SKKN một số giải pháp rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở trường PTDTBT THCS tam chung

MỤC LỤC
1. Mở đầu
.............................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài ...........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu. ……………………………………………………... .1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………..... 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………….... 1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm....................................................................1
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến............................................................................1
2.2. Thực trạng trước khi thực hiện giải pháp của sáng kiến................................2
2.3. Các giải pháp và tổ chức thực
hiện.................................................................3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm............................................................13
3. Kết luận, kiến nghị........................................................................................16
3.1. Kết luận........................................................................................................16
3.2. Kiến nghị:.....................................................................................................17
Tài liệu tham khảo...............................................................................................18


2

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Mơn Tốn là một mơn học khó trong các cấp học, đó là một thử thách lớn
đối với người học, đồng thời cũng là một thử thách lớn đối với người dạy. Đối
với học sinh, để học tốt mơn Tốn địi hỏi phải có một sự say mê và khổ cơng
rèn luyện. Đối với giáo viên, để dạy tốt mơn Tốn địi hỏi phải có một kiến thức
sâu rộng, biết sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học phù hợp để truyền đạt
kiến thức cho học sinh trong từng trường hợp cụ thể. Trong quá trình dạy học,
người giáo viên cần tìm tịi, khám phá, nghiên cứu để có những sáng kiến kinh
nghiệm dạy tốt đối với từng dạng toán, từng kĩ năng giải tốn.

Trong mơn tốn 8 cấp THCS có cung cấp cho học sinh các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử. Nhưng trong thực tế, đối mặt với một bài tốn
phân tích đa thức thành nhân tử thì học sinh rất băn khoăn không biết sử dụng
phương pháp nào cho phù hợp.
Vì vậy trong quá trình dạy học mơn Tốn 8 tơi đã tìm tịi, nghiên cứu và
đưa ra sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8, góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học ở trường PTDTBT THCS Tam Chung ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Hình thành cho học sinh các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu, tổng kết về một số giải pháp rèn luyện kỹ năng phân tích đa
thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 trường PTTBT THCS Tam Chung.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin;
Phương pháp thống kê, xử lý số liệu…
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình mơn Tốn ở các cấp học, đòi hỏi người dạy và người
học cần hệ thống được đầy đủ các dạng kiến thức, các dạng toán. Đối với mỗi
dạng kiến thức, mỗi dạng tốn phải nắm được kĩ năng, quy trình, quy tắc giải
của nó, như vậy việc dạy và học mới được thuận lợi, dễ dàng.
Trong chương trình mơn Tốn 8 cấp THCS, các dạng tốn khác đã có quy
tắc giải. Đối với dạng tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử”, sách giáo khoa đã
giới thiệu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhưng không nêu rõ
quy tắc phân tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy học sinh gặp rất nhiều khó khăn
khi phân tích một đa thức thành nhân tử.

3

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế tôi thấy học sinh rất khó khăn khi phân tích một đa thức thành
nhân tử. Tìm hiểu thực trạng các trường THCS khác trong huyện và các huyện
khác tôi thấy thực trạng đều tương tự.
Các dạng tốn khác đã có quy tắc giải cụ thể, vì vậy học sinh chỉ cần nắm
vững kiến thức, vận dụng quy tắc giải là có thể giải nhanh chóng và chính xác
dạng tốn đó. Phân tích đa thức thành nhân tử lại là dạng tốn khơng có quy tắc
giải, mặc dù SGK đã cung cấp 4 phương pháp phân tích đó là:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung ;
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức;
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử;
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
Trong thực tế, khi phân tích một đa thức địi hỏi phải phối hợp nhiều
phương pháp phân tích thì học sinh khó nhận định được:
+ Phải sử dụng những phương pháp nào?
+ Phải thực hiện phương pháp nào trước, phương pháp nào sau?
Đó là những câu hỏi khó đối với học sinh lớp 8 khi mới học về các phương
pháp phân tích thành nhân tử.
Năm học 2018 - 2019 khi chưa áp dụng SKKN, qua khảo sát 82 học sinh
lớp 8 của Trường PTDTBT THCS Tam Chung - Mường Lát với đề bài:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 - 2x2 + x;
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;
c) x3 - 2x2 +x - xy2.
Kết quả thống kê như sau:
Bảng 1

Lớp

Sĩ
số

Loại giỏi
(Điểm 9-10)

Loại khá
(Điểm 7-8)

Loại TB
(Điểm 5-7)

Loại yếu
(Điểm 3-4)

Loại kém
(Điểm 0-3)

SL

%

SL

%

SL

%

S
L

%

S
L

%

8A

42

1

2,4

5

12,0

28

66,5

5

12,0

3

7,1

8B

40

2

5,0

6

15,0

27

67,5

3

7,5

2

5,0

Tổng 82

3

3,7

11

13,4

55

67,0

8

9,8

5

6,1

Bảng thống kê cho ta thấy, tổng hai loại yếu và kém là 15,9%. Như vậy
không đạt chỉ tiêu đề ra trong năm học, đòi hỏi cấp thiết phải có biện pháp khắc


