SKKN hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 giải bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng bằng công thức hình chiếu trong hình lăng trụ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (923.27 KB, 27 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 11 TÌM LỜI
GIẢI CHO BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA 2 MẶT PHẲNG
TRONG HÌNH LĂNG TRỤ
Người thực hiện: Nguyễn Hồng Tun
Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn.
SKKN thuộc mơn: Tốn học
THANH HÓA, NĂM 2021
1
MỤC LỤC
1. Mở đầu.......................................................................................................................... 1
1.1.Lí do chọn đề tài.....................................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu............................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu......................................................................................1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ………………………………………...
………..1
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.............................................................1
2.1.1. Cách xác định góc gữa 2 mặt phẳng cắt nhau bằng cách chỉ ra góc
đó…….1
2.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức hình
chiếu……….2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm..........................3
2.3. Giải pháp thực hiện...............................................................................................3
2.3.1. Dạng 1: Góc giữa mặt đáy và mặt phẳng khác trong hình lăng trụ…………
3
2.3.2. Dạng 2: Góc giữa hai mặt bất kì trong hình lăng
trụ…………………………8
2.3.3 Bài tập áp dụng……………………………………………………….
…….13
2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm.................................................................19
3. Kết luận – Kiến nghị..................................................................................................19
3.1. Kết luận................................................................................................................19
3.2. Kiến nghị..............................................................................................................20
2
3
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Hình học khơng gian là mơn học gây khơng ít khó khăn cho cả người học và
người dạy, đa số học sinh khi mới học thường rất khó để tưởng tượng ra được sự tương
giao của các đối tượng trong không gian, giáo viên thì đơi khi lúng túng trong việc
hướng dẫn học sinh tiếp cận các khái niệm cũng như hướng dẫn giải tốn.
Mặt khác các bài tốn của hình học khơng gian xuất hiện trong các đề thi đặc biệt
là các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đề thi Tốt nghiệp THPT là các câu khó ở mức độ
vận dụng, vận dụng cao vì vậy để cung cấp cho học sinh nhiều cách tiếp cận sẽ tạo
điều kiện cho học sinh có nhiều hơn cơ hội giải quyết bài tốn.
Trong các dạng tốn về hình học khơng gian trong chương trình lớp 11 thì dạng
tốn tính góc giữa hai mặt phẳng là dạng tốn khó, thơng thường học sinh cần xác định
được góc rồi mới tính tốn nhưng chính điều đó lại gây khơng ít khó khăn cho học
sinh và cả giáo viên, nhằm cung cấp thêm cho học sinh và đồng nghiệp một cách tiếp
cận khác với dạng tốn này là tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức hình chiếu
với hy vọng giúp được học sinh khá giỏi ơn tập tốt để chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi
cấp tỉnh và cũng là tài liệu cho đồng nghiệp trong tổ chun mơn tham khảo.
Vì các lý do trên tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học
sinh khá giỏi lớp 11 giải bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức
hình chiếu trong hình lăng trụ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu nhằm cung cấp phương pháp tư duy cho học sinh trong các bài
toán vận dụng, vận dụng cao trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình
lăng trụ giúp các em có khả năng lấy được điểm cao các kì thi học sinh giỏi và trong
kỳ thi Tốt nghiệp THPT đồng thời giúp đồng nghiệp trong tổ chun mơn có thêm
nguồn tài liệu tham khảo trong giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nhằm tổng kết và phân loại đồng thời đưa ra cách giải quyết các bài
toán vận dụng, vận dụng cao trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình
lăng trụ xuất hiện trong các đề thi chọn Học sinh giỏi cấp tỉnh và đề thi Tốt nghiệp
THPT các năm gần đây.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy.
- PP thống kê, xử lý số liệu: lấy phiếu thăm dò về mức độ hứng thú, thống kê
điểm kiểm tra của học sinh hai lớp thực nghiệm và đối chứng.
1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Cách xác định góc gữa 2 mặt phẳng cắt nhau bằng cách chỉ ra góc đó.
( a ) và ( b) cắt nhau theo giao tuyến D . Để tính góc giữa hai mặt
Cho hai mặt phẳng
phẳng bằng cách chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng đó theo các cách như sau
Phương pháp 1:
a,b
Dựng hai đường thẳng
lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng và cùng vng góc với giao tuyến D
tại một điểm trên D . Khi đó
( ( a ) ,( b) ) = ( a,b) .
