SKKN phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 12 qua bài toán về tính đơn điệu của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12
QUA BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Lê Thị Nga
Chức vụ: Giáo viên
Mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2021


MỤC LỤC
1. Mở đầu..............................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài...........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu...................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ……………………………………….......2
2.1. Cơ sở lí luận..................................................................................................2
2.1.1. Năng lực......................................................................................................2
2.1.2. Năng lực tư duy và lập luận tốn học......................................................2
2.1.3. Tính đơn điệu hàm số...........................................................................2
2.1.3.1. Định nghĩa...............................................................................................2
2.1.3.2. Định lý 1..................................................................................................2
2.3.1.3. Định lý 2.............................................................................................3

2.3.1.4. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2)......................................................3
2.3. Các giải pháp...........................................................................................3
2.3.1 . Vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.. ................................3
2.3.2. Dựa vào đồ thị của hàm số để xác định tính đơn điệu........................5
2.3.3. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để xác định tính đơn điệu........6
2.3.4. Khai thác từ đồ thị của hàm số y=f’(x).................................................7
2.3.5. Sử dụng bài toán chứa tham số để đào sâu kiến thức về tính đơn điệu
của hàm số..........................................................................................................11
2.3.6. Một số bài tập đề nghị.............................................................................12
2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm.......................................................13
3. Kết luận – Kiến nghị......................................................................................15
3.1. Kết luận.......................................................................................................15
3.2. Kiến nghị.....................................................................................................16
Tài liệu tham khảo ………………………………………………………....…17


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Từ năm học 2016-2017, đề thi mơn Tốn trong Kỳ thi trung học phổ
thơng quốc gia đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm
khách quan. Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và
học ở các nhà trường. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không
cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng tốn quan trọng mà
cần có khả năng tư duy logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn
được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức lớn
đối với mỗi giáo viên chúng ta.
Trong đề thi Đại học và cao đẳng các năm trước cũng như đề thi
THPTQG các năm gần đây và mới nhất đề tham khảo của Bộ giáo dục năm
2021 thì câu hỏi về tính đơn điệu của hàm số luôn xuất hiên và ở tất cả các mức
độ kiến thức từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng đặc biệt có cả các câu mức độ

vận dụng cao. Trong đề thi THPTQG lượng câu hỏi nhiều và rộng thì đối với đối
tượng học sinh yếu kém đa phần các em lựa chọn theo hình thức may rủi.Chính
vì thế mà chất lượng các bài thi của các em hồn tồn bị động, cùng đó là kéo
theo tâm lý và ý thức học tập gần như khơng có.
Với hình thức thi trắc nghiêm thì các dạng tốn khơng bó hẹp ở một số
dạng theo lối mòn mà đã biến hố rất đa dạng trong đó có bài tốn liên qua đến
tính đơn điệu của hàm số dành cho học sinh yếu kém đến học sinh khá giỏi mà
sách giáo khoa chưa đáp ứng kịp, các sách tham khảo cũng chưa nhiều cho dạng
tốn này do đó cả giáo viên và học sinh rất khó khăn để tìm nguồn tài liệu trong
giảng dạy và học tập khi khai thác ở chủ đề này. Vì vậy, nhằm giúp các em học
sinh lớp 12 ôn thi thật tốt và đạt kết quả trong kì thi Tốt nghiệp THPT sắp tới,
tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phát triển năng lực tư
duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 12 qua bài tốn về tính đơn điệu
của hàm số ”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán
học cho học sinh trong các bài toán liên quan tính đơn điệu của hàm số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này nhằm tổng kết và phân loại đồng thời đưa ra cách giải quyết
các bài toán ở mức độ nhận biết và thơng hiểu liên quan đến tính đơn điệu xuất
hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT các năm gần đây.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về
các vấn đề liên quan đến đề tài.
1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và
điều tra theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ, phỏng vấn giáo viên và
học sinh trường THPT Quảng Xương II.
1.4.3 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau q trình
giảng dạy. Làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm thường gặp ở học sinh trong
giải toán trắc nghiệm lớp 12. Đồng thời phân tích được những nguyên nhân dẫn