4

phục. Một trong những giải pháp khắc phục đó là trong quá trình dạy - học phải
thể hiện được “trình tự các bước khi phân tích một đa thức thành nhân tử”.
2.3. Các giải pháp và tổ chức thực hiện

Trong phần này tôi sẽ đưa ra các giải pháp giúp học sinh khắc sâu kiến
thức, hình thành kỹ năng, nắm vững được các dạng, biết sử dụng những bước
cần thực hiện khi gặp bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử.
Bố cục trình bày: Từ lý thuyết đến thực hành, bài tập luyện tập từ dễ đến
khó và cuối cùng là phần bài tập học sinh tự luyện để củng cố kiến thức.
2.3.1. Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản đã học có liên quan
đến phân tích đa thức thành nhân tử.
Thứ nhất: HS cần nắm vững các quy tắc về dấu đã học trong chương trình
lớp 6, lớp 7.
Thứ hai: Thuộc và áp dụng thành thạo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Thứ ba: Linh hoạt trong việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc
thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp.
Thứ tư: Nắm vững trình tự các phương pháp khi phân tích đa thức thành
nhân tử mà SGK trình bày:
- Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung.
- Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức.
- Phương pháp 3: Nhóm hạng tử ( chú ý nhóm sao cho các hạng tử được
nhóm có nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức).
- Phương pháp 4: Tách hạng tử
- Phương pháp 5: Thêm, bớt hạng tử (chú ý khi tách một hạng tử thành
nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử phải tách và thêm bớt sao cho
phù hợp).
- Phương pháp 6: Đặt ẩn phụ.
- Phương pháp 7: Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp.
Đối với nhiều bài toán ta phải vận dụng tổng hợp các phương pháp trên
một cách linh hoạt.
Thứ năm: Tham khảo thêm một số phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử nằm ngồi SGK Tốn 8 (dành cho học sinh khá, giỏi)
- Phương pháp 1:Phương pháp bất định (hay đồng nhất hệ số).
Hai đa thức (dạng thu gọn ) là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các

đơn thức đồng dạng trong hai đa thức phải bằng nhau.
- Phương pháp 2: Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa)
Phương pháp này chỉ áp dụng cho các đa thức như: a 7+a5 + 1; a8+ a4+1; ...
là những đa thức có dạng a3m+2 + a3n+1 +1. Khi phân tích đa thức có dạng như trên
thì biểu thức sau khi phân tích đều có một nhân tư là: a2 + a + 1.
2.3.2. Hình thành kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
Trong q trình dạy, từ tiết 9 (theo PPCT) đến tiết 14 và các tiết dạy có liên
quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần sử dụng linh hoạt các
phương pháp dạy học tích cực để truyền đạt được kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử đó là “trình tự các bước khi phân tích một đa thức thành nhân


5

tử” đồng thời phát huy tính chủ động, tích cực hoạt động của học sinh, tạo
khơng khí học tập sơi nổi trong giờ học.
2.3.3. Áp dụng vào các bài tập cụ thể để minh họa và khắc sâu kiến
thức.
Ví dụ 1: Tiết 13 - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp
nhiều phương pháp [1]
Trong tiết dạy này tơi đã tổ chức cho lớp hoạt động “1.Ví dụ” theo tiến
trình sau:
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
Hoạt động 1: Ví dụ
* Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành
nhân tử:
5x3 + 10x2y + 5xy2.
- Đa thức này có mấy hạng tử ? Các - Đa thức này có 3 hạng tử. Các hạng
hạng tử này có nhân tử chung khơng? tử này có nhân tử chung là 5x.

Nếu có thì nhân tử chung là gì?
- Vậy áp dụng phân tích đa thức thành
5x3 + 10x2y + 5xy2
nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử
= 5x(x2 + 2xy + y2)
chung, hãy phân tích đa thức này
thành nhân tử?
- Đa thức x2 + 2xy + y2 có dạng hằng - Đa thức x2 + 2xy + y2 có dạng hằng
đẳng thức khơng? Nếu có thì là dạng đẳng thức là bình phương của một
hằng đẳng thức nào?
tổng.
- Vậy áp dụng phân tích đa thức thành
= 5x(x2 + 2xy + y2)
nhân tử bằng phương pháp dùng hằng
= 5x(x+y)2.
đẳng thức, hãy phân tích đa thức
x2 + 2xy + y2 thành nhân tử?
- Đến đây ta thấy đa thức đã cho đã
được phân tích thành nhân tử một cách
triệt để bằng cách phối hợp hai phương
pháp phân tích lần lượt là: Đặt nhân tử
chung và dùng hằng đẳng thức.
* Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành
nhân tử:
x2 - 2xy + y2 - 9.
- Đa thức này có mấy hạng tử? Các - Đa thức này có 4 hạng tử. Các hạng
hạng tử này có nhân tử chung khơng? tử này đều khơng có nhân tử chung.
Nếu có thì nhân tử chung là gì?
- Như vậy khơng thể dùng đặt nhân tử
chung để phân tích đa thức thành nhân

tử.Vậy ta nghĩ đến sử dụng phương
pháp phân tích thứ hai: Dùng hằng
đẳng thức.
- Tất cả 4 hạng tử của đa thức có dạng - Tất cả 4 hạng tử của đa thức không


