SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại và đề ra cách giải nhanh các bài toán trắc nghiệm khách quan phần nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình Giải tích lớp 12 có một phần rất quan trọng của giải tích
đó là Ngun hàm, tích phân và ứng dụng. Nó có mặt trong tất cả các đề thi từ kỳ
thi TN THPT đến các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Vì thế ngun hàm và tích phân
là một chuyên đề được nhiều người rất quan tâm. Làm thế nào để dạy phần nguyên
hàm và tích phân một cách hiệu quả là vấn đề mà nhiều giáo viên dạy toán rất trăn
trở suy nghĩ. Các bài tập về nguyên hàm và tích phân rất phong phú và công cụ để
giải chúng rất đa dạng. Thông qua giải các bài tốn về ngun hàm và tích phân,
học sinh sẽ hiểu được sâu sắc hơn về diện tích, thể tích các hình, các kiến thức vật
lí, hóa học, sinh học có liên quan; các kỹ năng được rèn luyện, tư duy và khả năng
sáng tạo được phát huy, bởi vì các phương pháp giải tốn ngun hàm và tích phân
khơng theo một khn mẫu nào cả. Có thể nói ngun hàm và tích phân là một
cơng cụ sắc bén của toán học.
Để giải bài toán về nguyên hàm và tích phân có thể xuất phát từ nhiều kiến
thức khác nhau, bằng nhiều hướng đi khác nhau. Vì vậy, nếu khơng phân tích được
đầy đủ và chi tiết các dữ kiện và điều kiện của bài toán, nếu khả năng tổng hợp
kém, khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa khơng được rèn luyện thì việc định
hướng và tìm lời giải cho bài tốn ngun hàm và tích phân sẽ rất khó khăn. Mặt
khác việc giải nhanh các bài tốn trắc nghiệm khách quan phần nguyên hàm, tích
phân và ứng dụng sẽ giúp học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi TN THPT và kỳ thi
học sinh giỏi các cấp.
Với lí do đó, tơi đã chọn sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại
và đề ra cách giải nhanh các bài toán trắc nghiệm khách quan phần Nguyên
hàm, tích phân và ứng dụng”.
2. Nhiệm vụ của đề tài.
Thực trạng đứng trước một bài tốn Ngun hàm, tích phân và ứng dụng học
sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài tốn từ
đâu ?”. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm
ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như
thế là khơng cao. Do đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các

phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải tốn sẽ
giúp học sinh hồn thiện kỹ năng định hướng và giải toán. Cần nhấn mạnh một
điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài tốn Ngun
hàm và tích phân thường khơng suy nghĩ, đào sâu thêm. Học sinh không chú ý đến
bản chất của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài tốn nhưng vẫn khơng phân
loại được dạng tốn cơ bản cũng như bản chất của bài toán.
Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thông thường
học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài tốn có cấu trúc đơn giản. Cịn khi
đưa ra bài tốn khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ ra rất lúng túng
và khơng biết định hướng tìm lời giải bài tốn. Từ đó, hiệu quả giải tốn của học
sinh bị hạn chế rất nhiều. Trước thực trạng đó của học sinh, tơi thấy cần thiết phải
1


hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán, giúp học sinh chủ động hơn
trong việc phân loại và tìm kiếm phương pháp giải hiệu quả.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tơi thấy đây là dạng tốn
khơng chỉ khó mà cịn khá hay, lơi cuốn được các em học sinh khá giỏi.
Với đề tài này, tôi cố gắng xây dựng cơ sở kiến thức vững chắc, hệ thống
bài tập và ví dụ logic giúp học sinh tiếp thu vấn đề một cách thuận lợi nhất, quy lạ
về quen để bài tốn Ngun hàm, tích phân khơng cịn ln ln là bài tốn hóc
búa, khó giải.
Thơng qua nghiên cứu và kết hợp các hoạt động:
Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải tốn thơng qua một (hay
nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên .
Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó yêu
cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài tốn.
Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của
học sinh.

Trong mỗi bài toán Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đều yêu cầu học
sinh thực hiện phân tích bản chất của bài tốn cũng như đưa ra các hướng khai thác
mở rộng cho bài toán.
Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
4. Phạm vi nghiên cứu và cách thức thực hiện.
Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết).
Các buổi học giáo viên nêu vấn đề và định hướng cách suy nghĩ giải tốn, giáo
viên hướng dẫn làm các ví dụ mẫu. Để tăng cường tính chủ động cho học sinh
trong buổi học thứ nhất tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề
thi về Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng cho bài học. Yêu cầu học sinh về nhà
chuẩn bị lời giải, phân loại các bài tốn thành các nhóm tương tự nhau cũng như
trả lời câu hỏi: “Bản chất bài toán ấy là gì? có tổng qt, mở rộng, phân loại dạng
tốn được khơng, cách giải hiệu quả là gì?”. Bài tốn Ngun hàm, tích phân và
ứng dụng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi ĐH, đề thi học sinh giỏi với mức
độ tương đối khó. Vì vậy để giải được dạng tốn này chúng ta cần tìm hiểu bản
chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại tốn.
PHẦN II. NỘI DUNG
I. CÁC BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM.
1.1. TÌM NGUYÊN HÀM F ( x ) CỦA HÀM SỐ f ( x ) CHO TRƯỚC
2
Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x −

A. 2x +

1
+C.
x2

B.