đến những sai lầm đó và đề ra biện pháp khắc phục.
1


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1. Năng lực
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lí học. Năng lực được
hiểu như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng
những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành
cơng hoạt động đó.
Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một
cá thể, một thứ phi vật chất. Song nó thể hiện được qua hành động và đánh
giá được nó qua kết quả của hoạt động.
Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm
vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết
quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng
2.1.2. Năng lực tư duy và lập luận toán học
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu
tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và
linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào
thực tiễn.
Năng lực tư duy và lập luận toán học được thể hiện qua việc thực hiện
các hành động:
+ So sánh phân tích, tổng hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp,
diễn dich.
+ Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lý trước khi kết luận.
+ Giải thích hoặc đều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện
toán học.
Năng lực tư duy và lập luận toán học ở cấp trung học phổ thông biểu

hiện như sau :
+ Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện
được sụ tương dồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và
lý giải được kết quả của việc quan sát.
+Sử dụng các phương pháp lập luận quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách
thức khác nhautrong việc giải quyết vấn đề.
2.1.3. Tính đơn điệu hàm số
2.1.3.1. Định nghĩa
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y  f  x  là một
hàm số xác định trên K . Ta nói:
+ Hàm số y  f  x  được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu
x1 , x2 �K , x1  x2 � f  x1   f  x2 
+ Hàm số y  f  x  được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu
x1 , x2 �K , x1  x2 � f  x1   f  x2 
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K .
2.1.3.2. Định lí 1.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó:
2


a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '  x  �0, x �K .
b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '  x  �0, x �K .
2.1.3.3. Định lí 2.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó:
a) Nếu f '  x   0, x �K thì hàm số f đồng biến trên K .
b) Nếu f '  x   0, x �K thì hàm số f nghịch biến trên K .
c) Nếu f '  x   0, x �K thì hàm số f khơng đổi trên K .
2.1.3.4. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2)
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a) Nếu f '  x  �0, x �K và f '  x   0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số

f đồng biến trên K .
b) Nếu f '  x  �0, x �K và f '  x   0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số
f đồng biến trên K .
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
+ Nếu f '  x  �0 với mọi x �K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x �K
thì hàm số f đồng biến trên K .
+ Nếu f '  x  �0 với mọi x �K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x �K
thì hàm số f nghịch biến trên K .
Các bước xét tính đơn điệu của hàm số
*) Tìm tập xác định
*) Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm và những điểm mà đạo hàm không
xác định.
*) Lập bảng biến thiên
*) Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x) và đồ thị
hàm số y=f’(x)
Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía
trên trục hồnh trên khoảng đó. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì
đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía dưới trục hồnh trên khoảng đó.
2.3. Các giải pháp
2.3.1 . Vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Trong dạng này giáo viên cần ơn lại các bước tìm khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số; giáo viên cần cho học sinh làm quen với nhiều loại hàm số;
giáo viên cần xây dựng các ví dụ đa dạng, có ví dụ ở dạng tự luận, có ví dụ ở
dạng trắc nghiệm để học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm
số và dấu của đạo hàm là một phần quan trọng trong nội dung này và trong kỳ
thi THPT Quốc gia.
x2
Ví dụ 1: (SGK giải tích 12) Hàm số y 

đồng biến trên các khoảng:
1 x
3


A.  1; �

C.  �;1 và  1;�

B. �

D. R \  1 .

Phân tích hướng giải.
Theo định lý 1, 2 và quy tắc xét tính đơn điệu ở trên, để hàm số đồng biến ta cần
tìm x để g '  x   0 .
3

HD: Cách 1:TXĐ: �\  1 ; y '  (1  x) 2 >0 với mọi x R \ {1} . Đáp án C
Cách 2: HS sử dụng máy tính kiểm tra các khoảng trong từng phương án.
Thử đáp án A
x2
+ Bấm MODE 7, Nhập hàm y 
(sử dụng các phím x màu đỏ trên máy
1 x
tính)
+ Bấm “=” Start bấm số 1 , bấm “=” End bấm số 20 ,
+ Bấm “=” Step bấm (20  (1)) :19 , bấm “=”

+ Trên màn hình máy tính cột F  X  đều tăng nhưng ko xác định tại x  1 .

