SKKN kinh nghiệm giải các bài toán về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp theo định hướng thi tốt nghiệp THPT

MỤC LỤC
-----Mục

Nội dung

Trang

Mục lục

1

Danh mục viết tắt trong sáng kiến kinh nghiệm

2

Phần mở đầu.

3

1.1

Lí do chọn đề tài.

3

1.2

Mục đích nghiên cứu.

3

1.3

Đối tượng nghiên cứu.

4

1.4

Phương pháp nghiên cứu

4

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

5

2.1

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

5

2.2

Thực trạng vấn đề.

5

2.3

Các giải pháp sử dụng giải quyết vấn đề.

5

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 20
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

1

2

3

Kết luận, kiến nghị.
21
Tài liệu tham khảo.

22

1


DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
Kí hiệu viết tắt
SGK THPT
TN THPT
SKKN
MTCT

ycbt
TN
TXĐ
GV
HS
HN
TW

Ý nghĩa
Sách giáo khoa trung học phổ thông
Tốt nghiệp trung học phổ thơng
Sáng kiến kinh nghiệm
Máy tính cầm tay
u cầu bài toán
Trắc nghiệm
Tập xác định
Giáo viên
Học sinh
Hà Nội
Trung ương

2


1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Thực hiện chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước, nghị
quyết TW4 khoá VII. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn
của trường THPT Triệu Sơn 5 năm học 2020-2021.
Với xu thế thi trắc nghiệm THPT Quốc gia và giờ được gọi là tốt nghiệp THPT. Bài

tốn về sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong đề thi của các kỳ thi khơng ít khó
khăn cho học sinh trong q trình giải quyết bài toán này chủ yếu là hàm số hợp.
Những câu hỏi trong đề thi đã làm cho HS lúng túng, hay bỏ qua hoặc đánh xác suất
dẫn đến kết quả khơng cao.
Trong chương trình tốn THPT, trong bài dạy, bài học cịn hạn chế, tài liệu tham
khảo ít đề cập đến. Câu hỏi dạng này đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức đa dạng về
hàm số đạo hàm và kiến thức liên quan để giải quyết. Đó cũng là khâu khó khăn khi
mà các em chưa thể phối hợp đồng bộ kiến thức để giải nhanh hoặc vận dụng tìm ra
kết quả. Những bài tốn về tính đơn điệu(đồng biến, nghịch biến) của hàm số hợp
cũng là những bài tập vận dụng thấp hoặc vận dụng cao trong đề thi. Đặc biệt là thi
THPT Quốc gia nay là thi tốt nghiệp THPT. Trong thực tế các bài toán về dạng này rất
phong phú và đa dạng. Các em sẽ gặp một lớp các bài tốn dễ khó thuận ngược. Chỉ
có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày cịn lúng túng chưa được gọn
gàng, thậm chí cịn khơng có hướng giải quyết. Tại sao lại như vậy?
Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK THPT hiện hành kiến thức này chỉ
giới thiệu, không đi sâu vào bài tâp, bài dạy. Khác xa với đề thi THPT Quốc gia, đề thi
học sinh giỏi, đề thi MTCT. Bài tập SGK đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt
khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nên trong q trình giảng dạy,
các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ
năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác địi hỏi học
sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực
biến đổi tốn học nhanh nhẹn thuần thục. Trong q trình dạy, giáo viên ln trình bày
những kiến thức cơ bản và dần hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh.
Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta có nhiều vấn đề cần giải quyết cho mỗi phân
mơn của tốn học phổ thơng, trong đó vấn đề giải quyết các câu hỏi về tính đồng biến,
nghịch biến của hàm số hợp là tiền đề để làm các bài toán cực trị, min max vận dụng
cao trong đề thi tốt nghiệpTHPT.
Xuất phát từ thực tế trên, tôi chọn đề tài “Kinh nghiệm giải các bài tốn về tính
đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp theo định hướng thi tốt nghiệp THPT”
1.2. Mục đích nghiên cứu.

Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường THPT. Tơi
đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hố lại các dạng tốn về tính đồng biến nghịch
biến của hàm số hợp, cách giải trong đề thi trắc nghiệm tốt nghiệpTHPT .
Học sinh cần nắm chắc định nghĩa và các tính chất có liên quan.
Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập nhiều khi đã nhớ công thức vận dụng,
công thức .
3


Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi học sinh
giỏi, tốt nghiệp THPT để tuyển sinh đại học cao đẳng.
Học sinh có thể nhớ và khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số ở các dạng tốn
khác có liên quan như giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, bài tốn
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số, ứng dụng vật lí, hóa,
sinh…
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số
phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện hướng giải quyết. Học
sinh thơng hiểu và trình bày bài tốn đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi
biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học
sinh có một cái nhìn tồn diện cũng như phương pháp giải một số các bài vận dụng và
vận dụng cao trong đề thi tốt nghiệp THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Thực hiện trên tất cả đối tượng học sinh khối 12.
Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề tham khảo và các đề thi thử, đề minh họa…của
các trường trên toàn quốc đã và đang khai thác ở mức độ vân dụng và vận dụng cao
các câu hỏi về tính đơn điệu của hàm số hợp. Vì vậy trong đề tài này tơi chỉ tập trung
cung cấp phương pháp và các ví dụ cụ thể có sử dụng bảng xét dấu của đạo hàm của
hàm số hợp.
Trong đề tài này tôi cố gắng bằng kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học
và ôn thi THPT QG, nay là tốt nghiệp THPT giới thiệu dến độc giả và đồng nghiệp

một số kinh nghiệm định hướng nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán dạng
này.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lý luận chung.
Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm hàng năm.
Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q trình giảng
dạy. Hồn thiện hệ thống cơ sở lý luận, kiến thức cơ bản, hướng dẫn tiếp cận bài tốn,
phân tích đánh giá và kết luận liên quan dạng toán này. Áp dụng kinh nghiệm này cho
các em học sinh thông qua các bài kiểm tra khảo sát chất lượng theo định hướng tốt
nghiệp THPT. Báo cáo đề tài SKKN trước tổ chuyên môn và được tổ chun mơn góp
ý, nhận xét bổ sung và đánh giá. Bản thân tơi có tham khảo một số ý kiến của một số
đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm ôn thi THPT QG, và nay là tốt nghiệp THPT. Đặc
biệt đam mê nghiên cứu các dạng toán vận dụng, vận dung cao trong các đề thi.

4


2. PHẦN NỘI DUNG:
2.1 Cơ sở lí luận:
Khi gặp những bài tốn về tính đồng biến nghịch biến của hàm số hợp, học sinh
phải nắm được các kiến thức đạo hàm, xét dấu đạo hàm và các kiến thức liên quan.
Đó cũng là những hạn chế của HS và GV, vì đơi khi HS học qua loa, GV khơng khắc
sâu. Khi gặp câu hỏi dạng này rất lúng túng sợ mất thời gian và bỏ qua hoặc chọn bừa
một đáp án, dẫn đến kết quả không cao. Việc nắm vững các kiến thức liên quan để
giải quyết bài dạng này là rất cần thiết để các em HS có được điểm cao trong thi trắc
nghiệm. Vì các câu hỏi này chủ yếu là kiến thức ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng
cao. Muốn làm tốt dạng toán này các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
môn tốn một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài

tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư duy logic
và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu mơn một
cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài
tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học
sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài tốn về tính đơn điệu
của hàm hợp trong đề thi, đặc biệt là đề thi tốt nghiệpTHPT .
2.2. Thực trạng vấn đề.
Trong thực tế, học sinh thường rất ngại giải quyết các bài tốn về tính đơn điệu của
hàm hợp, các em rất khó trong việc chọn hướng giải quyết vấn đề vì bài tốn thường
hàm hợp tổng hợp lại liên quan đến nhiều kiến thức, nhiều giả thiết, khác với các dạng
tốn đơn thuần khơng phải hàm hợp, thời gian ngắn các em lo không đủ để làm bài,
chọn ngẫu nhiên đáp án cho nhanh.
Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ lớp 12, các kỳ thi thử THPT QG trước đây, tốt
nghiệp THPT, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh và việc học tập, làm bài tập hàng
ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc khơng giải được hoặc một số rất ít học
sinh khá giỏi mới làm được bài tập phần này.
Nội dung bài học dạng này với thời lượng ít và những dạng đơn giản. Đề thi thì lại
khó khăn. Nếu khơng có được phương pháp, đường lối thì HS sẽ khơng thể giải quyết
vấn đề dạng bài tập này được.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1 Giả sử có đạo hàm trên khoảng I = (a; b).
Nếu >0, .
Nếu , .
Nếu , .
Chú ý:
Trong điều kiện đủ, nếu = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì kết luận vẫn đúng.
5

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I gọi là hàm số đơn điệu trên I.
Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì phải liên tục trên đó
2.3.2. Quy tắc xét tính đơn điệu
Cho hàm số có đạo hàm trên D:
Để xét chiều biến thiên của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm . Tìm các điểm xi ( i = 1,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
khơng xác định.
B3: Xét dấu y’
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét
dấu của đạo hàm. Như vậy ta cần nắm được
2.3.3. Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức : f(x) = ax2 + bx + c
1. Nếu   0 thì f(x) ln cùng dấu với a.
x

b
2a

x �

b
2a .

