CD BAT DANG THUC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>A. TÝnh chÊt luü thõa bËc hai: Ngay từ lớp 7 học sinh đã biết nhận xét về dấu của một số có luỹ thừa chẵn nắm đợc tính chất của luỹ thừa bậc hai “Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm”. A2 ≥ 0 a. (*). DÊu “=” x¶y ra khi a = 0. Lớp 8 học sinh đã đợc làm quen với hằng đẳng thức:. (A - B)2 = A2 – 2AB + B2 NÕu sö dông tÝnh chÊt (*) th× (A - B)2 ≥ 0 A,B. (I). ViÖc khai th¸c vµ sö dông s¸ng t¹o bÊt đẳng thức (I) giúp học sinh rèn luyện t duy và hình thành phơng pháp chứng minh cũng nh cách thức để hình thành bất đẳng thức mới từ bất đẳng thức đã biết. Từ bất đẳng thức (I): (a – b)2 ≥ 0  a2 + b2 ≥ 2ab . a b + b a. ≥2. (II) ë c¶ 3 B§T (I), (II), (III) dÊu “=” x¶y b.. (a + b)2 ≥ 4ab. (III). ra khi a =. B. Khai th¸c tÝnh chÊt luü thõa bËc hai. I/.Khai thác bất đẳng thức (I): (a – b)2 ≥ 0 Từ bất đẳng thức (I) ta có thể đổi biến đặt A = ay; B = bx khi đó (I) trở thành: (ay – bx )2 ≥ 0. a, b, x, y. DÊu “=” x¶y ra khi ay = bx  Khai triển và biến đổi:. a x = b y. a2y2 – 2axby + b2x2 ≥ 0.  a2y2 + b2x2 ≥ 2axby  a2y2 + b2x2 +a2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2axby + b2y2  (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 Nh vËy ta cã bµi to¸n: 1.Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng : (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 bộ số a, b, và x, y) Để khắc sâu các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ chứng minh bài toán b»ng nhiÒu c¸ch - Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa : A > B  A – B > 0. + LËp hiÖu A – B. + Chøng tá A – B > 0..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> + KÕt luËn A > B. + C¸ch 1 : XÐt hiÖu : (a + b )(x2 + y2) – (ax + by)2 = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2- b2y2 – 2axby 2. 2. = a2y2 - 2axby + b2x2 = (ay - bx)2 ≥ 0. luôn đúng  a, b, x, y.. VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 DÊu “=” x¶y ra khi - Ph¬ng ph¸p 2 :. + C¸ch 2 : Ta cã. a x = b y. Phép biến đổi tơng đơng. + Biến đổi A > B  A1 > B1  A2 > B2  … (*) + VËy A > B. (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2.  a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2  a2y2 - 2axby + b2x2 ≥ 0  (ay – bx)2 ≥ 0 DÊu “=” x¶y ra khi. luôn đúng  a, b, x, y.. a x = b y. Bất đẳng thức cuối cùng là đúng. VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 - Phơng pháp 3 : Sử dụng bất đẳng thức đã biết + C¸ch 3 : Ta cã. (ay - bx)2 ≥ 0.  a2y2– 2aybx + b2x2 ≥ 0  a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2(céng 2 vÕ a2x2, b2y2).  (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 - Ph¬ng ph¸p 4 : Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng. + Gi¶ sö cã ®iÒu tr¸i víi kÕt luËn. + Suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc điều đã biết. + Giả sử sai – kết luận đúng. + C¸ch 4: Gi¶ sö (a2 + b2)(x2 + y2) < (ax + by)2  a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 < a2x2+ 2·by + b2y2  a2y2– 2aybx + b2x2 < 0  (ay - bx)2 < 0. V« lý VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 Bèn ph¬ng ph¸p trªn thÓ hiÖn trong 4 c¸ch gi¶i bµi to¸n 1 lµ 4 ph¬ng ph¸p th«ng thờng để chứng minh bất đẳng thức. Khai thác tiếp tục bất đẳng thức (I) ta có: (ay - bx)2 ≥ 0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> (az - cx)2 ≥ 0  (ay - bx)2 + (az - cx)2 + (cy - bz)2 ≥ 0 (cy - bz)2 ≥ 0 Khai triển, chuyển vế cộng vào 2 vế BĐT : a 2x2 + b2y2 + c2z2 ta đợc: a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2≥a2x2+b2y2+c2z2+2axby+2axcz+2bycz  (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2 2.Bµi to¸n 2 : CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2 ( B§T Bunhiac«pxki cho 2 bé 3 sè a, b, c vµ x, y, z). Gi¶i XÐt hiÖu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2 =a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-2abxy-2acxz-2bcyz =(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2) =(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ 0 DÊu “=” x¶y ra khi. a b c = = x y z. B»ng c¸ch lµm t¬ng tù ta cã thÓ ph¸t triÓn bµi to¸n B§T Bunhiac«pxki tæng qu¸t: (a21 + a22 +…+ a2n)(x21 + x22 +…+ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 +…+ anxn )2 DÊu “=” x¶y ra khi. a1 a2 a = =. ..= n x1 x2 xn. Để ý rằng nếu a và x là 2 số nghịch đảo của nhau thì ax = 1 (x =. 1 a. ). Từ bài toán 2 ta có thể đặt ra bài toán: 3.Bµi to¸n 3: Cho ba sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng Chøng minh r»ng: (a + b + c)(. 1 + 1 + 1 )≥9 a b c. Gi¶i Theo bµi to¸n 2 (B§T Bunhiac«pxki): (a + b + c)(  (a + b + c)(. 1 1 1 1 + 1 + 1 ) ≥ (√ a + √ b + √c ) a b c √a √b √c 1 1 1 + + ) ≥ 32 = 9 a b c. DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c. Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)(. 1 + 1 + 1 )≥ 9 x y z. Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta đợc BĐT: 1 + 1 + 1 )≥ 9 a+b b+c c+ a a b c + + +3) ≥ 9 b+c a+c b+a. 2(a + b + c)(  (. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . a b c + + ≥ b+c a+c b+a. 3 2. Bài toán tìm đợc: 4.Bµi to¸n 4: Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng CMR:. a + b + c ≥ b+c a+c b+a. 3 2. Gi¶i ¸p dông bµi to¸n 2 tacã: 1 1 1 1 + √ b+ c + √c +a ) + 1 + 1 )≥ ( √ a+b a+b b+c c+ a √ a+b √b +c √ c+ a 1 1 1  2(a + b + c)( a+b + b+c + c+ a )≥ 9 a b c  ( b+c + a+c + b+a +3) ≥ 9 a b c 3  b+c + a+c + b+a ≥ 2 (1). (a+b+c+b+c+a)(. 