SKKN một số sai lầm thường gặp và biện pháp khắc phục khó khăn khi vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải toán cho học sinh lớp 11

`MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU.................................................................................................................
1.1. Lý do chọn đề tài..................................................................................................
1.2. Mục đích nghiên cứu............................................................................................
1.3. Đối tượng nghiên cứu............................................................................................
1.4. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................................
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM............................................................
2.1 Cơ sở lí luận...........................................................................................................
2.1.1 Khái quát chung về quy nạp..............................................................................
2.1.2 Nguyên lí quy nạp...............................................................................................
2.1.3 Giai đoạn quy nạp và giả thiết qui nạp................................................................
2.1.4 Phương pháp quy nạp toán học trên N*..............................................................

1
1
2
2
2
3
3
3
6
7
9

2.2 Thực trạng của vấn đề............................................................................................
2.2.1 Không thực hiện đầy đủ hai bước qui nạp..........................................................
2.2.2 Chưa biết vận dụng giả thiết qui nạp..................................................................
2.2.3 Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp..................................
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề..................................................
2.3.1 Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức .........................................................

2.3.2 Vận dụng qui nạp chứng minh bất đẳng thức ....................................................
2.3.3 Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết............................................................
2.3.4 Một vài ứng dụng khác.......................................................................................
2.4. Hiệu quả của SKKN..............................................................................................
3. KẾT LUẬN……………………………………………………………………….

9
9
10
11
11
12
14
14
15
18
20

Tài liệu tham khảo

21

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài :
Tốn học là một mơn khoa học suy diễn. Các kết luận Toán học đều được chứng
minh một cách chặt chẽ. Nhưng trong quá trình hình thành, trước khi có những kết luận
mang tính tổng qt, tốn học cũng đã phải tiến hành xét các trường hợp cụ thể, riêng
biệt. Ta phải đối chiếu các quan sát được, suy ra các điều tương tự, phải thử đi thử lại, ...

1

để từ đó dự đốn về một định lý tốn học, trước khi chứng minh chúng. Bên cạnh đó, ta
phải dự đoán ra ý của phép chứng minh trước khi đi vào chứng minh chi tiết.
Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp đặc biệt, rất hiệu lực và là công cụ
hữu hiệu để chứng minh các mệnh đề có liên quan đến một số tự nhiên n ∈ N * . Sự phát
huy hiệu lực của nó thể hiện rõ nét ở các bài toán liên quan đến dãy số (hay nói chung là
các bài tốn liên quan đến một số tự nhiên). Đặc biệt trong chương trình tốn lớp 11,
phương pháp quy nạp tốn học được áp dụng để chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức;
tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng , cấp số nhân; ứng dụng trong hình học; đối với
nhiều bài toán chia hết phương pháp qui nạp cũng cho ta cách giải hữu hiệu.
Tuy nhiên, thực tế trong quá trình giảng dạy toán 11 đặc biệt là bài “Phương pháp quy
nạp tốn học” tơi thấy trong q trình vận dụng học sinh thực sự lúng túng và mơ hồ và
có thể còn mắc sai lầm khi thực hiện các bước chứng minh bằng phương pháp qui nạp
thậm chí cịn khơng kiểm tra bước 1. Với bài toán chứng minh đẳng thức học sinh không
biết phân biệt đâu là giả thiết quy nạp, đâu là kết luận và trong quá trình chứng minh thì
hầu như các em khơng biết bắt đầu từ đâu, làm thế nào để vận dụng được giả thiết qui
nạp. Cịn ở bài tốn chứng minh bất đẳng thức và chứng minh chia hết càng gặp nhiều
khó khăn hơn, khi đã viết được giả thiết qui nạp học sinh không biết làm cách nào để thấy
được mối liên quan với kết luận. Trong chương trình tốn lớp 11 cịn có một dạng tốn đó
là tìm số hạng tổng quát của dãy số, cấp số cộng , cấp số nhân bắt buộc học sinh phải dự
đốn cơng thức tổng quát rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp, đây là dạng tốn
khó địi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp quy nạp toán học và được rèn kĩ năng
chứng minh nhiều hơn mới có thể giải được bài tốn này một cách thành thạo.
Ngồi ra có vơ số các ví dụ trong các mơn học ở chương trình phổ thông dùng phương
pháp quy nạp để diễn giải và mô tả. Nhưng để hiểu thấu đáo về kĩ thuật áp dụng trong học
tập, sáng tạo cịn gặp nhiều khó khăn.
Hơn nữa, trong chương trình cũng như sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 học
sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết phương pháp quy nạp ở mức độ nhất định; chưa
hiểu sâu về nguyên lí quy nạp; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ năng giải tốn bằng

phương pháp quy nạp. Chính vì vậy, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm về “phương pháp quy
nạp toán học” với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn vể phương pháp này và được
2


rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tơi chọn đề tài
sáng kiến kinh nghiệm: “Một số sai lầm thường gặp và biện pháp khắc phục khó khăn
khi vận dụng Phương pháp quy nạp toán học vào giải toán cho học sinh lớp 11”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi , tập hợp các bài giảng
lại tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích:
- Cung cấp một số kiến thức cơ bản về phép quy nạp và nguyên lý quy nạp toán học.
- Chỉ ra một số sai lầm thường gặp khi vận dụng phương pháp quy nạp toán học
- Cung cấp thêm một số dạng tốn và cách giải qua đó củng cố và mở rộng thêm các
kiến thức đã học.
- Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo và gây hứng thú học toán cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là học sinh lớp 11 trường PT
Nguyễn Mộng Tuân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…).
- Phương pháp tiếp cận vấn đề
- Phương pháp phân tích, bình luận
- Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa
- Phương pháp thực nghiệm.