2. Nếu   0 thì f(x) có nghiệm
và f(x) ln cùng dấu với akhi


0

3. Nếu
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài
khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a.
2.3.4. Quy tắc xét dấu của một biểu thức.
Giả sử hàm y  g  x  không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm x1 , x2 , …, xn đôi một

khác nhau và x1  x2  L  xn . Ký hiệu I là một trong các khoảng  �; x1  ,  x1; x2  , …,

 xn1 ; xn  ,  xn ; � . Khi nó nếu

g

liên tục trên I thì khơng đổi dấu trên đó.

2.3.5. Đạo hàm của hàm số hợp
�

��

Cho hàm số với . Khi đó: yx  yu . u x
2.3.6. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp: ( u = u(x))

6


c '  0 (c  const )
( x n ) '  n.x n 1
1
( x)' 
2 x

(u n ) '  n.u '.u n 1
u'
( u)' 
2 u

'

'

�1 � 1
� �  2
�x � x

�1 � u '
� �  2
�u � u

(a x ) '  a x .ln a

(a u ) '  u '.a u .ln a

(e x ) '  e x
1
(ln x) ' 
x
(sin x) '  cos x
(cos x) '   sin x

(eu ) '  u '.eu

u'
(ln u ) ' 
u
(sin u) '  u '.cos u
(cos u ) '  u 'sin u

2.3.7 Các dạng bài toán liên quan đến tính đồng biến, nghịch biến của hàm hợp.
2.3.7.1. Cho đồ thị f’(x). tìm khoảng đơn điệu của f[u(x)]
Khi gặp dạng toán này ta cần nắm được các bước giải như sau.
Cách 1:
u  x �
�
g x g�
 x   u�
 x . f �
�
�.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số   ,

Bước 2: Sử dụng đồ thị của   , lập bảng xét dấu của   .
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
f �x

g �x

u  x �
�
g x g�
 x   u�

 x . f �
�
�.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số   ,

�
�
Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến ۳ g  x  0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến ۣ g  x  0 )

Bước 3: Giải bất phương trình   (dựa vào đồ thị hàm số
khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
*

y f�
 x

) từ đó kết luận

( x)
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f �
như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Hàm số f ( x) đồng biến trên ( - 2;1) .
B. Hàm số f ( x) đồng biến trên ( 1;+�)
C. Hàm số f ( x) nghịch biến trên đoạn có độ dài
bằng 2 .
D. Hàm số f ( x) nghịch biến trên ( - �;- 2) .
Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số y = f '( x) ta thấy:

7

�
- 2 < x <1
�
��
�
�
f ( x)
x >1
�

● f '( x) > 0 khi
đồng biến trên các khoảng ( - 2;1) , ( 1;+�) .
Suy ra A đúng, B đúng.
� f ( x) nghịch biến trên khoảng ( - �;- 2) . Suy ra D đúng.
● f '( x) < 0 khi x <- 2 ��
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C.
( x) như hình bên dưới
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f �

Hàm số g( x) = f ( 3A. ( 0;2) .

2x)

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B. ( 1;3) .
C. ( - �;- 1) .
D. ( - 1;+�) .

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra

( x) = - 2 f �
( 3- 2x) .
Ta có g�
Xét

�
- 2< x < 2
f�
.
( x) > 0 � �
�
x>5
�

�
1
5
�
- 2 < 3- 2x < 2 �< x <
g�
��
( x) < 0 � f �
( 3- 2x) > 0 � �
2
2.
�
�
3- 2x > 5
�
x

<1
�
�

�
1 5�
�
; �
�
�
�
�
�
2 2�
và ( - �;- 1) .

g( x)

Vậy
nghịch biến trên các khoảng
Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số

Hàm số g( x) = f ( 1A. ( - 1;0) .

Chọn C.
như hình bên dưới

2x)

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

B. ( - �;0) .
C. ( 0;1) .
D. ( 1;+�) .

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra
( x) =- 2 f �
( 1- 2x) .
Ta có g�
Xét

y= f �
( x)

�
x <- 1
f�
.
( x) < 0 � �
�
1< x < 2
�

�
x >1
�
1- 2x <- 1
�
g�
� �1
.

( x) > 0 � f �
( 1- 2x) < 0 � �
�
1< 1- 2x < 2 �
- < x<0
�
�
�2

8


�1 �
�
- ;0�
�
�
�
�
�2 �
và ( 1;+�) .

g( x)

Vậy
đồng biến trên các khoảng
Chọn D.
�
Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ( x) như hình bên dưới. Hàm số
g( x) = f ( 2+ ex )

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

A. ( -

�;0)

B. ( 0;+�) .

.

Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có

C. ( -

1;3)

.

D. ( -

2;1)

.