2. Ta tiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n 4 theo 2 bíc sau: - Bíc 1 : Nh©n 2 vÕ cña (1) víi a+b+c > 0. (a + b + c)(. 1 + 1 + 1 )≥ a+b b+c c+ a. 3 (a + b + c) 2. - Bớc 2 : Khai triển rút gọn vế trái sau đó chuyển vế ta đợc: a2 + b2 + c 2 ≥ b+c a+c b+a. a+b+ c 2. §©y lµ néi dung cña bµi to¸n 5 5.Bµi to¸n 5 : Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng 2. 2. 2. a + b + c ≥ b+c a+c b+a. CMR:. a+b+ c 2. Chứng minh bài toán 5 ta có thể dẫn từ bài toán 1 theo hớng khai thác để đi đến kết quả. Nhng ta có thể giải độc lập nh sau: - Phơng pháp 1: áp dụng bất đẳng thức bài toán 2 [(. a 2 ¿ +( √b+ c. b 2 ¿ +( √ b+ a. c 2 ¿ ][( √b+ a. √ b+c )2+ ( √ a+c )2+ ( √ a+b. a b c b+c + a+ c+ a+b ¿ 2 √ √ √ ) ] ≥ √b+ c √ a+c √ a+b ¿ a2 b2 c2  2(a + b + c)( + + ) ≥ (a + b + c)2 b+c a+c b+a 2 2 2 a+b+ c  a + b + c ≥ (®pcm) 2 b+c c+ a b+a 2. - Phơng pháp 2: áp dụng bất đẳng thức Cô si.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a2 b+c. +. b+c 4. ≥2. +. c+ a 4. ≥b. 2. b c+ a. VËy. √. c2 + b+a ≥ c 4 b+a 2 2 2 a + b + c b+c c+ a b+a. a2 b+ c = a . b+ c 4. a+b+ c 2. ≥. (céng theo vÕ 3 B§T trªn ). Ta tiÕn hµnh khai th¸c bµi to¸n 5 b»ng c¸ch: +Trang bÞ thªm cho bµi to¸n 5 ®iÒu kiÖn : abc = 1. + ¸p dông B§T C« si cho 3 sè d¬ng : a + b + c ≥ 3 √3 abc = 3x1 = 3 6.Bµi to¸n 6: Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : abc = 1. a2 + b2 + c 2 b+c c+ a b+a. CMR. ≥ 3. (2). 2. Gi¶i Theo bµi to¸n 5 2. 2. 2. a + b + c b+c c+ a b+a. ≥. a+b+ c 2. a2 + b2 + c 2 b+c c+ a b+a. ≥. 3 2. 3 ≥ 3 √ abc = 3 x 1 = 3. 2. 2. Xem xÐt bµi to¸n 6 ta nhËn thÊy: + Nếu đặt a = Khi đó :. 1 ;b= x. x+y=. 1 a. 1 ;c= y. 1 z. + 1 = a+b b. 1 xyz.  abc =. = 1.. = c(a + b).. ab. T¬ng tù : y + z = a(b + c). z + x= b(c + a). Do đó BĐT (2)  . a3 a(b+ c) 1 x ( y+z) 3. b3 b(a+ c). + +. 1 y (z + x ) 3. c3 c( a+b). +. +. ≥. 3 . 2. 1 ≥ z (x + y ) 3. 7.Bµi to¸n 7: Cho x, y, z lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : xyz = 1 CMR :. 1 x ( y+z) 3. +. 1 y (z+x) 3. +. 1 ≥ z (x+ y) 3. Gi¶i. 3 . 2. 3 . 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> §Æt a =. 1 ;b= x. 1 ;c= y. 1 z.  abc =. 1 xyz. = 1.. Ta cã : x+y = c(a+b) y+z = a(b+c) z+x = b(c+a) Do đó :. 1 3 x ( y+z). +. 1 3 y (z + x ). +. 1 3 z (x+ y). 2. =. 2. 2. a + b + c b+c c+ a b+a. ≥. 3 (theo 2. bµi to¸n 6) Nh vậy từ tính chất về luỹ thừa bậc hai ta đã khai thác đợc chùm 7 bài toán từ dễ đến khó hoặc rất khó mặt khác cũng rèn luyện t duy sáng tạo của học sinh. II/.Khai thác bất đẳng thức II. §Æt. a =x> 0 b. a b + b a. ≥2. th× b = 1 . Ta cã ngay bµi to¸n: a. x. 8. Bµi to¸n 8: Cho sè d¬ng x. 1 ≥ 2. x Khai th¸c bµi to¸n 8 ta thÊy: x. 1 =1 . x. Chøng minh r»ng: x +. Do đó nếu ta dùng 4 số dơng a, b, c, d thoả mãn : abcd=1. Khi đó: ab=. 