2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề
2.1.1 Khái quát chung về quy nạp:

Danh từ “quy nạp” theo nghĩa đầu tiên của nó được dùng để chỉ các quy luật nhờ
đó mà thu được các kết luận tổng quát, dựa vào một loạt các khẳng định riêng biệt.
a) Quy nạp hoàn toàn là một mệnh đề tổng quát được chứng minh theo từng trường
hợp của một số hữu hạn các trường hợp có thể có.
3


Ví dụ 1.: Chúng ta xác lập rằng :
“ Mỗi số chẵn n trong khoảng [ 4;100] đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số
nguyên tố ”.
Muốn vậy chúng ta phân tích:
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 5+3
10 = 7+3
12 = 7+5
......
98 = 93+5
100 = 97+3
Sau khi thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức này chứng tỏ rằng, thực tế mỗi số chẵn
trong khoảng xét được biểu diễn duới dạng tổng của 2 số nguyên tố.
b) Quy nạp khơng hồn tồn:
Trong trường hợp kết luận tổng quát rút ra không dựa trên sự kiểm tra tất cả các
trường hợp có thể xảy ra mà chỉ trên cơ sở một số đủ lớn các trường hợp thì ta có quy nạp
khơng hồn tồn.
Quy nạp khơng hồn tồn được vận dụng nhiều trong các khoa học thực nghiệm.
Chẳng hạn bằng cách đó người ta đã thiết lập nên định luật cơ bản bảo toàn khối lượng:
định luật này được Lômônôxôp phát biểu và chỉ được thừa nhận khi Lavoadiê đã kiểm tra
sự đúng đắn của nó với độ chính xác đủ lớn và trong các điều kiện đủ khác nhau.
Trong tốn học, quy nạp khơng hồn tồn khơng được xem là một phương pháp

chứng minh chặt chẽ, do đó nó chỉ được áp dụng rất hạn chế. Bởi vì một mệnh đề tốn
học bao hàm một số vơ hạn các trường hợp riêng, nhưng con người ta không thể tiến hành
kiểm tra một số vô hạn các trường hợp được.Chẳng hạn
sau khi có kết quả đúng với 49 trường hợp như ở ví dụ 1, ta chưa thể đưa ra kết luận rằng,
mọi số tự nhiên chẵn đều có thể phân tích được thành tổng của hai số ngun tố.
Đương nhiên, quy nạp khơng hồn tồn là một phương pháp “gợi mở” rất hiệu lực
để tìm ra chân lý mới. Chúng ta hãy tham khảo một vài ví dụ.
4


Ví dụ 2. Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên.
Chúng ta hãy xét các trường hợp riêng biệt:
+ với n=1 : 1=1

mà 1 = 12

+ với n=2 : 1+3=4

mà 4 = 2 2

+ với n=3 : 1+3+5=9

mà 9 = 3 2

+ với n=4 : 1+3+5+7=16

mà 16 = 4 2

+ với n=5 : 1+3+5+7+9=25

mà 25 = 5 2

Sau khi xét một số trường hợp riêng này, ta nảy ra kết luận tổng quát :
1+3+5+7+9+...+(2n-1) = n 2 (1)
tức là : “ tổng của n số lẻ liên tiếp đầu tiên bằng n 2 ”.
Việc chứng minh kết luận này một cách chặt chẽ (xem ví dụ 6) đã chứng tỏ kết
luận này là đúng.
Ví dụ 3: Tính tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp đầu tiên:
S n = 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3

Ta xét các trường hợp riêng biệt:
S1 = 13 = 1

= 12

S 2 = 13 + 2 3 = 9

= (1 + 2) 2

S 3 = 13 + 2 3 + 33 = 36

= (1 + 2 + 3) 2

S 4 = 13 + 2 3 + 33 + 4 3

= (1 + 2 + 3 + 4) 2

Do đó có thể nảy ra kết luận tổng quát :
S n = (1 + 2 + 3 + ... + n) 2

(2)

Tất nhiên, điều nhận xét trên không phải là sự chứng minh sự đúng đắn của các
công thức (1) hay (2). ở phần sau, chúng ta sẽ làm quen với một phương pháp giúp chúng
ta chứng minh được các công thức (1) và (2) là đúng.
Chúng ta cũng cần chú ý rằng, suy luận bằng quy nạp đơi khi dẫn đến kết luận sai,
như các ví dụ sau:
Ví dụ 4. Khi xét các số có dạng 2 2 n + 1 nhà toán học Fecma nhận xét rằng với n =
1; 2; 3 hoặc 4 thì thu được các số ngun tố. Từ đó ơng đưa ra giả thiết rằng tất cả các số
có dạng như thế ( với n ∈ N * ) là số nguyên tố. Nhưng ơle đã chỉ ra rằng với n = 5 ta được
5


số 2 32 + 1 không phải là số nguyên tố vì số đó chia hết cho 641. Điều đó có nghĩa là kết
luận của nhà tốn học Fecma là sai lầm.
Ví dụ 5. Xét số S n = n 2 + n + 17 với n ∈ N * với các trường hợp n = 1, 2, 3; ...; 15
thì ta thấy S n là số ngun tố.
Từ đó có thể kết luận là S n là số nguyên tố với mọi số n ∈ N * hay không?
Với n =16 thì ta được số S16 = 16 2 + 16 + 17 = 17 2 do đó S16 không phải là số
nguyên tố, tức là kết luận quy nạp S n là số nguyên tố với mọi số n ∈ N * là sai.
c) Phương pháp quy nạp tốn học.
Như vậy, quy nạp khơng hồn tồn là một trong những con đường để dẫn đến phát
minh: người ta nghiên cứu một số hữu hạn các trường hợp riêng để tìm ra quy luật tổng
quát. Thế nhưng, như ta đã biết, quy nạp khơng hồn tồn thường dẫn đến các kết quả sai.
Vậy làm thế nào để biết được quy luật tổng quát mà ta đưa ra là đúng đắn,
chẳng lẽ ta lại cứ thử tiếp, thử tiếp cho đến khi nào gặp một trường hợp riêng mà kết luận
đó khơng đúng ( như ở ví dụ 6: thử đến lần thứ 16 ). Và lấy gì để đảm bảo rằng số lần thử
là hữu hạn.
Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế ta áp dụng một phương
pháp suy luận đặc biệt được gọi là “ phương pháp quy nạp toán học”, cho phép thay thế

những hình dung tìm tịi theo phương pháp quy nạp khơng hồn tồn bằng sự chứng minh
chặt chẽ.
Ví dụ 6 : Xét lại cơng thức (1) ở ví dụ 2.
S n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n 2

