ∆yk .
ii. ∆(cyk ) = c∆yk , với c là hằng số.
iii. ∆(c1 xk + c2 yk ) = c1 ∆xk + c2 ∆yk , với c1 và c2 là các hằng số.
Định lý sau đây sẽ cho ta cơng thức tính sai phân cấp n.


14

Định lý 1.2
n(n − 1)
yk+n−2
2!
n(n − 1) . . . (n − i + 1)
yk+n−i
+ · · · + (−1)i
i!
+ · · · + (−1)n yk .

∆n yk =yk+n − nyk+n−1 +

(1.23)

Chứng minh. Ta sử dụng quy nạp toán học để chứng minh định lý
này. Thật vậy, định lý đúng đối với n = 1 (theo phương trình (1.20)).
Ta giả sử định lý đúng tới n ta chứng minh định lý đúng tới n + 1. Ta

có
n(n − 1)
yk+n−1
2
n(n − 1) · · · (n − i)
yk+n−i
+ · · · + (−1)i+1
(i + 1)!

∆n yk+1 = yk+n+1 − nyk+n +

Do đó

+ · · · + (−1)n yk+1 .

∆(∆n yk ) = ∆n yk+1 − ∆n yk

(n + 1)n
yk+n−1
2!
(n + 1)n(n − 1) . . . (n − i + 1)
yk+n−i
+ . . . + (−1)i+1
(i + 1)!
= yk+n+1 − (n + 1)yk+n +

+ . . . + (−1)n+1 yk .
Đây chính là biểu thức trong phương trình (1.23) với n được thế bằng
n + 1. Như vậy định lý đã được chứng minh.
Sử dụng định nghĩa về hệ số nhị thức dưới đây

n!
n(n − 1) . . . (n − i + 1)
n
=
,
=
i!
(i!)(n − i)!
i

ta có thể viết lại kết quả của Định lý 1.2 dưới dạng
n

(−1)i

n

∆ yk =
i=0

n
yk+n−i .
i

Tiếp theo ta xét hàm của toán tử ∆. Cho f (r) là một đa thức biến r
được xác định như sau
f (r) = a0 rm + a1 rm−1 + · · · + am ,


15

trong đó, a0 , a1 , . . . , am là các hằng số. Hàm toán tử f (∆) được xác định
như sau
f (∆)yk =(a0 ∆m + a1 ∆m−1 + · · · + am )yk

=a0 ∆m yk + a1 ∆m−1 yk + · · · + am yk .

(1.24)

Cho α1 , α2 , β1 và β2 là các hằng số, khi đó
(α1 + β1 ∆)(α2 + β2 ∆)yk =α1 (α2 + β2 ∆)yk + β1 ∆(α2 + β2 ∆)yk
=α1 α2 yk + α1 β2 ∆yk + β1 α2 ∆yk + β1 β2 ∆2 yk
=α1 α2 yk + (α1 β2 + α2 β1 )∆yk + β1 β2 ∆2 yk .
Tương tự, ta cũng có
(α2 + β2 ∆)(α1 + β1 ∆)yk = α1 α2 yk + (α1 β2 + α2 β1 )∆yk + β1 β2 ∆2 yk .
Như vậy cấp của hai toán tử α1 + β1 ∆ và α2 + β2 ∆ không phụ thuộc vào
các hằng số α1 , α2 , β1 và β2 . Nếu f (r), trong phương trình (1.24) là một
hàm đa thức bậc m, thì ta có thể phân tích thành nhân tử dưới dạng
m

f (r) = (r − r1 )(r − r2 ) . . . (r − rm ) =

i=1

(r − ri )

khi đó, phương trình (1.24) được viết lại
m

f (∆)yk =

i=1

(∆ − ri )yk

(1.25)

Tiếp theo, với p số nguyên bất kỳ, ta định nghĩa toán tử dịch chuyển E
tác động lên yk như sau
E p yk = yk+p .
Các tính chất cơ bản của toán tử dịch chuyển E :
i. E p (c1 xk + c2 yk ) = c1 xk+p + c2 yk+p .
ii. E p E q yk = E q E p yk = E p+q yk .
iii. f (E)yk =

m
i=1 (E

− ri )yk .

Mối quan hệ của hai toán tử ∆ và E, được cho như sau:
i. ∆yk = (E − 1)yk hay ∆ ≡ E − 1.

(1.26)


16

ii. E ≡ 1 + ∆.

iii. Nếu f (r) và g(r) là các đa thức của biến r thì

f (E) = f (1 + ∆)
g(∆) = g(E − 1).
Định lý 1.3
yk+n = yk +n∆yk +

n
n(n − 1) 2
∆ yk +. . .+
∆y yk +. . .+∆n yk . (1.27)
2!
i

Chứng minh. Ta có khai triển sau
n
n

n

yk+n = E yk = (1 + ∆) yk =
i=0

n
i

∆ i yk .

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

1.5.

