SKKN một số giải pháp giúp học sinh lớp 8 trường THCS nga thành làm tốt dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

1. Mở đầu

2

1.1. Lý do chọn đề tài

2

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

3

1.4. Phương pháp nghiên cứu

3

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

3

2.1. Cơ sở lý luận

3

2.2. Thực trạng

3

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

4

2.4. Hiệu quả của sáng kiến

10

3. Kết luận, kiến nghị

10

1. 3.1. Kết luận

10

2. 3.2. Kiến nghị

11

1


1. Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài:
Toán học là cơng cụ giúp học tốt các mơn học khác, chính vì vậy nó đóng
một vai trị vơ cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó cịn có tiềm
năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt
động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Trong công cuộc cơng nghiệp hố - Hiện đại hố, Đảng và nhà nước ta coi “
Giáo dục là quốc sách hàng đầu”, trong đó tốn học, khoa học tự nhiên - cơng
nghệ có vai trị cực kỳ quan trọng. Vì vậy ở trường trung học cơ sở mỗi khối
lớp số tiết dành cho bộ mơn tốn nhiều hơn so với các mơn học khác. Trong
chương trình tốn nói chung và phân mơn Đại số nói riêng thì phân tích đa thức
thành nhân tử là kiến thức cơ bản, cần thiết trong giảng dạy Đại số lớp 8.
Trong việc học toán để các em tự tìm tịi lời giải để đưa ra phương án giải
một bài tốn đúng thì đa số các em thường “bí” trước những vấn đề mới, chỉ
một phần ít các em giỏi có thể tự mình tìm ra được đường lối đúng, vì vậy việc
tìm ra một phương pháp chung cho một dạng tốn nào đó thực sự là cần thiết,
và cơng việc này người thầy đóng vai trị là chủ đạo, học sinh chủ động tìm tịi
kiến thức.
"Phân tích đa thức thành nhân tử” được học khá kỹ ở chương trình lớp 8,
nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong
chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên, và đặc biệt là trong mỗi kì thi
học sinh giỏi. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng. Nắm
được tinh thần này trong quá trình giảng dạy tốn lớp 8 tơi đã dày cơng tìm tịi,
nghiên cứu để tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng
và dễ hiểu. Góp phần rèn luyện trí thơng minh và năng lực tư duy sáng tạo cho
học sinh giỏi, tơi xin trình bày SKKN: "Một số giải pháp giúp học sinh lớp 8
trường THCS Nga Thành làm tốt dạng tốn Phân tích đa thức thành nhân
tử”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong thời đại kinh tế tri thức như hiện nay viêc truyền thụ kiến thức cơ bản

trong giảng dạy bộ mơn tốn ở trường THCS là một khâu rất quan trọng, đòi hỏi
người học phải nắm bắt để không thể lạc hậu so với thời đại. Vì kiến thức cơ bản
là cái vốn sống động nhất phải có và ln ln tồn tại ,tiềm ẩn trong người học
sinh học toán và làm toán .Trong suốt cả qúa trình học tập và cơng tác. Các bài
tốn khó ,các bài tốn hay, lý thú trong q trình học tập của mình,người học
sinh có sinh có thể qn. song các kiến thức tốn cơ bản thì khơng thể quên
được hay là không được phép quên trong suốt quá trình học tập, phấn đấu của
mỗi học sinh hiện tại và mãi mãi về sau. Vậy biện pháp nào mang đến hiệu quả
giáo dục cao và đáp ứng được nhu cầu mang tính thời sự của giáo dục hiện nay
là giúp học sinh ghi nhớ kiến thức tại lớp chủ động sáng tạo.Việc truyền thụ kiến
thức cơ bản cho học sinh tùy thuộc vào đối tượng học sinh là việc làm của mỗi
thầy giáo trong mỗi giờ lên lớp, giúp cho chất lượng giáo dục ngày một nâng
cao.
- Trong quá trình nghiên cứu tơi nhận được rất nhiều thuận lợi và cũng
khơng ít những khó khăn cụ thể như sau:
2