Giả sử ta đã chứng minh được cơng thức đó với n =7, khi chứng minh công thức
này với n = 8, ta không cần phải tính tổng của 7 số hạng đầu của tổng :
S 8 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

mà ta đã biết rằng

S 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 2

2
2
2
2
do đó có thể viết ngay: S 8 = 7 + 15 = 7 + 2.7 + 1 = (7 + 1) = 8

Tổng quát, sau khi chứng minh công thức trên với n = k (nghĩa là ta có S k = k 2 ), ta
chứng minh nó với n ' = k + 1 bằng cách:
6


S n ' = S k +1 = S k + ( 2(k + 1) − 1)
= k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) 2 = (n ' ) 2

Có thể sử dụng phương pháp tổng quát này sau khi đã xét S1 = 1 = 12 ; những việc
chuyển từ các đẳng thức khác :
S2 = 1 + 3 = 22

S 3 = 1 + 3 + 5 = 3 2 ; v...v là các trường hợp riêng của phép tính.

Khái qt những điều nói trên, chúng ta phát biểu quy tắc tổng quát như sau:
Để chứng minh một mệnh đề tổng quát nào đó đúng với đúng với mọi số n ∈ N * ,
ta chỉ cần:
a) Xác lập mệnh đề đúng với n =1
b) Chứng minh rằng nếu mệnh đề đúng với n = k ( k ∈ N * ) thì
mệnh đề đúng với n = k+1.
Tính hợp pháp của phương pháp chứng minh như thế là “hiển nhiên”. Nhưng sự
“hiển nhiên” đó khơng phải là một chứng minh chặt chẽ. Người ta đã chứng minh được
rằng mệnh đề tổng quát ở trên có thể được chứng minh xuất phát từ một số mệnh đề tổng
quát khác, được thừa nhận là tiên đề. Tuy nhiên, bản thân các tiên đề này cũng không rõ
ràng hơn các nguyên lý quy nạp mà chúng ta sẽ trình bày dưới đây, và do đó chúng ta coi
ngun lý quy nạp tốn học này chính là tiên đề thì mức độ “ hợp pháp ” cũng ngang như
thế.
2.1.2 Nguyên lí qui nạp
Định lí 2.1
Cho n0 là một số nguyên dương và P(n) là mệnh đề có nghĩa với một số tự nhiên n ≥ n0 .
Nếu
a) P( n0 ) là đúng
b) Nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng với mỗi số tự nhiên k ≥ n0 , khi đó mệnh đề P(n)
đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n0
2.1.3 Giai đoạn qui nạp và giả thiết qui nạp

7


Để hiểu cách áp dụng phương pháp qui nạp cho đầy đủ, ta xem xét một số ví dụ sau đây
như một phép « suy luận có lí » mà G. Polya đã đề cập.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng :

1
1
1
n
+
+ ... +
=
,đúng với mọi n∈N*
1.2 2.3
n.(n + 1)
n +1

Bước 1 : Kiểm chứng với n = 1 :

1
1
=
: đẳng thức đúng với n = 1
1.2 1 + 2

Bước 2 : Giả sử với n = k (k ≥ 1) có :
Với n = k + 1 ta cần cm :

1
1
1
k
+
+ ... +

=
1.2
2.3
k.(k + 1)
k+1

1
1
1
1
k +1
+
+ ... +
+
=
1.2
2.3
k.(k + 1) (k + 1)(k + 1 + 1)
k +1+1

1
1
1
1
1
k(k + 2) + 1
k
+
+ ... +
+

=
+
=
1.2
2.3
k.(k + 1) (k + 1)(k + 1 + 1)
(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
k+1

*

k 2 + 2k + 1
(k + 1) 2
k +1
=
=
=
. Suy ra : đẳng thức đúng với n = k + 1
(k + 1)(k + 2)
(k + 1)(k + 2)
k+2

Kết luận :

1
1
1
n
+
+ ... +

=
, đúng với mọi n∈N*
1.2
2.3
n.(n + 1)
n +1

Ví dụ 8 : Cho trước một số tự nhiên n. Hãy tìm tổng các số tự nhiên 1, 2, ..., n
Lời giải :
Ta kí hiệu S n là tổng phải tìm, nghĩa là S n = 1 + 2 + ... + n

(3)

Ta hi vọng tìm ra cơng thức ngắn gọn để tính tổng trên, cơng thức đó giúp ta tính nhanh,
gọn hơn là phải thực hiện lần lượt các phép cộng trong tổng. Ta minh hoạ quá trình áp
dụng ngun lí qui nạp vào tính tổng này.
Ta tính tổng S n từ đẳng thức (3) với một vài số tự nhiên liên tiếp, chẳng hạn bắt đầu bằng
1. Những kết quả tính tốn các trường hợp riêng được xếp vào bảng
n

