Bài tập Tính giới hạn bằng định nghĩa – Toán 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.. Bài 1.. Cho dãy số.  an . xác định bởi :. 1  a1 a  a   3 2 an 1  2an  2an  2  3an 2  4an  1 . . Chứng minh rằng với mọi số thực. a 0 thì dãy  an  hội tụ. Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy  an  .. Hướng dẫn giải Nếu a  0 thì Nếu a  0 thì. a. 1 2 a (do bất đẳng thức AM-GM).. a. 1 1 2 a   2 a a (do bất đẳng thức AM-GM) nên .. * Nếu a 1 thì a1 2 . Ta chứng minh: an 2, n   .. Hiển nhiên a1 2 . Giả sử Vậy. ak 2  ak 1 . lim an lim 2 2. 2.23  2.22  2 2 3.2 2  4.2  1 .. .. a  0  * . Nếu a 1 thì a1  2 . Ta chứng minh an  2 n   .. Rõ ràng a1  2 . . Giả sử ak  2 . Ta chứng minh ak 1  2 . ak 1  2 . 2ak 3  2ak 2  2 2  2  2ak  ak  2   0 2 3ak  4ak  1 ( đúng).. a Ta chứng minh  n  là dãy giảm, thật vậy :. 2  an3  2an 2  an  2   an  1  an  2  n, an 1  an   0 3an 2  4an  1 3an 2  4an  1 .. ( do tử âm, mẫu dương vì..

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  2 7  an  3 3an 2  4an  1  0    2 7  an  3 . . Mà. an  2 . 2 7  3an 2  4an  1  0 3 )..  an  giảm và bị chặn dưới   an  có giới hạn là L . lim an 1 lim. 2 an 3  2 a n 2  2 2 L3  2 L2  2  3an 2  4 an  1 3L2  4 L  1.  L 2  an  2  L  1 . .. Vậy lim an 2 . . Nếu a  0 thì a1  2 . Tương tự, ta có:. 2  an3  2an 2  an  2   an  1  an  2  n, an 1  an   0 3an 2  4an  1 3an 2  4an  1 .. a a nên  n  tăng. Hơn nữa  n  bị chặn trên bởi  1 , thật vậy. ak 1   1 . 2 ak 3  2 a k 2  2   1 3ak 2  4ak  1.  ak  1. 2. (2a  3)  0. .. a a Vậy  n  tăng và bị chặn trên   n  có giới hạn là L . an   1, n , an 1  an  0, n L. 2 L3  2 L2  2  L  1  an   1 L 2  3L2  4 L  1 .. Vậy lim an  1 . Tóm lại: + Nếu a 1 thì lim an 2 . a  0  + Nếu a 1 thì lim an 2 .. + Nếu a  0 thì lim an  1 ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 2.. Cho dãy số.  xn .  x1  0  1 2 3 2015  *  xn 1 xn  x  x 2  x3    x 2015  n    n n n n được xác định bởi  . Tìm giới.  hạn của dãy nxn khi n   , với  là số thực cho trước.. Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh được xn  0, n 1 bằng qui nạp. Ta có. 2.  1 1  1 xn 1  xn  , n 1 xn21   xn   xn2  2  2  xn2  2 ; n 1 xn xn  xn  .. x 2  x 2  2  xn2 2  4   x12  2  n  1 Bởi vậy n  N, n 2 thì n n  1 .  xn  1, n 2 và lim xn  n  . *. Với n  N , đặt. xn 1 xn . xn  1; n 2  0  tn . .. 1 2 3 2015 tn  2  3  2015  tn xn xn xn xn . trong đó. t xn2 , với t 2  3  2014  2015 (1), suy ra. 2. 2 n 1. x.   2t 1 1  x  xn   tn   xn2  2  tn2  2  2 xntn  n  2 xn xn xn   . khi n   . 2 n. Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy  bn  ta có. lim bn . n  . 2 suy ra. lim. n  .  b1 x12  2 2 với bn xn  xn 1 , n 2. .. b1  b2  bn lim bn 2. n   n .. 2 2 2 2 2 2 2 n 1 xn2  xn  xn  1    xn 1  xn  2    x2  x1   x1 b1  b2  bn lim  .   n   x 2 2 . n n n Mà n suy ra. n 1  n   x 2 2 như sau (chứng minh định lý trung n Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp lim. bình Cesaro). c : c x 2  2; cn xn2  xn2 1  2 Xét dãy  n  1 1 với n 2,3 . lim cn 0. n  . *. nên   0 tồn tại m  N sao cho. cn .  ,  n m. 2 ..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Gọi. M max  ci. . với 1 i m  1 ..  2  m  1 M  2  m  1 M  m  1 M   m    1  m'     m 2. Với  ở trên tồn tại thì hay n  max  m, m '. Xét n. |  i 1ci | n.  . n. c i m i n. . ta có..  . m 1 i 1. | ci |. n.  n  m  1 . n.  2   m  1 M     m  1 M      . n 2 m 2 2 o đó theo. n. định nghĩa. lim. |  i 1ci | n. n  . 0. .. 2 2 2 2 2 2 2 n 1 xn2  xn  xn  1    xn  1  xn  2    x2  x1   x1 c1  c2  cn lim  .   2 n   x 2 2 . n n n n . suy ra. Nếu   2 thì. n.xn n.xn 2 . 1 khi n   2 ..   2 2 Nếu    2 thì n.xn xn .n.xn   khi n   ..   2 2 Nếu    2 thì n.xn xn .n.xn  0 khi n   .. Bài 3.. Cho hai số. a1 , b1. với. 0  b1 . a. 1. 1. .Lập hai dãy số.  an  ,  bn . với n 1, 2,.. .Theo quy tắc. 1 an 1  (an  bn ) b  a .b lim an lim bn n 1 n 2 sau: giải nghĩa cái đó là:. , n 1 Tính: n   và n   . .. Hướng dẫn giải Tính a2 , b2 với. 0  b1  a1  1.  