Mot so bai toan kho BD HSG toan 6phan 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Mét sè bµi to¸n khã «n luyÖn hsg to¸n 6 (p. 2) (BT nâng cao và một số chuyên đề toán 6 – Bùi Văn Tuyên) 19. Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kỳ trong các số đó đều là một số âm. Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là một số âm? Bài toán còn đúng không nếu thay 18 sè bëi 19 sè . 20. a) T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn sao cho tæng b»ng tÝch . b) T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn sao cho tÝch cña chóng b»ng hiÖu . 21. T×m x, y Î Z biÕt : a) xy + 3x – 7y = 21 b) xy + 3x – 2y = 11 22. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn d¬ng nhá h¬n 10 cña x vµ y sao cho 3x – 4y = - 12 23. Tìm n ẻ Z để : 2 a) n - 7 lµ béi cña n + 3 2 b) n + 3 lµ béi cña n - 7. x- 4 4 = vaø x - y = 5 y 3 3 Î Z 24. T×m x,y biÕt : 25. T×m x Î Z biÕt (x+5)(3x-12) > 0. 26. Chøng minh r»ng : 1.3.5...39 1 = 20 a) 21.22.23...40 2 A=. 1.3.5...(2n - 1) 1 = n (n Î N* ) b) (n +1)(n + 2)(n + 3)...2n 2. n +1 n- 3. 27. Cho ph©n sè a) Tìm n để A có giá trị nguyên. b) Tìm n để A là phân số tối giản. 28. Tìm m, n ẻ Z để cho 1 n 1 + = a) m 6 2 (tr. 73) S=. 29. Cho. m 2 1 - = b) 2 n 2. 1 1 1 1 2 8 + 2 + 2 + ... + 2 <S < 2 2 3 4 9 . Chøng minh r»ng : 5 9. * 30. Cho a,b,c Î Z ; x + y + z = 5.. b c a c a b S1 = x + z; S2 = x + y; S3 = z + y a a b b c c BiÕt. Chøng minh r»ng : S1 + S2 + S3 ³ 10. tr 75.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 31. Tuæi cña anh hiÖn nay gÊp 3 lÇn tuæi cña em lóc ngêi anh b»ng tuæi hiÖn nay cña ngêi em. §Õn khi tuæi cña em b»ng tuæi anh hiÖn nay cña ngêi anh th× tæng sè tuæi cña hai anh em lµ 35. TÝnh tuæi cña anh vµ em hiÖn nay. 31 32 33 60 . . ... = 1.3.5...59 32. Chøng tá r»ng : 2 2 2 2. 33. Cho hai phân số có tổng bằng 5 lần tích của chúng. Tính tổng các số nghich đảo của hai phân số đó. 1 2 3 30 34. Cho S = 1 + 3 + 3 + 3 +... + 3 . Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải lµ sè chÝnh ph¬ng.. 35. Chứng minh rằng :. P=. 2! 2! 2! 2! + + + ... + <1( n Î N ; n ³ 3) 3! 4! 5! n!. 1 1 1 2 2 + + + ... + = x( x +1) 9 36. Tìm x Î N bieát : 21 28 36. Híng dÉn gi¶i 19. Ta chia 18 sè lµm 3 nhãm, mçi nhãm 6 sè. V× tæng cña 6 sè bÊt kú lµ mét sè ©m nªn tæng c¸c sè trong mçi nhãm lµ mét sè ©m. Vëy tæng cña 3 nhãm tøc lµ tæng cña 18 sè lµ mét sè ©m. NÕu thay 18 sè b»ng 19 sè th× trong 19 sè Ýt nhÊt còng cã mét sè ©m. (v× nÕu kh«ng cã sè âm nào thì tổng của 6 số bất kỳ không thể là một số âm). Ta tách riêng số âm đó ra còn lại 18 số . Theo c/m trên thì tổng của 18 số là một số âm, cộng với số âm đã tách riêng ra từ đầu sẽ đợc một số âm, tức là tổng của 19 số đã cho là một số âm. 