Sn

1
1

2
3

3
6

4
10

5
15

6
21

Mục đích của ta là tìm được qui luật chung, với bảng trên ta dễ thấy qui luật : Tích của
hai số tự nhiên ở hàng trên bằng hai lần số đầu tiên tương ứng ở hàng dưới.Thật vậy,
1.2=2.1 ; 2.3=2.3 ; 3.4=2.6 ;4.5=2.10 ; 5.6=2.15 .Như vậy giai đoạn qui nạp của chúng ta
đã thành công với các trường hợp n= 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; tiếp tục một cách tự nhiên là mở
8


rộng qui luật trên cho bảng số với các số tự nhiên bất kì. Ta đưa giả thiết thích hợp với qui
luật vừa tìm được. Đặt

1 + 2 + ... + n =

n(n + 1)
2

(3)

Một giả thiết ta đã làm như vậy gọi là giả thiết quy nạp. Nhưng câu hỏi đặt ra là đẳng
thức (3) có đúng với mọi n = 1, 2,... hay không ? Rõ ràng nếu (3) đúng với mọi số tự
nhiên thì bằng cách thay n bằng n+1 ta sẽ có đẳng thức

1 + 2 + ... + n + (n + 1) =

(n + 1)(n + 2)
2

(3’)

Trái lại, giả thiết (3) là đúng với mọi n = 1, 2 ..., nếu
1) nó đúng với n= 1 và
2) nó đúng với mỗi số k suy ra cũng đúng với cả k+1.
Điều này khơng có cách nào khác là phải áp dụng nguyên lí quy nạp toán học. Nghĩa là ta
phải kiểm tra những điều kiện a) và b) của định lí 2.1
Bước cơ sở : Với n = 1, công thức (3) đúng
Bước qui nạp :Bây giờ chúng ta chứng minh công thức (3) đúng cho cả điều kiện b).
Với mục đích đó ta giả thiết công thức (3) đúng với n = k ≥ 1
nào đó và sẽ chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1 .ta biến đổi

1 + 2 + ... + k + ( k + 1) =

k ( k + 1)
(k + 1)( k + 2)
+ (k + 1) =
2
2

kết quả là (3) đúng với n = k + 1 .Theo ngun lí qui nạp tốn học cơng thức (3) đúng với
mọi n = 1, 2, ...
Tóm lại qua ví dụ đơn giản trên ta thấy các bước q trình tìm tịi và chứng minh ngun
lí qui nạp toán học.

2.1.4 Phương pháp qui nạp toán học trên N*
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với
mọi n mà khơng thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau :
• Bước 1 : Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
• Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả
thiết qui nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
9


⇒ Khẳng định mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N *
*) Chú ý :
Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là
số tự nhiên) thì :
• Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
• Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì

n = k ≥ p và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
2.2. Thực trạng của vấn đề
Bài toán chứng minh bằng phương pháp qui nạp là dạng khó và trừu tượng đối
với học sinh trong chương trình tốn lớp 11 THPT, hầu hết học sinh đều gặp khó khăn
khi tiếp cận với bài tốn này..Để giúp học sinh nắm được phương pháp chứng minh quy
nạp, tôi đã nghiên cứu chỉ ra một số sai lầm, khó khăn khi vận dụng phương pháp quy nạp
tốn học.
2.2.1 Không thực hiện đầy đủ hai bước qui nạp
Trong q trình vận dụng qui nạp đơi khi học sinh chưa hiểu kĩ về ngun lí qui nạp,
hoặc có thể cho là bước 1 đơn giản nên có thể bỏ qua, dẫn đến kết luận sai lầm. Đối với
học sinh phương pháp qui nạp là mới và khó khi vận dụng vào giải nhiều loại tốn, tuy
nhiên trong chương trình của cấp học tơi chỉ đưa ra một số ví dụ cho thấy rõ những sai
lầm mắc phải như đã trình bày ở trên.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau

Lời giải.
Giả thiết rằng mệnh đề khẳng định đúng với số tự nhiên n = k nào đó, nghĩa là

k = ( k + 1)

(4)

Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức sau đúng

( k + 1) = ( k + 2 )

(5)

Thật vậy, theo giả thiết qui nạp (4) cộng hai vế đẳng thức với 1, ta nhận được

k + 1 = ( k + 1) + 1 = k + 2
Như vậy khẳng định đúng với n = k thì nó đúng với n = k+1, do đó mệnh đề bài toán đúng
với mọi n, nghĩa là mọi số tự nhiên đều bằng nhau, điều này vơ lí. Vậy cách chứng minh
10


sai ở đâu ?. Dễ dàng thấy ngay trong chứng minh áp dụng ngun lí qui nạp tốn học
nhưng bỏ qua bước 1 kiểm tra n =1
Ví dụ 10 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng

2 n > 2n + 1

(6)

Lời giải. Giả thiết bất đẳng thức (6) đúng với n = k,với k là một số tự nhiên nào đó, nghĩa

là ta có

2 k > 2k + 1

(7)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (6) đúng với n = k + 1

2k +1 > 2(k + 1) + 1

(8)

Thật vậy, 2k ≥ 2 (*) với mọi n ∈ N* . Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (7) và (*) ta nhận
được

2 k + 2 k > 2k + 1 + 2
Nghĩa là

2k +1 > 2(k + 1) + 1

Bài tốn đã giải xong.
Tuy nhiên ví dụ này cũng mắc sai lầm như ví dụ trước khơng qua bước cơ sở
2.2. 2 Chưa biết vận dụng giả thiết qui nạp
Một thực trạng nữa cho thấy học sinh rất lúng túng trong việc vận dụng giả thiết quy
nạp
Ví dụ 11 :
Chứng minh rằng với n ∈ N* ta có đẳng thức :

2 + 5 + 8 + ... + 3n − 1 =

n ( 3n + 1)
2

(9)

Lời giải : Ở bước 2, giả sử đẳng thức đúng với n = k , học sinh biết viết giả thiết qui nạp

