SKKN bài toán số phức dưới góc nhìn hình học

MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU.... ...................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài.......................................................................... 2
1.2. Mục đích nghiên cứu .................................................................. 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu ................................................................ 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................2
1.5. Điểm mới của sáng kiến king nghiệm...........................................2
2. NỘI DUNG....................................................................................................3
2.1. Cơ sở lí luận ................................................................................3
2.2. Thực trạng ................................................................................. 4
2.3. Giải pháp.....................................................................................6
2.3.1. Một số bài tốn điển hình....................................................6
2.3.2. Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện................................ 17
2.4. Hiệu quả .....................................................................................20
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .....................................................................21
3.1. Kết luận.......................................................................................21
3.2. Kiến nghị.....................................................................................21

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nội dung cuối cùng của chương trình Giải tích lớp 12 là một phần có những
kiến thức vơ cùng mới mẻ và lạ lẫm với các em học sinh: Số phức. Mọi quan niệm
quen thuộc trước đây của các em như: bình phương một số bất kì ln khơng âm,
có những phương trình bậc hai vơ nghiệm,...giờ khơng cịn đúng nữa. Hầu hết các
em học sinh đều cảm thấy lúng túng, thiếu tự tin. Tuy nhiên, phương pháp “quy lạ
về quen” của Toán học luôn là một trong những giải pháp đơn giản và hữu hiệu
nhất cho giáo viên cũng như học sinh khi tiếp cận một vấn đề mới. Nhờ có sự

tương ứng 1-1 giữa mỗi số phức với một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mà có
rất nhiều bài toán số phức được giải quyết dễ dàng khi đưa về tọa độ phẳng và cũng
có rất nhiều bài tốn số phức được sáng tạo từ các bài toán quen thuộc trong tọa độ
phẳng. Đó chính là lí do mà tơi lựa chọn đề tài: “ Bài tốn số phức dưới góc nhìn
hình học ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong sáng kiến này, tôi củng cố lại những kiến thức cơ bản, những nhận xét,
lưu ý quan trọng, hữu ích; giới thiệu một số bài toán vận dụng, vận dụng cao về số
phức được giải bằng phương pháp hình học và hệ thống bài tập tự luyện phong phú.
Các ví dụ nêu bật được tầm quan trọng của việc khai thác những phương pháp và
các dạng bài tốn từ hình học để giải các bài toán số phức, giúp học sinh cảm thấy
quen thuộc hơn với số phức, từ đó có hướng phân tích bài tốn và tư duy phù hợp
để đi tìm lời giải cho bài tốn.
Mong muốn của tơi là giúp các em học sinh phát triển tư duy toán: biết đưa
lạ về quen, biết sáng tạo, phát triển một bài toán mới từ những vấn đề quen thuộc;
rèn kĩ năng giải tốn, có thêm phương pháp xử lí một số câu hỏi về số phức trong
các câu vận dụng, vận dụng cao của đề thi THPT Quốc gia. Từ đó các em thấy
được vẻ đẹp của Tốn học, thêm tự tin và u thích mơn học này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12.
Thời gian thực hiện: 4 tiết (tôi thực hiện vào các tiết ôn tập cuối năm).
Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức trong chương trình
SGK cơ bản mơn tốn lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp “quy lạ về quen” nhờ có sự tương ứng 1-1 giữa mỗi số phức
với một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mà có rất nhiều bài toán số phức được
giải quyết dễ dàng khi đưa về tọa độ phẳng và cũng có rất nhiều bài toán số phức
được sáng tạo từ các bài toán quen thuộc trong tọa độ phẳng.
1.5. Điểm mới của SKKN
Trong SKKN từ các ví dụ nêu bật được tầm quan trọng của việc khai thác

những phương pháp và các dạng bài tốn từ hình học để giải các bài toán số phức,
2


giúp học sinh cảm thấy quen thuộc hơn với số phức, từ đó có hướng phân tích bài
tốn và tư duy phù hợp để đi tìm lời giải cho bài tốn.

2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận .
Trong đề tài này sử dụng các kiến thức cơ bản sau đây

1. Các định nghĩa
2
- Một số phức là một biểu thức dạng z  a  bi với a,b�� và i  1, i
được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số
phức z  a  bi .
� a  bi / a,b��;i 2  1
�
Tập hợp các số phức được kí hiệu là :
.
Chú ý:
+ Khi phần ảo b  0 thì z  a là số thực.





+ Khi phần thực a  0 thì z  bi là số thuần ảo.
+ Số 0  0  0i vừa là số thực, vừa là số ảo.
�a  c

a  bi  c  di � �
v�
�
i a,b,c,d ��
b

d
�
- Hai số phức bằng nhau:
.
- Hai số phức z1  a  bi, z2   a  bi với a,b��, được gọi là hai số phức đối

nhau.
- Số phức liên hợp của z  a  bi với a,b�� là a  bi và được kí hiệu bởi z .
Rõ ràng z  z .
2
2
- Môđun của số phức z  a  bi; a, b ��là | z | a  b . Ta có | z || z | .

2. Các phép toán trên tập số phức

 a�
 b�
i với a,b,a��
,b ��.
Cho hai số phức z  a  bi; z�
�
�
�
- Tổng hai số phức: z  z   a  a    b  b  i .