Vì vậy đáp án A loại.
Thử đáp án B Để nguyên màn hình
+ Bấm AC. Bấm “=” Start bấm số 20 , bấm “=” End bấm số 20 ,
+ Bấm “=” Step bấm (20  (20)) :19 , bấm “=”
+ Trên màn hình máy tính cột F  X  đều tăng nhưng ko xác định tại x  1 .
Vì vậy đáp án B loại.
Thử đáp án C: Để nguyên màn hình
+ Bấm AC. Bấm “=” Start bấm số 20 , bấm “=” End bấm số 1 ,
+ Bấm “=” Step bấm (1  (20)) :19 , bấm “=”
+ Trên màn hình máy tính cột F  X  đều tăng nhưng ko xác định tại x  1 .
Tiếp tục
+ Bấm “=” Start bấm số 1 , bấm “=” End bấm số 20 ,
+ Bấm “=” Step bấm (20  (1)) :19 , bấm “=”

+ Trên màn hình máy tính cột F  X  đều tăng nhưng ko xác định tại x  1 .
Vì vậy đáp án C.
Đáp án D Sai do cách viết tâp hợp.
Chú ý: Xét tính đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng   ;   của đáp án.
+ Sau khi thử đáp án A mà khơng thỏa mãn thì để nguyên màn hình . Nhấn AC
và nhấn “=”, “=” rồi thay đổi các giá trị của các đầu mút còn lại đáp án còn lại.
+ Nếu nhiều hơn một đáp án cùng thỏa mãn ln đồng biến hoặc nghịch biến
thì chọn đáp án rộng nhất.
+ Nếu  là � thì chọn  là số nhỏ hơn hằng số đầu mút nhỏ nhất trong các
đáp án 5 đơn vị. Nếu  là � thì chọn  là số lớn hơn hằng số đầu mút lớn
nhất trong các đáp án 5 đơn vị.

4


Nhận xét: Cách 1 phù hợp cho những học sinh trung bình, khá. Cách 2 phù

hợp với những học sinh yếu bị hổng kiến thức, giúp các em có thể trinh phục
được dạng câu hỏi này mà không phải đánh bất kỳ chờ may rủi.
Ví dụ 2: (SGK giải tích 12)
Các khoảng nghịch biến của hàm số y   x3  3 x 2  3 là:
A.  1;3
B.  �;0  và  2;�
C. ( ;0)  (2;)
D.  0;2 
Phân tích hướng giải.
Theo định lý 1, 2 và quy tắc xét tính đơn điệu ở trên, để hàm số đồng biến ta
cần tìm x để g '  x   0 .
HD: Cách 1: y’=-3x+-6x. Bảng xét dấu
x
�
�
0
2
y’
0
+
0
Đáp án B
Cách 2: Tương tự ví dụ 1 dùng máy tính kiểm tra các đáp án
Ví dụ 3: (SGK giải tích 12)
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?
x
A. y   x 3  1
B. y  x 2  x
C. y 
D. y  2 x  cos x

x2
Phân tích hướng giải.
Theo định lý 1, 2 và quy tắc xét tính đơn điệu ở trên, để hàm số đồng biến ta
cần tìm x để g '  x   0 .
HD: Đáp án D
Nhận xét : Trong 3 ví dụ trên, giáo viên ngoài việc cần làm cho học sinh vận
dụng tốt quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số mà còn cho học sinh nắm vững
định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến. Đó là học sinh phải nhận thức được
rằng hàm số đồng biến, nghịch biến trên K thì phải xác định trên K và chỉ có
khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, khơng có khái niệm hàm
số đồng biến, nghịch biến trên hợp các khoảng.
Đối với học sinh yếu kém thì đây là bài tốn mà giáo viên có thể cho học sinh
luyện theo cách 2 nhiều lần để quen qui trình làm, từ đó các em chủ động, tích
cực làm bài.
2.3.2. Dựa vào đồ thị của hàm số để xác định tính đơn điệu.
Trong giải pháp này, giáo viên cần làm cho học sinh biết đọc hiểu đồ thị,
biết thiết lập được mối liên hệ giữa khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
và đồ thị của nó. Từ đó học sinh sẽ hiểu sâu và nhận biết, vận dụng vào bài toán
dễ dàng hơn; học sinh sẽ có động lực nghiên cứu, đam mê và yêu thích nội dung
này.
Ví dụ 4: ( Đề tham khảo BGD năm 2019)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên
khoảng nào dưới đây?