+Thuận lợi:
Được sự quan tâm chỉ đạo của Ban giám hiệu trường THCS Nga Thành về
vật chất cũng như tinh thần, trường lớp khang trang, tương đối dầy đủ thiết bị
dạy và học, để giáo viên thực hiện tốt các giờ lý thuyết cũng như thực hành.
Đa số các học sinh có đầy đủ tư liệu học tập, sách giáo khoa, vở ghi, vở bài
tập…
Bản Thân tuổi nghề đã 20 năm, có lịng nhiệt tình, u trường mến trẻ. Phụ
huynh học sinh tin tưởng, ủng hộ và giúp đỡ nhiệt tình về mọi mặt.
+ Khó khăn :
Vẫn cịn nhiều học sinh chưa thực sự ý thức được việc học của mình, nên
vẫn cịn nhác học, nắm bắt kiến thức cịn chậm, tính tốn kém, trình bày lời giải
cịn chưa tốt, đặc biệt là đối với bộ mơn Tốn.

Trường THCS Nga Thành là trường chuẩn Quốc gia, học sinh còn học hai
buổi trên ngày nên thời gian tự học Toán của học sinh cịn ít, dẫn đến tình trạng
học vẫn là hình thức, đối phó.
1.3.Đối tượng nghiên cứu: 54 học sinh lớp 8 trường THCS Nga Thành
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Khảo sát kiến thức thực của từng học sinh.
- Đưa ra các bài tập phù hợp cho từng đối tượng.
- Kiểm tra đánh giá để có biện pháp phù hợp tiếp theo.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận
Trong sách giáo khoa đã trình bày các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử,
dùng hằng đẳng thức ... Trong sáng kiến kinh nghiệm này tơi giới thiệu thêm các
phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách số
hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm
nghiệm của đa thức ... Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử để làm một số dạng bài tập.
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ: Phân tích đa thức thành
nhân tử là gì và ngồi giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì
những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ?
- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành
một tích của các đa thức, đơn thức khác.
- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài tốn đầu tiên của rất nhiều bài tốn
khác. Ví dụ:
+ Bài toán chứng minh chia hết.
+ Rút gọn biểu thức
+Giải phương trình bậc cao
+ Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất...
2.2. Thưc trạng
Để khắc sâu được kiến thức cơ bản, và vận dụng được các dạng tốn cơ bản

đó, ta yêu cầu học sinh phải nhận ra dạng bài tập , yêu cầu học sinh đọc chiều
xuôi, đọc chiều ngược lại của bài tốn, thay đổi vị trí, thứ tự các số hạng trong
3


từng bài… và thơng qua các ví dụ cụ thể để từ đó để học sinh nhận biết, làm
quen và ghi nhớ các dang toán cơ bản.
Mỗi giáo viên đứng lớp đều có những phương pháp riêng giúp học sinh ghi
nhớ và vận dụng kiến thức cơ bản từ đó nâng cao kiến thưc đã học qua các dạng
toán cụ thể như:
Đầu năm học:
Lớp
8A
8B