2 + 5 + 8 + ... + 3k − 1 =

k ( 3k + 1)
, nhưng khi viết đẳng thức kết luận ở vế trái học sinh
2

chỉ viết 2 + 5 + 8 + ... + 3 ( k + 1) − 1 , nên khi chứng minh gặp khó khăn, không thấy được
sự hơn kém giữa vế trái của đẳng thức giả thiết và vế trái của đẳng thức kết luận vì học
sinh viết thiếu số hạng thứ k là ( 3k − 1 )
11


2.2.3 Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp
Ngoài ra khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp qui nạp học sinh cũng gặp
nhiều khó khăn khi tìm ra mối liên quan giữa hai bất đẳng thức giả thiết và kết luận
Ví dụ 12 : Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 2 , ta có bất đẳng thức :

3n > 3n + 1
Lời giải : ở bước 2 ta có bất đẳng thức giả thiết 3k > 3k + 1 còn bất đẳng thức kết luận là

3k +1 > 3 ( k + 1) + 1 học sinh khơng biết tìm ra mối liên quan giữa giả thiết và kết luận
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Trong chương trình tốn phổ thơng, áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp

chiếm một mảng lớn đó là chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất
đẳng thức . Do vậy phương pháp chứng minh quy nạp” góp một phần vào việc thực hiện
chương trình dạy học theo phương pháp mới hiện nay “lấy học sinh làm trung tâm”. Đồng
thời giúp mỗi người giáo viên nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, tạo cơ sở vững
chắc để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt, góp phần vào mục
tiêu “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài” . Để giúp học sinh nắm được phương pháp chứng
minh quy nạp, tôi đã nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trong đó trang bị cho học
sinh nắm được thế nào là phương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương pháp quy
nạp để chứng minh quan hệ chia hết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức.
Đồng thời nêu lên một số ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu và nắm chắc kiến thức, biết
áp dụng vào giải tốn. Từ đó yêu cầu học sinh giải các bài tập tương ứng từ dễ đến khó,
học sinh được rèn luyện và nắm chắc kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo và
chất lượng giải toán được nâng cao.
2.3.1 Vận dụng quy nạp chứng minh đẳng thức
Chứng minh đẳng thức : u ( 1) + u ( 2 ) + ... + u ( n ) = f(n) , đúng với mọi n ∈ N*
Học sinh thường lúng túng khi thiết lập u ( 1) + u ( 2 ) + ... + u ( n ) ứng với n = 1 , n = k ,
n =k+1

12


Trước tiên học sinh phải hiểu tổng n số hạng u ( 1) + u ( 2 ) + ... + u ( n ) là như thế nào .
Hướng dẫn cho học sinh hiểu và thực hiện như sau : VT = u ( 1) + u ( 2 ) + ... + u ( n ) là tổng
của n số hạng ,với:
+ n = 1 : VT chỉ có 1 số hạng là u(1)
+ n = 2 : VT là tổng của 2 số hạng là u(1) + u(2)
+ n = 3 : VT là tổng của 3 số hạng là u(1) + u(2) + u(3)
+ n = 4 : VT là tổng của 4 số hạng là u(1) + u(2) + u(3) + u(4)
.....................
+ n = k : VT là tổng của k số hạng là u(1) + u(2) + u(3) + u(4) + ... + u(k)

+ n = k + 1: VT là tổng của k + 1 số hạng là u(1) + u(2) + u(3) + u(4) + ... +u(k) +u(k + 1)
Hướng dẫn học sinh thực hiện động tác phân tích này ngồi nháp để hiểu được ý nghĩa để
có thể áp dụng dễ dàng vào bài giải của mình
Các bước giải :
Bước 1 : Kiểm chứng với n = 1 , tức là u(1) = f(1) là mđ đúng
Bước 2 : Giả sử với n = k (k ≥ 1) có : u(1) + u(2) + u(3) + u(4) + ... + u(k) = f(k) (gt quy
nạp)
Với n = k + 1 ta cần chứng minh u(1) + u(2) + u(3) + u(4) + ... + u(k) + u(k + 1) = f(k + 1)
Ta có u(1) + u(2) + ... + u(k) + u(k + 1) = f(k) + u(k + 1) . Biến đổi f(k) + u(k + 1) = f(k + 1)
tức là ta đã chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1 .
Kết luận : đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*
Bài toán 1 . Chứng minh rằng : 1 + 6 + 11 +16 + … + (5n – 4) =

n(5n - 3)
, đúng với mọi
2

n∈N*
Đặt A(n) = 1 + 6 + 11 +16 + … + (5n – 4) . Ta thực hiện bước phân tích ngồi nháp :
+ n = 1 : A(1) = 1 = 5.1 – 4
+ n = 2 : A(2) = 1 + 6 = 1 +(5.2 – 4)
+ n = 3 : A(3) = 1 + 6 + 11 = 1 + 6 + (5.3 – 4)
+ n = 4 : A(4) = 1 + 6 + 11 + 16 = 1 + 6 + 11 + (5.4 – 4) ……
+ n = k : A(k) = 1 + 6 + 11 + 16 + … + (5k – 4)
+ n = k + 1 : A(k + 1) = 1 + 6 + 11 + 16 + … + (5k – 4) + (5(k + 1) – 4)
13


• Sau bước phân tích như trên thì học sinh có thể dễ dàng thực hiện các bước giải :
Bước 1 : Kiểm chứng với n = 1 : 1 =

1.(5.1 - 3)
: đẳng thức đúng với n = 1
2

Bước 2 : Giả sử với n = k (k ≥ 1) có : 1 + 6 + 11 + 16 + … + (5k – 4) =

k(5k - 3)
2

Với n = k + 1 ta cần cm : 1 + 6 + 11 + 16 + … + (5k – 4) + (5(k + 1) – 4) =
(k + 1)(5(k + 1) - 3)
2

* 1 + 6 + 11 + 16 + … + (5k – 4) + (5(k + 1) – 4) =
=

k(5k - 3)
+ 5k + 1
2

k(5k - 3) + 10k + 2
2

5k(k+1)+2(k+1) (k + 1)(5k + 2)
(k + 1)(5(k + 1) - 3)
5k 2 -3k+10k+2
5k 2 +5k+2k+2
=
=