( g) vuông
Hiểu cách khác, ta xác định mặt phẳng
( g) �( a ) = a
góc với giao tuyến D và
( g) �( b) = b . Suy ra ( a ) ,( b) = ( a,b) .
(
)
Phương pháp 2: (trường hợp đặc biệt)
A, B
Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm
với
A �( a ) B �( b)
AB ^ ( b)
,
mà
thì qua A hoặc
B ta dựng đường thẳng vng góc với giao tuyến
D của hai mặt phẳng tại H . Khi đó
�
( a ) ,( b) = AHB
.
(
)
2.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức hình chiếu.
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng, ngồi cách xác định góc của 2 mặt phẳng đó và tính
ta cịn có thể tính góc giữa 2 mặt bằng cơng thức hình chiếu.
Sử dụng cơng thức hình chiếu: Cơng thức S ' = S.cosj
Giả sử cần tính góc giữa 2 mặt phẳng
( A B C ) và ( ABC ) là j
1 1 1
B1. Xác định hình chiếu vng góc của
D A ' B 'C '
B2. Tính diện tích các tam giác
D A1B1C 1
D A1B1C 1
trên mặt phẳng
B3. Dựa vào công thức
là
và D A ' B 'C '
SA 'B 'C ' = SD A B C .cosj � cosj =
1 1 1
( ABC )
SA ' B 'C '
SD A B C
1 1 1
.
2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tiễn dạy ôn thi cho Học sinh giỏi các năm gần đây và trao đổi với các thầy cơ
giáo trong bộ mơn tốn nhà trường, tơi nhận thấy việc các thầy cơ vẫn đang cịn gặp
nhiều khó khăn trong khi hướng dẫn các em tìm lời giải cho các bài tốn: Tính góc
giữa hai mặt phẳng, đặc biệt bài tốn đó đặt trong hình lăng trụ. Đa số chỉ hướng dẫn
các em cách dựng góc giữa hai mặt phẳng và tính .Vì vậy, tơi nhận thấy với cách làm
như vậy sẽ đưa học sinh vào một số thử thách trong giải toán dạng này:
Một là, các em chỉ biết một cách giải cho loại toán này, em dựng góc gặp khó
khăn thì khơng cịn giải pháp khác.
Hai là, một số bài toán phức tạp các em sẽ gặp khó khăn trong việc định hướng
tìm lời giải. Ngược lại, những em có hướng giải quyết bài tốn thì khơng đủ thời gian
để tìm lời giải nên dẫn đến tình huống đốn mị.
Từ thực tế đó, địi hỏi cần có trang bị thêm cho các em cách tư duy bài tốn
theo nhiều hướng khác trong đó có việc dạy các em tính góc bằng cơng thức hình
chiếu là việc làm rất cần thiết trong việc ôn luyện cho học sinh giỏi cũng như học sinh
mũi nhọn trong kì thi TNTHPT của nhà trường trong giai đoạn hiện nay.
2.3. Các giải pháp để giải quyết vấn đề.
Qua thực tế giảng dạy ôn tập cho các em về các bài tốn liên quan đến tính góc giữa
hai mặt phẳng tơi chia thành các dạng bài tập và hướng dẫn các em phương pháp
chung để giải quyết đồng thời đưa cung cấp thêm cách giải quyết bài tốn bằng cơng
thức hình chiếu giúp các em có nhiều cách tiếp cận bài tốn và có nhiều hơn một
phương pháp giải cho dạng tốn này.
2.3.1.
Dạng 1: Góc giữa mặt đáy và mặt phẳng khác trong hình lăng trụ.
B C có đáy là tam giác đều
Ví dụ 1. [Mức độ 3] Cho lăng trụ tam giác ABC .A ���
A = A�
B = A�
C = a . Gọi M là điểm trên cạnh AA �sao cho
cạnh bằng a và A �
3a
AM =
4 . Tính tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng ( MBC ) và ( ABC ) .
Lời giải
Phân tích: đây là bài tốn tính góc giữa 2 mặt phẳng, sau đây ta sẽ trình bày hai
cách giải theo 2 cách tiếp cận, cách 1: dựng góc và tính, cách 2: sử dụng cơng thức
hình chiếu.
Cách 1. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng bằng cách chỉ ra góc.
( a ) và ( b) cắt nhau theo giao tuyến D .
Cho hai mặt phẳng
3
Dựng hai đường thẳng
a,b
lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vng góc với
( a ) ,( b) = ( a,b) .
giao tuyến D tại một điểm trên D . Khi đó
( g) vng góc với giao tuyến D và
Hiểu cách khác, ta xác định mặt phẳng
( g) �( a ) = a , ( g) �( b) = b . Suy ra ( a ) ,( b) = ( a,b) .