�
x=0
f�
.
( x) = 0 � �
�

x=3
�

�
2+ ex = 0
theo do thi f '( x)
x
x
x
�
�
�
�
g�
x
=
e
.
f
2
+
e
;
g
x
=
0
�
f
2

+
e
=
0
������
� x = 0.
( )
(
) ( )
(
)
�
2+ ex = 3
�

Xét
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số g( x) nghịch biến trên ( - �;0) . Chọn A.
�
Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ( x) như hình bên dưới

Hàm số g( x) = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - �;- 1) .
B. ( - 1;1) .
C. ( 1;+�) .
D. ( 0;1) .
2
�
�3

Lời giải. Ta có g ( x) = 3x f ( x ) ;
3

�
x2 = 0
g�
=0 �
( x) ������
�� 3
f x =0
�
�( )

theo do thi f '( x)

�
x2 = 0
�
�
x3 = 0
�
�3
x =- 1
�
�3
�
x =1
�

�

x=0
�
.
�
x = �1
�

9


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
2.3.7.2. Cho đồ thị f’(x). Tìm khoảng đơn điệu của f[u(x)]+g(x)
Cách 1:
�
u  x �
 x   u�
 x . f �
 x .
g x g�
�
� v�
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số   ,

Bước 2: Sử dụng đồ thị của   , lập bảng xét dấu của   .
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
f �x

g �x

�
u  x �
 x   u�
 x . f �
 x .
g x g�
�
� v�
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số   ,

g x
۳ g�
 x  0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến ۣ g �
 x 0 )
Bước 2: Hàm số   đồng biến

Bước 3: Giải bất phương trình   (dựa vào đồ thị hàm số
khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
*

Ví dụ 6. Cho hàm số
hình bên dưới

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

�.

y f�
 x

) từ đó kết luận

Đồ thị hàm số

Đặt g( x) = f ( x) - x, khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. g( 2) < g( - 1) < g( 1) . B. g( - 1) < g( 1) < g( 2) . C. g( - 1) > g( 1) > g( 2) .

y= f �
( x)

như

D. g( 1) < g( - 1) < g( 2) .

� g�
( x) = f �
( x) - 1��
( x) = 0 � f �
( x) = 1.
Lời giải. Ta có g�
( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
Số nghiệm của phương trình g�
và đường thẳng d : y = 1 (như hình vẽ bên dưới).

y= f �
( x)

10


Dựa vào đồ thị, suy ra
Bảng biến thiên

�
x =- 1
�
�
g�
x
=
0
�
x =1 .
( )
�
�
x=2
�

� g( 2) < g( - 1) < g( 1) .
Dựa vào bảng biến thiên ��
Chọn C.
g�
x)
(
Chú ý: Dấu của

được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2;+�) , ta thấy đồ
( x) = f �
( x) - 1 mang dấu +.
thị hàm số nằm phía trên đường thẳng y = 1 nên g�
( x) như
Ví dụ 7. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị hàm số y = f �
hình bên dưới

Hàm số g( x) = 2 f ( x) - x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
A. ( - �;- 2) .
B. ( - 2;2) .
C. ( 2;4) .
D. ( 2;+�) .
� g�
( x) = 2 f �
( x) - 2x ��
( x) = 0 � f �
( x) = x.
Lời giải. Ta có g�
( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
Số nghiệm của phương trình g�
và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới).
2

y= f �
( x)

11

�
x =- 2
�
g�
x= 2 .
( x) = 0 � �
�
�
x=4
�

Dựa vào đồ thị, suy ra
�
Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x �( - 2;2) thì đồ thị hàm số f ( x) nằm phía trên
( x) > 0 ) ��
� hàm số g( x) đồng biến trên ( - 2;2) . Chọn B.
đường thẳng y = x nên g�
( x) như
Ví dụ 8. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị hàm số y = f �
hình bên dưới

Hỏi hàm số
( - 3;1) .

g( x) = f ( 1- x) +

x2
- x
2

( - 2;0) .

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
� 3�
�
- 1; �
.
�
�
�
�
� 2�

A.
B.
C.
D. ( 1;3) .
( x) = - f �
( 1- x) + x - 1.
Lời giải. Ta có g�
( x) < 0 � f �
( 1- x) > x- 1. Đặt t = 1- x , bất phương trình trở thành f �
( t) >- t.
Để g�
Kẻ đường thẳng y = - x cắt đồ thị hàm số f '( x) lần lượt tại ba điểm x = - 3; x = -

1; x = 3.