=
=
=
2
2
2
2
2

Suy ra : đẳng thức đúng với n = k + 1
Kết luận : 1 + 6 + 11 +16 + … + (5n – 4) =

n(5n - 3)
, đúng với mọi n∈N*
2

Bài toán tương tự . Chứng minh rằng với n ∈ N* ,ta có :
a) 2 + 5 + 8 + ………….+ 3n-1 =

n(3n + 1)
;
2

1 1 1
1 2n − 1
b) + + + ........ + n = n ;
2 4 8
2
2
2

2
2
2
c) 1 + 2 + 3 + ...... + n =

n( n + 1)(2n + 1)
;
6

n(4n 2 − 1)
d) 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) =
;
3
2

e)

2

2

2

1
1
1
n
+
+ ... +
=

.
1.2 2.3
n.(n + 1)
n +1

2.3.2 Vận dụng quy nạp chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh bất đẳng thức đúng với mọi n∈ N và n ≥ a (a ∈ N)

14


Ở bài toán này học sinh lúng túng ở bước 2 khi thực hiện chứng minh bđt đúng với
n = k + 1 . Giáo viên có thể hướng dẫn cho hoc sinh sử dụng tính chất bắc cầu của bất
đẳng thức để chứng minh
Bài toán 2 . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3 ta có

3n > n 2 + 4n + 5

(9)

Lời giải :
Bước 1 :Với n = 3, vế trái bằng 27, vế phải bằng 26. Bất đẳng thức (9) đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3 , tức là

3k > k 2 + 4k + 5

(9’)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1 , tức là

3k +1 > (k + 1) 2 + 4(k + 1) + 5
Thật vậy, nhân hai vế của bất đẳng thức (9’) với 3 ta có

3k +1 > 3k 2 + 12k + 15 = ( k + 1) 2 + 4( k + 1) + 5 + 2 k 2 + 6k + 5
Vì 2k 2 + 6k + 5 > 0 nên

3k +1 > (k + 1) 2 + 4(k + 1) + 5
Bất đẳng thức (4) đã được chứng minh
Bài toán tương tự . 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ,ta có các bất đẳng
thức
a) 3n >3n+1 ;
b) 2n+1 >2n+3 .
2) Chứng minh rằng với n ∈ N* ta có bất đẳng thức :

2 n + 2 > 2n + 5

2.3.3 Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết
Chứng minh biểu thức u(n) chia hết cho m (m ∈ N*\{1}) , với mọi n∈ N và n ≥
a (a ∈ N)
Ở bài toán này học sinh sẽ phải lúng túng khi biến đổi biểu thức u(k+1) theo u(k)
như thế nào để có thể sử dụng được giả thiết quy nạp , phần còn lại của nó cũng chia hết
cho m . Ta có thể hướng dẫn học sinh cách phân tích như sau : ghi phần u(k) vào biểu
thức biến đổi , phần còn lại ta thực hiện động thái « thêm , bớt »
Bài toán 3 . Chứng minh 2n 3 - 3n 2 + n chia hết cho 6 , với mọi n∈N*
15


Lời giải :
Đặt u(n) = 2n 3 - 3n 2 + n
Bước 1 : Kiểm chứng với n = 1 : u(1) = 2.1 – 3.1 + 1 = 0 . Suy ra u(1) chia hết cho 6

Bước 2 : Giả sử với n = k (k ≥ 1) có : u(k) = 2k 3 - 3k 2 + k chia hết cho 6
Với n = k + 1 ta cần cm : u(k + 1) = 2(k + 1)3 - 3(k+1) 2 + k+1 cũng chia hết cho 6
Ta có u(k + 1) = 2k 3 + 6k 2 + 6k + 2 - 3k 2 − 6k − 3 + k +1 = 2k 3 - 3k 2 + k + 6k2 = u(k) + 6k2
Theo giả thiết quy nạp thì u(k) = 2k 3 - 3k 2 + k chia hết cho 6 ; 6k2 chia hết cho 6
Suy ra u(k + 1) = 2(k + 1)3 - 3(k+1) 2 + k+1 cũng chia hết cho 6
Kết luận : 2n 3 - 3n 2 + n chia hết cho 6 , với mọi n∈N*.
Bài toán tương tự. Chứng minh rằng với n ∈ Ν ∗ , ta có :
a) n3 + 3n 2 + 5n

chia hết cho 3 ;

b) 4n + 15n − 1

chia hết cho 9 ;

c) n3 + 11n

chia hết cho 6 ;

d) n 7 − n

chia hết cho 7 .

e) 5.23n − 2 + 33n −1 chia hết cho 19
2.3.4 Một vài ứng dụng khác
Phương pháp quy nap tốn học cịn có một vài ứng dụng như: Phát hiện quy luật và
chứng minh quy luật đó; vận dụng vào chứng minh trong hình học.
Bài toán 4 . Cho tổng S n =

1

1
1
1
+
+
+ ... +
.
1.3 3.5 5.7
(2n −1)(2n + 1)

a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 .
b) Hãy dự đốn cơng thức tính S n và chứng minh bằng phương pháp qui nạp
Lời giải :
a) Ta có

16


1 1
=
1.3 3
1 1
2
S2 = +
=
3 3.5 5
2
1
3
S3 = +

=
5 5.7 7
3
1
4
S4 = +
=
7 7.9 9
S1 =

b) Từ kết quả câu a) ta dự đoán

sn =

n
.
2n + 1

Ta sẽ chứng minh công thức (7) bằng phương pháp quy nạp
Bước 1 : với n = 1, theo a) thì (7) đúng
Bước 2 : Giả sử với n = k ≥ 1 ta đã có

sk =

k
.
2k + 1

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k+1
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có

