Cac phep toan trong Q

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chủ đề: Các phép toán trong N. 1. Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân. a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi. 2. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân: (a+b) + c = a + (b+c); (a.b).c = a(b.c); + Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba , ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của hai số thứ hai và thứ ba. + Muốn nhân một tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba. 3. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a(b+ c) = ab + ac + Muốn nhân một số với một tổng , ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại. * Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ. * Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ∈ N; b≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho a= b.p. * Trong phép chia có dư: Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư ( a = b.p + r) số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia. Bài 1:. a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999; b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang , ta được số 123….999. Tính tổng các chữ số của số đó.. Bài 2:Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu. Bài 3: Cho một số có 3 chữ số abc ( a, b, c khác nhau và khác 0 ) . Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy ( Kể cả số ban đầu) Bài 4: Cho 4 chữ số a, b, c và số 0 ( a, b, c khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số? Bài 5: Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? Bài 6: Tìm hai số biết tổng của chúng là 176; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại. Bài 7: Từ 10 chữ số 0; 1; 2 ; …; 9 hãy ghép thành 5 số có 2 chữ số rồi cộng chúng lại. a) Tìm giá trị lớn nhất của tổng b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng Bài 8: Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0 a) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau b) Có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho Bài 9:Có 5 số tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng của chúng có tận cùng bằng 8 không? Bài 10:Tính giá trị của biểu thức a) A = (10–1).(100–2).(100–3) … (100 – n) với n ∈N* và tích trên có đúng 100 thừa số b) B = 13a + 19b + 4a – 2b với a + b = 100 Bài 11:Không tính giá trị cụ thể hãy so sánh: a)A=199.201 và B=200.200 b) C=35.53–18 và D=35+53.34 - Lớp 6 : Các phép toán trong N - Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> c) E=1998.1998 và F= 1996.2000 Bài 12:Hãy viết các số sau dưới dạng một tích của hai số tự nhiên liên tiếp a) 12 b) 1122 ; 111222 Bài 13:Tìm các chữ số a, b, c, d biết a. bcd .abc = abcabc Bài 14: Cho a, b n ∈N* ; a > 2 ; b > 2. Chứng tỏ rằng a + b < a.b Bài 15: a)Một số có 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới hơn số cũ là bao nhiêu? b)Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác nhau. Chứng tỏ rằng tổng của hai số đó chia hết cho 3 Bài 16:Chứng tỏ rằng trong một phép trừ , tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bao giờ cũng chia hết cho 2 Bài 17:Cho M = { 1; 13; 21; 29; 52 }. Tìm x, y ∈M biết 30 < x – y < 40 Bài 18:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2003 – 1003 : (999 – x) với x ∈N Bài19: Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng một số dư, a ≥ b Chứng tỏ rằng a–b chia hết cho m Bài 20: Trong một phép chia có số bị chia là 155; số dư là 12. Tìm số chia và thương Bài 21: Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư là 10. Tìm số chia Bài 22: Cho tổng S = 7 + 10 + 13 + … + 97 + 100 a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng b) Tìm số hạng thứ 22 c) Tính S Bài 23: Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho 7 dư 3; A = { x ∈N / x = 7.q + 3 ; q ∈N ; x ≤ 150 } a) Hãy liệt kê các phần tử của A thành một dãy số từ nhỏ đến lớn b) Tính tổng các phần tử của A Bài 24: Tính :. 