6

hằng đẳng thức nào khơng? Đó là dạng có dạng hằng đẳng thức nào.
hằng đẳng thức nào?
- Như vậy không thể dùng hằng đẳng
thức để phân tích đa thức thành nhân
tử.Vậy ta nghĩ đến sử dụng phương
pháp phân tích thứ ba là: Nhóm hạng
tử sao cho xuất hiện đa thức có nhân
tử chung hoặc đa thức có dạng hằng
đẳng thức.
- Ta nhóm như thế nào?
- Phân tích đa thức x2 - 2xy + y2 thành
x2 - 2xy + y2 - 9
nhân tử?
= (x2 - 2xy + y2) - 9
= (x - y)2 - 9
- Đa thức (x - y)2 - 9 lại có dạng hằng
= (x - y)2 -32
đẳng thức nào? Hãy phân tích thành
= (x - y - 3)( x - y + 3).
nhân tử?
- Đến đây ta thấy đa thức đã cho đã
được phân tích thành nhân tử một cách

triệt để bằng cách thử phân tích lần
lượt các phương pháp phân tích đã học
và chỉ phối hợp được hai phương pháp
đó là: Nhóm hạng tử và dùng hằng
đẳng thức.
?1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
2x3y - 2xy3 - 4xy2 - 2xy.
- Đa thức có tất cả bao nhiêu hạng tử? - Đa thức có tất cả 4 hạng tử. Các
Các hạng tử này có nhân tử chung hạng tử này có nhân tử chung là 2xy.
khơng? Nhân tử chung là gì?
- Phân tích đa thức bằng phương pháp
2x3y - 2xy3 - 4xy2 - 2xy
đặt nhân tử chung?
= 2xy(x2 - y2 - 2y - 1)
- Phân tích đa thức trong ngoặc tròn
x2 - y2 - 2y - 1.
+ Đa thức này có mấy hạng tử? Các + Đa thức có 4 hạng tử. Các hạng tử
hạng tử này có nhân tử chung khơng? này khơng có nhân tử chung
Nếu có thì nhân tử chung là gì?
+ Như vậy không thể dùng đặt nhân
= 2xy[x2 - ( y2 +2y +1)]
tử chung để phân tích đa thức thành
nhân tử.Vậy ta nghĩ đến sử dụng
phương pháp phân tích thứ hai: Dùng
hằng đẳng thức.
+ Tất cả 4 hạng tử của đa thức có + Các hạng tử này khơng có dạng
dạng hằng đẳng thức nào khơng? Đó là hằng đẳng thức nào.
dạng hằng đẳng thức nào?
+ Như vậy không thể dùng hằng đẳng
thức để phân tích đa thức thành nhân

7

tử. Vậy ta nghĩ đến sử dụng phương
pháp phân tích thứ ba là: Nhóm hạng
tử sao cho xuất hiện đa thức có nhân
tử chung hoặc đa thức có dạng hằng
đẳng thức.
+ Ta nhóm như thế nào?
+ Phân tích đa thức y 2 + 2y + 1 thành
nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng
thức?
+ Đa thức x2 - (y +1)2 có dạng hằng
đẳng thức nào? Hãy phân tích thành
nhân tử?
- Đến đây ta thấy đa thức đã cho đã
được phân tích thành nhân tử một cách
triệt để bằng cách thử phân tích lần
lượt các phương pháp phân tích đã học
và phối hợp được ba phương pháp đó
là: Đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử
và dùng hằng đẳng thức.

= 2xy[x2 - (y2 +2y +1)]
= 2xy[x2 - (y +1)2]
= 2xy{[x - (y+1)].[x + (y + 1) ]}
= 2xy(x – y - 1).(x + y + 1)

Ví dụ 2: Thống kê cách giải các bài tốn “ Phân tích đa thức thành

nhân tử” theo trình tự các bước trong SGK Tốn 8 [1]
Trình tự các bước giải
* Bài 51/Trang24/SGK Toán 8

Bài giải

* Bài 51/Trang24/SGK Tốn 8
Phân tích đa thức thành nhân tử:
3
2
a) x - 2x + x
a) x3 - 2x2 + x
Cách 1:
Cách 1:
x3 - 2x2 + x
- Bước 1: Đặt nhân tử chung ;
= x( x2 -2x + 1)
- Bước 2: Dùng hằng đẳng thức để đưa đa
= x( x - 1)2.
thức thành nhân tử theo yêu cầu của bài.
Cách 2:
Cách 2:
x3 - 2x2 + x
- Bước 1: Tách một hạng tử thành nhiều
= x3 – x2 – x2 + x
hạng tử ;
= (x3 – x2) - (x2 - x)
- Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho các
= x2 (x - 1) – x(x - 1)
hạng tử có nhân tử chung hoặc có dạng