ta có thể chọn 0  a  2 sao cho: b1 cosa ,.. 2 Suy ra a1 cos a .. 1 1 a a2  (cos 2 a  cos a)  cos a(cos a 1) cos a.cos 2 2 2 2.. a a b2  cos a.cos 2 .cos a cos a.cos 2 2.. Bằng quy nạp, chứng minh được:. a a a a a an cos a.cos ...cos n  1 cos n 1 (1) bn cos a.cos ...cos n  1 (2) 2 2 2 2 2 ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nhân hai vế của (1) và (2) cho a 2n  1 , an  a 2n.sin n  1 2 sin 2a.cos. bn . sin. a 2n  1 và áp dụng công thức sin 2a được:.. sin 2a a 2n.sin n  1 2 .. Tính giới hạn:. lim an  n . Bài 4.. sin 2a , 2a. lim bn  n . Cho dãy số. sin 2a 2a ..  an  , a1 1 và. an1 an . 1 a lim n  2 an .Chứng minh: n   n .. Hướng dẫn giải ak21 ak2 . 1 2 ak2. n. n 1. i 2. j 1. n 1. 1  2(n  1). 2 j 1 a j.  ai2  a 2j  . .. n 1. 1 . 2 j 1 a j. an2 2n  1  . Vậy an  2n  1 , n 2. .. ak2  2k  1 k 2  n 1. 1. a. Suyra: k 2. 4 k. 1 1 1 1 1 1 1        4 2 2 a k (2k-1) (2k-1)  1 4k(k+1) 4  k  1 k  .. 1 1 1  (1  )  4 n 1 4. n 1. 1. a j 1. 4 j.  1. 1 5  4 4. n 1. Suyra: Vậy:. n 1 1 1 5  ( n  1)  (n  1) (n 2).   2 4 4 j 1 a j j 1 a j. .. 5( n  1) (n 2) 2 .. an2  2n  1 . Suyra: Dođó: Bài 5.. n 2;. lim. n . an n. 2n-1<a n < 2n-1+ 2. .. 5(n-1)  2. 2-. 5(n-1) 1 an <  2n-1+ n 2 n .. .. Cho hai số. a1 , b1. với. a1 cos 2.   b1 cos 8, 8 . Lập hai dãy số  an  ,  bn  với n 1, 2,... theo. 1 an 1  (an  bn ) b  a .b lim an lim bn n 1 n 2 quy tắc sau:. , n 1 . Tính: n  và n  ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Hướng dẫn giải +Tính a2 , b2 :. 1   1     a2  (cos 2  cos )  cos (cos x  1) cos .cos 2 2 8 8 2 8 8 8 16 .. b2  cos.      cos 2 cos cos cos 8 16 8 8 16 .. + Bằng quy nạp, chứng minh được:.        cos 2 ...cos n cos n (1) bn cos cos 2 ...cos n (2) 2.4 2 .4 2 .4 2 .4 2.4 2 .4 2 .4 .. an cos. +Nhân hai vế của (1) và (2) cho   .cos n 4 2 .4 , an   2n.sin n 2 .4. sin.  2n .4 và áp dụng công thức sin 2a được:..  4 bn   2n.sin n 2 .4 .. sin. sin. +Tính giới hạn:. 4sin lim an  n . Bài 6.. .  4 ,. 4sin lim bn  n . Cho dãy số.  un . .  4. .. biết:..  u1 1  * u  un , n  N  n 1 1  u 2 n  . lim (un n ). Hãy tính n . . Hướng dẫn giải. Ta có: u1  0  un  0 , n  N . *. un  1  un un / (1  un2 )  un ( un3 ) / (1  un2 )  0 n  N * ..   un . là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 ..  lim un a (a  R, a 0) n  . ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2 Từ un  1 un / (1  un ), cho n   ta được:.. un 0 a a / (1  a 3 )  a 0. Vậy xlim   . 2 2 * Đặt vn 1/ (un  1)  1/ (un ), n  N . 2 2 2 2 Ta có vn ((1  un ) / un )  1/ (un ) 2  un  2 khi n   ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có:.. 1 lim. n  . v1  v2  vn u 2  lim n    n. 2 n 1.  n. 1 u12. 2. ..  1 1  1 1  2  2  2  2 u u n  u n u1  lim  n 1 2 n   n . 1 lim. u. 2 n 1. . 1 u n2. n. Mà n . 1 v u2 1  lim n 0 lim 1  lim 0 n   n ; n  n n  n .. 1 u2 1 1 lim n 2  lim 2  lim (un n )  2 n   n n   n.u n   2. ⇒ n. Bài 7.. Cho dãy. S Ta lập dãy  n .  U n. U1 2  *  U n2  2009U n  n  N  U n 1  2010 xác định bởi:  .. n  Ui  S   n   lim S i 1 U i 1  1  với  .Tính x   n .. Hướng dẫn giải Tacó. a1 . a0 0 2 .. Giả sử a1 , a2 ,..., an  1  0 . Tacó. a0  an an  1  1  2  ...  n  1 0 1  1 1  1 1 1  an    an  1     an  2  ...      a0 1 2  2 3  n n 1   an  1  an  2  ...  a0 0  1 2 n ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Hay. an . an  1 an  2 a0 a1   ...   1.2 2.3 (n  1)n n(n  1) .. Do a1 , a2 ,..., an  1  0 nên.  an  1 an  2 a1   2an  1 3an  2 na    ...    ...  1    (n  1)n   1 2 n  1  1.2 2.3 2. a a a2 a   n  1  n  2  ...  1   02 2 (n  1)  n  1. .. a a a02 a1    n  1  n  2  ...    3a na  ( n  1)n   2a  1.2 2.3 n 2  n  1  n 2  ...  1  2 n  1 .  1. Ta lại có. 2an  1 3an  2 3a na a   2a   ...  1 n  n 1  n  2  ...  1  1 2 n 1 2n n  1  n a a  a  a  n  n  1  n  2  ...  1  n   0   a0 . 2 n  1  1  n. .. a a a0 a1    n  1  n  2  ...    2 ( n  1)n  n .  1.2 2.3  an . an  1 an  2 a0 a a0 a1   ...    02  0 1.2 2.3 (n  1)n n(n 1) n n(n  1) .. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.. Bài 8.. Cho dãy số.  un  xác định bởi u1 1,. un 1 . 1  un2  1 , n 1. un. a) Chứng minh:. un tan.  , n 1. 2n 1 . u b) Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của  n  .. HƯỚNG DẪN GIẢI a) Chứng minh bằng quy nạp toán học. b) Nhận xét. 0.      , n 1  0;  n 1 2 4 và hàm số tanx đồng biến trên  4  .. u nên dãy số  n  giảm và bị chặn dưới bởi số tan 0 0 ..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> tan.  1. 4. và bị chặn trên bởi số Bài 9.. Cho dãy số. x1  0; xn 1 xn . ..  xn  xác định bởi:.. 1 2 3 2014 2015  2  3  ...  2014  2015 , n  * . xn xn xn xn xn . *. 1.Với mỗi n   ,đặt hạn đó.. yn . n xn2 .Chứng minh dãy số.  yn  có giới hạn hữu hạn và tính giới. nx 2.Tìm các số  để dãy  n  có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0 .. HƯỚNG DẪN GIẢI 1.Từ giả thiết suy ra Suy ra. xn 1  xn . 1 1  0  xn21  xn2  2  2  xn2  2 xn xn .. xn21  xn2  2  xn2 1  2  ...  x12  2n. do đó lim xn  .. Xét  1 2 3 2014 2015   1 2 3 2014 2015  xn21  xn2  xn1  xn   xn1  xn   2 xn   2  3  ...  2014  2015    2  3  ...  2014  2015  xn xn xn xn xn   xn xn xn xn xn  . .  1 2 3 2014 2015   2 3 2014 2015   2  2  3  4  ...  2015  2016   1   2  ...  2013  2014  xn xn xn xn xn   xn xn xn xn   . lim  xn21  xn2  2. Suy ra. .. 2 2 2 2 2 2 2 xn2  xn  xn  1    xn 1  xn 2   ...   x2  x1   x1  n Ta có n .. Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có. xn2  xn2 1    xn2 1  xn2 2   ...   x22  x12   x12  xn2 lim lim 2 n n .. Do đó. lim. n 1  xn2 2 ..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 2.Xét. zn nxn . n  2 xn xn2 .. Từ đó:. +) Nếu    2 thì lim zn  . +)Nếu    2 thì lim zn 0 . +) Nếu   2 thì. lim zn . 1 2.. Vậy   2 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài. Bài 10.. Cho dãy số.  yn . 3 thỏa mãn y1  0, yn 1  y1  y2  ...  yn , n 1 ..  yn    Chứng minh rằng dãy số  n  có giới hạn bằng 0 khi n   .. Hướng dẫn giải 3 3 Từ giả thiết ta có yn 1  yn  yn , n 2 , do đó dãy số  yn  n2 là dãy tăng, vì. 3 3 2 2 vậy yn1  yn  yn  yn ( yn  1)  yn 1 ( yn 1) ..  yn21  yn2  1 n 2  yn21  yn2  1  ...  y22  n  1 , . 2. y22  n  1 y2  n  1  y  lim 0   n 1   2 (n 1) 2 . Mà (n  1) 2  n 1  nên theo định lý kẹp ta có. 2. y y  y  lim  n 1  0  lim n 1 0  lim n 0 n 1 n  n 1  .. Bài 11.. Tìm tất cả các hằng số. un  (0;1) n 1  un 1 (1  un )  c. c  0 sao cho mọi dãy số dãy số. .. đều hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (un ) . Hướng dẫn giải Ta xét các trường hợp sau. + Nếu. c. cun c 1 un 1   4cun ; n 1 1  un un (1  un ) 4 , thì từ giả thiết, ta có .. (un ) thỏa mãn:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> n 1 Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra un  (4c) u1 . Do 4c  1 nên un   khi n   . Do đó,. c. 1 4 không thỏa mãn.. + Nếu. 0c .  1  1  4c 1  1  4 c  a (1  b)  c 1 a, b   ;  , a  b  2 2   4 , thì tồn tại sao cho b(1  a )  c . Thật.  1  1  4c 1  1  4 c  a   ;  , 2 2   đặt b a  x ( x  0) , thì. vây, lấy a (1  b)  c  a (1  a  x )  c  x . a (1  a )  c a .. Chú ý là b(1  a)  a(1  a)  c. Do đó, ta chỉ cần chọn x  0 như trên và b a  x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên. Xét dãy số (un ) xác định bởi. a nêu n 2m un  b nêu n 2m  1 .. thì dãy (un ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, mãn. + Nếu. c. 0c. 1 4 cũng không thỏa. un 1 1 un 1   un 4(1  un ) 4un (1  un ) 4 , thì . Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó,. (un ) hội tụ. 1 1 1 x(1  x )  x . lim un  . x  li m u , n thì từ giả thiết ta có 4 hay 2 Vậy 2 . Đặt. Bài 12.. 1   x1  2  2  x  x  xn ; n 1 n 1 n n2 Cho dãy số (xn) thỏa mãn:  . Chứng minh dãy số trên có giới hạn.. Hướng dẫn giải *) Ta chứng minh xn  n Thật vậy: n 1 đúng.. 2. . n  n  1 2. với mọi n  1 (1)..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Giả sử (1) đúng với n k  1: xk  k 2.  xk 1   k  1  xk . 2. . k  k  1 2. .. xk2 xk 2 2   k 1 x  k 2    k  1 2  k 2 k  k . 2. 