Sk +1 = S k +

1

[ 2(k + 1) − 1] [ 2(k + 1) + 1]

= Sk +

1
(2k + 1)(2k + 3)

=

k
1
k (2k + 3) + 1
+
=
2k + 1 (2k + 1)(2k + 3) (2 k + 1)(2k + 3)

=

2k 2 + 3k + 1
( k + 1)(2k + 1)
k +1
=
=
(2k + 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) 2( k + 1) + 1

tức là (7) cũng đúng với n = k + 1 . Vậy cơng thức (7) đã được chứng minh.
Bài tốn tương tự: Tìm cơng thức tính tổng và chứng minh :
2
2
2
2
n −1 2
a) S n = 1 − 2 + 3 − 4 + ... + (−1) .n
n −1
HD: Dự đoán : S n = (−1) .

b) S n = 1 + 2 + 3 + ... + n
HD: Dự đoán : S n =

n(n + 1)
với ∀n ∈ N *
2

n(n + 1)
2

17


Bài toán 5 . Chứng minh số đường chéo của đa giác lồi n cạnh là

n(n − 3)
2

Lời giải :

* Với n = 4 số đường chéo của tứ giác là 2 =

4(4 − 3)
2

Mệnh đề đúng với n = 4
* Giả sử mệnh đề đúng với đa giác n = k cạnh ( k>4), nghĩa là số đường
chéo của đa giác lồi k cạnh là

k ( k − 3)
. Với đa giác lồi (k+1) cạnh : A1 A2... Ak Ak +1
2

Nối A1 Ak . Theo giả thiết qui nạp đa giác A1 A2... Ak có

k ( k − 3)
đường chéo. Số đường
2

chéo của A1 A2... Ak Ak +1 bằng số đường chéo của A1 A2... Ak cộng với đường chéo A1 Ak và
k – 1 đường chéo tạo bởi Ak +1 với k -2 là đỉnh từ A2 đến Ak −1 .
Vậy số đường chéo của đa giác k+1 cạnh là :

k ( k − 3)
k 2 − 3k + 2k − 2
+ 14 + k − 2 =
2
2
(k + 1) 2 − 3k − 3 (k + 1) [ (k + 1) − 3]
=

=
2
2
Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1 do đó đướng với mọi n ≥ 4 .
Bài toán 6. Chứng minh rằng tổng các góc trong của một n-giác lồi bằng ( n – 2 ) 1800.
Lời Giải:
* Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng. Tổng các góc trong của một tam giác bằng
( 3 – 2 ).1800 = 180 0.
* Giả sử mệnh đề đúng tất cả k-giác, với k < n. Ta chứng minh nó cũng đúng với
mọi n – giác.Ta nhận thấy một n – giác có thể chia thành 2 đa giác bởi một đường chéo,
nếu số cạnh của một đa giác đó là m + 1 thì số cạnh của đa giác kia là n – m + 1 và cả 2 số
đó đều nhỏ hơn n. Do đó tổng các góc trong của các đa giác đó tương ứng bằng
( m – 1 ).1800 và ( n – m - 1 ) .1800. Khi đó tổng các góc của n – giác bằng tổng các góc
trong của các đa giác đó, tức là bằng: ( m – 1 + n – m - 1 ).1800 = ( n – 2 ) .1800.
Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học thì mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3.
18


Nhận xét :
Phương pháp quy nạp có thể dùng để giải các loại toán sau :
Loại 1 : Chứng minh một kết luận cho sẵn.
Loại 2 : Tìm điều kiện để một kết luận là đúng, bằng cách sử dụng qui nạp khơng hồn
tồn để dự đốn kết quả, sau đó mới chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một nhiệm vụ
hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực thụ. Bản thân tôi
mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học sinh nên tơi ln cố gắng
tìm tịi và ứng dụng những cái mới vào việc giảng dạy trên cở sở kinh nghiệm qua nhiều
năm đứng lớp .
Loại toán chứng minh bằng phương pháp qui nạp trong các tài liệu tham khảo thường

được đề cập một cách sơ sài và nhỏ lẻ, nên tôi đã cố gắng tập hợp, giải quyết các bài toán
chứng minh bằng phương pháp qui nạp một cách đơn giản để học sinh dễ hiểu . Qua ứng
dụng SKKN này giảng dạy cho học sinh tơi nhận thấy đối với bài tốn chứng minh bằng
phương pháp qui nạp học sinh đã thông hiểu hơn rất nhiều.
Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho cơng việc giảng dạy
của tơi, góp một phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt hơn phương pháp
qui nạp vào giải tốn, nâng cao chất lượng học mơn tốn hơn trước. Đối với bản thân tôi,
là một giáo viên đứng lớp viết SKKN này cũng giúp ích rất nhiều trong việc tự học và
trau dồi chun mơn, nghiệp vụ của mình.
Mặc dù SKKN tôi viết chỉ tập chung vào một vấn đề rất nhỏ trong chương trình tốn
lớp 11 nhưng việc áp dụng nó vào giảng dạy có tác dụng rất tốt, thời gian tới tôi sẽ phát
triển thêm SKKN của mình áp dụng cho cả những đối tượng là học sinh khá, giỏi với
những bài toán nâng cao hơn..
Từ quá trình áp dụng SKKN tơi thấy bài học kinh nghiệm được rút ra là khi giảng dạy
giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và tự nhiên, khơng
nên gị ép, áp đặt, phải đưa ra được phương pháp giải đối với từng loại toán có như vậy
học sinh mới hứng thú học tập và u thích mơn tốn.