(
(
)
)
Lời giải cách 1.
A�
O ^ ( ABC )
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khi đó,
.
( ABC ) , dựng AH ^ BC . Vì tam giác ABC đều nên
Trong mặt phẳng
a 3
2 .
Ta có
BC ^ AH �
�� BC ^ A �
�
( HA) � BC ^ MH
�
BC ^ A O �
�
.
� =a
MBC ) , ( ABC ) = ( MH , AH ) = MHA
(
Do đó,
.
AH =
(
)
13
�
MB 2 = MA 2 + AB 2 - 2MA.AB .cosMAB
= a2
16
AB ta có
Xét tam giác đều A �
� MB =
13
3
a � MH = MB 2 - BH 2 = a
4
4 .
AH 2 + MH 2 - AM 2
3
3
�
� cosMHA =
=
� cosa =
� tan a = 2
2AH .MH
3
3
.
4
Cách 2. Sử dụng cơng thức hình chiếu.
Sử dụng cơng thức hình chiếu: Cơng thức S ' = S.cosj
Cần tính góc giữa 2 mặt phẳng
( MBC ) và ( ABC ) là j
B1. Xác định hình chiếu vng góc của D MBC trên mặt phẳng
D HBC
( ABC )
là
B2. Tính diện tích các tam giác D MBC và D HBC
cosj =
B3. Dựa vào cơng thức hình chiếu:
SD HBC
SD MBC
.
Lời giải cách 2.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó A 'O ^ (ABC ) . Kẻ
AH
AM
3
AH
1
=
= �
=
AA ' 4
AN
2 . Khi đó hình chiếu của tam giác
MH ^ AN suy ra AO
MBC lên mặt (ABC) là tam giác HBC.
a 3
a 3
a2 3
AN =
� AH = HN =
� SHBC =
2
4
8 .
HB = HC = HN 2 + BN 2 =
� MB = MC =
� SMBC
a 7
a 6
3
a 6
, A 'O =
� MH = A 'O =
4
3
4
4
a 13
4
3a2
=
8
� cos( (MBC ),(ABC )) =
SHBC
3
=
� tan ( (MBC ),(ABC )) = 2
SMBC
3
.
Để thấy rõ tính hiệu quả của cách thứ 2 ta xét tiếp ví dụ sau.
5
Ví dụ 2. [Mức độ 3] Cho lăng trụ tam giác đều ABC .A 'B 'C ' có đáy là tam giác đều
ABC có cạnh bằng a . Trên các cạnh bên lấy các điểm A1 , B1, C 1 lần lượt cách đáy
a
3a
(A BC )
một khoảng bằng 2 , a , 2 . Tính góc giữa 1 1 1 và (ABC ) .
Phân tích. Rõ ràng với bài tốn này cách xác định góc thơng thường theo cách 1
là khó khăn, từ việc dựng giao tuyến của hai mặt phẳng đến tìm mặt phẳng vng góc
với giao tuyến đó. Sau đây ta sử dụng cơng thức hình chiếu để thấy tính hiệu quả của
nó.
Lời giải.
ABC
Ta có hình chiếu của tam giác 1 1 1 lên mặt
phẳng (ABC ) chính là tam giác ABC
BB1
Gọi D là trung điểm
. Gọi E , F là hai điểm
CC 1
CE = EF = FC 1
trên đoạn
sao cho
.
a
CE = EF = FC 1 = BD = DB1 =
2.
Ta được:
Suy ra :
A1B1 = AD 2 + DB12 =
2
AC
= A1E + EC
1 1
2
1
a 5
a 5
B1C 1 = FC 12 + FB12 =
2 ;
2 ;
= a 2 � SA1B1C1 =
a2 6
4 .
3
4 = 2
� cosa =
2
6
a2
= SA B C .cosa
1 1 1
4
.
a2.
Ta lại có
SABC
Vậy góc giữa hai mặt
(A BC )
1 1 1
0
và (ABC ) là 45 .
6
Ví dụ 3. [Mức độ 3] Cho hình lăng trụ ABC .A ' B 'C '. Tam giác ABC vuông cân tại
AA ' =
a 30
8 . K là điểm thuộc cạnh BC sao cho
A AB = AC = a,
3
BK = BC .
4
Hình chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm H của AK.
Tính góc giữa (BCC’B’) và (ABC).