3  k  1 k  k  1  k  1  k  k  1 2   1   k  1   2 2 k 2  2 . .  k  1  3  k  1 k  1  k  2   k    2  2 2  (đpcm).. x *) Ta chứng minh  n  có giới hạn.. NX:  xn  tăng và xn  0 với mọi n . 1 1 1 2 1 1  1 1       2  1    2  xn  2 xn xn 1 xn  n n  n  1 x1 xn  n 2  2 với mọi n 1. Ta có. Vậy  xn  có giới hạn. Bài 13.. Cho dãy số.  un . xác định bởi. u1 2014,. un 1 . un4  20132 , n  * un3  un  4026 . Đặt. n. 1 , n  * u  2013 k 1 . Tính lim vn .. vn . 3 k. Hướng dẫn giải un4  20132 (un  2013)(un3  2013)  2013  3 3 u  2013  u  u  4026 (un  2013)  (un  2013) (1). n  1 n n + Ta có * Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un  2013, n   .. 1 1 1 1 1 1   3   3 + Từ (1) suy ra un 1  2013 un  2013 un  2013  un  2013 un  2013 un 1  2013 . n   1 1 1 1 1 vn     1   uk 1  2013  u1  2013 uk 1  2013 uk 1  2013 . k 1  uk  2013 Do đó. + Ta chứng minh lim un  . Thật vậy, ta có. un 1  un . un2  4026un  20132 (un  2013) 2   0, n  * 3 3 un  un  4026 un  un  4026 ..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> u Suy ra  n  là dãy tăng, ta có 2014 u1  u2  ... . u Giả sử  n  bị chặn trên và lim un a thì a  2014 . Khi đó. a. a 4  20132 a 3  a  4026 ..  a 2013  2014 ( vô lí). Suy ra  un  không bị chặn trên, do đó lim un  .. Vậy lim vn lim. Bài 14.. (1 . 1 ) 1 uk 1  2013 .. Cho dãy số.  un . u1 2013 un21 lim  n   u 2 .u 2 ...u 2 u un2  2, n  * 1 2 n . xác định bởi:  n 1 . Tìm. Hướng dẫn giải 1 u1 a  , a - Vì u1 2013  2 nên đặt. a>1. .. 2. 1 1  u2 u  2  a    2 a 2  2 a a .  Ta có 2 1. Bằng quy nạp, ta chứng minh được. n. un 1 a 2 . 1 a2. n. , n  . .. - Xét. n. n. 1  i 1 ui  a 2  2i 1  a i 1 i 1 . 1. 1. 1   1  n  2i 1 1   1   2n 1     a  a      a  2i 1    a    a  2n  1.0   a   a  i 1  a  a   a    2. 1  n 1   a    a 2  2n  2 2  2 un 1 un21 1  1 a    a   2 2 2   lim 2 2 2  a    a    4 20132  4 1.0 2 n   u .u ...u u1 .u2 ...un a  a   2n 1  1 2 n  a  2n  a   . Bài 15.. Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an 1  3an ) 4 . Tính lim an .. Hướng dẫn giải Đặt an 2  bn . Từ giả thiết suy ra lim (5bn1  3bn ) 0 . Với số dương  bé tùy ý, tồn tại số N sao cho với n  N thì ta có:. 5bn 1  3bn .  5 (1)..

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  5bn 1  3bn   bn   b . b  0 5 - Nếu n 1 n thì từ (1) dẫn đến .. - Xét trường hợp bn 1.bn  0 hay bn1 , bn cùng dấu, chẳng hạn chúng cùng dương.   3(2bn1  bn )  bn 1  bn 1  2 b  b  0 5 dẫn đến 5. . Nếu n1 n thì kết hợp với (1):. Mà từ (1) ta có. 3bn  5bn 1 .  5.  b  n. .. 5 1  (bn 1  bn )  bn  2 5 dẫn đến bn   . . Nếu 2bn1  bn  0 thì kết hợp với (1): 2. Tóm lại luôn có. bn  . , hay lim(bn ) 0 .. Vậy lim(an ) 2 . Bài 16.. Cho dãy (un ) xác định như sau: u1 = 3 và n. nguyên dương n , đặt. vn  i 1. 1. u. 2014 i. un1 . un2015  2un  4 , un2014  un  6 n 1, 2, 3... . Với mỗi số. vn  4 . Tìm nlim   .. Hướng dẫn giải un2015  2un  4 (un  2)(un  4) un 1  2  2014 2  , (*) un  un  6 (un  4)  (un  2) Đặt  2014 ta có .. Bằng quy nạp ta chứng minh được un  3, n  1 . un 1  2un  4 (un  2) 2 un1  un    un    0, un 3 un  un  6 un  u n  6 Xét . Do đó (un ) là dãy tăng và 3 u1  u2    un   . Giả sử (un ) bị chặn trên, suy ra. lim un a. n  . , a  3 . Khi đó ta có. lim u  (vô lí), suy ra (un ) không bị chặn trên. Vậy n  n .. 1 1 1 1 1 1       Từ (*) suy ra un1  2 un  2 un  4 , hay un  4 un  2 un 1  2 . n. n  1 1  1      1   2014  4 i 1  ui  2 ui 1  2  un1  2 . i 1 ui. vn . 1. a. a 1  a  4 a  a  6  a 2  3.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Vậy. lim vn  lim (1 . n  . Bài 17.. n  . Cho dãy số. 1 ) 1 un1  2 ..  un . u1 3  3 u  3un 1  2  un , n 1 được xác định bởi  n1 . Chứng minh rằng dãy.  un  có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Dãy số  un . u1 3  3 u  3un1  2  un , n 1 được xác định bởi  n1 .. Ta chứng minh un  2, n 1 . Thật vậy ta có u1 3  2 . uk31  3uk 1  2  uk  2  2 2 u  2,  k  1 k Giả sử , khi đó nên. uk31  3uk 1  2  0   uk 1  1. 2.  