19


Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến
SKKN và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào
giảng dy đà thu đợc một số kết quả nhất định sau :
- Học sinh yếu đã hiểu và biết vận dụng tốt hơn phương pháp qui nạp vào giải toán
- Häc sinh trung bình trở lên nắm vững đợc phơng pháp và biÕt
vËn dụng thành thạo và linh hoạt hơn.
- Với các học sinh khá giỏi , sau khi thực hành các bài tốn trên , các em cịn tự liên
hệ và giải các bài tốn ở mức độ khó hơn
Kết quả khảo sát chất lượng của học sinh lớp 11A2 ; 11A5

- Trước khi thực hiện SKKN: Khơng có học sinh đạt điểm khá, giỏi; điểm trung bình
chưa đạt 40%, cịn lại là yếu, kém. Chất lượng bài làm của học sinh thấp, kĩ năng giải
tốn yếu.
Cụ thể:
Lớp

TS

Giỏi

Khá

T bình

SL
%
SL
%
SL
11A2 44 0
0
0
0
16
11A5 42 0
0
0
0
15
Tổng 86 0

0
0
0
31
Sau khi thực hiện đề tài SKKN : đã có học

Yếu

Kém

%
SL
%
SL
%
36,4 18
40,9 10
22,7
35,7 16
38,1 11
26,2
36
34
39,5 21
24,4
sinh đạt điểm khá, giỏi tuy cịn ít. Điểm

yếu, kém đã giảm. Cụ thể:
Lớp

TS

Giỏi

Khá

T bình

Yếu

Kém

SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A2 44 0
0
7
15,9 27
61,4 8
18,2 2
4,5
11A5 42 2

4,8
8
19
25
59,5 6
14,3 1
2,4
Tổng 86 2
2,3
15
17,4 52
60,5 14
16,3 3
3,5
Như vậy, chất lượng bài kiểm tra đã được tăng lên rõ rệt. Một số học sinh khá, giỏi còn
biết vận dụng vào các bài tốn ở mức độ khó hơn.
Việc thực nghiệm các biện pháp sư phạm cho thấy các biện pháp sư phạm đều có tính
khả thi, bước đầu đem lại hiệu quả tốt.
3. KÊT LUẬN
3.1.

KẾT LUẬN :
20


Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được những kết quả chính sau đây:
- Chỉ ra được một số sai lầm và ví dụ cụ thể khi vận dụng phương pháp quy nạp
vào giải tốn: Khơng thực hiện đầy đủ hai bước qui nạp ; Chưa biết vận dụng giả thiết
qui nạp ; Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp.
- Đưa ra cách giải, bài toán mẫu, bài tập tương tự cho các dạng toán vận dụng

phương pháp quy nạp toán học: Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức ; Vận dụng qui
nạp chứng minh bất đẳng thức ; Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết ; Một vài ứng
dụng khác
-. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của
những dạng toán được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm
vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
3.2. KIẾN NGHỊ:
2.1 Đối với trường PT Nguyễn Mộng Tuân.
Nhà trường nên tạo điều kiện cho tổ chuyên môn tổ chức các buổi thảo luận về một
số chuyên đề và phương pháp giảng dạy và Giáo viên mở lớp bồi dưỡng, phụ đạo ôn tập
cho học sinh để các em có khả năng tìm hiểu sâu hơn kiến thức.
2.3. Đối với Sở GD&ĐT: mở nhiều lớp tập huấn về công tác bồi dưỡng chuyên môn
nghiệp vụ cho giáo viên các trường hơn nữa.
Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song sáng kiến kinh nghiệm đưa ra
không thể tránh khỏi sai sót. Tơi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp.
Đông Sơn, ngày 17 tháng 05 năm 2021
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

TÔI CAM ĐOAN KHÔNG COPPY

Phan Thị Quỳnh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] . Phương pháp qui nạp toán học
Nguyễn Hữu Điển NXB Giáo dục, 2000.
21


[2] . Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT - SỐ HỌC
Hà Huy Khoái NXB Giáo dục, 2008.

[3]. Chuyên đề chọn lọc - DÃY SỐ VÀ ÁP DỤNG
Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn NXB Giáo dục, 2008.
[4] . Một số vấn đề SỐ HỌC CHỌN LỌC
Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng,
Đặng Huy Ruận NXB Giáo dục, 2008
[5] . 460 bài toán bất đẳng thức,
Trần Văn Kỉ NXB.Trẻ TPHCM.
[6]. Đại số và giải tích 11, Ngơ Thúc Lanh- Vũ Tuấn- Ngơ Xn Sơn :
Nhà xuất bản giáo dục1998

DANH MỤC

22


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phan Thị Quỳnh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường PT Nguyễn Mộng Tuân

Kết quả
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp

đánh

loại

giá xếp
loại

Số, ngày,
tháng, năm của
quyết định
công nhận, cơ
quan ban hành
QĐ

1.

Dạy học tự chọn – bồi
dưỡng học sinh giỏi khối 10
trường THPT Quan Sơn 2

Quyết định số
Ngành GD cấp tỉnh

C

904/QĐ-

bằng phương pháp giải

SGD&ĐT, ngày

quyết vấn đề

14 tháng 12 năm
2010 của Giám
đốc Sở Giáo dục
và Đào tạo.

2.

Một số biện pháp khắc
phục khó khăn và sai lầm
thường gặp trong giải Toán

Quyết định số
Ngành GD cấp tỉnh

C

753/QĐ-

tổ hợp – Xác Suất cho học

SGD&ĐT, ngày

sinh trường THPT Quan

03 tháng 11 năm

Sơn 2

2014 của Giám

đốc Sở Giáo dục
và Đào tạo.

3.

Dạy học bồi dưỡng học
sinh giỏi khối 11 trường

Quyết định số
23


THPT Quan Sơn 2 với

Ngành GD cấp tỉnh

C

972/QĐ-

chuyên đề “sử dụng

SGD&ĐT, ngày

phương pháp véctơ để giải

24 tháng 11 năm

một số bài tốn hình học

2016 của Giám

khơng gian”

đốc Sở Giáo dục
và Đào tạo

24