Lời giải
Cách 1. Sử dụng cơng thức hình chiếu.
Dựng hình bình
� C 'E ^ (ABC) .
BC = a 2, BE =
HEC �� tứ
hành A �
giác A ' HEC ' là
hình
chữ
nhật
a 170
a 10
a 10
a 5
, AK =
� AH =
� A 'H =
= C 'E
8
4
8
4
a 190
a2 14
� C 'B = C ' E + BE =
� SC ' BC =
8
8 .
2
2
S
1
a2
14
SEBC = SHBC = SABC =
� cosa = EBC =
2
4
SC ' BC
7
� tan a =
10
10
� a = arctan
2
2
Cách 2. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng bằng cách chỉ ra góc.
7
HEC �� tứ giác A 'HEC ' là hình chữ nhật
+) Dựng hình bình hành A �
� C 'E ^ (ABC) .
+)
EF ^ BC , ( F �BC ) � C ' F ^ BC
kẻ
� j = ( (ABC ),(BCC ' B ')) = C�' FE
Gọi
AH =
I là
trung
điểm
BC .
Có
AI =
a 2
2 ,
AK =
a 10
4 ,
a 10
a 5
, A 'H =
8
4 .
�
�
+) Ta có AK song song với CE suy ra AK I = ECF � hai tam giác AK I và
ECF đồng dạng
tan j =
+)
�
AI
EF
AI .CE
1
a 2
=
� EF =
= AI =
.
AK
CE
AK
2
4
C 'E
a 5 4
10
10
=
.
=
� j = arctan
.
EF
4 a 2
2
2
2.3.2. Dạng 2: Góc giữa hai mặt bất kì trong hình lăng trụ.
Ví dụ 4.[Mức độ 3] Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A 'B 'C ' D ' có
AB = a, AA ' = 2a
( BDD 'B ') và
. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
( ABC 'D ') .
Lời giải
8
A
D
I
B
C
K
A'
D'
C'
B'
Cách 1. ( xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa)
Vì ABCD là
AC ^ ( BDD 'B ') .
hình
vng
Kẻ CK ^ BC ' , mà CK ^ AB nên
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
thẳng AC và CK .
AC ^ BD ,
nên
CK ^ ( ABC 'D ')
( BDD 'B ')
và
mà
AC ^ BB ' .
Vậy
.
( ABC 'D ') bằng góc giữa hai đường
Xét tam giác ACK có
AC = a 2
1
1
1
1
1
5
2a 5
=
+
= 2+
= 2 � CK =
.
2
2
2
2
5
CK
BC
CC '
a
4
a
( 2a)
BC 2
BK =
=
BC '
2
a2
a2 + ( 2a)
2
�
a 5
a 5�
a 30
�
�
�
=
� AK = AB 2 + BK 2 = a2 + �
=
.
�
�
�
�
5
5
5
�
� �
2
�
2a 5�
�
�
�
�
2a + �
�
�
5
�
�
�
�
2
� =
cosACK
AC 2 +CK 2 - AK 2
=
2.AC .CK
Vậy
2.a 2.
2
�
�
a 30�
�
�
�
�5 �
�
�
�
�
�
2a 5
5
=
10
.
5
Cách 2. (Sử dụng cơng thức hình chiếu)
9
Vì ABCD là
AC ^ ( BDD 'B ') .
hình
vng
AC ^ BD ,
nên
mà
AC ^ BB ' .
Vậy
Suy ra I là hình chiếu của A lên (BDD’B’)
nên tam giác IBD là hình chiếu của tam giác ABD lên mặt phẳng (BDD’B’).
SIBD '
1
a2 2
a2 5
= DD '.IB =
BD ' = a 6, AD ' = a 5 � SABD ' =
2
2 ;
2
� cosa =
SIBD '
10
=
SABD '
5
Vậy cosin của góc giữa hai mặt phẳng
( BDD 'B ')
và
( ABC 'D ')
bằng
10
.
5
B C có tam giác ABC vng
Ví dụ 5. [Mức độ 4] Cho hình lăng trụ đứng ABC .A ���
cân tại A , AB = AC = 2a , AA �= 2a 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC
và CC �
. Tính Cosin góc giữa mặt phẳng
( AMN )
và mặt phẳng
( ABN ) .
Lời giải
Cách 1. (Sử dụng công thức hình chiếu)
Từ B kẻ BH vng góc MN.
�
AM ^ BC
�
� AM ^ (BCC ' B ) � AM ^ BH � BH ^ (AMN )
�
�
AM
^
CC
'
Do �
Suy ra tam giác ANH là hình chiếu của tam giác ANB lên mặt phẳng (AMN).