12

�
�
�
t <- 3
1- x <- 3
x> 4
f�
��
��
.
( t) >- t � �
�
�
�
1< t < 3 �
1< 1- x < 3 �
- 2< x < 0
�

Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình
Đối chiếu đáp án ta chọn B.
2.3.7.3. Cho bảng biến thiên f’(x). Tìm khoảng đơn điệu của f[u(x)]
Hồn tồn tương tự dạng trên ta có được kết quả cho dạng này
Ví dụ 9. Cho hàm số

Hàm số
A.

y = f ( x)

có bảng biên thiên như hình vẽ

� 2 5
3�
g( x) = f �
2x - x - �
�
�
�
�
�
2
2�
nghịch

� 1�
�
�
- 1; �
.
�
�
�
� 4�

B.

biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

�
1 �
�
.
�
� ;1�
�
�
�
4 �

C.

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

Ta có

�
5� �
5
3�
�
g�
4x - �
2x2 - x - �
.
( x) = �
�f �
�
�

�
�
�
�
�
�
� Xét
2�
2
2�

� 5�
�
�
1; �
.
�
�
�
� 4�
�
x <- 2
f�
( x) > 0 � �
�
x>3
�

D.
và

�
�
5
�
�
4x - > 0
�
�
�
2
�
�
� �
�
�
5
�
�
�
f�
2x2 - x �
�
�
�
�
�
2
�
�

�
g�
x
<
0
�
( )
�
�
�
5
�
�
4x - < 0
�
�
�
2
�
�
� �
�
�
5
�
�
�
f�
2x2 - x �
�

�
�
�
2
� �
�

�
�
9
�
.
�
� ;+��
�
�
�
�
4
f�
( x) < 0 � - 2 < x < 3.

�
3�
<0
�
�
2�
.

�
3�
>0
�
�
2�

13




5
�
5
�
�
�
4x - > 0
x>
�
�
�
9
2
� 8
�
��
� 1< x < .
�

�
�
�
�
�
5
3
5
3
4
�
�
f�
2x2 - x - �
<0 �
�
- 2 < 2x2 - x - < 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2

�
�
�
� 5
�
�
x<
�
�
�
8
�
�
�
�
�
5
�
�
�
2x2 - x 5
�
�
�
�
4
x
<
0
2

�
�
�
�
2
�
��
� �
�
�
�
5
3
�
�
f�
2x2 - x - �
>0 �
�
� 5
�
�
�
�
�
�
�
2
2�
x<

� �
�
�
�
8
�
�
�
�
�
5
�
�
2x2 - x �
�
�
2
�
�

3
>3
2

3
<- 2
2

�
x <- 1

�
�
�
��
.
�
�
1
5
�
�
4
8
�


Đối chiếu các đáp án, ta chọn C.
Ví dụ 10. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
f�
( x) như hình vẽ

�.

Bảng biến thiên của hàm số

� x�
g( x) = f �
1- �
+x

�
�
�
�
� 2�

Hàm số
A. ( - 4;- 2) .

Lời giải. Ta có
TH1:

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B. ( - 2;0) .
C. ( 0;2) .
D. ( 2;4) .

g�
( x) = -

1 �
x�
�
f�
1- �
+1.
�
�
�
�

2 � 2�

Xét

� x�
�
�
g�
1- �
>2
( x) < 0 � f �
�
�
�
� 2�

� x�
x
�
f�
1- �
> 2 � 2 <1- < 3 � - 4 < x <- 2.
�
�
�
�
� 2�
2

Do đó hàm số nghịch biến trên ( -

4;- 2)

.

� x�
x
�
f�
1- �
> 2 � - 1< 1- < a < 0 � 2 < 2- 2a < x < 4
�
�
�
�
� 2�
2

TH2:
khoảng ( 2-

nên hàm số chỉ nghịch biến trên
2a;4)
chứ khơng nghịch biến trên tồn khoảng ( 2;4) .

Vậy hàm số

� x�
g( x) = f �
1- �

+x
�
�
�
�
� 2�

nghịch biến trên ( -

4;- 2) .

Chọn A.

Ví dụ 11Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

1
y = g ( x ) = 2 f ( 1- x ) + x 4 - x 3 + x 2 - 1
4
Đặt
. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

14


A. Hàm số

y = g ( x)

đồng biến trên khoảng  �; 0  .

B. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng  1; 2  .
y = g ( x)
C. Hàm số
đồng biến trên khoảng  0;1 .
D. Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng  2; � .

Ta có:

y�
 g�
 x   2 f �
 1  x   x 3  3 x3  2 x

.

x2
�
�
x 1
f�
1 x  0 � �
�
x0
�
�
x 3.
�
Dựa vào bảng xét dấu f  x  ta có
2  1  x  1 �
2 x3

�
2 f �
��
1 x  0 � f �
 1 x  0 � �
0  1 x  1
0  x 1 .
�
�

x3  3 x3  2 x  x  x  1  x  2 

Bảng xét dấu

y�
 g�
 x

Vậy hàm số đồng biến trên   .
2.3.7.4. Cho biểu thức f’(x). Tìm khoảng đơn điệu của f[u(x)]
Hồn tồn tương tự dạng trên ta có được kết quả cho dạng này
0;1

Ví dụ 12. Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm

f�

( x) = x2 - 2x

với mọi

� x�
g( x) = f �
1- �
�
�
�+ 4x
� 2�
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. ( - �;- 6) .
Lời giải. Ta có
Xét

B. ( -

C. (

6;6) .