Số
HS
25
29

Điểm giỏi
SL
%
0
0
0
0

Điểm khá
SL

%
3
12
5
17,3

Điểm TB
SL
%
4
16
9
31

Điểm yếu
SL
%
8
32
8
27,6

Điểm kém
SL
%
10
40
7
24,1

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm
hạng tử, tách hạng tử, thêm và bớt cùng một hạng tử.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + 5x3 +15x – 9 thành nhân tử.
Giải: Đa thức đã cho có 4 số hạng khơng thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp
dụng ngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng hoặc
thêm bớt số hạng. Ta có thể phân tích như sau:
Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - 9 = x4 - 9 + 5x3 + 15x
= (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3)
= (x2 + 3) (x2 - 3 + 5x)
= (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
Cách 2: x4 + 5x3 + 15x – 9 = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - 9
= x2 (x2 + 5x - 3) + 3 (x2 + 5x - 3)
= (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
Bài này cần lưu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x 2 + 5x - 3 khơng
phân tích được nữa.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz thành
nhân tử.
Giải: Đa thức đã cho có 7 số hạng lại khơng đặt nhân tử chung được mà có
hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành 3 hạng tử để sử dụng phương pháp
nhóm hạng tử.
x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz
= x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz
= x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy)
= (xy + xz + yz) (x + y + z).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 - 6x + 5 thành nhân tử.
Giải: Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng,
dùng hằng đẳng thức ta khơng thể phân tích được đa thức này. Nếu tách một số
hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng
tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức ... Từ đó có

nhiều khả năng biến đổi đa thức đã cho thành tích.
Cách 1: x2 - 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5
= x (x - 1) - 5 (x - 1)
= (x - 1) (x - 5)
2
Cách 2: x - 6x + 5 = (x2 - 2x + 1) - 4x + 4
4


= (x – 1 )2 – 4(x – 1)
= (x - 1) (x - 5)
2
Cách 3: x - 6x + 5 = (x2 – 6x + 9 ) – 4
= (x – 3)2 - 22
=x - 1) (x - 5)
2
Cách 4: x - 6x + 5 = (x2 – 1 ) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x - 1) (x - 5)
2
Cách 5: x - 6x + 5 = (3x2 – 6x +3) – 2x2 + 2
= 3(x – 1)2 – 2(x2 - 1)
= (x - 1) (x - 5)
2
Cách 6: x - 6x + 5 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4x
= 5(x – 1)2 - 4x(x – 1)
=(x - 1) (x - 5)
2
2
Cách 7: x - 6x + 5 = (6x – 6x) – 5x2 + 5

= 6x(x – 1) – 5(x2 – 1)
= (x - 1) (x - 5)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x3 - 7x – 6 thành nhân tử.
Giải: Ta có thể tách như sau:
Cách 1: x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1)
= x(x - 1) (x + 1) - 6 (x + 1)
= (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
= (x +1) [ x (x - 3) + 2 (x - 3)]
= (x + 1) (x + 2) (x - 3)
3
3
Cách 2: x - 7x - 6 = x - 4x - 3x - 6 = x (x2 - 4) - 3 (x + 2)
= x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2)
= (x + 2) (x2 - 2x - 3)
= (x + 2) (x2 - 3x + x - 3)
= (x + 2) (x - 3) (x + 1)
3
3
Cách 3: x - 7x - 6 = x - 27 - 7x + 21
= (x - 3) (x2 + 3x + 9 - 7)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2)
= (x - 3) (x2 + x + 2x + 2)
= (x - 3) (x + 2) (x + 1)
3
Cách 4: x - 7x - 6 = x3 + 1 - 7x - 7
= (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1)
= (x + 1) (x2 - x + 1 - 7)
= (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)

= (x + 1) (x + 2) (x - 3)
3
Cách 5: x - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x – 14
= (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7)
= (x + 2) (x2- 2x - 3)
= (x + 2) (x2 + x - 3x - 3)
= (x + 2) (x + 1) (x - 3)
5


Cách 6: x3 - 7x - 6 = x3 - 9x + 2x - 6
= x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2)
= (x - 3) (x + 1) (x + 2).
Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là kết
quả cuối cùng khơng thể phân tích được nữa. Tất nhiên u cầu trên chỉ có tính
chất tương đối vì nó cịn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích
khơng triệt để học sinh có thể gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có
một kết quả khác nhau. Chẳng hạn ở bài tập trên cách 1, cách 4 có thể cho ta kết
quả là: x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6).
Cách 2, cách 5 cho kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
Cách 3, cách 6 cho kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x - 3) (x2 + 3x + 2)
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x4 + 2x2 – 3 thành nhân tử
Giải:
Cách 1: x4 + 2x2 – 3 = (x4 – x2) + 3x2 – 3
= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