�
�
�
- Hiệu hai số phức: z  z   a  a    b  b  i
2
�
- Nhân hai số phức: z.z   a.a ' b.b '    a.b ' a '.b  i . Ta có z.z | z | .

- Chia 2 số phức: nếu z �0 thì

z� z�
.z
 2
z
z

.

3. Biểu diễn hình học của số phức và những chú ý quan trọng
- Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức
z  a  bi với a,b�� được biểu diễn bằng điểm M  a; b .

3


y

M

b

x

O

a

Chú ý:

+ Nếu M là điểm biểu diễn số phức z thì: z  OM .
+ Nếu M 1 , M 2 lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z2 trên mặt
z1  z2  M 1M 2 và số phức z1  z2 được biểu diễn bởi điểm
phẳnguuphức
thì
uur u
uuuu
r uuuuu
r
M 3 : OM 1  OM 2  OM 3 .

4. Một số tập hợp điểm thường gặp
- Cho hai số phức z1 , z2 có hai điểm biểu diễn là A, B ; khi đó tập các điểm
M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2 là đường trung trực của đoạn
thẳng AB .
- Cho số phức z1 có điểm biểu diễn là I , khi đó tập các điểm M biểu diễn
cho số phức z thỏa mãn z  z1  R, ( R  0 cho trước) là đường tròn tâm I bán kính
R.

- Cho hai số phức z1 , z2 có hai điểm biểu diễn là F1 , F2 và số thực a  0 . Xét

các số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2  2a .

+ Nếu F1F2  2c  2a thì tập các điểm M biểu diễn cho số phức z là đoạn
thẳng F1F2 .
+ Nếu F1F2  2c  2a thì tập các điểm M biểu diễn cho số phức z là một
Elip có trục lớn là 2a , tiêu điểm là F1 , F2 và tiêu cự F1F2  2c; 2b là độ dài trục nhỏ
2
2
( với b  a  c ).

5. Bất đẳng thức trong tam giác.

+ z1  z2 �z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy ra khi z1  kz2 với k �0.
z1  z2 �z1  z2 ,

dấu ‘’=’’ xẩy ra khi z1  kz2 với k �0.
+ z1  z2 � z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy ra khi z1  kz2 với k �0.
+ z1  z2 � z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy ra khi z1  kz2 với k �0.
+

Lưu ý: Toàn bộ phần kiến thức cơ bản trên đây giáo viên cần dạy kĩ để các em
hiểu và nắm thật vững rồi mới chuyển sang các bài tốn điển hình.
2.2. Thực trạng
4


Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh lớp 12A4
thông qua một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 5 câu, thời gian 20’ (mỗi câu 2 điểm).
Lúc này, các em đã học xong ba bài đầu của chương Số phức.
Đề bài như sau

Câu 1. Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn | z1 || z2 || z1  z 2 | 1. Tính | z1  z2 | ?
3.

A.

B. 2 3.

C. 3.

3
.
D. 2

Câu 2. Cho ba điểm A,B,C lần lượt biểu diễn ba số phức z1 ,z2 ,z3 với
z1 �z3 ,z2 �z3 . Biết | z1 || z2 || z3 | và z1  z2  0 . Mệnh đề nào đúng?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC vuông tại C .
C. Tam giác ABC cân tại A .
D. Tam giác ABC cân tại B .
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn | z  4 |  | z  4 | 10. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của | z | là:
A. 10 và 4.
B. 5 và 4.
C. 4 và 3.
D. 5 và 3.
S
m
Câu 4. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để tồn tại duy nhất số
z 3 i m

phức z thỏa mãn z.z  1 và
. Tìm số phần tử của S .
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 3 .
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  2  3i  17 , gọi M , m
2
2
z
lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của . Tính M  m ?
246
247
245
248
A. 17 .
B. 17 .
C. 17 .
D. 17 .
Đáp án
Câu 1. Chọn A.
Cách giải: Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi A,B,C lần lượt là điểm biểu diễn các
z1 ,z2 ,z1  z2 . Ta có: OA  OB  AB  1 ( với O là gốc tọa độ ) và
số
uuurphức
uuu
r uuu
r
uuur
uuuu

r
OC  OA  OB . Ta có tam giác OAB đều cạnh bằng 1 và OC  2OM ( với M là
trung điểm cạnh AB ). Do đó | z1  z2 | OC  2 OM  3 .

Câu 2. Chọn B.

Cách giải: Ta có OA  OB  OC (với O là gốc tọa độ) đồng thời A và B đối xứng
nhau qua O . Lại có C khơng trùng với A hay B nên C nằm trên đường trịn
đường kính AB . Do đó tam giác ABC vng tại C .
Câu 3. Chọn D.
Cách giải: Gọi F1  4;0  , F2  4;0  , từ giả thiết suy ra điểm biểu diễn cho số phức z
chạy trên Elip có trục lớn 2a  10 , trục bé 2b  6 . Vậy M  5, m  3 .