Các tính chất cơ bản của tốn tử sai phân

Gọi xk và yk là các hàm số của k, ta có một số kết quả cơ bản sau:
a. Sai phân của tích
Ta có
∆(xk yk ) = xk+1 ∆yk + yk ∆xk .
Thật vậy,
∆(xk yk ) = xk+1 yk+1 − xk yk
= xk+1 yk+1 − xk+1 yk + yk xk+1 − xk yk
= xk+1 (yk+1 − yk ) + yk (xk+1 − xk )
= xk+1 ∆yk + yk ∆xk .

(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)


17

b. Định lý Leibnitz cho sai phân
Ta có cơng thức sau đây
∆n (xk yk ) = xk ∆n yk +

n
1

+ ... +

(∆xk )(∆n−1 )yk+1 +

n
n

n
2

(∆2 xk )(∆n−2 yk+2 )

(∆n xk )(yk+n ).
(1.32)

Chứng minh. Sử dụng định nghĩa toán tử E1 và E2 , tương ứng tác
động lên xk và yk ta nhận được
E1 (xk yk ) = xk+1 yk ,

E2 (xk yk ) = xk yk+1 ,

E1 E2 (xk yk ) = xk+1 yk+1 .

Do đó ta có E = E1 E2 . Ta định nghĩa thêm các toán tử ∆1 và ∆2 thỏa
mãn
∆1 = E1 − 1,

∆2 = E2 − 1.

Do vậy
∆ = E − 1 = E1 E2 − 1 = (1 + ∆1 )E2 − 1
= E2 + ∆1 E2 − 1 = ∆2 + ∆1 E2
và
∆n (xk yk ) = (∆2 + ∆1 E2 )n (xk yk ).

Khai triển hạng tử (∆2 + ∆1 E2 )n ta được
∆n (xk yk )= ∆n2 +

n
1

= x k ∆ n yk +

∆n−1
2 ∆1 E2 +
n
1

n
2

∆21 E22 +. . .+

(∆xk )(∆n−1 yk+1 ) +. . .+

n
n
n
n

∆n1 E2n (xk yk )
(∆n xk )(yk+n ).

Đây chính là kết quả trình bày trong phương trình (1.32).

18

c. Sai phân của thương
Sai phân của thương được cho bởi công thức sau
xk
yk

∆

=

yk ∆xk − xk ∆yk
.
yk yk+1

Thật vậy, ta có
xk
yk

∆

xk+1 xk
xk+1 yk − yk+1 xk
−
=
yk+1
yk
yk yk+1
(xk+1 − xk )yk − xk (yk+1 − yk )

=
yk yk+1
yk ∆xk − xk ∆yk
=
.
yk yk+1
=

d. Sai phân của tổng hữu hạn
Đặt
Sk = y 1 + y 2 + y 3 + . . . + y k .
Do đó,
Sk+1 = y1 + y2 + y3 + . . . + yk + yk+1
và
∆Sk = Sk+1 − Sk = yk+1 .
Ta minh họa các tính chất trên bằng một số ví dụ sau đây
Ví dụ 1.11 Với yk = 1 ∀k, khi đó
(1.33)

∆1 = 1 − 1 = 0.
Với yk = k, khi đó
∆k = (k + 1) − k = 1.
Với yk = k n , trong đó n là một số nguyên dương, khi đó
∆k n = (k + 1)n − k n
= nk n−1 +

n
2

k n−2 + . . . +

n
n−1

k + 1.


19

Với yk = (−1)k khi đó
∆(−1)k = (−1)k+1 − (−1)k = 2(−1)k+1 .
Với yk = k(−1)k khi đó
∆k(−1)k = (k + 1)(−1)k+1 − k(−1)k = −(2k + 1)(−1)k .
Với yk = ak khi đó
∆ak = ak+1 − ak = (a − 1)ak
và
∆n ak = (a − 1)n ak .
Với yk = cos(ak) khi đó
∆ cos(ak) = cos(ak + a) − cos(ak)
= cos a cos(ak) − sin a sin(ak) − cos(ka)
= (cos a − 1) cos(ak) − sin a sin(ak).
Ví dụ 1.12 Cho đa thức bậc n
Pk = a0 k n + a1 k n−1 + . . . + an .
Khi đó
∆n Pk = a0 n!
và
∆n+m Pk = 0,

m = 1, 2, ....

Thật vậy
∆Pk =[a0 (k + 1)n + a1 (k + 1)n−1 + . . . + an ]
− (a0 k n + a1 k n−1 + . . . + an )

=a0 nk n−1 + các hạng tử có bậc thấp hơn (n − 1)
và
∆2 Pk = a0 n(n − 1)k n−2 + các hạng tử có bậc thấp hơn (n − 2).


20

Do đó, mỗi lần áp tốn tử sai phân lại giảm bậc đi một và thêm một
thừa số vào tích liên tiếp n(n − 1)(n − 2) . . . . Thực hiện quá trình này
n lần ta được

∆n Pk = a0 n(n − 1)(n − 2) . . . (1) = a0 n!