BN = a 10, AN = a 6 � SANB = a2 6
.
10
MC
MN
MC .BM
=
� MH =
= a � MN = 3a
MH
BM
MN
1
3a2 2
= NH .AM =
2
2
D MCN : D MHB �
� SANH
� cosa =
SANH
3
=
SANB
2
.
Cách 2. (Xác định góc bằng cách chỉ ra góc đó).
Ta
có
BC = AB 2 = 2a 2 = AA � nên
BCC ��
B
là
hình
vng
� CN = CM = BM = a 2 .
Gọi H là trung điểm của MN � CH ^ MN .
�
AM ^ BC
�
�
�
AM ^ BB �
AM ^ ( BCC �
C)
�
Ta
có
nên
.
AM ^ ( BCC �
C ) � AM ^ CH � CH ^ ( AMN ) ( 1)
Vì
�
AB ^ AC
�
� AB ^ ( ANC )
�
�
AB
^
NC
Mặt khác �
. Gọi K là hình chiếu vng góc của C
lên AN
�
AB ^ CK
��
� CK ^ ( ANB )
�
�
AN
^
CK
( 2) .
�
�
1) , ( 2) � ( ( AMN ) , ( BAN ) ) = (CK ,CH ) = HCK
(
Từ
=a
.
11
Tam giác CMN vuông cân tại C nên
CH =
MN
CM 2
=
=a
2
2
.
Tam giác ANC vuông tại C nên
� CK =
NC .AC
NC .AC
a 2.2a 2a 3
=
=
=
2
2
AN
3
a 6
NC + AC
CH
3
3
= a.
=
CK
2 .
2a 3
+Xét D CHK vng tại H
Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy ngoài việc cung cấp cho học sinh một cách tiếp cận
khác để giải bài tốn cịn thể hiện tính hiệu quả trong các bài tốn cụ thể, từ đó rút
ngắn thời gian làm bài và tạo hứng thú cho học sinh khi giải dạng tốn này.
� cosa =
Ví dụ 6. [Mức độ 4] Cho hình lăng trụ ABC .A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a.
A 'A = A ' B = A 'C = 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB ',CC '. Xác định
cosin của góc giữa
( A 'BC )
và
( A 'MN ) .
Lời giải
Cách 1. (Xác định góc bằng cách chỉ ra góc đó).
BC cân tại
Gọi K là trung điểm của BC . Do tam giác ABC đều và tam giác A �
A �nên
AK ^ BC ; A 'K ^ BC
.
Gọi I là trung điểm MN . Ta có A 'I ^ MN (do tam giác A ' MN cân tại A ' ).
12
�
MN //BC
�
�
�
A ' I �( A ' MN ) , A ' I ^ MN � j = ( A 'MN ) ;( A 'BC ) = ( A 'I ;A 'K )
�
�
�
�
A ' K �( A ' BC ) , A ' K ^ BC
�
Ta có: �
(
)
�A 'I
� cosj = cosK
a2
a 15
1
A ' K = AB - BK = 4a =
IK = BB �= a.
4
2 ,
2
2
A 'M 2 =
2
2
A ' B 2 + A ' B '2 BB '2 3a2
a 5
=
. A ' I = A ' M 2 - MI 2 =
.
2
4
2
2
A ' K 2 + A 'I 2 - K I 2
8 3
8 3
�
cosK A ' I =
=
� cosj =
.
2A 'K .A 'I
15
15
Cách 2. (Sử dụng công thức hình chiếu)
Gọi H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra H là hình chiếu vng
SABC =
a2 3
1
a2 3
a2 15
� SHBC = SABC =
; SA 'BC =
4
3
12
4
góc của A’ lên ABC.
SHEF
2a2 3
a 21
=
; HE = HF =
� A ' E = A ' F = a 6 � SA 'EF = a2 5
3
3
a
b
g
Gọi
là góc tạo bởi (A’BC) và (A’B’C’), là góc tạo bởi (A’B’C’) và (A’MN),
g=a- b
là góc tạo bởi (A’BC) và (A’MN). Khi đó:
.
13
cosa = cos( (A ' BC ),(ABC )) =
cos b =
SHBC
5
2 55
=
� sin a =
SA ' BC
15
15
SHEF
2 15
165
=
� sin b =
SA 'EF
15
15
cos g = cos(a - b) = cosa cos b + sin a sin b =
8 3
15
Ta có:
.