20. a) T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn sao cho tæng b»ng tÝch . b) T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn sao cho tÝch cña chóng b»ng hiÖu . Gi¶i a) Gọi hai số nguyên đó là x, y. Theo bµi ra ta cã : xy = x + y Û xy - x- y = 0 Û xy - x- y +1 = 1 Û x(y -1)- (y -1) = 1 Û (x -1)(y -1) = 1. Ta cã b¶ng sau : x- 1 y-1 x y. 1 1 2 2. -1 -1 0 0. b) Gọi hai số nguyên đó là x, y. Theo bµi ra ta cã : xy = x - y Û xy - x+ y = 0 Û xy - x + y - 1 = -1 Û x(y -1) + (y -1) = 1 Û (x +1)(y -1) = -1. Ta cã b¶ng sau : x+ 1. 1. -1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> y-1 x y 21.T×m x, y Î Z biÕt :. -1 0 0. 1 -2 2. a. x = 7 ; y Î Z hoÆc x Î Z ; y = -3 b. (x-2)(y+3)= 5 22.Ta thÊy 3x M3; -21M3 Þ 4yM3 Vì (4;3) = 1 nên y M3 ị y = 3k (0 < k < 4) . Thay y = 3k vào 3x – 4y = - 12 ta đợc : 3x – 4.3k = - 12 Þ x = 4k-7 2 2 2 23. a) n - 7 = n + 3n - 3n - 9 + 2 = (n + 3n) - (3n + 9) + 2 = n(n + 3) - 3(n + 3) + 2. } V× n - 7 lµ béi cña n + 3 nªn 2 lµ béi cña n + 3. VËy n + 3 { Ta cã b¶ng sau: n+3 1 -1 2 -2 n -2 -4 -1 -5 2 2 b) n + 3 lµ béi cña n - 7 nªn (n + 3 )(n-3) lµ béi cña n - 7 Î ±1; ±2. 2. 2 2 2 2 2 hay n - 9Mn - 7 Þ n - 7 - 2Mn - 7 Þ 2Mn - 7. { VËy Ta cã b¶ng sau:. n 2 - 7 Î ±1; ±2} n2 - 7. n n. 2. 1 8 Lo¹i. -1 6 Lo¹i. 2 9. ±3. -2 5 Lo¹i. x- 4 4 = vaø x - y = 5 y 3 3 Î Z 24. T×m x,y biÕt : x- 4 4 = y 3 3 nªn 3(x-4) = 4(y-3) Þ 3x-12=4y-12 Þ 3x=4y(1) V× MÆt kh¸c x-y=5 Þ x=5+y (2). Tõ (1) Þ 3(5+y) = 4y Þ 15+3y = 4y Þ y = 15. Thay vµo (2) Þ x = 20. VËy x = 20; y = 15. ìï x + 5 > 0 ïí ï 25. (x+5)(3x-12) > 0 Þ HoÆc ïî 3 x - 12 > 0 hoÆc. - TH. ìï x + 5 > 0 ïí Þ ïîï 3 x - 12 > 0. ìï x >- 5 ïí Þ x >4 ïîï x > 4. ïìï x + 5 < 0 Þ í ïîï 3 x - 12 < 0. ïìï x <- 5 Þ x <- 5 í ïîï x < 4. ìï x + 5 < 0 ïí ïïî 3 x - 12 < 0. - TH VËy víi x > 4 hoÆc x < -5 th× (x + 5)(3x - 12) > 0 26. a).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1.3.5...39 (1.3.5...39).(2.4.6...40) (1.2.3.4.5...39.40) = = 21.22.23...40 (21.22.23...40).(2.4.6...40) (21.22.23...40).220 (1.2.3.4...20) (1.2.3.4.5...39.40) 1 = = 20 20 (1.2.3.4...40).2 2. b) 1.3.5...(2n - 1) (1.3.5...(2n - 1)).(2.4.6...2 n) = (n +1)(n + 2)(n + 3)...2n é(n +1)(n + 2)(n + 3)...2 nù.(2.4.6...2 n) ë û (1.2.3.4.5...2n) 1 = = (n Î N* ) é(n +1)(n + 2)(n + 3)...2nù.(1.2.3...n).2 n 2 n ë û. 27. Cho ph©n sè a). A=. A=. n +1 n- 3. n +1 n - 3 + 4 4 = =1+ n- 3 n- 3 n- 3. } A cã gi¸ trÞ nguyªn khi n – 3 Î ¦(4)= { Ta cã b¶ng sau: n-3 1 -1 2 -2 4 -4 n 4 2 5 1 7 -1 b) §Ó A lµ ph©n sè tèi gi¶n th× (n + 1, n - 3) = 1 hay (n – 3, 4) = 1 Þ n - 3 /M2 hay n lµ sè ch½n. ±1; ±2; ±4. 1 n 1 6 mn 3m + = Þ + = Þ 6 + mn = 3m Þ 3m - mn = 6 Þ m(3 - n) = 6 28. a) m 6 2 6m 6m 6m. Ta cã b¶ng sau: m 1 3-n 6 n -3. -1 -6 9. 