2
� x�
1 �
x�
1�
�
�

�
�
�
g�
1- �
1- �
( x) =- f �
�
�+ 4 =- 2 �
��
� 2�
� �
2 �
� 2

9 x2
> 0 � x2 < 36 ��
�- 6 < x < 6.
2 8

Ví dụ 13. Cho hàm số
g( x) = f ( x

2

)

y = f ( x)

)

6 2;6 2 .

D. (

x ��.

Hàm số

)

6 2;+� .

�
� x�
9 x2
�
2�
1- �
+
4
=
.
�
�
�
�
� 2�
�
2 8

�

Chọn B.

có đạo hàm

f�
( x) = x2 ( x - 9)( x - 4)

2

với mọi

x ��.

Hàm số

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
15


A. ( -

2;2) .

B. ( - �;- 3) .

C. ( - �;- 3) �( 0;3) .

D. ( 3;+�) .

2

Lời giải. Ta có

g�
( x) = 2xf ( x2 ) = 2x5 ( x2 - 9)( x2 - 4) ;

�
x=0
�
�
g�
x = �3.
( x) = 0 � 2x ( x - 9)( x - 4) = 0 � �
�
x = �2
�
5

2

2

2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
2.3.7.5. Cho biểu thức f’(x,m). Tìm m để f[u(x)] đồng biến, nghịch biến.

Hoàn toàn tương tự dạng trên ta có được kết quả cho dạng này
Ví dụ 14. Cho hàm số
nhiêu số nguyên
A. 18
Lời giải. Ta có

f�
( x) = ( x - 1) ( x2 - 2x)
2

f ( x)

có đạo hàm

để hàm số g( x) = f ( x B.82
C. 83
2

m< 100

f�
( x) = ( x - 1)

2

( x2 -

8x + m)

với mọi

x ��.

Có bao

đồng biến trên khoảng ( 4;+�) ?
D. 84

�
x<0
2x) > 0 � � .
�
x>2
�

�
�2
Xét g ( x) = ( 2x - 8) . f ( x - 8x + m) . Để hàm số g( x) đồng biến trên khoảng ( 4;+�) khi và
( x) �0, " x > 4
chỉ khi g�
� ( 2x - 8) . f �
( x2 - 8x + m) �0, " x > 4
� f�
( x2 - 8x + m) �0, " x > 4

�
x2 - 8x + m�0, " x �( 4;+�)
�۳�
�2
x - 8x + m�2, " x �( 4;+�)

�
�

m 18.

Vậy

18 �m< 100.

Chọn B.
2
f�
( x) = x( x - 1) ( x2 + mx + 9)
y = f ( x)
Ví dụ 15. Cho hàm số
có đạo hàm
với mọi x ��. Có
bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g( x) = f ( 3- x) đồng biến trên khoảng ( 3;+�) ?
A.5.
B.6.
C.7.
D.8.
2
2
f�
.
( 3- x) = ( 3- x) ( 2- x) �
(�3- x) + m( 3- x) + 9�
�
�

�

Lời giải. Từ giả thiết suy ra
( x) =- f �
( 3- x) .
Ta có g�
Để hàm số g( x) đồng biến trên khoảng ( 3;+�) khi và chỉ khi
� f�
( 3- x) �0, " x �( 3;+�)

g�
( x) �0, " x �( 3;+�)

2
2
� ( 3- x)( 2- x) �
�0, " x �( 3;+�)
(�3- x) + m( 3- x) + 9�
�
�
�
2

( x - 3) + 9

ۣ"�+�
m

x- 3

, x ( 3;

)
16


2

ۣm min h( x)
( 3;+�)

với

h( x) =

( x - 3) + 9
x- 3

2

.

Ta có

h( x) =

( x - 3) + 9
x- 3

= ( x - 3) +

9
9
�2 ( x - 3) .
= 6.
x- 3
x- 3

+

Vậy suy ra

m��
m�6 ���
� m�{1;2;3;4;5;6} .

Chọn B.

y  f  x
y f�
 x  có đồ
Ví dụ 16. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên R . Biết hàm
thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên
m � 5;5

g  x  f  x  m

để hàm số
nhiêu phần tử?