Cách 2: x4 + 2x2 – 3 =( x4 + 3x2) – x2 – 3
= x2(x2 + 3) – (x2 + 3)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
=(x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 3: x4 + 2x2 – 3 = (x4 - 1) +2x2 – 2
= (x2 – 1)( x2 + 1) + 2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 4: x4 + 2x2 - 3 = (x4 + 2x2 +1) – 4
= (x2 + 1)2 -22
= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 5: x4 + 2x2 - 3 = (x4 – 9) + 2x2 + 6
= (x2 – 3)(x2 + 3) + 2(x2 + 3)
= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 6: x4 + 2x2 - 3 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2
= 3(x2 – 1)( x2 + 1) – 2x2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Giải:
Cách 1: x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2
= (x2 + 1)2 – x2
= (x2 - x + 1)(x2 + x +1)
Cách 2: x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 +x2 + x) + ( x2 + x +1)
6


= (x2 - x + 1)(x2 + x +1)

Cách 3: x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 – x2 + x) + (x2 – x +1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x +1)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) thành nhân tử .
Giải: Đa thức trên ta có thể dự đốn có 1 nhân tử là b+c hoặc c - a hoặc a+b
Ta có các cách phân tích như sau:
Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2.
= bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b)
= bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b)
= (b + c) (bc + ac - ab - a2)
= (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ]
= (b + c) [b (c - a) +a (c - a)]
= (b + c) (b + a) (c -a)
Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2
= ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2)
= ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a)
= (c - a) (ac + b2 + bc + ab)
= (c - a) (a +b) (c+ b)
Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab(a + b)
= c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b)
= c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b)
= (a + b) (cb - ca + c2 - ab)
= (a + b) [c (b + c) - a (c + b)]
= (a + b) (b + c) (c - a)
Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b)
Ta có :
bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b)
= c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b)
= (b + c) (a + b) (c - a)
Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b)

Ta có: bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b)
= bc(c - a) + bc(a + b) + ac(c - a) - ab(a + b)
= c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b).
Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a)
Ta có : bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a)
= b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b)
= (c - a) (c + c) (b + a).
Ví dụ 8: Phân tích đa thức a5 + a + 1 thành nhân tử.
Giải: Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a5 và a cần có những số hạng với số
mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung.
Cách 1: a5 + a + 1 = a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + 1
= a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1
= a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + 1
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1)
Cách 2: a5 + a + 1= a5 - a2 + a2 + a + 1
7


= a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1).
2.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 thành nhân tử.
Giải: Đặt x = b - c; y = c - a;
z = a - b.
Ta thấy: x + y + z = 0 => z = - x - y
(b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3
= x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3
= x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y)
= 3xyz = 3 (b - c) (c - a) (a - b)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 thành nhân tử.

Giải: Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường thực hiện phép
nhân đa thức với đa thức sẽ được đa thức bậc 4 với năm số hạng. Phân tích đa
thức bậc 4 với năm số hạng này thường rất khó và dài dịng. Nếu chú ý đến đặc
điểm của đề bài: Hai đa thức x2 + x + 1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng tử
tự do, do đó nếu ta đặt y = x 2 + x + 1 hoặc y = x2 + x thì biến đổi đa thức thành
đa thức bậc hai sẽ đơn giản hơn nhiều.
Đặt y = x2 + x + 1.
Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12
= y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3)
= (x2 + x + 1 + 4) (x2 + x + 1 - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2)
= (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1)
= (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 thành nhân tử.
Giải: Ta có: 1 + 7 = 3 + 5 cho nên nếu ta nhân các thừa số x + 1 với x +7và
x + 3 với x + 5 ta được các đa thức có phần biến giống nhau.
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15
= (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15
Đặt x2 + 8x + 7 = y ta được:
y (y + 8) + 15 = y2 + 8 y + 15 = y2 + 3 y + 5 y + 15= (y + 3) (y + 5)
=(x2 + 8x + 7 + 3) (x2 + 8x + 7 + 5)
= (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12)
= (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10)
= (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x4 + 2x2 – 3 thành nhân tử
Giải: Đặt x2 = y, đa thức đã cho trở thành y 2 + 2y – 3. Tổng các hệ số bằng 0
nên có một nghiệm y = 1. Từ đó ta có y2 + 2y – 3 = (y – 1)(y +3)
= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
2.3.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm
của đa thức.