2 3 0. -2 -3 6. 3 2 1. -3 -2 5. 6 1 2. m 2 1 mn 4 n - = Þ = Þ mn - 4 = n Þ mn - n = 4 Þ n(m - 1) = 4 b) 2 n 2 2 n 2 n 2 n. Ta cã b¶ng sau: n m-1 m S=. 29. Cho. 1 4 5. -1 -4 -3. 2 2 3. -2 -2 -1. 4 1 2. -4 -1 0. 1 1 1 1 2 8 + 2 + 2 + ... + 2 <S < 2 2 3 4 9 . Chøng minh r»ng : 5 9. 30. Ta cã : S1 + S2 + S3 = b c a c a b b a c b c a ( x + z) + ( x + y) + ( z + y ) = ( x + x ) + ( y + y) + ( z + z) a a b b c c a b b c a c b a c b c a = ( + ) x + ( + ) y + ( + z) ³ 2 x + 2 y + 2 z = 2( x + y + z) = 2.5 = 10 a b b c a c =. VËy : S1 + S2 + S3 ³ 10. -6 -1 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 31. I ìï Tuoåi em ïí ï Tríc ®©y ïî Tuoåi anh. M. II ìï Tuoåi em ïí ï Hieän nay ïî Tuoåi anh. M. IIÍ Sau naøy. ìï Tuoåi em ïí ïïî Tuoåi anh. M. } 35. Ta vẽ sơ đồ gồm 3 phần: - Tuoåi anh trong phaàn I baèng tuoåi em trong phaàn II - Tuoåi anh trong phaàn II baèng tuoåi em trong phaàn III Hiệu giữa tuổi anh và tuổi em trong mọi đoạn thẳng đều bằng nhau, giả sử là M. 35.3 = 15 Từ sơ đồ ta thấy tuổi anh hiện nay là 3 + 4 (tuoåi) 35.2 = 10 3 + 4 Tuoåi em hieän nay laø : (tuoåi). 32. Ta coù : 31 32 33 60 31.32.33...60 (31.32.33...60).(1.2.3...30) . . ... = = 2 2 2 2 230 230.(1.2.3...30) (1.3.5...59).(2.4.6...60) = = 1.3.5...59 2.4.6...60 a c vaø d . Theo bµi ra ta cã : 33. Gọi hai p/số đó là b a c a c ad + bc ac + = 5( . ) Û = 5. Û ad + bc = 5ac b d b d bd bd b d bc + ad 5ac + = = =5 ac ac Tổng các số nghịch đảo của 2 p/số là : a c S = (1 + 31 + 32 + 33 ) + (34 + 35 + 36 + 37 ) + ... + (324 + 325 + 326 + 327 ) + (328 + 329 + 330 ) = (1 + 31 + 32 + 33 ) + 34 (1 + 31 + 32 + 33 ) +... + 324 (1 + 31 + 32 + 33 ) + (328 + 329 + 330 ) 4 24 28 29 30 34. Ta coù : = 40 + 40.3 +... + 40.3 + (3 + 3 + 3 ) 28 29 30 Vậy chữ số tận cùng của S là chữ số tận cùng của tổng 3 + 3 +3 28 29 30 4.7 4.7 2 4.7 Ta coù : 3 + 3 +3 = 3 + 3.3 + 3 .3 = ...1 +...3 +...9 = ...3.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Vậy tổng S có chữ số tận cùng là 3. Vì soá chính phöông khoâng coù taän cuøng laø 3 neân suy ra S khoâng phaûi laø soá chính phöông. 35. Ta coù æ1 1 1 2! 2! 2! 2! 1ö ÷ + + + ... + = 2!ç ç + + +... + ÷ ÷ ÷ ç 3! 4! 5! n! n !ø è3! 4! 5! æ1 æ1 1 1 1 ö 1 1 1 ö 1 1÷ ÷ ç ÷ ÷ < 2.ç + + ... + = 2. + + ... + ç + ç ÷ è ÷ ÷ ç ç2 3 3 4 (n - 1)n ø (n - 1) n ÷ è2.3 3.4 4.5 ø æ1 1 ÷ ö 2 = 2.ç - ÷ = 1- < 1(n Î N ; n ³ 3) ç ÷ ç n è2 n ÷ ø P=. 36. Ta coù : 1 1 1 2 2 + + + ... + = 21 28 36 x( x +1) 9 2 2 2 2 2 Þ + + + ... + = 42 56 72 x ( x +1) 9 1 1 1 1 2 Þ 2.( + + +... + = ) 6.7 7.8 8.9 x( x +1) 9 æ ö 2 1 1 ÷ 1 1 1 1 1 1 1 ÷ Þ 2ç = Þ = Þ = - = Þ x +1 = 18 Þ x = 17 ç ÷ ÷ ç 6 x +1 9 x +1 6 9 18 è6 x +1ø 9. ***************************.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>