B. 3 .

A. 4 .
Lời giải
Ta có

g�
 x  f �
 x  m

1; 2
nghịch biến trên khoảng   . Hỏi S có bao

. Vì

y f�
 x

C. 6 .

D. 5 .

g �x  f �
 x  m  cũng liên tục
liên tục trên R nên  

y f�
 x  ta thấy
trên R . Căn cứ vào đồ thị hàm số

x  m  1
x  1  m
�
�
��
��
g�
 x  0 � f �
 x  m  0 �
1 x  m  3 �
1 m  x  3  m .

g x  f  x  m
1; 2
Hàm số  
nghịch biến trên khoảng  
2 �1  m
�
�
��
3  m �2
m �3
�
�
��
�
�
1  m �1
0 �m �1 .
�

�
�

Mà m là số nguyên thuộc đoạn
Vậy S có 5 phần tử. Chọn D
Ví dụ 17. Cho hàm số

f  x

 5;5 nên ta có

S   5; 4; 3;0;1

có đạo hàm trên R và

f  1  1

.

. Đồ thị hàm số

y f�
 x

y  4 f  sin x   cos 2 x  a
như hình bên. Có bao nhiêu số ngun dương a để hàm số
��
0; �
�
nghịch biến trên � 2 �?

17


B. 3 .

A. 2 .

D. 5 .

C. Vô số.

Lời giải
Chọn B
g  x   4 f  sin x   cos 2 x  a � g  x   �
4 f  sin x   cos 2 x  a �
�
�.
Đặt
2

�
4 cos x. f �
4 f  sin x   cos 2 x  a �
 sin x   2sin 2 x �
��
�
�
� g�
 x  �

2
4 f  sin x   cos 2 x  a �
�
�
�

.

Ta có

4 cos x. f �
 sin x   2sin 2 x  4 cos x �
 sin x   sin x �
�f �
�

.

��
x ��
0; �
 sin x   sin x  0 .
2 �thì cos x  0,sin x � 0;1 � f �
�
Với
��
��
0; �
4 f  sin x   cos 2 x  a �0, x ��
0; �

�
g  x
2
2�
�
�
�
Hàm số
nghịch biến trên
khi
��
� 4 f  sin x   1  2sin 2 x �a, x ��
0; �
2
� 2 �.Đặt t  sin x được 4 f  t   1  2t �a, t � 0;1 (*).

Xét

h  t   4 f  t   1  2t 2 � h�
 t  4 f �
 t   4t  4 �
 t   1�
�f �
�.

Với

t � 0;1

thì

h�
 t  0 � h t

0;1
nghịch biến trên   .

 a h  1  4 f  1  1  2.12  3
Do đó (*) ۣ
. Vậy có 3 giá trị ngun dương của a thỏa
mãn.

Ví dụ 18. Cho hàm số
hình vẽ bên. Đặt

y  f  x

y  f�
 x như
có đạo hàm liên tục trên � và có đồ thị

g x  f  x  m 

2
1
x  m 1  2019

2
, với m là tham số thực. Gọi S là

y  g x
tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số
đồng biến trên khoảng

 5; 6  . Tổng tất cả các phần tử trong S bằng:

18


A. 4 .

B. 11 .

D. 20 .

C. 14 .

Lời giải
Chọn C
Ta có
Cho

g�
 x  f � x  m   x  m 1

g�
 x  0 � f � x  m  x  m 1

. Đặt

x  m t � f ' t   t  1

Khi đó nghiệm của phương trình là hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số

y  f�
 t

và

và đường thẳng y  t  1

Dựa vào đồ thị hàm số ta có được
Bảng xét dấu của

�
t  1
�
f�
 t  t  1 � �t  1
�
t3
�

g�
 t

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số

g t 

đồng biến trên khoảng

 1;1

và

 3; �

�
1  t  1 �
1  x  m 1 �
m 1  x  m 1
��
��
�
t3
x  m 3
x  m 3
�
�
Hay �
�
m�
1 �
5 6 m 1
5 m 6
��
�
g x
5; 6

m 3 �5  6
m�2
�
Để hàm số   đồng biến trên khoảng   thì �
Vì m

là các số nguyên dương nên

S   1; 2;5; 6
19


Vậy tổng tất cả các phần tử của S là: 1  2  5  6  14 .
2.3.7.5. Bài tập tương tự.
Câu 1. Cho hàm số y  f ( x) . Hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
y  f (2  x ) đồng biến trên khoảng

2; �
A. 

2;1
B. 

�; 2 
C. 

1;3
D.  

Câu 2. Cho hàm số f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số

g  x   f  1  2 x   x2  x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

� 3�
1; �
�
A. � 2 �.