5


y
1

O

1
1

x

2

A.  0;1 .
B.  �;1 .
C.  1;1 .
D.  1;0  .
Phân tích hướng giải.
Trong bài tốn này muốn tìm khoảng đồng biến học sinh quan sát đồ thị tìm
các khoảng mà đồ thị đi lên tính từ trái qua phải đối soát từng phương án để
chọn được đáp án đúng.
HD: Đáp án A ứng phần đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến trên  0;1 .
Đáp án B đồ thị vừa đi lên, vừa đi xuống � loại đáp án B.
Đáp án C đồ thị vừa đi lên, vừa đi xuống � loại đáp án C.
Đáp án D ứng phần đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên  1;0 
Đáp án D
Nhận xét : Đây là dạng tốn giúp các em cịn yếu về kiến thức có thể trinh phục
được mà khơng đánh bất kỳ. Trong dạng toán này học sinh thường nhầm các
khoảng trên trục Ox thành các khoảng trên trục Oy .
Ví dụ 5: ( Mã 101 đề thi THPT QG 2017)
ax  b
Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y 
cx  c
với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. y '  0, x �R
B. y '  0, x �R
C. y '  0, x �1
D. y '  0, x �1
Phân tích hướng giải.
Dựa vào đồ thị nhân thấy đồ thị đi xuống từ trái qua phải nên hàm số nghịch
biến. Từ đó kết uận được dấu của y�
HD: Đáp án D
Ta thấy đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của hàm số nên tập xác định
của hàm số là: D  R \  1
Mà đồ thị cho thấy hàm số luôn nghịch biến trên D
� y '  0, x �D hay y '  0, x �1
Nhận xét: Trong 2 ví dụ này, học sinh phải nhận thức được đồ thị đi lên trên
khoảng K thì ứng với hàm số đồng biến trên K và đồ thị đi xuống trên khoảng K
thì ứng với hàm số nghịch biến trên K. Ngồi ra thơng qua ví dụ giúp học sinh
nắm vững định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên K.
2.3.3. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để xác định tính đơn điệu.
Trong giải pháp này, giáo viên cần làm cho học sinh biết đọc hiểu bảng biến
thiên, biết thiết lập được mối liên hệ giữa khoảng đồng biến, nghịch biến của
6


hàm số trên bảng biến thiên . Từ đó học sinh sẽ hiểu sâu và nhận biết, vận dụng
vào bài toán dễ dàng hơn; học sinh yếu sẽ bớt phải tính tốn dễ lấy điểm.
Ví dụ 6: (Đề Sở GD và ĐT Thanh Hóa năm 2021)
Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như hình sau

Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  �; 2  .
B.  1;3 .

C.  2;2  .
D.  �;0  .
Phân tích hướng giải.
Trong bài tốn này muốn tìm khoảng đồng biến học sinh quan sát bảng biến
thiên tìm các khoảng mà đồ thị ứng phần mũi tên đi lên phải đối soát từng
phương án để chọn được đáp án đúng.
HD: Đáp án A tương ứng phần mũi tên đi lên nên hàm số đồng biến trên
 �; 2  .
Các đáp còn lại B, C, D đều chứa cả khoảng đồng biến cả khoảng nghịch biến
nên bị loại.
Đáp án cần chọn là A
Ví dụ 7: (Mã 104 - 2017)
Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  �; 2 
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;0 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  �;0 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;2 
Phân tích hướng giải.
Tương tự ví dụ 6 học sinh đọc bảng biến thiên của hàm số tương ứng với dấu
của đạo hàm (áp dụng định lý 2)
HD: Chọn D. Theo bảng xét dấu thì y '  0 khi x �(0;2) nên hàm số nghịch
biến trên khoảng (0;2) .
Nhận xét: Trong 2 ví dụ này, rèn luyện cho học sinh cách đọc được bảng biến
thiên ứng với phần mũi tên đi lên trên khoảng K thì hàm số đồng biến trên K và
ứng với phần mũi tên đi xuống trên khoảng K thì hàm số nghịch biến trên K .
Ngồi ra làm dạng này học sinh khơng phải tính tốn giúp học sinh yếu có thêm
động lực để học hiệu quả hơn.