a) Cách tìm nghiệm của một đa thức
+ Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có )
của một đa thức phải là ước của hạng tử tự do.
Ví dụ 1 :Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau:
x3 + 3x2 - 4
8


Giải:
Cách 1: Các ước của 4 là: 1;2;4;-1;-2;-4 .Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và
x = -2 là nghiệm của đa thức đã cho.
Cách 2: Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm x
= 1.
Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số
nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự
do; q là ước dương của số hạng có bậc cao nhất.
Ví dụ 2 : Tìm nghiệm của đa thức sau:
2x3 + 5x2 + 5x + 3
Giải: Các ước của 3 là : 1;-1;3;-3
(p)
Các ước dương của 2 là : 1;2 (q)
Xét các số ± 1; ± 3;± 1/2; ± 3/2 ta thấy -3/2 là nghiệm của đa thức đã cho.
Chú ý: Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm
bằng 1.
Ví dụ 3: Đa thức
a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1.
b) 4x3 +5x2 - 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1.
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số
của số hạng bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1.
Ví dụ 4: Tìm nghiệm của đa thức 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - 3

Giải:
Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng: 5 + 11 + (-3) = 13
Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng: 4 + 7 + 2 = 13
Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng
bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1
b) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa
thức.
Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a thì sẽ chứa nhân tử x-a do đó khi phân tích
cần làm xuất hiện các nhân tử chung sao cho có nhân tử x-a.
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x3 + 3x2 - 4
b. 2x3 + 5x2 + 5x + 3
Giải:
a. Cách 1 : Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= 1 nên chứa nhân tử x-1
Ta có: x3 + 3x2 - 4 = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - 4
= x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1)
= (x-1)(x2 + 4x + 4)
= (x-1) (x+2)2
Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= -2 nên chứa nhân tử x + 2
Ta có x3 + 3x2 - 4 = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4
= x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2)
= (x+2) (x2 +x -2)
= (x+2) (x2 - x + 2x -2)
9


= (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)]
= (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2
b. Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + 3 có nghiệm là x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3
Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + 3 = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3

= x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3)
= (2x+3) (x2 + x +1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x4 + 2x2 – 3 thành nhân tử
Giải: Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có một nghiệm
x = 1. Thực hiện phép chia x4 + 2x2 - 3 cho x- 1 ta được thương x 3 + x2 + 3x +3.
Dễ thấy: x3 + x2 + 3x +3 = x2(x + 1) + 3(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 3)
Vậy x4 + 2x2 - 3 =(x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 - 6x + 5 thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có
nghiệm x = 1. Thực hiện phép chia x2 - 6x + 5 cho x – 1 ta được thương x – 5.
Vậy: x2 - 6x + 5 =(x - 1) (x - 5)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Nga
Thành trong năm học 2019 - 2020 đã thu được các kết quả khả quan.
Cuối học kì I:
Lớp
8A
8B