1 cd. (cd= 1 ¿ ab. Ta khám phá đợc bài toán mới: 9. Bµi to¸n 9: Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1 CMR: ab + cd ≥ 2 (hoÆc ac + bd ≥ 2; ad + bc ≥ 2) (Chứng minh bất đẳng thức này chỉ cần đa về bài toán 8 bằng cách dùng điều kiện abcd=1) L¹i cã: a2 + b2 ≥ 2ab ; c2 + d2 ≥ 2cd. Do đó : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2ab + 2cd Liªn kÕt víi bµi to¸n 9 ta cã: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2(ab + cd) ≥ 4 10. Bµi to¸n 10: Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1 CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4 TiÕp tôc liªn kÕt bµi to¸n 9 vµ 10 ta cã: 11. Bµi to¸n 11: Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10 Gi¶i Tõ ®iÒu kiÖn a. b, c, d > 0 vµ abcd=1 1 cd. Ta cã: : ab =. 1 bc. ; ad =. ; ca =. 1 bd. Do đó: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd) 1 ¿ + (bc + cd. = (cd +. 1 ¿ bc. + (bd +. 1 ¿ bd. ≥ 2 + 2 + 2 = 6 (Bµi to¸n 9). Mµ a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4 (bµi to¸n 10) a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10. →. DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = d Vây từ bất đẳng thức (II) ta khai thác thành 1 chùm 4 BĐT (8 →11 ) III. Khai thác bất đẳng thức III: (a + b)2 ≥ 4ab a, b Là bất đẳng thức đa ra mối quan hệ của bình phơng1tổng với tích cuả chúng. §Ó khai th¸c B§T (III) ta thªm ®iÒu kiÖn a,b lµ 2 sè d¬ng. Chia 2 vế của (III) cho ab(a + b) ta đợc: a+b ab. 4 a+b. ≥. 1 a. ⇔. 1 b. +. 4 a+b. ≥. 12. Bµi to¸n 12: Cho a,b lµ 2 sè d¬ng 1 a. Chøng minh r»ng:. +. 1 b. 4 a+b. ≥. Gi¶i 1 a. +. +. 1 b. XÐt hiÖu VËy. 1 a. 1 b. -. a(a+ b)+ b( a+b)− 4 ab 4 = a+b ab(a+b). 4 a+b. ≥. DÊu “=” x¶y ra khi a=b Khai th¸c bµi to¸n 12 t¬ng tù nh c¸ch khai th¸c bµi to¸n 1. Ta cã:. 1 a 1 b 1 c. + 1 ≥ + +. b 1 c 1 a. ≥ ≥. 4 c2 + d2 ≥ 4 a+b 4 b+c 4 c+ a. Do đó nếu cộng theo vế của 3 BĐT trên ta đợc: 1 a+b. +. 1 b+c. +. 1 c+ a. ≥. 13. Bµi to¸n 13: Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng.. ¿ 1 ¿ 2. 1 +¿ a. 1 +¿ b. 1 ¿ c. a+b. = (a − b)2 ≥ 0 ab ( ¿ ).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> CMR:. 1 a+b. 1 b+c. +. 1 c+ a. +. ¿ 1 ¿ 2. ≤. 1 +¿ a. 1 +¿ b. 1 ¿ c. Gi¶i Theo bµi to¸n 12: 1 a+b. ≤. 1 b+c. ≤. ¿ 1 ¿ 4 ¿ 1 ¿ 4 ¿ 1 ¿ 4. 1 ≤ c+ a. 1 +¿ a. 1 ) b. 1 +¿ b. 1 ) c. 1 +¿ c. 1 ) a. Céng theo vÕ cña 3 B§T trªn: 1 a+b. +. 1 b+c. +. 1 c+ a. ¿ 1 ¿ 2. ≤. 1 +¿ a. 1 +¿ b. 1 ¿ c. DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c Khai th¸c bµi to¸n 13 b»ng c¸ch : + §Æt a= x + y; b= y + z; c= z + x ¿ 1 ¿ 4 ¿ 1 1 1 =¿ ≤ ¿ b y+z 4 ¿ 1 1 1 =¿ ≤ ¿ c z+x 4 1 + Thªm ®iÒu kiÖn : 1 +¿ x y 1 =¿ a. 1 x+y. ≤. 1 x. +. 1 ) y. 1 y. + z ). 1. 1 z. + x ). 