5


Câu 4. Chọn A.
Cách giải: Do z.z  1�| z | 1 nên các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường
tròn (C1 ) tâm O( 0; 0 ) , bán kính R1  1.
Do | z  3  i | m ,dễ thấy m  0 không thỏa mãn nên m  0. Đồng thời, các điểm
biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C2 ) tâm I( 3 ; 1 ) , bán kính R2  m.
Vậy để tồn tại duy nhất số phức z thì hai đường trịn trên tiếp xúc với nhau
OI  R1  R2
2  m 1
��
��
OI | R1  R2 | �
2 |1  m |
�
�

Kết hợp với m  0 , ta được m  1 hoặc m  3 .
Câu 5. Chọn A.
A 1;1 , B 2; 3
Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức z , và các điểm   
,
Cách giải:
�
�NA  NB  17
�
AB  17
khi đó theo bài ra ta có �
, do đó N chạy trên đoạn thẳng AB ,
z  ON
Ta có hình chiếu của O lên AB nằm trong đoạn AB nên
và M  max  OA, OB  OB  13

A
x

H
-1

5 17
17

y
1

-2

m  OH  d (O , AB ) 

O

1

2

-1

-2

-3

B

Kết quả như sau
Điểm
0
2
4
6
8
10
Số học sinh
0
6
23
15
5

2
Chất lượng bài làm của học sinh thấp, kĩ năng giải toán phần này còn rất yếu,
đa phần các em làm theo cách đại số thông thường nên rất mất thời gian, hết giờ
mới chỉ được 2, 3 câu. Chưa kể một số em khoanh “bừa”, khi u cầu giải thích lại
khơng làm được.
2.3. Giải pháp
2.3.1. Một số bài tốn điển hình

Bài tốn 1
6


Bài tốn hình học gốc
1. Cho đường thẳng  và một điểm A cố định, M chạy trên  , khi
đó min AM  AH ( H là hình chiếu vng góc của A lên  ).
2. Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A không nằm trên PQ , M là
điểm thay đổi trên đoạn PQ , khi đó:


TH1: Nếu hình chiếu H của A lên PQ nằm trong đoạn PQthì

max AM  max  AP, AQ} min AM  AH
;
.
 TH2: Nếu hình chiếu H của A lên PQ nằm ngồi đoạn PQ thì
max AM  max  AP, AQ} min AM  min  AP, AQ}
;
.

3. Cho điểm A cố định và điểm M chuyển động trên đường trịn tâm I , bán

kính R cho trước. Khi đó:
gmax AM  max  AM 1 , AM 2   AI  R
gmin AM  min  AM 1 , AM 2   AI  R

Từ đó ta có một số bài tốn sau:

z  1  i  z  3  3i
min z  4  i
Bài toán 1.1. Cho số phức z thỏa mãn
, tìm
.
11 5
5 17
11 17
A. 5 .
B. 5 .
C. 17 .
D. 17 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
7


z  x  yi; x, y ��, khi đó điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức z chạy trên
 : 2x  y  4  0
đường thẳng  
( là đường trung trực của đoạn thẳng BC với
B( 1;1 ),C( 3;3 ) ). Giả sử A  4;1 , bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của
8  1  4
min MA  d (A, ) 

 5
5
đoạn MA . Ta có:
Giả sử

Bài toán 1.2. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  3  2i  5 , gọi
1
z  i
2
2
2
M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
. Tính M  m ?
137
B. 10 .

157
33
C. 10 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải
N  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z , A  1;1 , B  3;2  , khi đó theo bài ra
Gọi
�
�NA  NB  5
�
AB  5
ta có �
, do đó N chạy trên đoạn thẳng AB .
1

�1
�
z   i  IN ; I � ; 1�
2
�2
�
.Ta có hình chiếu của I lên AB nằm ngoài
Mặt khác:
31
A. 2 .

đoạn AB suy ra

m  min z 
y

1
17
1
3 5
 i  IA 
M  max z   i  IB 
2
2 ,
2
2 .

B

2

A
x
1

31
M 2  m2 
2 .
Từ đó

2

3

I

z  1  2i  3 . Tìm mơđun lớn nhất của số
Bài toán 1.3. Cho số phức z thỏa mãn
phức z  2i
A. 3  17.

B.

17  3.

C. 3  17.
Hướng dẫn giải

D.

17  3.

Chọn A.
M  x; y 

I 1; 2  , A  0;2 
là điểm biểu diễn cho số phức z , 
; bài toán trở thành tìm
giá trị lớn nhất của AM , M chạy trên đường trịn tâm I , bán kính R  3 .
8


Ta có IA  17  3 , vậy điểm
max MA  3  17 .

A

nằm ngồi đường trịn ( I ;R ) nên

Bài toán 1.4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai số phức z1 có điểm
biểu diễn M , số phức z2 có điểm biểu diễn là N thỏa mãn z1  1 , z2  3
�
và MON  120�
. Giá trị lớn nhất của 3z1  2 z2  3i là M 0 , giá trị nhỏ
nhất của 3z1  2 z2  1  2i là m0 . Biết M 0  m0  a 7  b 5  c 3  d ,
với a, b, c, d ��. Tính a  b  c  d ?
A. 9 .
B. 8 .
C. 7 .
D. 6 .

Hướng dẫn giải
Chọn B

Gọi M 1 là điểm biểu diễn của số phức 3z1 , suy ra OM 1  3 .
Gọi N1 là điểm biểu diễn của số phức 2z2 , suy ra ON1  6 . Gọi P là điểm sao cho
uuuur uuuu
r uuu
r
OM 1  ON1  OP . Suy ra tứ giác OM 1 PN1 là hình bình hành.
�
�
Do từ giả thiết MON  120�
, suy ra M 1ON1  120�
. Dùng định lí cosin trong tam

�1�
M 1 N1  9  36  2.3.6.� � 3 7
�2�
giác OM 1 N1 ta tính được
;
và định lí cosin trong tam giác OM 1P ta có

OP  9  36  2.3.6.