= (x - 1) (x2 - x)
hằng đẳng thức;
= x( x - 1)2
- Bước 3: Đặt nhân tử chung ;
- Bước 2: Dùng hằng đẳng thức để đưa đa
thức thành nhân tử theo yêu cầu của bài.
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2


8

- Bước 1: Đặt nhân tử chung ;
- Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho các
hạng tử có nhân tử chung hoặc có dạng
hằng đẳng thức;
- Bước 3: Dùng hằng đẳng thức rồi phân
tích đa thức thành nhân tử theo yêu cầu.
c)2xy - x2 - y2 + 16
c)

= 2(x2 + 2x + 1 - y2)
= 2[(x2 + 2x + 1) - y2]
= 2[(x + 1)2 - y2]
= 2[(x + 1 - y)( x + 1 + y)]
= 2(x - y + 1)( x + y + 1).
2xy - x2 - y2 + 16
= 16 - (x2 - 2xy + y2)
= 42 - (x + y)2
= [ 4 - (x + y)].[4 + (x + y)]

= (4 - x - y)(4 + x + y)

- Bước 1: Nhóm hạng tử sao cho xuất
hiện hằng đẳng thức;
- Bước 2: Dùng hằng đẳng thức đê phân
tích đa thức thành nhân tử theo yêu cầu.
* Bài 53/Trang 24/ SGK Toán 8
* Bài 53/Trang 24/ SGK Tốn 8
2
a) x - 3x + 2
Phân tích các đa thức sau thành
nhân tử:
- Bước 1: Tách một hạng tử thành nhiều a)
x2 - 3x + 2
hạng tử thích hợp;
= x2 - x - 2x + 2
- Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho các
= (x2 - x) - (2x - 2)
hạng tử có nhân tử chung hoặc có dạng
= x(x - 1) - 2(x - 1)
hằng đẳng thức;
= (x - 1)(x - 2).
- Bước 3: Đặt nhân tử chung rồi phân tích
đa thức thành nhân tử theo yêu cầu.
b) x2 + x - 6
b) x2 + x - 6
- Bước 1: Tách một hạng tử thành nhiều
= x2 + 3x - 2x - 6
hạng tử thích hợp;
= (x2 + 3x) - (2x +6)

- Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho các
= x(x + 3) - 2(x +3)
hạng tử có nhân tử chung .
= (x + 3)(x -2).
- Bước 3: Đặt nhân tử chung để đưa đa
thức về dạng nhân tử.
c) x2 + 5x + 6
- Bước 1: Tách một hạng tử thành nhiều
hạng tử thích hợp;
- Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho các
hạng tử có nhân tử chung .
- Bước 3: Đặt nhân tử chung để đưa đa
thức về dạng nhân tử.
* Bài 54/Trang 25/SGK Toán 8
a) x3 + 2x2y + xy2 - 9x

c)

x2 + 5x + 6
= x2 + 2x + 3x +6
= (x2 + 2x) + (3x +6)
= x(x + 2) + 3(x +2)
= (x +2)(x + 3).

* Bài 54/Trang 25/SGK Tốn 8
Phân tích các đa thức sau thành
nhân tử:
a)
x3 + 2x2y + xy2 - 9x

9

= x(x2 + 2xy + y2 - 9)
= x[(x2 + 2xy + y2) - 9]
= x[(x + y)2 -32]
= x[(x + y - 3)(x + y +3)]
= x(x + y - 3)(x + y +3).

- Bước 1: Đặt nhân tử chung;
- Bước 2: Dùng hằng đẳng thức;
- Bước 3: Nhóm các hạng tử sao cho các
hạng tử có nhân tử chung hoặc có dạng
hằng đẳng thức rồi đưa đa thức thành
nhân tử theo yêu cầu bài toán.

b) 2x - 2y - x2 + 2xy - y2
b) 2x - 2y - x2 + 2xy - y2
- Bước 1: Nhóm các hạng tử sao cho các
= (2x - 2y) - (x2 - 2xy + y2)
hạng tử có nhân tử chung hoặc có dạng
= 2(x - y) - (x - y)2
hằng đẳng thức;
= (x - y)[2 - (x - y)]
- Bước 2: Đặt nhân tử chung và dùng
= (x - y)(2 - x +y)
hằng đẳng thức để đưa đa thức thành
nhân tử theo yêu cầu bài toán.
c) x4 - 2x2

c)

x4 - 2x2
= x 2 ( x 2 − 2)
= x 2 ( x − 2 )( x + 2 )