1
là
x

1 3
x − ln x + C .
3
2


1 3 1
x − 2 +C .
3
x
Giải
Cách 1: Khi nắm được bảng nguyên hàm cơ bản, ta lựa chọn được đáp án B
Cách 2: Khi nắm chưa vững công thức nguyên hàm cơ bản, ta có thể dùng định
C. 2 x − ln x + C .

D.

nghĩa F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) khi và chỉ khi F ′ ( x ) = f ( x ) , lần lượt thử
đáp án, ta chọn được đáp B.
Cách 3: Dùng máy tính Casio
 Ta biết F ′ ( x ) = f ( x ) việc này đúng với mọi x thuộc tập xác định

 Vậy sẽ đúng với x = 1 chẳng hạn. Khi đó F ′ ( 1) = f ( 1) . Khi đó
d
( Fi ( x)) x = A − f (A) ( *)
• Thuật tốn trên máy tính CASIO

dx
f : là hàm số cần xác định nguyên hàm
Fi ( x) : là các đáp án nguyên hàm đã cho
A: hằng số tự chọn thuộc tập xác định và có giá trị nhỏ
• Thay lần lượt các đáp án vào Fi ( x) và chọn giá trị A thích hợp
• Lựa chọn đáp án có kết quả xấp xỉ bằng 0:
Các em nhập như sau:
Phương án A:

+

7
Được kết quả − , do đó loại phương án A
4
Làm tương tự phương án B, ta được kết quả là 0 . Chọn phương án B.
Khi đó khơng cần thử phương án C, D
Lưu ý: +) Khi sử dụng cách 3, mới đầu nhìn vào dường như việc bấm máy tính rất
rối, nhưng thực chất chỉ là nhập biểu thức (*) và thực hiện gán giá trị x = 2 (
). Khi thành thạo kỹ năng bấm máy tính thì việc nhập (*) hết khoảng hơn “1s”.
Do đó từ bây giờ trở đi trong tài liệu này tôi chỉ nêu là nhập biểu thức (*).
+) Trong một số tình huống khi gán giá trị x = A thì có thể một phương án nào đó
nó đúng. Do đó để chắc chắn ta có thể gán thêm x = B để tăng độ tin cậy của đáp
án, như trong VD1 này nếu phương án A ta gán x = 1 thì kết quả bằng 0 , khi gán
7
x = 2 được kết quả − .
4
2x
Ví dụ 2. [Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm của hàm số y = x.e là

3

1 2x 
1
B. e  x − ÷+ C
2 
2

A. 2e2 x ( x − 2) + C
1
2x 
C. 2e  x − ÷+ C
2


1
D. e 2 x ( x − 2 ) + C
2
Giải
Cách 1: Khơng cịn đơn thuần là nhớ công thức nữa, mà ta phải nắm được nguyên
hàm từng phần ta được đáp án B.
Cách 2: Ta có thể lần lượt thử tính đạo hàm của từng phương án ta cũng được
phương án B.
Trong phòng thi gặp nhiều áp lực, nhiều khi chúng ta đột nhiên bị quên công thức
đạo hàm hay bản thân chúng ta không nhớ phương pháp nguyên hàm từng phần
này thì làm sao? Khi đó kỹ năng sử dụng Casio là cần thiết
Cách 3: Xét với phương án A: Nhập (*) và gán x = 1 ta được đáp án -22.1671683.
Loại A.
Xét với phương án B: Nhập (*) và gán x = 1 ta được đáp án 0, gán x = 2 ta được
đáp án 0 . Chọn B. Khi đó khơng kiểm tra đáp án C, D

Ví dụ 3. Tìm ngun hàm của hàm số f ( x ) =

∫ f ( x)dx = ( x
C. ∫ f ( x )dx = ( x
A.

2

+ 2 x) x3 + 1 + C

2

+ 1) x 3 + 1 + C

7 x 4 + 3x 2 + 4 x
2 x3 + 1

∫ f ( x)dx = ( x
D. ∫ f ( x )dx = ( x
B.

3

+ x) x2 + 1 + C

3

+ x ) x3 + 1 + C

Giải

Nếu vào phịng thi thì với phần đơng thí sinh sẽ lựa chọn dùng Casio.
Xét với phương án A: Nhập (*) và gán x = 1 ta được đáp án 3.889087297. Loại A.
Xét với phương án B: Nhập (*) và gán x = 1 ta được đáp án 2.121320344. Loại B.
Xét với phương án C: Nhập (*) và gán x = 1 ta được đáp án 3, 77.10−12 , gán x = 2
ta được đáp án 0 . Chọn C. Khi đó khơng kiểm tra đáp án D.
Ví dụ 4. (Đề thi THPT Quốc gia 2017) Cho hàm số F ( x ) =

1
là một nguyên
2x2

f ( x)
. Tìm nguyên hàm của hàm số f / ( x )lnx
x
1 
 lnx 1 
 lnx
/
f / ( x )lnxdx = −  2 + 2 ÷+ C
B. ∫ f ( x )lnxdx = −  2 + 2 ÷+ C
x 
2x 
 x
 x

hàm của hàm số
A.