1
3 3
2
.

Ta có M 1 N1  3 z1  2 z2  3 7 ; OP  3 z1  2 z2  3 3 .

+) Tìm giá trị lớn nhất của 3z1  2 z2  3i . Đặt 3 z1  2 z2  w1 � w1  3 3 , suy ra
điểm biểu diễn w1 là A thuộc đường tròn  C1 

tâm O  0;0  bán kính R1  3 3 .

Gọi điểm Q1 là biểu diễn số phức 3i .
9


AQ1  max
Khi đó 3z1  2 z2  3i  AQ1 , bài tốn trở thành tìm 
biết điểm A trên
AQ1  max  OQ1  R1  3  3 3
đường tròn  C1  . Dễ thấy 
.
3z  2 z2  1  2i  3z1  2 z2   1  2i 
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1
.

Đặt 3 z1  2 z2  w2 � w2  3 7 , suy ra điểm biểu diễn w2 là B thuộc đường tròn

 C2 

tâm O  0;0  bán kính R1  3 7 . Gọi điểm Q2 là biểu diễn số phức 1  2i .
BQ2  min
3z  2 z2   1  2i   BQ2
Khi đó 1
, bài tốn trở thành tìm 
biết điểm B
trên đường trịn  C2  . Dễ thấy điểm Q2 nằm trong đường tròn  C2  nên

 BQ2  min  R2  OQ2  3

7 5

.
Vậy M 0  m0  3 7  3 3  5  3 và a  b  c  d  8.

Bài tốn 2
Bài tốn hình học gốc
Cho hai điểm A, B cố định ; với mỗi điểm M trên mặt phẳng ta ln có :
 MA  MB �AB dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng
AB .

 MA  MB �AB dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đường
thẳng AB nhưng nằm ngoài đoạn thẳng AB .

Đây là một bài toán quen thuộc đối với học sinh, bài toán này đã được phát
triển trong hình học tọa độ. Do vậy ta tương tự hóa sẽ thu được các bài toán trong số
phức bằng cách coi M , A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho ba số phức z, z1, z2 ;
trong đó A, B cố định ( z1 , z 2 là hai số phức cho trước khơng đổi) cịn z là số phức
thay đổi sao cho M có thể chạy trên một đường thẳng, đường trịn, parabol,...
Bài tốn 2.1. Cho z là một số phức thuần ảo và P  z  2  2i  z  2i  1 .Tìm giá
trị nhỏ nhất của P khi z thay đổi ?

10


A. 17 .

B. 25 .

C. 5 .

D. 17 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Xét trên mặt phẳng phức, theo giả thiết nếu M là điểm biểu diễn của số phức z
trên mặt phẳng phức thì M �Oy .
y

4
3
2

A

1
-3

-2

-1

O

-1

B1

-2
-3

x

M

1

2

3

B

-4

Gọi A  2;2  , B  1; 2  ta thu được bài tốn quen thuộc với học sinh : Tìm M �Oy
sao cho MA  MB nhỏ nhất. Do A,B nằm về cùng một phía so với Oy , ta gọi B1
là điểm đối xứng với B qua Oy thì B1 (-1 ;-2) và MA  MB  MA  MB1 .
� 2�
2
M�
0;  �
z i
3
Từ đó thu được Pmin  AB1  5 khi � 3 �hay
z  1  i  z  3  5i
Bài toán 2.2. Cho số phức z thỏa mãn

và biểu thức
P  z  1  i  z  1  2i
đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là M , m tại z1 , z2 .
Khi đó :
29 3
3 29
z1  z2 
 i
z1  z2   i
6 4 .
4 6 .
A.
B.
3 29
3 29
z1  z2    i
z1  z2    i
4 6 .
4 6 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Xét trên mặt phẳng phức, theo giả thiết nếu M là điểm biểu diễn của số phức z
trên mặt phẳng phức thì M chạy trên đường trung trực của đoạn thẳng EF với
E( 1; 1 ), F( 3; 5 ) hay M chạy trên đường thẳng có phương trình
2x  3 y  8  0   
.

11

Gọi
min.

A  1;1 ; B  1;2 

M � : P  MA  MB

bài tốn trở thành tìm

đạt max hoặc

2.1  3.1  8  2.1  3.2  8   0
Ta có : 
suy ra A, B cùng nằm về một phía so với
   . Do đó 0 �MA  MB �AB hay 0 �P �AB . Từ đó suy ra min P  0 khi
M �M 1 là giao của    và trung trực của AB , max P  AB khi M �M 2 là giao

của   và AB.
�7 3�
3
7 3
M1 �
 ; �
y
z1    i
� 4 2 �nên
2 , vậy
4 2 .