1. + 1 =4 z. Ta hình thành bài toán 14 là một BĐT đã là một bài thi đại học khối A năm 2005. Điều nµy cµng chøng tá viÖc häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc ngay tõ líp díi lµ v« cïng quan träng. 14. Bµi to¸n 14: Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n: 1 +¿ x. 1 2 x+ y+z. CMR:. +. 1 x +2 y + z. +. 1 x + y +2 z. 1 y. + 1 =4 z. ≤ 1. (§¹i häc khèi A – n¨m 2005) Gi¶i - C¸ch 1 Ta cã :. 1 2 x+ y+z. + 1 + 1 ) z. T¬ng tù:. z. =. 1 ( x+ y)+( x+z ). ≤. 1 ( 1 4 x+y. +. 1 )≤ y+z. 1 16. ( 1 + x. 1 y.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1 ≤ x +2 y + z. 1 16. (. 1 x. +. 1 y. +. 1 z. +. 1 ) z. 1 ≤ x + y +2 z. 1 16. (. 1 x. +. 1 y. +. 1 z. +. 1 ) z. 1 x +2 y + z. +. 1 x + y +2 z. ≤. 1 16. Céng theo vÕ 3 B§T trªn: 1 2 x+ y+z. Mµ. 1 +¿ x. VËy. +. 1 y. 1 +¿ x. .4(. 1 y. +. 1 ) z. + 1 =4 z. 1 2 x+ y+z. 1 x +2 y + z. +. 1 x + y +2 z. +. DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z =. ≤ 1. 4 3. - C¸ch 2: Ta cã. 1 1 = 2 x+ y+z 2 x +( y + z ). ≤. 1 ( 1 + 1 )≤ 4 2x y+z. 1 8x. +. 1 ( 1 + 1 )= 16 y z. 1 1 + + 1 8x 16 y 16 z. T¬ng tù: 1 x +2 y + z. 1 1 1 + + 16 x 8y 16 z. ≤. 1 ≤ x + y +2 z. 1 1 + + 16 x 16 y. 1 8z. Céng theo vÕ c¸c B§T:. VËy. 1 1 1 1 1 + + ≤ ( 2 x+ y+z x +2 y + z x + y +2 z 4 x 1 1 1 + + ≤ 1 2 x+ y+z x +2 y + z x + y +2 z. +. 1 y. +. 1 )=1 z. Khai thác bài toán 14 bằng cách đặt vào tam giác ta có: 15. Bµi to¸n 15: Xét tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p không đổi. CMR: ab. a+b+2 c. + bc. 2 a+ b+c. + ac. c+2 b+ c. ≤. p 2. Gi¶i ¸p dông bµi to¸n 12 Ta cã:. ab ab = ≤ 1 ( ab + ab ) a+b+2 c 4 a+c b+c (a+ c)+(b+c ) bc 1 bc bc ≤ ( + ) 2 a+ b+c 4 a+b a+c ac 1 ca ca ≤ ( + ) a+2 b+c 4 b+a a+b. Cộng theo vế của 3 BĐT ta đợc:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ab bc ac 1 ab ab + + ≤ ( + a+b+2 c 2 a+ b+c a+2 b+c 4 a+c b+c ca + ca ) = 1 (a + b + c) = 1 .2p = p b+a a+b 4 4 2 2p Dấu “=” xảy ra khi Δ ABC đều có a = b =c = 3. +. bc + a+b. bc a+c. +. TiÐp tôc khai th¸c b¶i to¸n trong tam gi¸c vÒ mèi quan hÖ gi÷a c¹nh cña tam gi¸c vµ chu vi cña nã ta cã: 16. Bµi to¸n 16 Trong Δ ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c là độ dài 3 cạnh ). CMR :. 1 p−a. 1 + p−b. +. 1 p−c. ≥2( 1 + 1 + 1 ) a. b. c. Gi¶i NhËn xÐt : p - a =. a+b+ c 2. -a=. b+c − a 2. > 0 ( vì b + c > a bất đẳng thức tam giác ). T¬ng tù : p - b > 0 ; p- c > 0. MÆt kh¸c : p - a + p - b = 2p - a - b = c p-b+p-c=a p-c+p-a=b Do đó ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức bài toán 12 nh sau: 1 p−a. +. 1 p−b. ≥. 4 ( p −a)+( p − b). 1 p−b. +. 1 p−c. ≥. 4 a. 1 p−c. +. 1 p−a. ≥. 4 b. =. 4 c. +. 1 b. Cộng theo vế của bất đẳng thức ta có : 1 p−a. +. 1 + p−b. 1 p−c. ≥2(. 1 a. +. 1 ) c. Dấu ‘=’ xảy ra khi Δ ABC đều. Email: Website: .

<span class='text_page_counter'>(11)</span>