∫

C.

∫

f / ( x )lnxdx =

lnx
1
+
+C
x2 2x2

D.
4

∫

f / ( x )lnxdx =

lnx 1
+ +C
x2 x2


Giải

1
2ln x
/
, suy ra f ( x )ln x =

2
x
x3
Xét với phương án A: Nhập (*) và gán x = 0,1 ta được đáp án −1.000 . Loại A.
Xét với phương án B: Nhập (*) và gán x = 0,1 ta được đáp án 3, 5.10 −9 , gán x = 2
ta được đáp án 0 . Chọn B. Khi đó khơng kiểm tra đáp án C, D.
Ta có

f ( x) = F / ( x) x = −

Bình luận
*) Qua 4 ví dụ trên thì ví dụ 1, có thể xử lý bằng tự luận, cần học sinh nắm được
bảng nguyên hàm cơ bản, các ví dụ phía sau thì việc sử dụng máy tính sẽ hiệu quả
hơn
*) Phương pháp trên không chỉ áp dụng cho các bài thi trắc nghiệm mà nó cịn là
một cách để học sinh kiểm tra kết quả khi làm bài tự luận.
1.2 TÌM NGUYÊN HÀM F ( x) CỦA HÀM SỐ f ( x) CHO TRƯỚC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
F ( x0 ) = M

Phương pháp: Sử dụng giả thiết F ( x0 ) = M mục đích là tìm giá trị của C trong
A

nguyên hàm, khi sử dụng Casio thì F ( A ) − M − ∫ f ( x ) dx đúng với mọi giá trị A
x0

thuộc tập xác định. Do đó
A

+) Bước 1: Nhập máy tính F ( A ) − M − ∫ f ( x ) dx

( **)

x0

+) Bước 2: Gán (CALC) A giá trị nhỏ tùy ý thuộc tập xác định
+) Bước 3: Chọn đáp án có kết quả gần bằng 0
Ví dụ 5. Ngun hàm của hàm số f ( x ) =
A. 2 2 x − 1 + 1

B.

2
thỏa điều kiện F ( 1) = 2 là
2x − 1

2x −1 + 1

C. 2 2 x − 1

D. 2 ( 2 x − 1)3

Giải
Cách 1: Nhận thấy

∫

2
dx = 2 2 x − 1 + C = F ( x ) . Do F ( 1) = 2 ⇔ C = 0 .
2x − 1

Vậy chọn đáp án C.
Cách 2: Chú ý: x0 = 1, M = 2 , f ( x ) =

2
1
, điều kiện xác định x > .
2x − 1
2

Xét với phương án A: Nhập (**) và gán x = 0, 6 ta được đáp án 1 . Nhận thấy đáp
án A sai khác đáp án đúng 1 đơn vị, do đó chọn C.
Nếu khơng nhận thấy điều này thì có thể xét tương tự đến khi chọ đáp án C.
5


2
Ví dụ 6. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = ln x +1.

ln x
thoả mãn
x

1
F ( 1) = . Giá trị của F 2 ( e) là:
3
A.

8
.
9

B.

1
.
9

C.

8
.
3

D.

1
.
3

Giải
A

1
Chú ý: x0 =1, M = và F ( A ) − M − ∫ f ( x ) dx
3
x0

( **) , Với F ( x)

là nguyên hàm

e

của hàm f ( x) , khi gán A = e thì (**) bằng 0. Cho nên F ( e ) = M + ∫ f ( x ) dx
x0

e

1
lnx
2
+) Nhập máy tính + ∫ ln x + 1. dx , kết quả 0,9428090416 là giá trị của F ( e )
3 1
x
+) Lưu kết quả vào A(

)

8
8
2
. Vậy F ( e ) = . Chọn đáp án A.
9
9
Với bài tốn này làm tự luận sẽ vơ cùng vất vả, trong khi sử dụng máy tính thì đạt
được kết quả nhanh chóng.
+) Nhập A2 được kết quả

II. CÁC BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN.
b

2.1. BÀI TỐN TÍNH

∫ f ( x ) dx THƠNG THƯỜNG
a

Đối với bài tốn này thì dù hàm f ( x ) đơn giản hay phức tạp thì dùng Casio ln
cho kết quả. Tuy nhiên đối với những hàm f ( x ) phức tạp thì máy tính có thể cho
kết quả hơi lâu, do đó khi đi thi học sinh nên có hai máy tính, một cái dùng cho
tích phân, một cái dùng cho các câu khác trong khi chờ đợi kết quả câu tích phân
+) Bước 1:
và nhập hàm f ( x )
+) Bước 2:

và chờ kết quả

+) Bước 3: Khi có kết quả bước 2, thực hiện lệnh
(lưu kết quả vào A),
Sau đó nhập vào máy tính A − Ai , với Ai là kết quả ở các đáp án, nhập đến khi kết
quả bằng 0 thì đó là đáp án đúng.
Ví dụ 7. [Báo Tốn học Tuổi trẻ tháng 12 năm 2016]
1

Tích phân ∫ ( 3 x − 1 − 2 x ) dx bằng
0

6


A. −

1
6

B.