Trung trực của AB có phương trình
� 10 �
10
M2 �
1; �
z2  1  i
� 3 �nên
3 .
AB có phương trình x  1 , vậy
3 29
z1  z2    i
4 6
Suy ra
z  a  bi  a, b ��
z 1 i  5
Bài tốn 2.3. Cho số phức
thỏa mãn
, tìm z để
z  z  6  4i
đạt giá trị nhỏ nhất m . Khi đó a  b  m  ?
23
23
 2 13
 13
A. 2 13 .
B. 2 13  1 .
C. 13
.
D. 13
.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Xét trên mặt phẳng phức, theo giả thiết nếu M là điểm biểu diễn của số phức z
C
I 1;1
trên mặt phẳng phức thì M chạy trên đường trịn   có tâm   bán kính
R  5.
A 6; 4 
C
Gọi 
khi đó IA  49  25  5 nên A nằm ngoài   và OI  2  5
C
M � C  : MO  MA
nên O nằm trong   . Bài tốn trở thành tìm
đạt min.
Ta có MO  MA �OA nên m  OA  2 13 khi M là giao điểm của đoạn thẳng OA
C
và   .
6

y

5
4
3
2

I

1

-7

-6

A

-5

-4

-3

M

-2

-1

-1

O

1

x
2

3

4

5

6

-2
-3
-4

12


Phương trình OA : 2 x  3 y  0 , phương trình  C  :  x  1   y  1  25 , từ đó ta
�
M  3; 2 
�
�69 46 �
�
M� ; �
�
tìm được hai giao điểm � �13 13 �vì M thuộc đoạn OA nên a  3; b  2 .
Vậy a  b  m  3  (2)  2 13  1  2 13.
2

2

Bài toán 2.4. Xét hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1  2; z2  5 và z1  z2  3 . Giá trị
lớn nhất của z1  2 z2  3i bằng
A. 3 2  3 .

B. 3  3 2 .
C. 3  26 .
Hướng dẫn giải

D. 26  3 .

Chọn B

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z1 , M thuộc đường tròn tâm O bán kính

2 � OM  2 Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức z2 , N thuộc đường tròn tâm
.
O bán kính

5 � ON  5.

uuuur uuuu
r uuur
NM

OM
 ON là điểm biểu diễn cho z1  z2 � MN  z1  z2  3
Suy ra
Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức 2z2 , P thuộc đường trịn tâm O bán kính

2 5 � OP  2 5 Gọi Q là điểm biểu diễn cho số phức 3i , Q  0;3 � OQ  3.
.

13

uuu
r uuuu
r uuu
r
Dựng hình bình hành OMRP ta có OR  OM  OP � R là điểm biểu diễn cho số
OM 2  ON 2  MN 2 2  5  9
1
�
cos MON 


2.OM .ON
2. 2. 5
10
phức z1  2 z2 . Ta có:

�  OP 2  OM 2  2.OP.OM .cos MON
�
OR 2  OP 2  PR 2  2.OP.PR.cos OPR
�1 �
� OR  20  2  2.2 5. 2.� � 3 2
� 10 �
.
uuur uuur uuu
r
T  z1  2 z2  3i  OR  OQ  QR  QR
T đạt giá trị lớn nhất khi QR lớn nhất
.
�  1800 � QR  OQ  OR  3  3 2

� QOR
Vậy T đạt giá trị lớn nhất bằng 3  3 2 .

Bài tốn 3
Bài tốn hình học gốc
Cho hai đường tròn  I1; R1  và  I 2 ; R2  ;  I1 �I 2  , khi đó nếu :
I1I 2  R1  R2
�
�
I I  R1  R2
 �1 2
thì hai đường trịn tiếp xúc nhau, chúng có đúng một
điểm chung.
 R1  R2  I1I 2  R1  R2 thì hai đường trịn có hai điểm chung phân
biệt.

I1I 2  R1  R2 thì hai đường trịn ngồi nhau. Giả sử hai điểm M ,N
lần lượt chuyển động trên  I1; R1  và  I 2 ; R2 


Khi đó : max MN  I1I 2  R1  R2 và min MN  I1I 2  R1  R2 .
Bài toán 3.1. Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương m để tồn tại hai số
�
�z.z  9
�
z  6  8i  m
phức z đồng thời thỏa mãn �
, tính số phần tử của S .
A. 5 .
B. 6 .

C. 4 .
D. 7 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z , I  6;8  ; theo bài ra ta có :
14


�
OM 2  9
�
�IM  m suy ra M là giao điểm của hai đường tròn  O;3 và  I ; m  . Do đó để
có đúng hai số phức z thỏa mãn thì hai đường trịn phải cắt nhau tại hai điểm.
m  3  10
�
��
� 7  m  13
m

3

10
m

3

OI

m


3
�
Từ đó suy ra
. Vậy có 5 giá trị
m
.
ngun dương của
Bài tốn 3.2. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z  3  6 i | 5 và
|( 1  2 i) z  1  12 i | 15 ?

A. 0 .

B.1 .

C. 2 .

D. Vô số.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Do | z  3  6 i | 5 nên các điểm M biểu diễn số phức z chạy trên đường tròn
(C1 ) tâm I1 (3;6) , bán kính R1  5 .
Lại có |( 1  2 i) z  1  12 i | 15 �| z  5  2 i | 3 5 nên các điểm M biểu diễn số
phức z chạy trên đường tròn (C 2 ) tâm I 2 (5;2) , bán kính R2  3 5 .