uk 1  2   0 . uk 1  2 .. Do đó theo nguyên lý quy nạp thì un  2, n 1 . Xét hàm số Ta có. f  t  t 3  3t. 2,    trên khoảng  .. f '  t  3t 2  3  0, t  2. .. Do đó hàm số f  t  đồng biến trên khoảng  2,    . 3 3 f u  f  u2   u1  u2 Mặt khác ta có u1  3u1 18  5 u2  3u2   1  .. Giả sử. uk  uk 1  k 1 . 2  uk  2  uk 1  uk31  3uk 1  uk32  3uk 2 ..  f  uk 1   f  uk 2   uk 1  uk 2 .. u u Do đó un  un1 , n 1  Dãy  n  là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy  n  có giới hạn hữu hạn.. Giả sử được:.. lim un a  a 2 . 3 . Từ hệ thức truy hồi un1  3un1  2  un chuyển qua giới hạn ta. 2. 3 5 4 3 2 a 3  3a  2  a   a  3a  2  a   a  2   a  2a  2a  4a  a  1 0 ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> . .   a  2  a 2  a 3  4   2a 3  a  1  a  1 0  a 2  a 2 . .. Vậy lim un 2 . Bài 18.. Cho dãy số n. Tìm:. lim  i 1.  xn  1 xi  1. thỏa mãn: x1 2015 và. xn 1  xn .. .. Hướng dẫn giải * * Ta có: xn  0 n  N .. xn 1  x Và: n. . . 2. xn  1  0 n  N *.   xn . là dãy số tăng.. * Đặt un  xn . *  un xác định vì xn  0 n  N và un  0 n  N * ..  un 1  xn 1  xn 1 un21. .. Nên từ giả thiết (*) ta có:. 2. un21 un2 .  un 1  un .  un 1  . un 1 un2  un. 2. .. n  N * (1).. u * Xét dãy số  n  ta có:. 2 *   un  . un 1  un un  0 n  N tăng.. u . Giả sử  n  có giới hạn là a . Từ (1) ta có:. a a 2  a  a 0 (loại).. .  un  tăng và không bị chặn.  lim un  .. * Ta có:. un2 u u u u 1   2n1 n  n 1 n  1  1 2 un  1  un  1 un  un  un  .un un 1.un un un 1 . n. . 1. 1.  u  1 u i11. i. 1. . 1 un 1 .. . . xn  1. 2.  n  N  *. (*)..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> n.  lim  i 1. 1 1 1  1 lim    ui  1 2015 .  u1 un 1  n. Vậy:. lim . Bài 19.. i 1. 1 1  . xi  1 2015. .. u1 5 .  un 1  un  12 un   u    Cho dãy số ; (n = 1; 2;.) được xác định bởi: Chứng minh dãy số n có giới hạn. Tìm giới hạn đó.. Hướng dẫn giải Dự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình:. a 0 a  a  12   2  a 4 a  a  12  .. Nhận xét u1 5 . u2  u1  12  17  u1 u3  u2  12 . .. 17  12  u2 .... .. u Ta dự đoán dãy số  n  là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 4 tức là un 4 .. Chứng minh dãy số un bị chặn: tức là un 4 . khi n 1, u1 5 4 vậy n 1 đúng. Giả sử uk 4 , ta chứng minh: uk 1 4 . Thật vậy ta có:. uk 1  uk  12  0  uk21 uk  12  uk21  12 uk 4  uk21 16  uk 1 4 .. Vậy dãy số un bị chặn dưới. u Ta chứng minh dãy số  n  là dãy số giảm.. Ta có:. un 1  un  un  12  un .  un2  un  12  (u  4)(un  3)  un 1  un  n 0 un  12  un un  12  un. u Vậy dãy số  n  giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn.. (vì un 4 )..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Đặt lim un a thì lim un1 a. . Ta có:. un 1  un  12  lim un 1 lim un  12  a  a  12  a 4 .. Vậy lim un 4. . Bài 20..  xn . Cho dãy số. được xác định bởi..  x1 2,1   xn  2  xn2  8 xn  4  * , n 1, 2,...  xn 1   2 . n. yn . Với mỗi số nguyên dương n, đặt. i 1. 1 x  4 . Tìm lim yn . 2 i. Hướng dẫn giải Ta có kết quả sau: với số thực a 2. 2. a  8a  4 2. . 2. a 2. a  4a  4 2. . bất kì, ta có.. a  2   a  2 2. a. ..   xn  là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn lim xn  L  2 .. 2,1  x1  x2  .... Do đó. a2. Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình. x. 2. x 2. x  8x  4 2. 2.  x  4  x  3   x  2 . .. phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2. Suy ra dãy  x  tăng và không bị chặn trên nên n. Ta có. xn 1 . 2. xn  2 . xn  8 xn  4 2. 2. 2.  2 xn 1  xn  2  xn  8 xn  4. 2. 2.   2 xn 1  xn  2   xn  8 xn  4  xn 2  4  xn  3   xn  2 . . . 1 xn  2. . 1 2. xn 1  4. xn  3 2. xn 1  4. . 1 xn  2. . . lim xn . xn  2  1 2. x n 1  4 1 xn 1  2. .. . 1 xn 1  2. . 1 2. xn 1  4. .. .. .. ..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 1. n. Suy ra. yn  i 1. 2. xi  4. . 1 x1  2. . 1 xn 1  2. 10 . 1 xn 1  2. .. Vậy lim yn 10 . Bài 21.. Cho dãy số.  xn . 2 được xác định bởi x1 2016, xn 1  xn  xn  1, n 1, 2,3,... .. x a)Chứng minh rằng  n  tăng và lim xn  . 1 1 1 yn 2016    ...   . xn   x1 x2 b)Với mỗi số nguyên dương n , đặt Tính lim yn . .. Hướng dẫn giải 2. 2 x a)Ta có xn1  xn  xn  2 xn  1  xn  1 0  xn 1  xn , n 1. Do đó  n  tăng.. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng xn  n  1, n 1 (1). Thật vậy, (1) đúng với n 1 .Giả sử (1) đúng với n (n  1) thì. xn 1  xn  xn  1  1  n  n  1  1 n 2  n  1  n  2. .. x Vậy (1) đúng với mọi n. Từ  n  tăng ngặt và xn  n  1, n 1 suy ra lim xn . . 1. b)Ta có. xn 1  1  xn  xn  1. . Suy ra xn1  1. . 1 1 1   xn  xn  1 xn  1 xn. .. 1 1 1   Từ đó xn xn  1 xn 1  1 .. 1 1  1  1 1 1  1   yn 2016    ...   2016     2016   xn   x1 x2  x1  1 xn 1  1   2015 xn 1  1  .. Từ. lim xn   lim. 1 2016 0 lim yn  . xn 2015 . . Vậy.  an  n 1 : an sin1  2 . Bài 22.. Cho dãy. 2. sin. 1 2 1 1  3 sin  ...  n 2 sin n 1 2 3 n . Chứng minh dãy. .  an  a lim n2  n2    n1 hội tụ và tính n .. Hướng dẫn giải Bổ đề 1:. x  sin x  x . 1 3 x x  0 6 ..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 1 1 1 1    ...  2 3 n 0 lim n Bổ đề 2: .. Đặt. xn n 2 sin. 1 1 1 1 1 1  sin    k  xk  k  3 n . Áp dụng bổ đề 1: k k k 6k 6k ..  1  2  ...  n  an  1  2  ...  n . 1 1 1  1   ...   6 2 n.. 1 1 1   ...  2 n 2 6n .. 1 an 1  2   2 Chia các vế cho n : 2 n 2. Cho. n   , và lấy giới hạn, suy ra. Bài 23.. Cho dãy số. u1 2, un 1. lim.  n 1 . an 1  . n2 2. . 2. un  1. n 1. lim. n  . . Tính giới hạn. un n .. Hướng dẫn giải n2 un n  1 , n 1 Ta chứng minh quy nạp n 1 .. Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1 . 2.  k  1 u k  2 k2 uk k  1, k 1 k 1 Giả sử đã có k 1 . Ta chứng minh k  2 . 2. (k  1) 2  k  1 uk k  1  uk 1   u  1 k 2 . k Thật vậy: 2. k2 (k  1)2  k  1 1 uk   uk 1   2 k  2  2 k  2 . k k 1 uk  1 k  k 1 1 k 1 .. u n2 un n  1, n 1  lim n 1 n   n Vậy ta có n  1 . x 1 =α 2 x n+1=. Bài 24.. Cho α>2 và dãy số. a) Chứng minh: x n >1. ( xn). với:. ¿ với ∀ n∈N .. {¿. ¿¿. √. 3 x2 n+. n+ 3 n. ( n∈ N ¿). ¿ ¿. ..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> b) Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Ta chứng minh x n >1 Ta có: x 1=α. ¿ với ∀ n∈N bằng quy nạp.. nên x 1 >1 .. ¿ Giả sử: x k >1 với k ∈N .. 2. Ta có: 3 x k >3 Vậy x n >1. và. n+1 >1 n. nên. √. 3 x 2n +. n+3 >2 n . Suyra: x n+1 >1 .. ¿ với ∀ n∈N .. Ta chứng minh ( x n ) là dãy giảm bằng quy nạp. Vì α> 2 nên. √ 3 α2+4<2 α. .Ta có x 2 < x 1 .. 2 2 Giả sử: x k +1 < x k . Ta có: 3 x k +1 <3 x k. 3 x2k +1 +. n+1 và f ( n ) = n. là hàm nghịch biến nên:.. k+ 4 k+3 <3 x 2k + k +1 k .. Suy ra: x k +2 <x k +1 . Vậy ( x n ) là dãy giảm.. ( x n) lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ. lim x n=α .Ta. Đặt. có.  x1 1  * * 3 xn  4 (n  N )  un  un x2 n  1  n  N    xn 1  x  1 n . 2 α=√3 α 2 +1 ⇔α=1 .  xn . .. Vậy lim x n=1 . u 1= 2011. Bài 25.. Cho dãy số.  un . được xác định:. 2n un + 1 =|2n u n− 1| , n ∈ N ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. .. Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 2n un+1 =|2n . un −1|⇔un+1 =|un − n | 2 . Ta có.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 1– n Chứng minh : un  2 (bằng quy nạp). 0 *với n 1 ta có u1 2011  2 . 1– k *Giả sử uk  2 (với k  1 ). –k *Cần chứng minh : uk 1  2 .. −k 1−k −k −k u =|u −2 |>|2 −2 |=2 k+1 k Ta có . Suy ra điều phải chứng minh.. ⇒u n+1 =un −. –n. Từ đó ta có un – 2  0 với mọi n Ta có. u2 u1 . ⇒u n=u 1−. 1 2n .. 1 1 1 1 ; u3 u2  2 ; u4 u3  3 ;...; un un  1  n  1 2 2 2 2 .. ( 12 + 21 + 21 +. . .+ 2 1 ) 2. 3. n−1. .. 1 un =2011− . 2. 1−. Công thức tổng quát :. 1 2 1 2. n−1. (). =2011−1+. 1 2. n−1. (). .. Vậy lim un =2010 .. Bài 26.. u1 a   1 2013 un 1  un2  un , n     a   0;1 un   2014 2014 Cho số thực , xét dãy số với:  .. a) Chứng minh rằng: 0  un  1, n   . . u b) Chứng minh rằng  n  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.. Hướng dẫn giải  a) Chứng minh: 0  un  1, n    1 .. n 1: u1 a   0;1   1. đúng với n=1.. Giả sử 0  uk  1 với k 1, k   . Ta có: 0  uk  1  0 . 2013 2013 uk  2014 2014 .. 0  uk2  1  0 . 1 1 uk2  2014 2014 ..