7
6

C. −

11
6

D. 0

Giải
Cách 1: (Tự luận)
1

1
3

0

0

0

*∫ ( 3 3 x − 1 − 2 x ) dx = ∫ ( 3x − 1 − 2 x ) dx + ∫ ( 3 x − 1 − 2 x ) dx
1

3

1
1
1
1
 x2

1
1
*0 ≤ x ≤ * thì ∫ ( 3x − 1 − 2 x ) dx = ∫ ( 3x − 1 − 2 x ) dx = ∫ ( x − 1) dx =  − x ÷ 3 =
3
1
1
1
 2
 0 18
3
3
3
*Khi

1

∫(
1
3

1
≤ x ≤ 1 thì

3

1
 x2

2
3x − 1 − 2 x ) dx = ∫ ( 3x − 1 − 2 x ) dx = ∫ ( x − 1) dx =  − x ÷ 1 = −
9
1
1
 2

3
3
3
1

*Vậy I =

1

1
3

1

1

2

1

∫ ( 3x − 1 − 2 x ) dx + ∫ ( 3x − 1 − 2 x ) dx = 18 − 9 = − 6
1
3

0

Cách 2: (Dùng Casio)

Nhập lệnh
và nhập hàm f ( x )
, ta được kết quả −0,1666666589 , dễ dàng
nhận thấy đây là kết quả ở đáp án A. Vậy chọn A.
p
4

Ví dụ 8. Tính tích phân I= ị
0

sin 4 x
dx .
4
sin x + cos x
4

1
B. I= ln .
2

A. I=ln2.

C. I= - 4ln 2 .

1
D. I= ln 2 .
4

Giải
Đa phần nhiều học sinh khi gặp bài tốn này thì sẽ dùng máy tính.
- Chuyển về chế độ Radian.
- Nhập lệnh
và nhập hàm f ( x )
, ta được kết quả 0, 6931471806 ,
lưu kết quả vào A và nhập A − Ai thì được kết quả bằng 0 ở đáp án A. Vậy chọn A
a

Ví dụ 9. Tìm a > 0 sao cho:

ò x.e

x
2

=4

0

A. 4

B. 3

C. 2
7

D. 1


Giải
a

x

Bản chất khi tính ị x.e 2 ta được hàm số với biến là a . Do đó ta dùng lệnh để nhập
0

a

ò x.e

x
2

và dùng CALC thử 4 phương án ta được phương án C cho kết quả bằng 4.

0

Vậy chọn C.
2.2. XÁC ĐỊNH CÁC ẨN SỐ A, B, C TRONG BÀI TỐN TÍCH PHÂN
2

Ví dụ 10. Cho

ị
1

S=

A.

1- x x
e dx = ae 2 + be với a, b Ỵ ¤ . Tính 2a + 3b
2
x

1
2

B. S = 2

C. S =

5
2

D. S =

7
2

Giải
2

1- x x
1- x x
e dx - be
2
2
ò
Ta có : ị 2 e dx = ae + be suy ra
x
x
a= 1
1
e2
2

Cách 1: Sử dụng chức năng TABLE w8 để tìm giá trị a, b thích hợp (Bấm
Mode 7 đối với máy Casio 570 VN; Bấm Menu 8 đối với máy Casio580).
2

Nhập vào máy hàm số

f ( x) =

ò
1

1- x x
e dx - xe

x2
e2

(có thể bỏ qua bước nhập g ( x) )
Nhập Start =- 2; End = 2, Step = 0.25
Quan sát bảng kết quả ta chọn
(a, b) = ( f ( x), x) = (- 0.5,1)
Vậy S = 2a + 3b = 2
Cách 2: Giải hệ phương trình
Bên cạnh việc sử dụng chức năng bảng tính, chúng ta cịn có thể sử dụng hệ
phương trình để giải cho bài toán trên
Tiếp tục là một cải tiến mới của CASIO fx-580VN so với các dòng CASIO
fx-570VN Plus. Ở phiên bản mới này ta có thể nhập tích phân ngay trên các hệ số,
điều mà các dòng máy tiền nhiệm chưa làm được.

8


Đáp án A
2
ìï
ïï ae2 + be = 1 - x e x dx
ị x2
ïï
1
í
ïï
ïï 2a + 3b = 1
ïỵ
2

Đáp án B
2
ìï
ïï ae2 + be = 1 - x e x dx
ị x2
ïí
1
ïï
ïïỵ 2a + 3b = 2
e

Ví dụ 11. Cho I = ò
1

S = a +b +c
A. S = 0

LOẠI (vỡ
x, y ẽ Ô )

NHN

2ln x +1
x ( ln x +1)

2

dx = a ln 2 -

B. S = 3

b
b
( a, b, c ẻ Â ) v ti gin. Tớnh
c
c

C. S = 5

D. S = 7

Giải
b
Đặt d = . Khi đó d = a ln 2 c

e

2ln x +1

ò x(ln x +1)