Dễ thấy I1I 2  R2  R1 nên hai đường tròn trên tiếp xúc trong với nhau hay chỉ có
một số phức z thỏa mãn.
Bài tốn 3.3. Gọi S là tập hợp tất cả các số thực m sao cho mỗi m �S có đúng
z
z


m

3
một số phức z đồng thời thỏa mãn
và z  2 là số thuần ảo. Tính tổng tất
cả các phần tử của S .
A. 4 .
B. 0.
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Từ giả thiết ta có z �2 . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z .

 x  yi   ( x  2)  yi 
z
x  yi


z  2 x  2  yi
( x  2)2  y 2
là số thuần ảo
2
2
2
nên x( x  2)  y  0 � ( x  1)  y  1 .

Vậy M chính là điểm chung của đường trịn tâm I  m;0  bán kính r1  3 và đường
trịn tâm K  1;0  bán kính r2  1 nhưng bỏ điểm A  2;0  .

TH1 : Hai đường trịn có hai điểm chung nhưng một điểm là A :
m5
�
2m 3� �
m  1
�
Khi đó ta phải có
.
15


m  5 : IK  4  r1  r2 hai đường trịn có đúng 1 điểm chung A (loại).
m  1: IK  2  r1  r2 hai đường trịn có đúng 1 điểm chung A (loại).
TH2 : Hai đường trịn có đúng 1 điểm chung khác A . Khi đó ta có
m5
�
�
IK  4 �m  1  4
m  3
�
�
�
�
�
�
�
IK  2 �m  1  2
m  1
�
�

m3
�
suy ra m  �3 thỏa mãn.
z 1 i  1
Bài toán 3.4. Cho số phức z thỏa mãn
, số phức w thỏa mãn
w  2  3i  2
zw
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
A. 13  3 .
B. 17  3 .
C. 17  3 .
D. 13  3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

Gọi

M  x; y 

I1  1;1

C
biểu diễn số phức z  x  iy(x, y ��) thì M thuộc đường trịn  1 

, bán kính R1  1 .
N  x��
;y 
Ta có | w  2  3i | 2 �| w  2  3i | 2 nên gọi

biểu diễn số phức
w  x�
 iy�(x', y' ��) thì N thuộc đường trịn  C2  có tâm I 2  2; 3 , bán kính
R2  2 . Giá trị nhỏ nhất của z  w chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn MN .
uuur
� C
C
Ta có I1I 2   1; 4  � I1I 2  17  R1  R2  1  và  2  ở ngoài nhau.
� MN min  I1I 2  R1  R2  17  3
z  3i  5  2
iz  1  2i  4
Bài toán 3.5. Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn 1
và 2
.
có tâm

T  2iz1  3z2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
A. 313  16 .
B. 313 .
C. 313  8 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.

D.

313  2 5

16

z1  3i  5  2 � 2iz1  6  10i  4
.
T
I 6; 10 
Suy ra điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm trên đường tròn  1  có tâm 1 
và có bán kính là R1  4 .
Ta có

iz2  1  2i  4 � 3z2  6  3i  12
nên điểm biểu diễn số phức 3z2 là
T
I 6;3
điểm N nằm trên đường trịn  2  có tâm 2 
và có bán kính là R2  12 .
2iz1  3z2  2iz1   3 z2   MN
Ta thấy
.
MN
T lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất, mà hai đường trịn trên ở ngồi nhau.
MN  I1I 2  R1  R2  313  16
Vậy giá trị lớn nhất của
Bài toán 3.6. Xét các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  4  1 và iz2  2  1. Giá trị lớn
nhất của z1  2 z2  6i bằng
Mặt khác,

A. 2 2  2 .

B. 4  2 .
C. 4 2  9 .
Hướng dẫn giải

D. 4 2  3 .

Chọn C
Đặt z3  2 z2 , suy ra

P  z1  2 z2  6i  z1  (2 z2 )  6i  z1  z3  6i .
1
1
1
iz2  2  1 �  iz3  2  1 �  iz3  2 . 2i  1. 2i
z 2   z3
2
2
2 thế vào
à

v
� z3  4i  2. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z3 , z1.
gz3  4i  2 � A thuộc đường tròn tâm I (0; 4), R3  2.
gz1  4  1 � B

thuộc đường tròn tâm J (4;0), R1  1.
17


� P  z1  z3  6i �z1  z3  6i  AB  6 �IJ  R1  R3  6  4 2  1  2  6  4 2  9.

Vậy Pmax  4 2  9 .
Bài toán 3.7. Gọi S là tập tất cả các số thực dương m để có đúng 4 số phức thỏa
�
�z  m
�
z  z  z  z  z2
�
�
mãn hệ
. Tính tổng bình phương các phần tử của S .
A.12 .
B.17 .
C.19 .
D. 22 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt z  x  yi ( x, y �� ) � z  x  yi .

�x 2  y 2  m2 (1)
2
2
�
�
�
�z  m
�x  y m
�
�
m2

��
�
2
(2)
2
2
�x  y 
zz  zz  z
�
�2 x  2 yi  x  y
�
2
�
M  x; y  biểu diễn cho số phức z thì M là điểm chung của đường trịn có phương

trình  1 và hình vng ABCD có phương trình  2  .
u cầu bài tốn thỏa mãn khi hình vng và đường trịn có 4 điểm chung phân
biệt hay khi và hình trịn tiếp xúc hoặc đi qua 4 đỉnh của hình vng.