- Bước 1: Đặt nhân tử chung;
- Bước 2: Dùng hằng đẳng thức để đưa đa
thức thành nhân tử theo theo yêu cầu bài
toán.
* Bài 57/Trang 25/SGK Toán 8

* Bài 57/Trang 25/SGK Toán 8
Phân tích các đa thức sau thành
nhân tử:
2
a) x - 4x + 3
a) x2 - 4x + 3
- Bước 1: Tách một hạng tử thành nhiều
= x2 - x - 3x + 3
hạng tử thích hợp;
= (x2 - x) - (3x - 3)
- Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho các
= x(x - 1) - 3(x - 1)
hạng tử có xuất hiện nhân tử chung ;
= (x - 1)(x - 3)
- Bước 3: Đặt nhân tử chung đưa đa thức
thành nhân tử theo yêu cầu bài toán.
b) x2 + 5x + 4
b) x2 + 5x + 4

= x2 + x + 4x + 4
= (x2 + x) + (4x + 4)
- Bước 1: Tách một hạng tử thành nhiều
= x(x + 1) + 4(x + 1)
hạng tử thích hợp;
= (x + 1)(x +4).
- Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho các
hạng tử có xuất hiện nhân tử chung ;
- Bước 3: Đặt nhân tử chung đưa đa thức
thành nhân tử theo yêu cầu bài toán.
c) x2 - x - 6

c)

x2 - x - 6


10

= x2 - x - 4 - 2
= (x2 - 4) - (x +2)
= (x - 2)(x +2) - (x +2)
= (x + 2)[(x - 2) - 1]
= (x + 2)(x - 3).

- Bước 1: Thêm bớt các hạng tử thích
hợp;
- Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho các
hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hoặc
hằng đẳng thức ;

- Bước 3: Đặt nhân tử chung đưa đa thức
thành nhân tử theo yêu cầu bài toán.

d) x4 + 4
d)
x4 + 4
- Bước 1: Thêm bớt các hạng tử thích
= x4 - 4x2 + 4x2 + 4
hợp;
= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2
- Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho các
= (x2 + 2)2 - (2x)2
hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hoặc
= [(x2 + 2) - 2x].[(x2 + 2) +2x]
hằng đẳng thức ;
= (x2 + 2 - 2x)(x2 + 2 +2x).
- Bước 3: Đặt nhân tử chung đưa đa thức
thành nhân tử theo yêu cầu bài toán.
* Bài 79/Trang 33/SGK Toán 8

* Bài 79/Trang 33/SGK Toán 8
Phân tích các đa thức sau thành
nhân tử:
2
2
a) x - 4 + (x - 2)
a)
x2 - 4 + (x - 2)2
= (x2 - 4) + (x - 2)2
- Bước 1: Nhóm các hạng tử sao cho xuất

= (x - 2)(x + 2) + (x - 2)2
hiện nhân tử chung hoặc có dạng hằng
= (x - 2)[(x + 2) + (x - 2)]
đẳng thức;
= (x - 2).2x
- Bước 2: Dùng hằng đẳng thức và đặt
nhân tử chung để đưa đa thức thành nhân
tử theo yêu cầu bài toán.
b) x3 - 2x2 + x - xy2
- Bước 1: Đặt nhân tử chung;
- Bước 2: Dùng hằng đẳng thức đưa đa
thức thành nhân tử theo yêu cầu bài toán.

b)

x3 - 2x2 + x - xy2
= x(x2 - 2x + 1 - y2)
= x[(x2 - 2x + 1) - y2 ]
= x[(x - 1)2 -y2 ]
= x[(x - 1 - y)(x - 1 + y) ]
= x(x - y - 1)(x + y - 1).

c) x3 - 4x2 -12x + 27
c)
x3 - 4x2 -12x + 27
- Bước 1: Nhóm các hạng tử sao cho xuất
= (x3 + 27) - (4x2 + 12x)
hiện nhân tử chung hoặc có dạng hằng
= (x + 3)(x2 - 3x+ 9)- 4x(x +
đẳng thức;

3)
- Bước 2: Dùng hằng đẳng thức và đặt
= (x + 3) [(x2 - 3x + 9) - 4x ]
nhân tử chung để đưa đa thức thành nhân
= (x +3)(x2 - 7x + 9).
tử theo yêu cầu bài toán.