2

dx

1

Sử dụng chức năng TABLE w8 để tìm giá trị a, d thích hợp
Nhập vào máy hàm số
e

f ( x) = x ln 2 -

2ln x +1

ò x(ln x +1)

2

dx

1

Nhập Start =- 5; End = 5, Step =1

Quan sát bảng kết quả và dựa vào điều kiện a, b, c ta
được (a,d) = ( x; f ( x ) ) = (2;0.5)
Suy ra: b =1; c = 2
Vây: a + b + c = 5
Đáp án: C
Chú ý: Khi chọn Start , End , Step cần lưu ý giả thiết của đề bài cho để chọn phù
hợp.
9


Trong ví dụ 10 thì a, b Ỵ Q và trong 4 phương án

1
7
£ S£

nên ta chọn
2
2

Start =- 2; End = 2, Step = 0.25
Trong ví dụ 11 thì a, b Ỵ Z và trong 4 phương án 0 £ S £ 7 nên ta chọn
Start =- 5; End = 5, Step =1
e

Ví dụ 12. Cho tích phân

ị(2 + x ln x)dx = ae

2

+ be + c ( a, b, c là số hữu tỉ). Xác

1

định mệnh đề đúng
A. a + b = c
B. a - b = c

C. a - b =- c
Giải
Sử dụng chức năng TABLE w8 kiểm tra các đáp án
Đáp A: a + b = c
e

Suy ra

a=

ò(2 + x ln x)dx -

b(e +1)

1

e 2 +1
Nhập vào máy hàm số
e

f ( x) =

ò(2 + x ln x)dx -

x(e +1)

1

e2 +1
Nhập Start =- 2; End = 2, Step = 0.25
Quan sát bảng giá trị ta thấy tất cả các giá trị f ( x)
tìm được đều có phần thập phân phức tạp. Do đó ta
loại đáp án A
Đáp án B: a - b = c . Suy ra
e

a=

ò(2 + x ln x)dx -

b(e - 1)

1

e 2 +1
Nhập vào máy hàm số
e

f ( x) =

ò(2 + x ln x)dx -

x(e - 1)

1

e2 +1
Nhập Start =- 2; End = 2, Step = 0.25
Quan sát bảng giá trị ta thấy ta thấy tồn tại

10

D. a + b =- c


( x, f ( x) ) = ( 2;0.25) . Do đó ta chọn đáp án B
Bình luận: Để chọn Bắt đầu (Start), Kết thúc (End) và Bước (Step) thích hợp,

chúng ta nên xem xét phân tích kĩ điều kiện của các ẩn số kết hợp với các đáp án
trong bi ( Vớ d: a, b,c ẻ Ơ , ¢ thì ta chọn Step =1 ; a, b, c ẻ Ô thỡ thng chn
1 1 1
Step = ; ; ;... )
5 4 2
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH MẶT PHẲNG
Tóm tắt lý thuyết
Bài tốn 1: Diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi
b

Công thức:

S =  ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

Chú ý: +) Đặc biệt khi y = g ( x ) = 0 , chính là trục
hồnh, đây là bài tốn cơ bản trong SGK 12
+) Diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi

( C1 ) : x = f ( y ) ;( C2 ) : x = g ( y ) ; y = a; y = b ( a < b)
b

Công thức:

S =  ∫ f ( y ) − g ( y ) dy
a

Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(C1 ) : y = f ( x)


(C2 ) : y = g ( x )
(C ) : y = h( x)
 3

Bước 1: Tìm giao điểm của các đồ thị bằng cách
giải các phương trình hồnh độ giao điểm
Bước 2: Chia hình phẳng thành các hình nhỏ giới hạn bởi hai đồ thị (giả sử là
y = f ( x ) , y = g ( x ) và y = g ( x ) , y = h ( x ) ). Áp dụng công thức
c

b

a

c

S = ∫ f ( x) − h( x) dx + ∫ g ( x) − h( x) dx

Chú ý: Qua lý thuyết nhận thấy việc tính diện tích hình phẳng trọng tâm là bài
tốn tính tích phân thơng thường (đã hướng dẫn ở mục 2.1)
11


Ví dụ 14. Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y =
x = 0 và x = 2
A. S = ln 2 + 3

B.

S = ln 3 + 3

C. S = ln 3

3x + 5
; y =0 ;
2x + 2

D. S = ln 3 - 2

Giải
2

Diện tích mặt phẳng cần tìm: S = ị
0

3x + 5
dx
2x + 2

Quan sát đáp án ta thấy có 3 đáp án chứa ln 3 nên ta nhập máy tính biểu thức
2

3x + 5

ò 2 x + 2 dx -

ln 3 , kết quả bằng 3 . Chọn B.

0

Ví dụ 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
parabol y = 3 x 2 , cung trịn có phương trình
y = 4 - x 2 ( với 0 £ x £ 2 ) và trục hồnh
(như hình vẽ)
A.

4p + 3
12

B.

4p + 2 3 - 3
6

D.

4p- 3
6

5 3 - 2p
3
Giải
Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X tìm nghiệm của các phương trình hồnh độ
giao điểm
•
3x 2 = 4 - x 2 Û 3x 4 + x 2 - 4 = 0 ( 0 Ê x Ê 2 ) ị x =1
C.