�
m
�
��
R  OB
�
�
m
�
�
R  d (O; BC )

�
�

m2
2
m2
�
m2
��
m  2 2 (Chú ý m  0 ).
2 2
�

Ta có :
2.3.2. Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện

Câu 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số
z 3i m
phức z thỏa mãn z.z  1 và
. Tìm số phần tử của S .
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 3 .
18


z   2  i   10
Câu 2. Biết số phức z có phần ảo khác 0 và thỏa mãn
và z.z  25 .

Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z trên?
A. P  4;  3 .
B. N  3;  4  .
C. M  3; 4  .
D. Q  4; 3 .
Câu 3. Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  5  3i  5 ,
đồng thời z1  z2  8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w  z1  z2 trong
mặt phẳng tọa độ Oxy là đường trịn có phương trình nào dưới đây?
2
2
� 5� � 3� 9
2
2
�x  � �y  �
x  10    y  6   36

2
2
4
�
�
�
�
A.
.
B.
.
2
2
� 5� � 3�

2
2
�x  � �y  � 9
x

10

y

6

16




C.
.
D. � 2 � � 2 � .

5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i
Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn
10
M

z  2  3i
3 . B. M  1  13 .C. M  4 5 . D. M  9 .
nhất M của
? A.

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi
M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  2i . Giá trị biểu
15
2
2
thức M  m bằng A. 25 .
B. 35 .
C. 2 . D. 20 .
Câu 6. Cho các số phức z1  2  i, z2  2  i và số phức z hay đổi thỏa mãn
2

2

z  z1  z  z2  16 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
2
z
. Giá trị biểu thức M  m bằng
A.15.
B.7 .
C. 11.
D. 8 .

Câu 7. Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm
biểu diễn lần lượt là M , M �
; số phức z  4  3i  và số phức liên hợp của nó có điểm

, N , N�
biểu diễn lần lượt là N , N �
. Biết rằng M , M �

là bốn đỉnh của hình chữ nhật.
Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 .
1
A. 2 .

2
B. 5

5
C. 34 .

4
D. 13 .

Câu 8. Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có
điểm biểu diễn lần lượt là M , M �
; số phức z  4  3i  có điểm biểu diễn là N .
Gọi N �là điểm đối xứng với N qua đường thẳng MM �
. Biết rằng tứ giác
MNM �
N �là hình thoi. Tìm phần ảo của z để z  4i  5 đạt giá trị nhỏ nhất.

19


96
A. 25

192
B. 25



96
C. 25



192
D. 25 .

1
z  3  4i  1
2 . Số
Câu 9. Biết rằng hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1
và
phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a  2b  12 . Giá trị nhỏ nhất
P  z  z1  z  2 z2  2
của
bằng
9945
Pmin 
11 .
A.
B. Pmin  5  2 3 .
z2  3  4i 

C.

Pmin 

9945
13 .

D. Pmin  5  2 3 .

Câu 10.Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức , ( x, y ��) thỏa
mãn và là điểm biểu diễn số phức . Tìm điểm thuộc sao cho có độ dài lớn nhất.
�1 3 �
M�;
�
2 2 �
M  1;1
�
A.
.
B.
.
C. M  1;0 
D. M  0;0  .
z  3i  5

z
và z  4 là số thuần

Câu 11. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
ảo? A.0. B. vô số. C.2.
D.1.
Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 .
Trong các số phức w thỏa mãn w  z  1  i  , gọi w1 và w2 lần lượt là số phức

có mơđun nhỏ nhất và mơđun lớn nhất. Khi đó w1  w2 bằng
A. 6  2i .
B. 6  2i .
C. 6  2i .

D. 6  2i .

Câu 13. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn  1  i  z  z là số thuần ảo và
z  2i  1 . A.2. B.1. C.0. D. Vô số.
z  z  z  z  z2
z
Câu 14. Cho số phức thoả mãn
. Giá trị lớn nhất của biểu
thức P  z  5  2i bằng
A.

2  5 3 . B.

2 3 5 .

C.

52 3.

D.

5 3 2 .

1 �z  2  i �4
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn

. Gọi M là giá trị lớn nhất
z  2  3i , m là giá trị nhỏ nhất của z  2  2i . Tính M  m .
của
A. 6.
B.5.
C.3.
D. 7.

20


Câu 16. Xét số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2. Gọi m, M lần lượt
là giá trị nhỏ nhất cả giá trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M .
A. P  13  73.

B.

C. P  5 2  73.

D.

P

5 2  2 73
.
2

P

5 2  73

.
2

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
z  i  2  3i  z là
A. đường thẳng x  2 y  3  0 .

B. đường thẳng x  2 y  1  0 .

2
2
x

y
 2.
C. đường tròn

2
2
x

y
 4.
D. đường tròn

Câu 18. Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số
phức phân biệt z1 ,z2 ,z3 thỏa mãn | z1 || z2 || z3 | và z1  z2  z3  0 . Mệnh đề nào
sau đây là đúng ?
A. Tam giác ABC vuông.
B. Tam giác ABC đều.

0
C. Tam giác ABC có góc 120 .
D. Tam giác ABC vng cân
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn | z | 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
số phức w  ( 3  4 i) z  i là một đường trịn. Bán kính của đường trịn đó bằng :
A. 4 .