2.3.4. Khai thác từ đồ thị của hàm số y=f’(x)
7


Thông qua giải pháp này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân
tích, quy lạ về quen, từ đồ thị hàm số y=f’(x) đã cho xác định được dấu của
f’(x) và thơng qua đó xác định được khoảng đồng biế, nghịch biến. Trong giải
pháp này, giáo viên nên đưa ra các ví dụ từ mức độ đơn gian đến phức tạp để
học sinh sẽ nhận dạng được, hiểu sâu hơn, tự tin khi gặp bài tốn tương tự.
Ví dụ 8: (Chuyên Bến Tre - 2020)
 x  và hàm số
Cho hàm số y  f  x  biết hàm số f  x  có đạo hàm f �
y f�
 x  có đồ thị như hình vẽ. Đặt g  x   f  x  1 . Kết luận nào sau đây
đúng?
A. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  3;4  .
B. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0;1 .
C. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  2; � .
D. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  4;6  .
Phân tích hướng giải. Trong bài tốn này muốn tìm khoảng đồng biến học sinh
 x   0 hàm số
quan sát đồ thị hàm số f’(x), ứng phần đồ thị dương ta có f �
 x   0 hàm số nghịch biến .
đồng biến,ứng phần đồ thị âm ta có f �
 x  f �
 x  1
HD: g  x   f  x  1 . Ta có: g �
Hàm số g  x  đồng biến

x 1 5

x4
�
�
� g�
��
 x  0 � f �
 x  1  0 � �
.
1 x 1 3 �
0 x2
�
Hàm số g  x  nghịch biến
3  x 1 5 �
2 x4
�
� g�
��
 x  0 � f �
 x  1  0 � �
.
x 11
x0
�
�

Vậy hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0;2  ;  4; � và nghịch biến trên
khoảng  2;4  ;  �;0  .
Nhận xét: Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải
bài tốn. Cụ thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm g’(x),

- Tìm x để g’(x)>0 hay f’(x+1)>0 hoặc g’(x)<0 hay f’(x+1)<0
Ví dụ 9: (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020)
Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên � và có đồ thị của hàm số
y f�
 x  như hình vẽ. Xét hàm số g  x   f  x 2  2  . Mệnh đề nào dưới đây
sai?

8


A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

g  x
g  x
g  x
g  x

nghịch biến trên  0;2  .
đồng biến trên  2;� .
nghịch biến trên  1;0  .
nghịch biến trên  �; 2  .

Phân tích hướng giải.
Theo định lý 1, 2 và quy tắc xét tính đơn điệu ở trên, để hàm số đồng biến ta cần
tìm x để g '  x   0 , g '  x   0
g�
.f �

 x    x2  2 �
 x2  2   2 x. f � x 2  2  .Việc xét dấu của g � x  phụ thuộc

 x2  2
vào dấu của x và f �

HD: Ta có g �
.f �
 x    x2  2 �
 x2  2   2 x. f � x 2  2  .
�
�
�x �0
�
� 2
 x  2  �0
�
�f �
2
 x  �0 � x. f �
 x  2 �0 � �
Hàm số nghịch biến khi g �
�
�
�x �0
� 2
�
�
�
�f  x  2  �0

 x  như hình vẽ, ta thấy
Từ đồ thị hình của hàm số y  f �
f�
0
x 2 và f �
 x �
 x  �0 ۳ x 2 .
�x �0
�
�x �0
�x �0
�x �0
�
� �2
� �2
� ��
x �2  x 2 .
+ Với � 2
�
f
x

2
�
0
x

2
�
2

x
�
4


�
�
�
��
x �2
��
�
�x �0
�x �0
�x �0
� �2
� �2
� 0 x 2.
ۣ
+ Với � 2
 x  2  �0 �x  2 �2 �x �4
�f �
Như vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  �; 2  ,  0;2  ; suy ra hàm số
đồng biến trên  2;0  và  2;� .
Do  1;0  � 2;0  nên hàm số đồng biến trên  1;0  . Vậy C sai.
Nhận xét: Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải
bài toán. Cụ thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm nghiệm của f’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x) và trục hoành.
- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trên trục hồnh

(f’(x)>0) và dưới trục hồnh (f’(x)<0).
- Lập bảng xét dấu f’(x)

9


(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số f ( x) , đồ thị hàm số
y f�
( x) như hình vẽ dưới đây.