ã
ã

3x 2 = 0 Þ x = 0
4 - x2 = 0 ( 0 £ x £ 2 ) Þ x = 2
1

Như vậy:

2

2
Diện tích cần tìm S = ị 3x dx + ị 4 - x dx
2

0

1

• Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trên và lưu kết quả:
Thử các
ta có

kết của đề bài

12


Đáp án C

Đáp án D

»0
LOẠI

NHẬN

Đã chọn đáp án B

IV. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
Tóm tắt lý thuyết
Dạng 1. Cho hình ( H ) giới hạn bởi đồ thị của
các hàm số y = f (x) , y = g ( x) , x = a; x = b
quay quanh trục Ox tạo thành vật thể khối trịn
xoay có thể tích bằng
b

(

2

2

)

V0 x = p ò [ f ( x) ] - [ g ( x) ] dx
a

Dạng 2. Cho hình ( H ) giới hạn bởi đồ thị của các
hàm số x = f (y) , x = g (y) , y = a; y = b quay
quanh trục Oy tạo thành vật thể khối trịn xoay có
thể tích bằng

b

(

2

2

)

V0 y = p ị [ f (y) ] - [ g (y) ] dy
a

Chú ý: +) Nếu đề bài khơng có cho hai giả thiết x = a; x = b (hay y = a; y = b ) thì
trước khi áp dụng cơng thức V0 x (V0 y ) ta phải tìm hai cận của tích phân bằng cách
giải phương trình giao điểm f ( x) = g ( x) (hoặc f (y) = g(y) )
+) Việc giải quyết bài tốn thể tích cũng tưng tự bài tốn diện tích với phần trọng
tâm là tính tích phân
Mở rộng: Tính thể tích vật thể khi quay hình
phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) , y = g ( x ) , y = h ( x )
quanh trục Ox.(Hình vẽ)
Bước 1: Tìm các giao điểm a, b,c là nghiệm của
các phương trình f ( x) = h( x ); f ( x ) = g ( x ) và
g ( x ) = h( x )
Bước 2: Áp dụng công thức
b

2

2

c

2

2

V = p ò ([ f ( x) ] - [ g ( x) ] ) dx +p ò([ g( x) ] - [ h( x) ] )dx
a

b

13


Ví dụ 16. Tính thể tích vật thể khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình (H)
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành, x = 0 và x =
A.1

B.

p
2

C. 2p

p
quanh trục Ox.
2
D. p

Giải
p
2

Công thức tính thể tích V = p ( sinx ) 2 dx . Nhập máy tính cơng thức tích phân
ị
0

Chọn: D
Ví dụ 16. Cho miền D giới hạn bởi hai đồ thị y = x 2 ; y = 4 x 2 và y = 4 . Tính thể
tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy (như hình)
A. 12p
B. 2p
C. 6p
D. 8p
Giải
Chuyển đổi hàm số:
y
2
2
Nhận xét ta có đồ thị y = x và y = 4 x 2 giao nhau tại O.
y = x 2 Þ x = y và y = 4 x 2 ị x =

ổ
ỗ
( y )2 Do ú ta cú V = p ũỗ
ỗ
ỗ
0 ỗ

ố
4

2ử
ổ yử
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ữ
dy
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ 2 ứứ
ố
ữ

Nhp mỏy tớnh biểu thức tích phân, ta được kết quả

Chọn: C
Nhận xét: Đối với một số biểu thức đơn giản ta có thể khai triển để việc bấm máy
trở nên nhanh và dễ dàng hơn
V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
Ví dụ 16. Một người muốn dán tấm bảng hiệu cũ là một phần của hình elip với
kích thước như hình vẽ (1 đơn vị là 1m). Tính gần đúng chi phí mà người đó phải

bỏ ra để mua giấy dán biết giá của 1m 2 giấy là 20000 (nghìn)
14


Giải
Xây dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình:
x2 y 2
Phương trình Elip có dạng: 2 + 2 =1 ( E )
a
b
( a, b lần lượt là nữa trục dài và trục ngắn
của Elip)
1
Theo đề bài ta có: b = OE = EG =1
2
Do B (1.8;0.8) Ỵ ( E ) nên
1.82 0.82
+ 2 =1 Þ a 2 = 9
2
a
1
Suy ra ( E ) :

x2
x2
+ y 2 =1 hay y =± 1 9
9
1.8

Ta có: S = 4 SOEBN = 4ị

0

x2
1dx
9

Sử dụng máy tính CASIO tính tích phân trên và lưu
vào A
Vậy số tiền người chủ phải bỏ ra để mua giấy dán
là
20000 A » 134820 (nghìn)
Bình luận
+) Đối với những bài tốn tính diện tích của một
hình phức tạp khơng có sẵn cơng thức ta có thể sử dụng tích phân để tính diện tích.
+) Để có thể áp dụng tích phân để tính diện tích ta cần xây dựng hệ trục tọa độ
Oxy và xây dựng các hàm số phù hợp, đơn giản mà khơng mất tính tổng qt, kết
quả diện tích khơng đổi.
Ví dụ 17. Một cái lu có bán kính ở 2 đầu là
2( dm) và ở giữa là 4( dm) , chiều cao của cái
lu là 8( dm) (hình vẽ). Tính lượng nước tối đa
mà lu có thể chứa được.