11

Trên đây là một số các bài tập về “Phân tích đa thức thành nhân tử”
trong SGK Tốn 8, mà tơi đã linh hoạt giải theo trình tự các bước sao cho phù
hợp. Các bài tập cịn lại, nếu có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử thì khi
phân tích, tùy theo từng bài tốn cụ thể ta hãy lựa chọn các bước giải sao cho
phù hợp và ngắn gọn nhất.
Ví dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử theo hai phương pháp: Phương
pháp giảm dần số mũ của lũy thừa và phương pháp bất định (hay đồng nhất hệ
số). (Dành cho học sinh ôn thi HSG)[2].
Trình tự các bước giải

Bài giải

* VD về : Phương pháp giảm dần số mũ
của lũy thừa:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành Bài 1: Phân tích các đa thức sau
nhân tử:
thành nhân tử:
a) A = x7 + x5 + 1
b) B = x8 + x7 + 1
Giải

7
5
7
5
a) A = x + x + 1
a) A = x + x + 1
= x7 + x6 + x5 – x6 - x5 - x4
- Bước 1: Thêm bớt hạng tử, giảm dần số
+ x5 + x4 + x3 – x3 + 1
mũ.
= (x7 + x6 + x5) – (x6 + x5 +x4)
- Bước 2: Nhóm hạng tử làm xuất hiện
+ ( x5 + x4 + x3) – (x3 – 1)
nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
= x5(x2 + x + 1) – x4(x2 + x +1)
- Bước 3: Dùng hằng đẳng thức và đặt
+ x3(x2 + x+1)–(x–1)(x2+x+1)
nhân tử chung để đưa đa thức thành nhân
= (x2 + x+ 1)(x5–x4 +x3– x + 1)
tử theo yêu cầu bài toán.
b) B = x8 + x7 + 1
= x8 + x7+x6 – x6 + x5 – x5 + x4
8
7
b) B = x + x + 1
– x4 + x3 – x3 + 1
- Bước 1: Thêm bớt hạng tử, giảm dần số
= (x8 + x7 + x6) – (x6 + x5 + x4)
mũ.
+ (x5 + x4 + x3) – (x3 – 1)

- Bước 2: Nhóm hạng tử làm xuất hiện
= x6(x2 +x+1) – x4(x2 + x + 1)
nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ x3(x2+x+1)–(x–1)(x2+x+1)
- Bước 3: Dùng hằng đẳng thức và đặt
= (x2 + x+1)(x6–x4+ x3 – x + 1)
nhân tử chung để đưa đa thức thành nhân
tử theo yêu cầu bài tốn.
* Ví dụ về: Phương pháp bất định (hay
đồng nhất hệ số).
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành
nhân tử: A = 2x4 + 2x3 + 3x2 + x + 1

Bài 2: Phân tích đa thức sau
thành nhân tử:
A = 2x4 + 2x3 + 3x2 + x + 1


12

Giải
- Bước 1: Cho đa thức A bằng tích của 2
đa thức có số mũ phù hợp với số mũ của
A.
- Bước 2: Phân tích tích của 2 đa thức
thành tổng của các đơn thức tối giản có
số mũ giảm dần
- Bước 3: Đồng nhất hệ số ở các hạng tử
cùng bậc.

Giả sử :
A = 2x4 +2 x3 + 3x2 + x + 1
= (2x2 + ax + b)(x2 + cx + d) ,
(a, b, c, d Z)
= 2x4 + (a + 2c)x3 + (b + 2d
+ ac)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hệ số ở các hạng tử cùng
bậc ta được:

(1)
a + 2c = 2
b + 2d + ac = 3 ( 2 )


( 3)
ad + bc = 1
bd = 1
( 4)

- Bước 4: Giải các phương trình trong hệ
để tìm ra các hệ số của ẩn tương ứng Vì b, d Z nên từ (4) ta được:
trong đa thức.
b = 1
b = −1

và 
d = 1

d = −1

b = 1
ta được
d = 1

Thử ta thấy với 

- Bước 5: Kết luận đa thức phân tích.
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành
nhân tử: A = x4 + x3 + 3x2 + x + 2

- Bước 1: Cho đa thức A bằng tích của 2
đa thức có số mũ phù hợp với số mũ của
A.
- Bước 2: Phân tích tích của 2 đa thức
thành tổng của các đơn thức tối giản có
số mũ giảm dần
- Bước 3: Đồng nhất hệ số ở các hạng tử
cùng bậc.

a = 0

c = 1

Vậy A = (2x2 + 1)(x2 + x + 1)
Bài 3: Phân tích đa thức sau
thành nhân tử:
A = x4 + x3 + 3x2 + x + 2
Giải
Giả sử :
A = x4 + x3 + 3x2 + x + 2

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d), (a,
b, c, d Z)
= x4 + (a + c)x3 + (b+d+ ac)x2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hệ số ở các hạng tử cùng
bậc ta được:

- Bước 4: Giải các phương trình trong hệ
Vì b, d Z nên từ (4) ta có 4 trường
để tìm ra các hệ số của ẩn tương ứng
hợp của b và d là:
trong đa thức.