(1.34)

Do vế bên tay phải của phương trình (1.34) là một hằng số nên khi áp
tốn tử sai phân thêm vào thì sẽ cho kết quả bằng 0.

1.6.

Toán tử ∆−1 và phép lấy tổng

Ta định nghĩa ∆−1 yk là toán tử thỏa mãn
∆(∆−1 yk ) = yk .

(1.35)

Đặt zk = ∆−1 yk khi đó từ phương trình (1.35)
∆zk = zk+1 − zk = yk ,
và
zk+1 − zk = yk ,
zk − zk−1 = yk−1 ,
zk−1 − zk−2 = yk−2 ,
...
z 2 − z 1 = y1 .
Cộng vế với về ta nhận được
zk+1 − z1 = y1 + y2 + . . . + yk−1 + yk
hay
k

yr ,

zk+1 = z1 +
r=1

và

k−1

zk = z1 +

yr .
r=1

(1.36)

21

Do đó, thế zk = ∆−1 yk , ta nhận được
k−1
−1

yr + constant,

∆ yk =
r=1

vì z1 được thay bởi một hằng số tùy ý.
Như vậy, ∆−1 yk là một hàm số mà sai phân của nó bằng yk . Hơn nữa,
với số nguyên dương n bất kỳ, ta định nghĩa ∆−n yk là một hàm mà sai
phân thứ n của nó là yk . Như vậy
∆−n yk = ∆−1 (∆−n+1 yk ).
Do đó,
k−1
−2

−1

−1

∆ yk = ∆ (∆ yk ) = ∆

−1

yr + c1

r=1

k−1 m−1

yr + ∆−1 c1 + c2 ,

=
r=1 r=1

trong đó c1 và c2 là hằng số tùy ý. Ta có thể xác định ∆−1 c1 do ∆zk = 1
tức là zk = k+ hằng số. Như vậy
k−1 m−1
−2

y r + c 1 k + c2 .

∆ yk =
r=1 r=1

Theo cách tương tự, ta có
∆−3 yk = ∆−1 (∆−2 yk )
k−1 l−1 m−1

y r + c1 k 2 + c2 k + c3

=
l=1 m=1 r=1

trong đó c1 , c2 và c3 là hằng số tùy ý. Như vậy, ta có thể tổng qt kết
quả trên bởi cơng thức

∆−n yk = (

)n yk + c1 k n−1 + c2 k n−2 + . . . + cn ,

trong đó n hằng số ci là tùy ý.
Bây giờ, ta chứng minh cơng thức tổng từng phần, từ phương trình
(1.28), ta có
∆(xk yk ) = xk+1 ∆y + yk ∆xk ,


22

hoặc
yk ∆xk = ∆(xk yk ) − xk+1 ∆yk .
Áp dụng toán tử ∆−1 cho cả hai vế ta được
∆−1 (yk ∆xk ) = ∆−1 ∆(xk yk ) − ∆−1 (xk+1 ∆yk ),
và

k−1

k−1

r=1

yr ∆xr = xk yk −

xr+1 ∆yr + constant.

(1.37)

r=1

Công thức (1.37) được gọi là công thức tổng từng phần.
Ta có đinh lý dưới đây, thường được biết đến với tên gọi định lý cơ
bản của phép tính tổng.
Định lý 1.4 Nếu ∆Fk = fk và a, b ≥ a là số nguyên thì
b

k=a

(1.38)

fk = F (b + 1) − F (a).

Chứng minh. Định lý này suy trực tiếp từ biểu thức được cho bởi
phương trình (1.36).
Sau đây ta sẽ chứng minh công thức biến đổi Abel sau
n

n

xk yk = xn+1
k=1

k=1

n

yk −

n

(∆xk
k=1

yk ).

(1.39)

k=1

Sử dụng công thức tổng từng phần bởi phương trình (1.37) và định lý
cơ bản của phép tính tổng, ta thu được:
n

n

k=1

fk ∆gk = fn+1 gn+1 − f1 g1 −

gk+1 ∆fk

(1.40)

k=1

Trong đó fk và gk là các hàm của k. Ta đặt fk = xk , ∆gk = yk , do đó
n−1

k=1

n−1

∆gk = gn − g1 =

và

yk
k=1

n−1

yk

gn = g1 +
k=1


23

Thế những kết quả này vào phương trình (1.40) được
n

n

n

xk yk = xn+1 (g1 +
k=1

k=1

yk ) − x 1 y1 −
n

= xn+1 g1 − x1 g1 −

[∆xk (g1 +
k=1
k

(∆xk
k=1

k

r=1

)]
r=1
n

yr ) + xn+1 g1 − x1 g1 −

g1 ∆xk .
k=1

Do vậy
n

xn+1 g1 − g1 − x1 g1 −

k=1

n

g1 ∆xk = xn+1 g1 − x1 g1 − g1

Từ đó ta nhận được phương trình (1.39).

k=1

(xk+1 − xk ) = 0