Giải
Phân tích:

15


Cái lu có dạng khối trịn xoay với đường sinh hình Parabol là đồ thị của hàm số
y = ax 2 + bx + c ( a ¹ 0) . Do đó ta có thể áp dụng cơng thức tích phân để tính thể

tích khố trịn xoay trên.
Dựa vào kích thước của cái lu trên đề bài ta có thể xây dựng hệ trục tọa độ Oxy
phù hợp và đơn giản như hình vẽ. Khi đó ta có thể sử dụng cơng thức tích phân để
tính thể tích.
• Từ chiều cao của cái lu ta tìm được cận của tích phân
• Từ đồ dài bán kính 2 đầu và ở giữa ta lấy được 3 điểm A( - 4;2) ; B ( 0;4) ;
C ( 4;2) thuộc đồ thị ( P )
2
+) Tìm phương trình Parabol ( P ) : y = ax + bx + c ( a ¹ 0) qua 3 điểm A( - 4;2) ;

B ( 0;4) ; C ( 4;2)
ìï
- 1
ï
ìï 16a - 4b + c = 2 ïï a = 8
ïï
ï
- 1 2
Û ïí b = 0 Þ ( P ) : y =
x +4
Giải hệ phương trình: í c = 4
ïï
ïï
8
ïïỵ 16a + 4b + c = 2 ïï c = 4
ïï
ỵ
4

2

ỉ
ư
- 1 2
x + 4ữ
Nh vy: V = pũỗ
ữ
ỗ
ữdx
ỗ
ố
ứ
8
- 4
S dng mỏy tớnh CASIO fx-580VN X tính tích phân trên

1376p
» 288.189( dm 2 )
15
Ví dụ 18. Sân trường THPT Lê Lợi có một bồn hoa hình trịn có tâm O. Một nhóm
học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn
phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường
Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vng có
cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích S1, S3 dùng để trồng hoa, phần diện
Vậy thể tích cái lu là: V =

tích S2 , S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm trịn đến hàng phần trăm). Biết
kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/ 1 m2, kinh phí trồng cỏ là 100.000 đồng/1 m2 .
Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng
chục nghìn).

16


A. 3.000.000 đồng
C. 3.270.000 đồng

B. 6.060.000 đồng
D. 5.790.000 đồng
Giải

Phương pháp:
Gắn hệ trục tọa độ Oxy hợp lý, viết các phương trình đường trịn và phương trình
parabol.
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, do ABCD là hình vng cạnh 4m nên ta có
A( - 2;2) ; B ( 2;2) , C ( 2;- 2) ;D ( - 2; - 2) , từ đó ta dễ dàng được phương trình đường
1
1
tròn là x 2 + y 2 = 8 và phương trình 2 parabol là y = x 2 và y =- x 2 .
2
2
Ta có: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường trịn x 2 + y 2 = 8 v parabol
2 ổ
1 2ử
1 2
ữ
2

ỗ
ữ
8
x
dx = 15,23 = S3 m 2
(P): y = x Þ S1 + S 3 = 4ũỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2 ứ
2
0 ố

( )

(

)

2

( )

S2 + S4 = 2p 2 2 - S1 - S3 = 35,04 m 2

Þ Chi phí để trồng bồn hoa đó là: 15,23.150 + 35,04.100 » 5790 (nghìn đồng).
VI. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số
x ( x + 2)

f ( x) =
2 :
( x +1)
17


x2 + x - 1
A.
x +1

x2 - x - 1
B.
x +1

x 2 + x +1
C.
x +1
5
Bài 2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan x

1
tan 2 x + ln cos x + C
2
1
1
B. ò f ( x ) dx = tan 4 x - tan 2 x - ln cos x + C
4
2
1
1

C. ò f ( x ) dx = tan 4 x + tan 2 x - ln cos x + C
4
2
1
1
D. ò f ( x ) dx = tan 4 x + tan 2 x + ln cos x + C
4
2
2
Bài 3. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) . f ′′ ( x ) = 15 x 4 + 12 x, ∀x ∈ R và
A.

1

x2
D.
x +1

ò f ( x) dx = 4 tan

4

x-

f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 1. Giá trị của f 2 ( 1) bằng
9
5
A. 4
B.
C. 10

D.
2
2
x
 π π
Bài 4 . Cho f ( x ) =
trên  − ; ÷ và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số
2
cos x
 2 2
 π π
xf ′ ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 0. Biết a ∈  − ; ÷ thỏa mãn tan a = 3. Tính
 2 2
F ( a ) − 10a 2 + 3a
1
1
1
A. ln10
B. − ln10
C. − ln10
D. ln10
2
4
2
Bài 5. [Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]
4
dx
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c
Biết ∫ 2
3 x + x

A. S = 6
B. S = 2
C. S = -2
D. S = 0
4
2
ae + b
3
2
( a, b, c ∈ Z ) với a ; b là các phân số tối giản.
Bài 6. Cho I = ∫ x ln xdx =
c
c c
1
Tính biểu thức A = a + b
A. 15
B. -28
C. 36
D. 46
Bài 7. Cho tích phân

π
2

cos3 x + 2cos x

∫ 2 + 3sin x − cos 2 x dx = a ln 2 + b ln 3 + c ( a, b, c ∈ Z ) .