6. 31. ;2. 32. 34. 12. ;7. 10. 20. ; 2003. Bài 25: Tìm số tự nhiên x biết: a) 2x – 15 = 17. ; 2009. 89. 03. b) (x – 2)2 = 1. c) x –105 :21 =15. d) (x- 105) :21 =15. e) ( x – 5)(x – 7) = 0. f) 541 + (218 – x) = 735. g) 96 – 3(x + 1) = 42. h) (x – 47) – 115 = 0. k) (x – 36):18 = 12 Bài 26: Tìm số tự nhiên n biết: a) 32 < 2n < 128. b) 2.16 > 2n > 4. Bài 27: Tính giá trị của biểu thức: A = (11.322.37 – 915) : (2 . 314)2 Bài 28: Hiệu của hai số là 862, chia số lớn cho số nhỏ ta được thương là 11 và dư 12. Tìm Bài 29: Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia bằng 72. Biết rằng thương là 3 và số dư là 8. Tìm số bị chia và số chia Bài 30: Tìm các số tự nhiên a , biết rằng khi chia a cho 3 thì thương là 15. - Lớp 6 : Các phép toán trong N - Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chủ đề: Các phép toán trong N. 4. Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân. a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi. 5. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân: (a+b) + c = a + (b+c); (a.b).c = a(b.c); + Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba , ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của hai số thứ hai và thứ ba. + Muốn nhân một tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba. 6. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a(b+ c) = ab + ac + Muốn nhân một số với một tổng , ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại. * Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ. * Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ∈ N; b≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho a= b.p. * Trong phép chia có dư: Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư ( a = b.p + r) số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia.. Bài 1:. a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999; b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang , ta được số 123….999. Tính tổng các chữ số của số đó. Giải . a) Ta có 1 + 2 + 3 + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( 2 + 998 ) +(3 + 997 ) …..+ (409 + 501 ) = 1000.250 = 250000. b) số 999 có tổng các chữ số bằng 27, vì thế nếu tách riêng số 999 , rồi kết hợp 1 với 998; 2 với 997 ; 3 với 996;… thành từng cặp để có tổng bằng 999, thì mỗi tổng như vậy đều có tổng các chữ số là 27.vì vậy có 499 tổng như vậy ,cộng thêm với số 999 cũng có tổng các chữ số bằng 27.do đó tổng các chữ số nêu trên là 27.50= 13500.. Bài 2:Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu. Giải : gọi số có hai chữ số phải tìm là ab trong đó a ,b là các số tự nhiên từ 1 đến 9.theo đề bài ,ta có: a0b = 9 ab hay 100a + b = 9( 10a + b ) hay 100a + b = 90a + 9b Do đó 5a = 4b. bằng phép thử trực tiếp ta thấy trong các số tự nhiên từ 1 đến 9 chỉ có a= 4 ,b = 5 thỏa mãn 4a = 5b. Số có hai chữ số phải tìm là 54. Bài 3: Cho một số có 3 chữ số abc ( a, b, c khác nhau và khác 0 ) . Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy ( Kể cả số ban đầu) HD: Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất cả : 3.2.1 = 6 (số ) Bài 4: Cho 4 chữ số a, b, c và số 0 ( a, b, c khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số? HD: Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn; 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất cả : 3.3.2.1 = 18 ( số) - Lớp 6 : Các phép toán trong N - Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 5: Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? HD:Trường hợp không có chữ số 0 thì có 5.4.3.2.1 = 120 ( số) Trường hợp có chữ số 0 thì có 4.4.3.2.1 = 96 ( số) Bài 6: Tìm hai số biết tổng của chúng là 176; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại. HD: Gọi số thứ nhất là ab thì số thứ hai là ba ( 0 < a,b ≤ 9 ; a ≠ b) Theo đề ta có :. +. ab ba 176. Từ cột hàng chục ta thấy : a + b > 10 , từ cột hàng đơn vị ta suy ra b + a = 16 Vì a ≠ b nên a = 9 ; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 