13
b = 1

hoặc
d = 2

b = −1

d = −2

b = 2
d = 1

b = −2
d = −1

hoặc 

hoặc 

Thử ta thấy :
- Bước 5: Kết luận đa thức phân tích.

b = 1
ta được
d = 2

với 

a = 0

c = 1

Vậy A = (x2 + 1)(x2 + x + 2).
Đây là dạng bài tập khó địi hỏi học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các
kiến thức, phương pháp đã học trong q trình giải tốn. Giáo viên có thể giới
thiệu một số tài liệu để học sinh tham khảo thêm ([3], [4], [5], [6]).
2.3.4. Bài tập tham khảo tự luyện tập và củng cố
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân
tử chung:
a) 8xy –24xy + 116x;
b) 15x3 – 5x2 + 10x;
c) 4a(x – 3) – 2(3 – x);
c) xm+1 - xm
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng
thức:

a) 4x2 – 9y2 ;
b) (a – 5b)2 – 16b2;
c) 9x4 – 12x5 + 4x6;
d) 81a2 – (5a – 3b)2;
e) x3 – (y – 1)3;
f) x6 + 1.
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng
tử:
a) x2 – xy + 2x – 2y;
b) 6a2y – 3aby + 4a2x – 2abx;
c) 12x2 –3xy + 8xz – 2yz;
d) 2ax – bx + 3cx – 2a + b –3c.
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều
phương pháp:
a) 2m2 + 4m + 2 – 2n2;
b) 4x5y2 + 8x4y3 + 4x3y4;
c) 3xy(a2 + b2) – ab(x2 + 9y2);
d) m2 – 6m + 9 – x2 + 4xy–4y2.
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng cách thêm, bớt cùng
một hạng tử hoặc tách hạng tử:
a) 3x2 + 8x + 4 ;
b) 4x4 + 1;
c) x8 + 64.
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng cách đặt ẩn phụ:
a) x4 + 3x2 – 4;
b) x2 +6xy + 9y2 – 3x – 9y +2;
c) (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 16;
d) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) – 18.
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp giảm dần
số mũ của lũy thừa [2]:

a) x5 + x4 + 1
b) x8 + x4 + 1.


14

Bài 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất
định [2]:
a) x2 + 3x + 2;
b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1.
Bài 9: Cho đa thức: g(x) = x3 + 2x2 – 2x – 12.
Phân tích g(x) thành tích của nhị thức x – 2 với một tam thức bậc hai [2].
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Bằng sự nỗ lực, cố gắng của cô và trò. Năm học 2019-2020, khảo sát 96
học sinh khối 8, cũng với đề bài là:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 - 2x2 + x;
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;
c) x3 - 2x2 +x - xy2.
Kết quả đạt được thống kê như sau:
Bảng 2
Lớp

Sĩ số

Loại giỏi

Loại khá

Loại TB

Loại yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

Loại
kém
SL %

8A

32

4

12,5

8

25

19

59,4

1

3,1

0

0

8B

31

3

9,7

8

25,3

20

65,0

0

0

0

0

8C

33

4

12,1

8

24,2

20

60,7

1

3,0

0

0

Tổng

96

11

11,5

24

25,0

59

61,4

2

2,1

0

0

* Ghi chú:
+ Loại kém điểm đạt từ 0đ - 3.0đ;
+ Loại yếu điểm đạt từ trên 3.0đ - dưới 5.0đ;
+ Loại TB điểm đạt từ 5.0đ - dưới 7.0đ;
+ Loại khá điểm đạt từ 7.0đ - dưới 8.0đ;
+ Loại giỏi điểm đạt từ 8.0đ - 10đ.
- Năm học 2020 - 2021, khảo sát 93 học sinh khối 8, cũng với đề bài là:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 - 2x2 + x;
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;
c) x3 - 2x2 +x - xy2.
Kết quả thống kê như sau:


15

Bảng:3
Lớp

Sĩ số

Loại TB

Loại yếu

Loại
kém

Loại giỏi

Loại khá

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

8A

32

4

12,5

5

15,6

22

68,8

1

3,1

0

0

8B

31

3

9,7

6

19,4

22

70,9

0

0

0

0

8C

30

3

10.0

4

13,3

23

76,7

0

0

0

0

Tổng

93

10

10,8

15

16,1

67

72,0

1

1,1

0

0

* Ghi chú:
+ Loại kém điểm đạt từ 0đ - 3.0đ;

+ Loại yếu điểm đạt từ trên 3.0đ - dưới 5.0đ;
+ Loại TB điểm đạt từ 5.0đ - dưới 7.0đ;
+ Loại khá điểm đạt từ 7.0đ - dưới 8.0đ;
+ Loại giỏi điểm đạt từ 8.0đ - 10đ.
- So sánh bảng 1 với bảng 2 và bảng 3, ta có bảng thống kê sau:
Bảng: 4
Năm học
2018-2019
Trước khi áp
dụng SKKN
2019-2020
Sau khi áp
dụng SKKN
2020-2021
Sau khi áp
dụng SKKN