<span class='text_page_counter'>(23)</span>  0. 1 2013 uk2  uk  1  0  u  1 k 1 2014 2014 ..  Vậy: 0  un  1, n   .. u b) Chứng minh rằng  n  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.. u Ta chứng minh:  n  là dãy tăng. n   , un 1  un . 1 2013 1  un2  un  u n  un  2014 2014 2014 .  un 1  un , n  . . un. u. n. .  un  2013   0  .. u hay  n  là dãy tăng.(2).. Từ (1),(2) suy ra  un  có giới hạn hữu hạn.Giả sử  un  có giới hạn là a,  o  a 1 . Ta có:. a. Bài 27.. 1 2013 a2  a  a 1 2014 2014 . Vậy lim un 1 .. 3  u1  2  u 1 u 3  2 , n  N  n 1 n 3 3 Cho dãy số(un) xác định như sau:  .. a) Chứng minh rằng:  1  un  2, n   . . u b) Chứng minh rằng  n  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.. Hướng dẫn giải 3 n 1: u1    1 2 a) Với: đúng với n=1.. Giả sử:  1  uk  2 với k 1, k   . 1 8 1 uk 1  2  u k3    uk  2   uk2  2uk  4   0  uk 1  2 3 3 3 Ta có: .. uk 1  1 . 1 3  uk 1  0  uk 1   1 3 ..   1  uk 1  2 . Vậy:  1  un  2, n    .. b). n   , un 1  un . 1 2  un  1  un  2   0  u  u , n   u n 1 n 3 hay  n  là dãy giảm (2).. u Từ (1),(2) suy ra  n  có giới hạn hữu hạn..

<span class='text_page_counter'>(24)</span> u Gọi a là giới hạn của  n  ,  1 a  2 . 1 2 a  a 3   a 1 3 3 Ta có . Vậy lim un  1 .. Bài 28.. Cho dãy số.  un . xác định bởi:. u1 1; un 1 . un2  un , n  N * 2015 . Tìm giới hạn sau:. u u u  lim  1  2  ...  n  n   u un 1   2 u3 .. Hướng dẫn giải Từ đề bài ta có:. un 1  un .  1 un 1  un2 2015     un un 1  . 2015 . Suy ra: un 1. 1  u u1 u2 1  1    ...  k 2015    2015  1   uk 1  u1 uk 1   uk 1  Ta có: u2 u3. .. Ta có  un  là dãy đơn điệu tăng và u1 1 . Nếu. lim un . n  . thì. . 2     0 2015 .. u ( vô lí vì  n  là dãy đơn điệu tăng và u1 1 ).. Suy ra:. lim un . n  . .. u u u  lim  1  2  ...  n  2015 n   u un 1   2 u3 Kết luận: .. Bài 29.. u1 2013 n N*    2 u  u  2un .un1  2013 0 Cho dãy số n xác định bởi  n . Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.. Hướng dẫn giải 2 Từ hệ thức truy hồi suy ra 2un .un 1 un  2013 .. Bằng quy nạp chứng minh được un > 0, với mọi n. Do đó ta có:. un  12  2013 1  2013  2013 un    un  1   2013, n 1   un . 2un  1 2 un  1  un. ..

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Mặt khác ta có :. un 1 un 2  2013 1 2013 1 1      1 un 2un 2 2 2un 2 2 2 .. (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2013 , do đó (un) có giới hạn hữu hạn. Đặt lim un a . Ta có : Bài 30.. a. a 2  2013  a  2013 . Vậy lim un  2013 . 2a. Cho dãy số.  xn . a) Chứng minh rằng. xác định bởi:. lim xn . n  . x1 4, xn 1 . xn4  9 , n  * xn3  xn  6 .. ;. n. b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt. yn  k 1. 1 x  3 . Tính lim yn . 3 k. Hướng dẫn giải. a) Xét.  xn  3  xn3  3 xn4  9 xn 1  3  3   * xn  xn  6  xn3  3   xn  3 . .. Bằng quy nạp chứng minh được xn  3, n 1 . xn4  9 xn2  6 xn  9 xn 1  xn  3  xn  3 xn  xn  6 xn  xn  6 .  Xét  xn 1  xn.  x  3  n 3 n. 2. x  xn  6.  0, n  *. .. x Do đó  n  là dãy tăng và 4  x1  x2  x3  ... ..  Giả sử  xn  bị chặn trên  lim xn a . Do đó:. a. a4  9  a 3  4 x a3  a  6 (vô lý). Suy ra  n  không bị chặn trên. Vậy lim xn  .. 1 1 1 1 1 1   3  3   b) Từ (*), suy ra: xn 1  3 xn  3 xn  3 xn  3 xn  3 xn 1  3 . n. Suy ra:. n  1 1 1 yn  3    xk 1  k 1 xk  3 k 1  xk  3.  1  1  3 xn1  3 ..