C. 20 .

B. 5 .

D. 22 .

Câu 20. Cho z,w là các số phức thỏa mãn | z | 1,| z  w| 1 . Khi đó tập hợp các
điểm biểu diễn số phức w là:
2
2
2
2
A. Hình tròn (C) : x  y �4 .
B. Đường tròn (C) : x  y  4 .
C. Hình trịn (C) : (x  1 )
Đáp án
Câu
1
2
3
ĐA
A
C

B
Câu
11
12
1
3
ĐA
C
A
A

2

 y 2 �4 . D. Đường tròn (C) : (x  1 )2  y 2  4
.
4
C
14

5
B
15

6
D
16

7
A
17

8
A
18

9
C
19

10
A
20

B

A

B

A

B

C

A

2.4 . Hiệu quả của đề tài
Sau khi thực hiện đề tài trên, tôi cho các em học sinh lớp 12A4 làm bài kiểm
tra sau ( thời gian 20 phút).

Đề bài
21


Câu 1. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn: z1  z2  1; z1  z2  3 . Tìm z1  z2 .
3.

B. 2 3.

A.

3
.
2
D.

C. 1.

Câu 2. Cho số phức z : z  3  z  3  2a  a  3 , M , m lầ lượt là giá trị lớn nhất,
2
2
nhỏ nhất của z thì M  m bằng ? A. 6 .
B. 3 .
C. 9 .
D. 36
.
Câu 3. Xét ba điểm A, B, C theo thứ tự trong mặt phẳng phức biểu diễn ba số phức
phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z1  z2 z2  5 z3 z3 . Biết z1  z2  z3  0 , tam giác ABC
là tam giác gì?
A. Tù.

Câu 4.

B. Vuông .
C. Cân.
D. Đều.
Cho các số phức z,w thỏa mãn | z  2  2 i || z  4 i | và w  iz  1 . Giá trị
2

nhỏ nhất của biểu thức P | w| là: A. 2

B. 2 2.

C. 2.

3
.
2
D.

Cho z là số phức thỏa z  1  i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 5.
2
2
P  z  2  i  z  2  3i
A. 18 .

.

B. 38  8 10 .

Đáp án
Câu
1
Đáp án
C
Kết quả như sau
Điểm
0
Số học sinh
0

C. 18  2 10 .
2
C

2
0

4
5

D. 16  2 10

3
B
6
19

8

22

4
A

5
B

10
5

Bảng so sánh kết quả kiểm tra trước và sau khi thực hiện đề tài.
Điểm
0
2
4
6
8
10

Trước khi thực hiện
(Số học sinh)
0
6
23
15
5
2

Sau khi thực hiện

(Số học sinh)
0
0
5
19
22
5
22


Tôi thấy kết quả của các em đã tốt lên rất nhiều và quan trọng là các em đã
có tâm lí tự tin hơn, khơng cịn lo ngại khi làm toán trắc nghiệm về số phức.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua sáng kiến kinh nghiệm trên tôi đã giúp các em học sinh phát triển tư
duy toán: biết đưa lạ về quen, biết sáng tạo, phát triển một bài toán mới từ những
vấn đề quen thuộc; rèn kĩ năng giải tốn, có thêm phương pháp xử lí một số câu hỏi
về số phức trong các câu vận dụng, vận dụng cao của đề thi THPT Quốc gia. Từ đó
các em thấy được vẻ đẹp của Toán học, thêm tự tin và u thích mơn học này.

3.2. Kiến nghị
Đề tài này tôi thực hiện trong một khoảng thời gian ngắn, do đó khơng tránh
khỏi việc khai thác một cách chưa triệt để. Đồng thời tuổi nghề và kinh nghiệm
giảng dạy của tôi chưa nhiều nên không tránh được những thiếu sót.Tơi rất mong
được sự quan tâm, xem xét , đóng góp ý kiến của hội đồng khoa học cấp trên cho
đề tài của tơi để đề tài được hồn thiện hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh hóa, ngày 20 tháng 5 năm

2020
CAM KẾT KHƠNG COPY
Giáo viên

Lê Thị Na

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Trần Văn Hạo- Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương- Nguyễn Tiến Tài- Cấn Văn Tuất,
Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.
23


2. Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.
3. Nguyễn Huy Đoan - Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm - Phạm Thị Bạch
Ngọc - Đoàn Quỳnh - Đặng Hùng Thắng, Bài tập Giải tích 12 – nâng cao, NXB
Giáo dục, 2010.
4. Phạm Đức Tài - Nguyễn Ngọc Hải - Lại Tiến Minh , Bộ đề trắc nghiệm luyện thi
THPT Quốc gia năm 2017 mơn Tốn, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016
5. Một số đề thi thử THPT Quốc gia từ năm 2017-2021 và đề phát triển đề minh
họa năm 2021.

Danh sách tên sáng kiến kinh nghiệm đã được xếp loại cấp nghành và cấp
tỉnh
Năm

Xếp

Cơ quan ban hành quyết
24

Tên sáng kiến kinh nghiệm

cấp

loại

Xây dựng một số bài tập trắc nghiệm 2017
vận dụng cao về số phức.

B

định
QĐ số 1112/QĐ - SGD&ĐT
ngày 18/10/2017.

25