Câu 3. Cho hàm số

� 1�
0; �
�
B. � 2 �.
y  f  x

C.  2; 1 .

liên tục có đạo hàm trên R. Biết hàm số

D.  2;3 .
f ' x

có đồ thị

2019; 2019
cho như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 
để hàm só

g  x   f  2019 x   mx  2

0;1
đồng biến trên  

20


A. 2028 .
B. 2019 .
C. 2011 .
D. 2020
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy ở bậc THPT và luyện thi đại học. Từ năm 2017 bộ mơn
tốn có thay đổi hình thức thi trắc nghiệm. HS- GV khơng tránh được những khó khăn
trong việc học, dạy. Đặc biệt những câu trắc nghiệm vận dụng và vận dụng cao trong
đó có những câu liên quan đến tính đơn điệu của hàm số hợp. Tơi đã sử dụng theo
cách đã nêu trên để dạy cho học sinh. Các em cảm thấy hào hứng không “ sợ sệt” khi
gặp loại câu hỏi này. Đó cũng là thành cơng bước đầu trong công tác giáo dục. Tôi
cảm thấy tự tin, HS cũng vậy. Qua sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng các năm sau
có kết quả tốt hơn.
Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ về hàm số, các
kiến thức trên thì dạng này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập ra cho học
sinh mang tính phong phú, đa dạng và khó hơn.
Đối với học sinh ơn thi học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệpTHPT nên phát triển thành
chuyên đề rõ ràng với những kiến thức thể loại đa dạng và phong phú. Giúp học sinh
phát hiện và có hướng giải quyết chính xác.
Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá, giỏi, trung bình đều rất hứng thú với
phương pháp giải toán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo. Tơi
thấy học sinh của mình đã và đang hào hứng làm dạng toán này .

Kết quả thi thử trắc nghiệm về câu hỏi đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp lần 1
của lớp 12A7 (Khi chưa ôn luyện nhiều dạng câu hỏi dạng này)
Mơn Lớp
Tốn 12A
7

Sĩ
số
40

Giỏi
SL
02

Khá
%
5%

SL
20

%
50
%

Trung bình
SL
15

%

37,5
%

Yếu
SL
03

%
7,5
%

Kém
SL
0

%
0%

Kết quả thi thử lần 2 về câu hỏi đồng biến, nghịch biến của hàm sốhợp 12A7 (Khi đã
được ôn luyện nhiều dạng câu hỏi này)
Mơn Lớp Sĩ
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
số
21

Toán 12A
7

40

SL
08

%
20
%

SL
19

%
47,5
%

SL
11

%
27,5
%

SL
02

%

5%

SL
0

%
0%

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy và học Tốn. Qua
thực tế giảng dạy ở trường THPT với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp cho
học sinh có cái nhìn tồn diện hơn về cách giải một số dạng toán trên. Thực tế cho
thấy học sinh khá giỏi, trung bình đều hứng thú và làm được hầu hết các dạng này.
Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều, song đây là dạng toán khó trong đề thi tốt nghiệp
THPT. Kinh nghiệm và kết quả chưa tổng hợp được nhiều trong năm học này. Những
điều tơi viết ra có thể khơng tránh khỏi sai sót và hạn chế. Tơi rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy
và học tập.
3.2. Kiến nghị.
Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn
nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng
cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại
các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cơ sở nghiên
cứu phát triển chuyên đề. Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao
chất lượng học tập.
Sở giáo dục cần tiếp tục duy trì cho các đơn vị trường viết sáng kiến kinh nghiệm
hàng năm để giáo viên nâng cao nghiệp vụ, giao lưu, học hỏi lẫn nhau. Những SKKN
đạt giải cao, có chất lượng, nên in ấn đưa về các trường để giáo viên chúng tôi học

tập, chia sẻ, để nền giáo dục càng phát triển tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Nguồn tài liệu từ các đề thi thử các trường bạn.
Nguồn tài liệu Internet
Tài liệu: Hướng dẫn tốn của tác giả Nguyễn Bảo Vương .
Trích đề thi khảo sát THPT QG các năm của Sở GD Thanh Hóa
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Lê Nguyên Huấn

23


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Nguyên Huấn
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Triệu Sơn 5.
Cấp đánh giá

xếp loại
TT Tên đề tài SKKN
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)
1. Ứng dụng tính chất đơn điệu Cấp tỉnh
để giải phương trình, hệ
2.

phương trình.
Hướng dẫn học sinh 12 làm Cấp tỉnh
tốn trắc nghiệm về câu hỏi

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A,
B,
hoặc C)
Xếp loại
B

Năm
học
đánh
giá
xếp loại
2013- 2014

Xếp loại 2018-2019

C

ứng dụng thực tế

24


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐỒNG BIẾN,
NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ HỢP THEO ĐỊNH HƯỚNG THI
TỐT NGHIỆP THPT

Người thực hiện: Lê Nguyên Huấn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2021

25