<span class='text_page_counter'>(26)</span>  1 lim yn lim  1   xn 1  Vậy. Bài 31..   1 3 ..  x1 1  xn2014 x12014 x22014  xn2015 u    ...   xn n  xn 1  x2 x3 xn 1 . 2015 Cho dãy số  . Tìm giới hạn của dãy số un với. Hướng dẫn giải xn 1 . . xn2015 x 2015 x  x xn2015  xn  xn 1  xn  n  n 1 n  2015 2015 xn 1 xn 2015xn 1 xn ..  1 x 2014 1 1 1  xn2014   n  2015    xn xn 1 2015 xn 1  xn xn 1  xn 1 ..  1  un 2015  1   xn 1   Từ đó ..  Dễ thấy  xn  là dãy tăng và 1 x1  x2  x3  ... . x  Giả sử  n  bị chặn trên  lim xn a . a 2015 a  a  a 0  1 x 2015 Do đó: (vô lý). Suy ra  n  không bị chặn trên. Vậy lim xn  ..  1  limu n lim 2015  1   2015 xn 1   Vậy .. Bài 32..  x1 1   xn2 x  x   n 1 n 2015 . Tìm giới hạn của dãy ( S n ) với Cho dãy số {xn } xác định bởi  Sn . x x1 x2   ...  n x2 x3 xn 1 .. Hướng dẫn giải  1 x  xn xn2 x 1  xn2 2  2015 n 1   n 2015   . xn 1  xn   2015  xn 1  xn  xn xn 1 xn xn 1 xn xn1  xn xn 1  . 2015. Suy ra:. Sn . 1  x x1 x2 1  1    ...  n 2015    2015  1   x2 x3 xn 1  x1 xn 1   xn 1  .. x  Dễ thấy  n  là dãy tăng và 1 x1  x2  x3  ... ..

<span class='text_page_counter'>(27)</span> x  Giả sử  n  bị chặn trên  lim xn a .. Do đó:. a. a2  a  a 0  1 x 2015 (vô lý). Suy ra  n  không bị chặn trên. Vậy lim xn  ..  1  limSn lim 2015  1   2015 xn 1   Vậy .  x1 1 n 1  S n  x  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1 k 1 xk  2 Cho dãy số ( xn ) xác định bởi  n 1 . Đặt . Tìm limSn .. Bài 33.. Hướng dẫn giải xn 1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1  ( xn 2  3 xn )( xn 2  3 xn  2)  1  xn2  3 xn  1. .. n 1 1 1 1 1 1 1 1  S n        x1  1 xn 1  1 2 xn 1  1 . k 1 xk  2 Ta có xn  2 xn 1 xn1 1 2. xn 1  xn  xn  1  0, n  N *. Dễ thấy:. x suy ra  n  là dãy tăng và 1 x1  x2  x3  ... .. x  Giả sử  n  bị chặn trên  lim xn a . 2 x Do đó: a a  3a 1  a  1  1 (vô lý). Suy ra  n  không bị chặn trên. Vậy lim xn  .. 1 1  1 limSn lim    2 xn 1  1  2  Vậy .. Bài 34.. Cho Sn . dãy. số. (un). xác. định. bởi:. 2016  u1  2015   2u u 2  2u , n   *  n 1 n n. 1 1 1  . . . u1  2 u2  2 un  2 Tính: limS . n. Hướng dẫn giải 2un 1 un  un  2   un 1  n. un  un  2   1  1  1  1  1  1 un 1 un un  2 un  2 un un 1 . 2. 1 1 1 2015 1     u1 un 1 2016 un 1 . k 1 uk  2.  Sn . .. Đặt.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> * Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un  0, n  N .. 1 2016 un 1  un  un 2  0, n  N * u1  u2  u3  ... u 2 Khi đó: suy ra  n  là dãy tăng và 2015 .. u  Giả sử  n  bị chặn trên  limu n a .. Do đó:. 2a a 2  2a  a 0 . 2016 2015 (vô lý). Suy ra  un  không bị chặn trên.. Vậy limu n  .  2015 1  2015 limSn lim    2016 un 1  2016  Vậy .. Bài 35.. Cho dãy số.  xn . xn4  9 x1 4, xn 1  3 , n  * xn  xn  6 xác định bởi: .. lim xn . a) Chứng minh rằng. n  . ;. n. b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt. yn  k 1. 1 x  3 . Tính lim yn . 3 k. Hướng dẫn giải. a) Xét.  xn  3  xn3  3 xn4  9 xn 1  3  3   * xn  xn  6  xn3  3   xn  3 . .. Bằng quy nạp chứng minh được xn  3, n 1 .  Xét. xn 1  xn .  xn 1  xn. xn4  9 xn2  6 xn  9  x  n xn3  xn  6 xn3  xn  6 ..  x  3  n 3 n. 2. x  xn  6.  0, n  *. .. x Do đó  n  là dãy tăng và 4  x1  x2  x3  ... .. x  Giả sử  n  bị chặn trên  lim xn a .. Do đó:. a. a4  9  a 3  4 x a3  a  6 (vô lý). Suy ra  n  không bị chặn trên. Vậy lim xn  . 1. b) Từ (*), suy ra: xn 1  3. . 1 1 1 1 1  3  3   xn  3 xn  3 xn  3 xn  3 xn 1  3 ..

<span class='text_page_counter'>(29)</span> n. Suy ra:. yn  k 1. n  1 1 1     3 xk  3 k 1  xk  3 xk 1 .  1 lim yn lim  1   xn 1  Vậy.   1 3 ..  1  1  3 xn1  3 ..

<span class='text_page_counter'>(30)</span>