2.3.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn giải.
Bài tập 1. [Mức độ 3] Cho hình lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có AB = AC = a ,
�
BAC = 120�
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của B 'C ' và CC ' . Biết thể tích
khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' bằng
( ABC ) .
mặt phẳng
Phân tích.
3a3
4 . Tính cosin góc giữa mặt phẳng ( AMN ) và
B1: Xác định hình chiếu vng góc của D AMN trên mặt phẳng
D APC
B2: Dựa vào công thức
SAPC = SAMN .cosj � cosj =
SAPC
SAMN
( ABC )
là
.
B3: Tính diện tích tam giác D APC .
M , AM , MN , AN , AH .
B4: Áp dụng định lí pitago tính tốn các cạnh BC , A �
B5: Tính diện tích tam giác AMN .
B6: Thay vào cơng thức bước 2 để tìm kết quả.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
14
Gọi P là trung điểm của BC , khi đó D APC
là hình chiếu vng góc của D AMN trên mặt
( ABC ) .
phẳng
S
SAPC = SAMN .cosj � cosj = APC
SAMN
Ta có
.
SAPC
1
a2 3
= SABC =
2
8 .
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2AB.AC .cosA = 3a2
� BC = a 3
.
M ^ B ��
C , suy ra
B C cân tại A �� A �
w Vì A ���
V
Vlt = Bh � h = lt = a
B
w
.
A�
M = A ��
B 2 +B�
M2 =
a
2.
M 2 +C �
N2 =a.
w D MNC �vuông tại C �� MN = C �
M vuông tại
w D AA �
w D ACN vuông tại
A�
� AM = A �
A2 + A �
M2 =
C � AN = AC 2 +CN 2 =
a 5
2 .
a 5
2 .
2
2
w Gọi H là trung điểm của MN � AH = AM - MH = a .
w
SAMN
1
a2
= AH .MN =
2
4.
cosj =
w Vậy
SAPC
3
=
SAMN
2
A
’
.
C
’
B C có
Bài tập 2. [Mức độ 3] Cho lăng trụ đứng ABC .A ���
B’
�
CA = CB = a, BB = a 2 �
, ABC = 45�. Gọi I là điểm trên cạnh CC �
sao
cho mặt phẳng (A ' BI ) chia hình lăng trụ thành 2 phần có thể tích bằng
nhau. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
( ABC )
O
và
I
( A 'BI ) .
Lời giải
A
15 C
M
B
Gọi V là thể tích của hình lăng trụ đã cho. Ta có:
1
1
VABCIA ' =V I .ABA ' +VI .ABC = V +V I .ABC = V
3
2
1
� VI .ABC = V
6
1
a
� I C = I C ' = CC ' = .
2
2
và AB = a 2 � ABCD là hình vuông.
1
a2
SABC = CACB
.
=
2
2.
A ' B = AB 2 + AA '2 = 2a
IB = IA ' = IC 2 + BC 2 =
6
a2 2
� SA 'BI =
2
2
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A’BI lên mặt phẳng (ABC) nên
S
2
SABC = SA 'BI .cos( (A ' BI ),(ABC )) � cos( (A ' BI ),(ABC )) = ABC =
SA ' BI
2
.
Cách khác. Gọi V là thể tích của hình lăng trụ đã cho. Ta có:
1
1
1
VABCIA ' = V I .ABA ' +VI .ABC = V +V I .ABC = V � VI .ABC = V
3
2
6
1
a
� IC = IC ' = CC ' = .
2
2
và AB = a 2 � ABCD là hình vng.
MC ^ ( AA ' B ' B ) � I O ^ ( AA ' B ' B ) � AB ' ^ ( A 'BI )
Dễ thấy:
A ' A ^ ( ABC )
Mặt khác ta có:
�
((A ' BI ),(ABC )) = ( AA ', AB ') = A
'AB ' = 450
Nên
Do đó:
cos((A ' BI ),(ABC)) =
2
.
2
AB = a;
Bài tập 3. [Mức độ 3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' có
AD = a 2; AA ' = a 3.
Ba điểm M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh
A ' D ',C 'D ',CC ' . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng ( MNP ) và ( CC 'D ) . Tính
cosa.
Lời giải
16
SPND '
1
a2 3
= PC '.D ' N =
2
8 .
a 3
a 6
, MC ' =
2
2
3a
2
2
� MP = MC ' + PC ' =
2
2
a 11
� SMNP =
8
NP = a, MN =
Do tam giác PND’ là hình chiếu của tam giác MNP lên mặt phẳng (CC’D) nên
S
33
� cosa = NPD ' =
SNPD ' = SMNP .cosa
SMNP
11
Cách khác.