Tính

0

P =a+b+c
A. P = −3
B. P = −2
C. P = 2
D. P = 1
Bài 8. Gọi V là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = x, y = 0 và x = 4 quanh trục Ox. Đường thẳng x = a( 0 < a < 4) cắt
đồ thị hàm số y = x tại M (hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối trịn xoay tạo
thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V = 2V1. Khi đó:
18


5
B. a = 3
C. a = 2 2
D. a = 2.
2
Bài 9. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua A(-1;0), tiếp
28
tuyến d tại A của (C) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng
(phần
5
gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai
đường thẳng x = −1; x = 0 có diện tích bằng
A. a =

2
2

1
1
B.
C.
D.
9
5
4
5
2
Bài 10. Tìm thể tích V của vật trịn xoay sinh ra bởi đường tròn x + ( y − 3) = 4
khi quay quanh trục Ox.
A. V = 24π 2.
B. V = 24π.
C. V = 16π.
D. V = 36π 2.
Bài 11.
Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40cm. Người thiết kế
đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của
viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tơ màu sẫm như
hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng:
A.

A.

800 2
cm .
3

B.

400 2
cm .
3

C. 250 cm2.
D. 800 cm2.
Bài 12. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x, cung trịn có
phương trình y = 6− x2 ( − 6 ≤ x ≤ 6) và trục hoành (phần tơ đậm trong hình vẽ bên).
Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox.

19


22π
22π
22π
C. V = 8π 6 −
D. V = 4π 6 +
3
3
3
PHẦN III. KẾT LUẬN

A. V = 8π 6 − 2π B. V = 8π 6 −

Để góp phần đổi mới phương pháp dạy học mơn tốn ở trường THPT, việc
đổi mới phương pháp dạy giải bài tập có một vai trị rất quan trọng, vì nếu tổ chức
có hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn học thì có thể nâng cao chất lượng dạy toán học.
Trong đề tài này, tơi đã trình bày một số ý kiến về vấn đề “Hướng dẫn học

sinh lớp 12 phân loại và đề ra cách giải nhanh các bài toán trắc nghiệm khách
quan phần Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”.
Những kết quả nghiên cứu của đề tài cho phép tôi tin rằng bồi dưỡng cho
học sinh khả năng phân tích, tổng hợp, ứng dụng lý thuyết vào các bài toán thực
tiễn, giáo viên đã góp phần thực hiện các mục đích u cầu của việc dạy học theo
hướng phát triển năng lực cá nhân, đặc biệt phát triển năng lực trí tuệ của học sinh,
rèn luyện cho học sinh sự linh hoạt và khả năng sáng tạo.
Song đề tài cũng không thể tránh khỏi những thiếu xót, tơi rất mong được sự
góp ý chân thành từ các đồng nghiệp. Tôi xin cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2021
Tơi cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác
Người viết

Đỗ Thị Hồng Hạnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Nhà
xuất bản Giáo dục;
20


[2] Bài tập Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo - Nhà xuất
bản Giáo dục;
[3] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Đoàn Quỳnh,
Nguyễn Huy Đoan - Nhà xuất bản Giáo dục;
[4] Bài tập Đại số và Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn
Xuân Liêm - Nhà xuất bản Giáo dục;

[5] Các bài giảng luyện thi mơn tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy,
Đào Tam, Lê Thống Nhất - Nhà xuất bản Giáo dục;
[6] Toán nâng cao Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Nguyễn Tuấn Khôi, Nguyễn
Vĩnh Cận - Nhà xuất bản Đại học Sư phạm;
[7] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục;
[8] Đề thi tuyển sinh mơn Tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Đăng Khải Nhà xuất bản Giáo dục;
[9] Các đề thi đại học các năm trước;
[10] Các đề thi thử đại học các năm trước;
[11] Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10, 11, 12 của các tỉnh những năm trước.

MỤC LỤC
Trang
21


Phần I. Mở đầu

1

1. Lý do chọn đề tài

1

2. Nhiệm vụ của đề tài

1

3. Đối tượng nghiên cứu

2

4. Phạm vi nghiên cứu và cách thức thực hiện

2

Phần II. Nội dung

2

I. Các bài toán trắc nghiệm nguyên hàm

2

II. Các bài toán trắc nghiệm tích phân

6

III. Ứng dụng tích phân tính diện tích mặt phẳng

11

IV. Ứng dụng tích phân để tính thể tích khối trịn xoay
V. Ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế

13

VI. Một số bài tập áp dụng

17

Phần III. Kết luận

20

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

22

14


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 PHÂN LOẠI VÀ ĐỀ RA CÁCH GIẢI
NHANH CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN PHẦN
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh
Chức vụ: Hiệu trưởng
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ - NĂM 2021

23