Số
HS
25
29

Điểm giỏi
SL
%
0
0

2
6,9

Điểm khá
SL
%
4
16
7
24,1

Điểm TB
SL
%
9
36
12 41,4

Điểm yếu
SL
%
8
32
5
17,3

Điểm kém
SL
%
4

16
3
10,3

Điểm khá
SL
%
5
20
9
31

Điểm TB
SL
%
14
56
13 44,9

Điểm yếu
SL
%
4
16
2
6,9

Điểm kém
SL
%

2
8
0
0

Cuối năm học:
Lớp
8A
8B

Số
HS
25
29

Điểm giỏi
SL
%
0
0
5
17,2

Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi
kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ
thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng tốn có liên quan đến việc
phân tích đa thức đạt kết quả tốt. Đa số các em học sinh đã biết sử dụng các
phương pháp phân tích thơng thường một cách thành thạo, 98% các em học sinh
có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân
tích đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các phương pháp

này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng tốn khó và các kiến thức mới cũng
như việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải tốn khi học
bộ mơn tốn.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết
quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tịi
và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang
10


lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải tốn rút ra các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử.
Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tơi nói riêng cần hiểu rõ
khả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập
và phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây
hứng thú học tập, say sưa giải tốn, u thích học tốn. Từ đó dần dần nâng cao
từ dễ đến khó, có được như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tịi nhiều
phương pháp giải tốn, có nhiều bài tốn hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra
cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách
giải hay, tính tự giác trong học tốn, phương pháp giải tốn nhanh, có kỹ năng
phát hiện ra các cách giải tốn nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải: Một
số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây giúp học sinh
rất nhiều trong quá trình giải tốn có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử.
Các kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử mà tơi đã viết trên đây có lẽ
sẽ cịn rất nhiều hạn chế. Mong tổ chun mơn trong trường, các thầy cơ trong
huyện Nga Sơn góp ý chân thành để tơi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn
phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực hiện tốt nhiệm vụ giảng dạy của
mình.
3.2. Kiến nghị.

Qua q trình thực hiện đề tài này, bản thân tơi đã nhận được sự giúp đỡ tận
tình của các đồng nghiệp và của các em học sinh trường THCS Nga Thành. Mặc
dù bản thân tôi đã cố gắng sử dụng một số biện pháp giúp học sinh ghi nhớ và
vận dụng các kiến thức cơ bản, và nâng cao nhưng vẫn cịn một bộ phận học
sinh khơng vận dung được hoặc vận dụng rất kém. Từ đó dẫn đến khả năng tiếp
thu kiến thức của các em bị hạn chế, kết quả học tập chưa cao.
Trên đây là một số biện pháp nhỏ nhằm nâng cao chất lượng bộ môn Tốn
lớp 8, nhưng vì tuổi nghề cịn ít, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, và thời
gian nghiên cứu còn hạn chế nên chắc chắn cịn nhiều khiếm khuyết và chưa
hồn chỉnh. Rất mong được các đồng nghiệp góp ý và bổ sung để đề tài được
hoàn chỉnh và khả thi hơn./.
Nga sơn, ngày 20 tháng 3 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Yến Mai

11


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM TRONG NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Yến Mai
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Nga Thành

TT

1.

2.

3.

4.

Tên đề tài SKKN
Một số biện pháp giúp học sinh
ghi nhớ kiến thức mới.
Một số biện pháp giúp học sinh
ghi nhớ và vận dụng Hằng đẳng
thức đáng nhớ.
Cách giải một số dạng tốn cơ bản
trong chương trình tốn 6.
Một số biện pháp giúp học sinh
ghi nhớ và vận dụng tốt các dạng

Cấp đánh
giá xếp loại
(Ngành GD
cấp huyện/
tỉnh; Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá xếp
loại

(A,B hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Tỉnh

C

Năm học
2007 – 2008

Tỉnh

C

Năm học
2009 – 2010

Tỉnh

B

Năm học
2011 – 2012

Huyện

B

Năm học
2015 – 2016

Tỉnh

C

Năm học
2017 – 2018

toán cơ bản ở lớp 6.
Một số biện pháp giúp học sinh
5.

ghi nhớ và vận dụng một số dạng
toán cơ bản lớp 6

12


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 8
TRƯỜNG THCS NGA THÀNH LÀM TỐT DẠNG TỐN
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Người thực hiện: Nguyễn Thị Yến Mai
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Nga Thành
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học

THANH HỐ NĂM 2021
13