( MNP ) / / ( ACD ') nên
Ta có:
a = ( ACD ') , ( CC ' D )
.
K
,
H
Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc
� DH ^ ( ACD ') .
của D trên AC , KD '
(
Lại có
)
AD ^ (CC 'D )
nên
�
a = ( DH , AD ) = ADH
.
1
1
1
1
1
1
1
11
a 6
=
+
+
=
+
+
=
�
DH
=
2
DA 2 DC 2 DD '2 2a2 a2 3a2 6a2
11
Ta có: DH
a 6
Tam giác ADH vng tại H , có:
cosa =
DH
3
33
= 11 =
=
DA
11 .
a 2
11
B C có AB = 2 3
Bài tập 4. [Mức độ 4] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .A ���
B , A�
C�
và AA �= 2. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A ��
C )
( AB ��
( MNP ) .
và BC . Tính Cơsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
Lời giải
17
C ) �( MNP )
�NC , K = AB �
�BM . Suy ra I K = ( AB ��
Gọi I = AC �
.
MN
A ���
BC
Ta có
là đường trung bình của tam giác
� MN / / B ��
C � IK / / B ��
C
C � AQ ^ I K .
C � AQ ^ B ��
Gọi Q là trung điểm của B ��
Kẻ EF vng góc AQ.
A�
Q ^ B ��
C
AA �^ B ��
C
Vì
và
nên
B ��
C ^ ( AA �
Q ) � IK ^ ( AA �
QP ) � IK ^ EF � EF ^ (AB 'C ')
Suy ra tam giác IKF là hình chiếu của tam giác IKE lên mặt phẳng (AB’C’).
IK =
2
4 3
5
1
5 3
B 'C ' =
, EH = � SIK E = I K .EH =
3
3
6
2
9 .
A 'Q.AA ' 3 13
9 13
1
13
=
,QF = EQ 2 - EF 2 =
,QH = AQ =
2AQ
13
26
3
3
13
� HF =
78
S
1
1
13
SIK F = IK .FH =
� cos a = IK F =
2
SIKE
65
3 39
.
EF =
Cách khác.
18
C ) �( MNP )
�NC , K = AB �
�BM . Suy ra I K = ( AB ��
Gọi I = AC �
.
MN
A ���
BC
Ta có
là đường trung bình của tam giác
� MN / / B ��
C � IK / / B ��
C
C � AQ ^ I K .
C � AQ ^ B ��
Gọi Q là trung điểm của B ��
A�
Q ^ B ��
C
AA �^ B ��
C
Vì
và
nên
B ��
C ^ ( AA �
Q ) � I K ^ ( AA �
QP ) � IK ^ EP
Từ đây ta suy ra góc giữa
Xét
hình
chữ
nhật
C )
( AB ��
( MNP )
và
AA �
QP
có
là góc giữa AQ và EP .
Q = A��
B .sin60�= 3
AA �= 2và A �
� AQ = 13 .
� EP =
5
2.
Q nên E là trung điểm của A �
Q
Gọi E = MN �A �
EH
HQ
EQ
1
1
5
1
13
�
=
=
= � HE = EP =
HQ = AQ =
HP
HA
AP
2
3
6 và
3
3
Tam giác HEQ có
� =
cosEHQ
HE 2 + HQ 2 - EQ 2
13
=2HE .HQ
65 .
C )
( AB ��
( MNP )
Do đó cơsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
13
bằng 65 .
19
B C có tất cả các
Bài tập 5. [Mức độ 4] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .A ���
cạnh đều bằng a . Gọi M và N là hai điểm nằm trên cạnh AA �sao cho
C )
( NB ��
AM = MN = NA �
. Gọi j là góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
( MBC ) . Tính tanj .
Lời giải
Gọi E, F, G là trung điểm các cạnh bên như
hình. Gọi a góc giữa (MBC) và (EFG), b là góc
giữa (MBC) và (NB’C’). Khi đó b = 2a .
MB = MC =
SEFG
a 10
a2 31
� SMBC =
3
12 ;
S
a2 3
3 93
=
� cosa = EFG =
4
SMBC
31
23
31
1
432 12 3
� tan2 b =
- 1=
=
2
529
23 .
cos b
� cos b = 2cos2 a - 1 =
Cách khác.