Ví dụ 9:

Hàm số y  f  3  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  4;6  .
B.  1;2  .
C.  �; 1 .
D.  2;3 .
Phân tích hướng giải.
Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số g  x  ta cần xác định dấu của đạo hàm
g '  x  , ta có thể lập bảng xét dấu của g '  x  hoặc giải các bất phương trình

g '  x   0, g '( x)  0 từ đó kết luận tính đơn điệu của hàm số đã cho
HD: Ta có:
3 x
y  f  3 x  � f �
 3  x     3  x  f � 3  x  ( x �3)
f�
 3 x   0 � 

��
f  3 x   0
f�
3 x   0 � �

3 x
3 x  0
�

 3  x

�3  x  1 L 
x  1
�
�
�
x7
�3  x  1 N 
��
��
�
x2
�3  x  4  N 
�
x4
�
�
x  3 L 
�

 3 x  :
Ta có bảng xét dấu của f �
Từ bảng xét dấu ta thây hàm số y  f  3  x  đồng biến trên khoảng  1;2  .
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(|x|) và trục hoành
- Lập bảng xét dấu g’(x)

10


Ví dụ 12: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f  x  . Hàm số
y  f '  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số g  x   f  1  2 x   x 2  x nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây ?

�3�
� 1�
1; �.
0; �
A. �
B. �
.
C.  2; 1 .
D.  2;3 .
� 2�
�2�
Phân tích hướng giải.
2
 x   2 f �

 1  2x   2x  1 .
Ta có: g  x   f  1  2 x   x  x � g �
1  2x
Hàm số nghịch biến � g �
.Để giải bất phương
 x  0 � f �
 1  2x   
2
1  2x
t
� f '(t )   , để
trình trên, nếu ta đặt 1  2 x  t , khi đó f �
 1  2x   
2
2
 t
giải bất phương trình này ta đưa về tương giao giữa hai đồ thị hàm số y  f �
t
và y   .
2
2
HD: Ta có : g  x   f  1  2 x   x  x � g '  x   2 f '  1  2 x   2 x  1
 x   2 f �
 t  t
Đặt t  1  2 x � g �
t
g ' x   0 � f ' t   
2
x
Vẽ đường thẳng y   và đồ thị hàm số f '  x  trên cùng một hệ trục

2


g ' x 
Hàm số g  x  nghịch biến �

0

f ' t 

t
2

2 �t �0
�
�
t �4
�

11


1
3
�
�
x
�
2 �1  2 x �0 �
1  2x �

2
2
��
��
 1  2x  �
Như vậy f �
.Vậy hàm số
4 �1  2 x
2
�
�x � 3
�
2
3�
�1 3 � �
.
�;  �
g  x   f  1  2 x   x 2  x nghịch biến trên các khoảng � ; �và �
2�
�2 2 � �

� 3 � �1 3 �
2
1; ��� ; �
Mà �
nên hàm số g  x   f  1  2 x   x  x nghịch biến trên
� 2 � �2 2 �
�3�
1; �
khoảng �

�2�
2.3.5. Sử dụng bài toán chứa tham số để đào sâu kiến thức về tính
đơn điệu của hàm số.
Với giải pháp này, học sinh phải nắm được mối liên hệ giữa tính đơn điệu của
hàm số và dấu của đạo hàm. Đồng thời hình thành và phát triển tư duy trừu
tượng, quy lạ về quen, kỹ năng phân tích khi giải quyết bài tốn.
Ví dụ 14: (Đề Tham Khảo Lần 2 2020)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số
1
f ( x)  x3  mx 2  4 x  3 đồng biến trên �.
3
A. 5 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Phân tích hướng giải.
�a  0
f�
f�
( x )  x 2  2mx  4 �
 x  0 x � ĐK �
 �0
�
( x)  x 2  2mx  4 .
HD :Ta có f �
( x) �0, x �� (Dấu ‘=’ xảy ra
Hàm số đã cho đồng biến trên � khi và chỉ khi f �
tại hữu hạn điểm).
( x) �0, x ���  ' �0
Ta có f �

�  '  m 2  4 �0
� 2 �m �2 .
Vì m �� nên m � 2;  1;0;1;2 , vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
mx  4
Ví dụ 15: (Đề Tham Khảo Lần 1 2020) Cho hàm số f  x  
( m là
xm
tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến
trên khoảng  0; � ?
A. 5 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
HD: Tập xác định D  �\  m .
m2  4
 x 
Đạo hàm f �
2 .
 x  m
12


Hàm số đồng biến trên  0; � khi và chỉ khi
�
m2  4  0
2  m  2
�
�
f�
��

� 2  m �0 .
 x   0 x � 0; � � �
m �0
m � 0;  �
�
�

Do m ��� m   1;0 . Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.
Như vậy, qua các ví dụ trong 2.3.5 , học sinh phải nắm được điều kiện cần và đủ
để một hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng. Đồng thời học sinh
cũng rèn luyện được kỹ năng khi giải toán.
2.3.6. Một số bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hàm số y  x3  3 x  2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (�;0) và nghịch biến trên khoảng (0; �) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (�; �) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (�; �) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (�;0) và đồng biến trên khoảng (0; �) .
( x)  x 2  1 , x ��. Mệnh đề nào
Bài 2: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f �
dưới đây đúng ?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (�;0) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; �) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (�; �) .
Bài 3:(Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  � 1
B.  1;1

C.  1;0 

D.  0;1
Bài 4: (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị
như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
A.  1;0  .
B.  2;  1 .
C.  0;1 .
D.  1;3 .

 x  như sau:
Bài 5: (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu của f �

13


Hàm số y  f  5  2 x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  3;4  .
B.  1;3 .
C.  �;  3 .
D.  4;5  .
Bài 6: ( Đề minh họa BGD năm 2021) Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như
sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
A.  2;2  .
B.  0;2  .
C.  2;0  .
D.  2;� .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Chúng tôi đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong nhiều năm với

những mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khoá học hoặc giữa các
lớp ở các khoá học khác nhau.
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp ôn thi
THPT Quốc gia ở trường THPT Quảng Xương II năm học 2019-2020, năm học
2020-2021. Trong quá trình triển khai đề tài này, học sinh thực sự thấy tự tin, tạo
cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra cho học sinh cách nhìn
nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự
học, tự nghiên cứu, phát triển tốt năng lực tư duy của học sinh khi giải bài toán
về nội dung tỉ số thể tích. Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều
em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, nhiều em vận dụng tốt ở từng bài toán
cụ thể .Qua các bài kiểm tra về nội dung này và các bài thi học kỳ, thi thử THPT
Quốc gia, tơi nhận thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và đạt kết quả tốt. Cụ thể
tôi đã thực nghiệm kiểm tra kết quả như sau:
- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra số 1.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra số 2
- Dùng phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung
bình của 2 lớp trước và sau khi tác động, trong đó một lớp thực nghiệm, một
lớp đối chứng.

Lớp
1- Thực nghiệm
(40 hs)
2- Đối chứng
(42 hs)

Bảng 1: Bảng thiết kế nghiên cứu:
Tác động
Khai thác các giải pháp phát triển năng lực giải bài
tốn tỉ số thể tích khối đa diện.
Khơng khai thác các giải pháp phát triển năng lực

giải bài toán tỉ số thể tích khối đa diện.
14


Bảng 2: Tổng hợp kết quả chấm bài.
Lớp
Lớp 1- thực nghiệm
Lớp 2- đối chứng
Điểm trung bình
5.13
6.98
5.16
5.73
Biểu đồ so sánh kết quả trung bình giữa hai lớp trước và sau tác động.