Loại khá

SL

%

SL

%

SL

%

S
L

%

3

3,7

11

13,4

55

67,0

8

9,8

5

6,1

96 11

11,5

24 25,0

59

61,4

2

2.1

0

0

93 10

10,8

15 16,1

67

72,0

1

1.1

0

0

Sĩ
số
82

Loại TB

Loại yếu

Loại
kém
%
SL

Loại giỏi

Qua bảng 4 cho ta thấy sau khi áp SKKN với trước khi áp dụng SKKN là:
+ Khơng cịn HS xếp loại kém, số HS xếp loại kém giảm từ 6,1% xuống
còn 0% liên tục trong hai năm áp dụng SKKN;
+ Số HS xếp loại yếu hai năm liên tục đều giảm, năm sau giảm hơn năm
trước (đạt yêu cầu kế hoạch đặt ra từ đầu năm học);
+ Số HS đạt yêu cầu là tăng cao (đạt yêu cầu kế hoạch đặt ra từ đầu năm học).
+ Đặc biệt, chất lượng HS mũi nhọn được nâng lên cao.


16

Hình 1: Khơng khí tiết học trước khi áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm tại lớp 8A

17

Hình 2: Khơng khí tiết học sau khi sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng tại lớp
8B và 8C
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trên đây tơi vừa trình bày SKKN của mình, đây là kết quả nghiêm túc tìm
tịi, nghiên cứu và đã được khảo sát, áp dụng trong q trình dạy học của tơi
nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường. Bản sáng kiến
được trình bày rõ ràng với đầy đủ luận cứ, luận điểm liên quan đến đề tài và kết
quả được kiểm nghiệm qua thực tế.
Đề tài “ Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành
nhân tử cho học sinh lớp 8, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở
trường PTDTBT THCS Tam Chung” chủ yếu áp dụng trong phạm vi chuẩn
kiến thức, kĩ năng do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định đối với mơn Tốn 8 ở
cấp THCS. Ngồi ra, tơi có đưa thêm một số phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử nằm ở ngoài SGK, cũng như một số ví dụ bài tập khó địi hỏi
nhiều kĩ năng phân tích dành cho việc ơn luyện và đào tạo học sinh giỏi Toán 8.
Bồi dưỡng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một việc làm rất
quan trọng và cần thiết đối với công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi để tham
gia các kỳ thi các cấp.


18

Khi áp dụng đề tài trước hết giáo viên cần phải nghiên cứu kỹ các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử, xây dựng hệ thống ví dụ điển hình, bài tập về
nhà để các em rèn luyện.

3.2. Kiến nghị
a) Đối với giáo viên và tổ chuyên môn:
- Không ngừng tự học, tự nghiên cứu tài liệu về phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử và ứng dụng. Chú ý trong công tác giảng dạy trên lớp để hình
thành cho các em kỹ năng ban đầu về phân tích đa thức thành nhân tử bằng
những phương pháp sgk giới thiệu.
- Thường xuyên kiểm tra, đánh giá học sinh bằng hình thức kiểm tra
miệng, 15 phút, kiểm tra vở bài tập...
- Cần đưa chủ đề này vào trong các buổi sinh hoạt tổ để các đồng nghiệp
có cơ hội trao đổi, rút kinh nghiệm cùng nhau.
b) Đối với các cấp lãnh đạo:
- Về phía ban giám hiệu nhà trường: Ủng hộ, khuyến khích giáo viên, học
sinh nghiên cứu lĩnh vực này.
- Về phía Phịng giáo dục và đào tạo: Mở các lớp bồi dưỡng chuyên đề
“Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng” để các giáo viên trong tồn
huyện có cơ hội gặp gỡ, trao đổi chun mơn góp phần nâng cao chất lượng dạy
và học, nhất là đối với học sinh lớp 8.
Đề tài SKKN đã được các đồng nghiệp trong trường đóng góp ý kiến bổ
ích, song những phương pháp, giải pháp tơi đưa ra có thể khơng phải là tối ưu.
Tơi rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ phía BGH, chun môn nhà
trường, đồng nghiệp, Hội đồng khoa học các cấp để bản thân tích luỹ được nhiều
kinh nghiệm bổ ích góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Mường lát, ngày 14 tháng 04 năm
2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của

người khác.
Người viết sáng kiến

Nguyễn Thị Toán


19

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nâng cao và phát triển Toán 8, tập một – NXB GD.
Vũ Hữu Bình – Chủ biên [2], [2], [2],[2].
2. Sách giáo khoa Toán 8 – tập 1 - NXB GD Việt Nam.
Tác giả: Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Đình Châu,
Ngơ Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận [1],[1].
3. Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8 – NXB giáo dục.
Vũ Dương Thụy - Chủ biên.
4. 400 bài tập cơ bản và mở rộng Đai số 8 - NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
Đỗ Duy Đồng – Dương Đức Kim – Chủ biên.
5. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số - NXB GD.
Nguyễn Vũ Thanh – Chủ biên.


20

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO THANH HĨA
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƯỜNG LÁT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH

ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8,
GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY VÀ HỌC Ở
TRƯỜNG PTDTBT THCS TAM CHUNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Tốn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường PTDTBT THCS Tam Chung
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA, NĂM 2021