9 Vậy hai số cần tìm là 97 và 79 Bài 7: Từ 10 chữ số 0; 1; 2 ; …; 9 hãy ghép thành 5 số có 2 chữ số rồi cộng chúng lại. c) Tìm giá trị lớn nhất của tổng d) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng HD: a) Muốn có tổng lớn nhất thì các chữ số hàng chục của 6 số hạng phải lớn nhất. Ta lần lượt chọn 9;8;7;6;5 làm chữ số hàng chục , còn 5 chữ số còn lại sẽ là các chữ số hàng đơn vị Khi đó ta có tổng của 5 số là 90 + 81 +72 + 63 + 54 = 360 Vậy giá trị lớn nhất của tổng là 360 ( các chữ số hàng đơn vị có thể đổi chỗ cho nhau 1 cách tùy ý) b)Tương tự ta có tổng 5 số là : 19 + 28 + 37 + 4 6 + 50= 180 Bài 8: Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0 c) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau d) Có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho HD:a) có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn; 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất cả : 4.3.2.1 = 4! ( số) b)Có 4 cách chọn chữ số hàng chục; 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 4.3 = 12 ( số) Bài 9:Có 5 số tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng của chúng có tận cùng bằng 8 không? HD: Giả sử có 5 số tự nhiên có tích bằng 2003; tích là một số lẻ nên cả 5 số đều là số lẻ, khi đó tổng của chúng là phải là một số lẻ nên không thể có chữ số tận cùng bằng 8 được. Vậy không tồn tại 5 số tự nhiên nào như vậy Bài 10:Tính giá trị của biểu thức c) A = ( 10 – 1).(100 – 2). (100 – 3) … (100 – n) với n ∈N* và tích trên có đúng 100 thừa số d) B = 13a + 19b + 4a – 2b với a + b = 100 ĐS: a) A = ( 10 – 1).(100 – 2). (100 – 3) … (100 – 100) = 99.98….0 = 0 b) B = (13a + 4a )+ (19b – 2b) = 17a + 17b = 17(a + b) = 17. 100 = 1700 Bài 11:Không tính giá trị cụ thể hãy so sánh: - Lớp 6 : Các phép toán trong N - Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a) A = 199. 201 và B = 200.200 b) C = 35.53 – 18 và 35 + 53.34 c) E = 1998.1998 và F = 1996.2000 HD: a) A = 199. 201 = 199.( 200 + 1) = 199.200 + 199 và B = 200.200 (199 + 1).200 = 199.200 + 200 Vì 199.200 + 199 < 199.200 + 200 nên A < B b)C = D c)E < F Bài 12:Hãy viết các số sau dưới dạng một tích của hai số tự nhiên liên tiếp a) 12 b) 1122 ; 111222 HD: a) 12 = 3.4 b)1122 = 1100 + 22 = 11.100 + 2.11 = 11(100 + 2) = 11. 102 = 11. 3. 34 = 33. 34 c)111222 = 111000 + 222 = 111.1000 + 2.111 = 111(1000 + 2) = 111. 1002 = 111.3 . 334 = 333. 334 Bài 13:Tìm các chữ số a, b, c, d biết a. bcd .abc = abcabc Ta có abcabc = abc.1000 + abc = 1001.abc = 7.143.abc Vậy a. bcd .abc = 7.143.abc Suy ra a = 7; b = 1 ; c = 4 ; d = 3 Bài 14: Cho a, b n ∈N* ; a > 2 ; b > 2. Chứng tỏ rằng a + b < a.b HD: Vì a > 2 ; b >2 nên a = 2 + m ; b = 2 + n ( m, n ∈N* ) Ta có a + b = ( 2 + m ) + ( 2 + n) = 4 + ( m + n) (1) a.b = (2 + m) .(2 + n) = (2 + m) .2 + (2 + m) .n = 4 + 2m + 2n + mn = 4 + 2(m + n) + m.n (2) Vì m, n ∈N* nên 2( m + n) > m + n và m.n > 0 Do đó từ (1) và (2) duy ra a + b = a.b Bài 15:a)Một số có 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới hơn số cũ là bao nhiêu? b)Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác nhau. Chứng tỏ rằng tổng của hai số đó chia hết cho 3 HD: a) Gọi số có 3 chữ số là abc , trong đó a, b, c là số tự nhiên liên tiếp. Suy ra : c – a = 2. Số viết theo thứ tự ngược lại là cba . Ta có cba - abc = (100c + 10b + a) – (100a + 10b + a) = 100c + 10b + a – 100a - 10b – a = 99c – 99a = 99( c- a) = 99.2 = 198 b)Gọi hai số là a và b Giả sự a chia 3 dư 1; b chia 3 dư 2 Suy ra a = 3q1 + 1; b = 3q2 + 2 Khi đó a + b = 3q1 + 1+ 3q2 + 2 = 3q1 + 3q2 + 3 = 3(q1 + q2 + 1) M 3 Bài 16:Chứng tỏ rằng trong một phép trừ , tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bao giờ cũng chia hết cho 2 HD: Gọi a là số bị trừ, b là số trừ ; c là hiệu của a – b Khi đó ta có : c = a – b Ta có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là a + b + c = a + b + a – b = 2a M 2 - Lớp 6 : Các phép toán trong N - Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 17:Cho M = { 1; 13; 21; 29; 52 }. Tìm x, y ∈M biết 30 < x – y < 40 Vì x – y > 30 nên x > 30 ⇒ x = 52 Từ x – y > 30 ⇒ 52 – y > 30 ⇒ y < 22 (1) Từ x – y < 40 ⇒ 52 – y < 40 ⇒ y > 12 (1) Từ (1) và (2) suy ra 12 < y < 22 . Do y ∈{ 1; 13; 21; 29; 52 } nên y = 13 hoặc y = 22 Bài 18:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2003 – 1003 : (999 – x) với x ∈N HD: B có giá trị nhỏ nhất ⇔ 1003 : (999 – x) có giá trị lớn nhất ⇔ 999 – x có giá trị nhỏ nhất ⇔ 999 – x = 1 (Vì số chia phải khác 0) ⇔ x = 988; lúc đó B = 1000 Bài 19: Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng một số dư , a ≥ b Chứng tỏ rằng a – b chia hết cho m HD: Gọi số dư là r, ta cò a = mq1 + r; b = mq2 + r Suy ra a – b = (mq1 + r) – ( mq2 + r) = mq1 + r – mq2 – r = m ( q1 – q2) M m Bài 20: Trong một phép chia có số bị chia là 155; số dư là 12. Tìm số chia và thương HD: Gọi sô bị chia , số chia và số dư lần lượt là a, b, q, r Ta có a = b.q + r ( b ≠ 0 ; r < b) Suy ra : b. q = a – r = 155 – 12 = 143 = 143.1 = 13.11 Vì b > 12 nên ta chọn b = 143 , q = 1 hoặc b = 13; q = 11 Bài 21: Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư là 10. Tìm số chia HD: Gọi số chia là b, theo đầu bài ta có ; 129 = b.q1 + 10 ⇒ b.q1 = 119 = 119. 1 = 17.7 61 = b.q2 ⇒ b.q2 = 51 = 51. 1 = 17.3 Vì b > 10 và q1 ≠ q2 nên ta chọn b = 17 Bài 22: Cho tổng S = 7 + 10 + 13 + … + 97 + 100 a)Tổng trên có bao nhiêu số hạng b)Tìm số hạng thứ 22 HD: a)Số số hạng của tổng là (100 – 7) : 3 + 1 = 32 ( số hạng) b)Gọi số hạng thứ 22 là x , ta có : (x – 7) : 3 + 1 = 22 ⇒ 70 c)Ta có S = (7 + 100) .32 : 2 = 1712. c)Tính S. Bài 23: Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho 7 dư 3; A = { x ∈N / x = 7.q + 3 ; q ∈N ; x ≤ 150 } a) Hãy liệt kê các phần tử của A thành một dãy số từ nhỏ đến lớn b)Tính tổng các phần tử của A HD:a)A = {3; 10; 17; 24; …; 143; 150} b)Dễ thấy dãy số 3; 10; 17; 24; …; 143; 150 là một dãy số cộng với u1= 3 ; d = 7 Số hạng của dãy là n = (un – u1) : d + 1 = (150 – 3): 7 + 1 = 22( số hạng) Tổng các số hạng của dãy là Sn = (u1 + un).n : 2 = (3 + 150).22:2 = 1683 - Lớp 6 : Các phép toán trong N - Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 24: Tính : 6. 31. ;2. 32. 34. 12. ;7. 10. 20. ; 2003. 389. ; 20090. Bài 25: Tìm số tự nhiên x biết: a) 2x – 15 = 17 c) x –105 :21 =15. d). (x- 105) :21 =15. ⇔ x-105 =21.15. ⇔ x-5 = 15. ⇔. b) (x – 2)2 = 1. ⇔ x-105 =315. x = 20. ⇔ x = 420 e( x – 5)(x – 7) = 0. (§S:x=5; x = 7). f/ 541 + (218 – x) = 735. (§S: x = 24). g/ 96 – 3(x + 1) = 42(§S: x = 17) h/ ( x – 47) – 115 = 0 (§S: x = 162) g/ (x – 36):18 = 12 (§S: x = 252). Bài 26: Tìm số tự nhiên n biết: a) 32 < 2n < 128 b) 2.16 > 2n > 4 Bài 27: Tính giá trị của biểu thức: A = (11.322.37 – 915) : (2 . 314)2 Bài 28: Hiệu của hai số là 862, chia số lớn cho số nhỏ ta được thương là 11 và dư 12. Tìm hai số đó. HD: Goïi hai soá caàn tìm laø a vaø b. (a,b ∈N, a > b >0 ) Theo đề bài ta có : a – b = 862 Mặt khác , theo ñònh nghóa pheùp chia coù dö, ta coù: a = 11b + 12 ⇒ a – 11b = 12 ⇒ a – b – 10b = 12 ⇒ (a – b) – 10b = 12 ⇒ 862 – 10b = 12 ⇒ b = 85 Suy ra : a = 862 + 85 = 947 Bài 29: Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia bằng 72. Biết rằng thương là 3 và số dư là 8. Tìm số bị chia và số chia HD: Gọi số bị chia và số chia lần lượt là a và b (a,b ∈N,a > b >0) Theo đề ta có : a + b = 72 và a = b.3 + 8 Suy ra b.3 + 8 + b = 72 ⇒ 4b = 64 ⇒ b = 16 Do đó a = 72 – 16 = 56 Vậy số bị chia là 56 và số chia là 16 Bài 30: Tìm các số tự nhiên a , biết rằng khi chia a cho 3 thì thương là 15 HD: Khi chia a cho 3 thì thương là 15 thì ta có hệ thức : a = 3.15 + r ( 0 ≤ r < 3 ) *Nếu r = 0 thì a = 3.15 = 45 *Nếu r = 1 thì a = 3.15 + 1 = 46 *Nếu r = 2 thì a = 3.15 + 2 = 47 Vậy a có thể là các số 45; 46; 47 ĐS : Số lớn :8250 ; số nhỏ : 40. - Lớp 6 : Các phép toán trong N - Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>