Từ kết quả nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu (cột 1 và 3)
trước tác động là hồn tồn tương đương. Sau khi có sự tác động cho kết quả
hoàn toàn khả quan (cột 2 và cột 4). Điều này minh chứng là điểm trung bình
lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng không phải do ngẫu nhiên mà là do kết
quả của sự tác động.
Bảng 3. Tổng hợp phần trăm kết quả theo thang bậc: Kém, yếu, trung
bình, khá, giỏi kết quả của lớp 1- thực nghiệm.
Lớp
1-TN
Trước
TĐ
Sau TĐ

Kém
0

0%
0
0%

Thang điểm
Yếu
T. bình
12
18
30.00%
45.00%
4
12
10.00%
30.00%

Khá
7
17.50%
18
40.00%

Giỏi
3
7.50%
6
20.00%

Tổng
cộng

40
100%
40
100%

15


Biểu đồ so sánh kết quả xếp loại trước và sau tác động lớp Thực nghiệm
Triển khai trước tổ bộ môn:
Chúng tôi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi, thảo luận và rút kinh nghiệm.
Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo
được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về bản chất
hình học cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập. Và cho
đến nay, những kinh nghiệm của tôi đã được tổ thừa nhận là có tính thực tiễn và
tính khả thi. Hiện nay, chúng tôi tiếp tục xây dựng thêm nhiều ý tưởng để giúp
học sinh trường THPT Quảng Xương II học tập nội dung này một cách tốt nhất
để đạt kết quả cao nhất trong các kỳ thi.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
Trong dạy học giải bài tập tốn nói chung và dạy học giải bài tập tốn tỉ số
thể tích nói riêng, việc xây dựng các bài tốn riêng lẻ thành một hệ thống theo
một trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải tốn sẽ giúp
học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát triển tư
duy học toán cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học tốn.
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu
hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp.
Mỗi dạng tốn tơi chọn một số bài tập để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm
những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. .Tuy nhiên, vẫn còn một
số học sinh không tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá lớn hoặc chưa có động cơ,

hứng thú trong học tập.
Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn giải pháp để giúp phát
triển tư duy, sự sáng tạo và phát triển năng lực giải bài toán của học sinh. Giáo
viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó
là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài tốn, thể hiện bài tốn từ đó học
sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề
tài này được đầy đủ hoàn thiện hơn .
3.2. Kiến nghị
Qua q trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tơi thấy để đạt kết quả cao,
cần lưu ý một số điểm sau:
Đối với giáo viên:
- Cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy
năng lực tư duy sáng tạo của học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh
nghiệm, hướng điều chỉnh cho các tiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học
tập, tích cực hợp tác với các thầy cơ hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say
mê nghiên cứu mơn tốn hơn .
- Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên
trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh.
Trước khi dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật
vững vàng về những kiến thức cơ bản liên quan.

16


Đối với nhà trường: Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong
trào đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng
phát huy năng lực học sinh, viết và áp dụng SKKN.
Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:
- Cần phổ biến trong toàn ngành những sáng kiến kinh nghiệm hay, các

SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp loại để đồng nghiệp tham khảo và áp
dụng để có hiệu quả tốt nhất trong giảng day.
- Sở giáo dục và đào tạo cần tổ chức hội thảo chuyên đề về viết sáng kiến
kinh nghiệm qua đó giúp giáo viên hình thành tốt kĩ năng viết
Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và
các em học sinh đã giúp đỡ tơi hồn thành SKKN này.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nguyễn Văn Ngọc

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người khác.

Lê Thị Nga
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. SGK giải tích 12_NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.
[2]. Sách BT giải tích 12_ NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.
[3]. Đề thi chính thức và đề tham khảo tốt nghiệp THPT mơn Toán của bộ các
năm gần đây.
[4]. Đề khảo sát chất lượng của các Sở giáo dục và các trường THPT trên cả
nước.
[5]. Đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT năm 2017 đến năm 2021.
[6]. Các bài toán về tính đơn điệu trên các diễn đàn Tốn học như: Toán học Bắc
Trung Nam; Diễn đàn giáo viên toán, Thư viện Violet; các trang mạng Internet,
...

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Nga
Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên mơn tốn trường THPT Quảng Xương 2.
TT Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá
Kết quả
Năm học
17


1.

Một số biện pháp giáo dục
học sinh cá biệt ở trường
THPT.

xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)
Ngành giáo dục
cấp tỉnh

đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)
C

đánh giá
xếp loại
2016-2017

18