BC , B ��
C I = MP �NQ
Gọi P ,Q lần lượt là trung điểm của
,
BC , B ��
C
� D = ( MBC ) �( NB ��
C )
đi qua I và song song với
.
20
Lại có
� = IPA
� + IQA
� �= 2IPA
�
IP ^ D, IQ ^ D � j = ( MBC ) , ( NB ��
C ) = PIQ
(
)
.
�
AM
2 3
2tan IPA
12 3
�
�
tan IPA =
=
� tan j = tan2.IPA =
=
�
AP
9
23 .
1- tan2 IPA
Ta có:
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong khuôn khổ của một bài viết tôi chỉ đưa ra 6 ví dụ điển hình. Từ 6 ví dụ này dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo, học sinh tìm tịi các lời giải của các bài toán. Sau khi giải
được mỗi bài tốn, tơi hướng dẫn học trị thay đổi cách tiếp cận bài toán, để đưa ra
được sự so sánh về tính khả thi và hiệu quả của phương pháp đó. Trong q trình tìm
tịi học sinh khơng những hứng thú, tự giác tiếp nhận các kiến thức và kỹ năng giải các
bài tốn dạng này mà cịn hình thành được cho các em cách nhìn nhận và đốn nhận
tính chất của hình học trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng.
Trong 2 lớp 11B1, 11B2 tôi dạy năm nay, tơi chọn một nhóm 20 học sinh khá, giỏi
để dạy và cho làm bài tập áp dụng. Kết quả số học sinh giải được như sau:
Lớp
Sĩ số
Số học sinh giải
được
Tỉ lệ % học sinh
giải được
11B1
12
12 bài (5 hs)
41,7%
9 bài (4 hs)
33,3%
7 bài (3 hs)
25%
12 bài (3 hs)
37,5%
9 bài (3 hs)
37,5%
6 bài (2 hs)
25%
11B2
8
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Trong quá trình làm sáng kiến và áp dụng sáng kiến trong thực tế giảng dạy tại
lớp 11B1, hiệu quả mang lại đối với thực tiễn giảng dạy của nhà trường đã được trình
bày ở trên. Từ đó thấy rằng SKKN : “ Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 giải bài
tốn tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức hình chiếu” có đóng góp khơng
nhỏ trong việc giảng dạy tại trường THPT Quảng Xương 2. Cụ thể:
21
Về lí luận: SKKN đã góp phần khẳng định việc xây quy trình giải các bài tốn về
tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức hình chiếu giúp học sinh có thêm một
cách giải khác nhằm xử lí linh hoạt được các bài toán dạng này trong các đề thi.
Về thực tiễn: SKKN là một giáo án luyện tập mơn Hình học 11 có hiệu quả dành
cho bản thân và đồng nghiệp trong Tổ bộ môn.
Thông qua kinh nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh nghiệm
q báu, giúp tơi hồn thành tốt hơn cơng việc giảng dạy của mình.
Tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và các đồng chí
trong hội đồng khoa học của Sở Giáo dục. Tơi xin chân thành cảm ơn!
3.2. Kiến nghị.
Qua q trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao, cần
lưu ý một số điểm sau:
Đối với giáo viên:
- Cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực
tư duy sáng tạo của học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều
chỉnh cho các tiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với
các thầy cô hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say mê nghiên cứu mơn tốn hơn .
- Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp
dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh. Trước khi
dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng về
những kiến thức cơ bản liên quan.
Đối với nhà trường: Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi
mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy năng
lực học sinh, viết và áp dụng SKKN.
Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:
- Cần phổ biến trong toàn ngành những sáng kiến kinh nghiệm hay, các SKKN
đã được HĐKH ngành đánh giá xếp loại để đồng nghiệp tham khảo và áp dụng để có
hiệu quả tốt nhất trong giảng day.
- Sở giáo dục và đào tạo cần tổ chức hội thảo chuyên đề về viết sáng kiến kinh
nghiệm qua đó giúp giáo viên hình thành tốt kĩ năng viết
Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các
em học sinh đã giúp đỡ tơi hồn thành SKKN này.
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa hình học lớp 11.
2. Đề thi chính thức và đề tham khảo cấp tỉnh mơn Tốn của Tỉnh Thanh Hoá và
các tỉnh bạn các năm gần đây.
3. Đề khảo sát chất lượng của các Sở giáo dục và các trường THPT trên cả nước.
4. Các bài toán về tính góc giữa hai mặt phẳng trên các diễn đàn Toán học như:
Toán học Bắc Trung Nam; Diễn đàn giáo viên toán, Thư viện Violet; các trang
22
