skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY HS LỚP 6 THÔNG QUA TỔNG QUÁT HOÁ BÀI TOÁN TÍNH TỔNG

PHẦN A: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới
không ngừng. Các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên
cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục. Dạy như thế nào để học sinh không
những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng
cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi
thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Thực tế trong quá trình dạy và học toán cụ thể như trong sáng kiến này
là số học 6 có rất nhiều bài toán mang tính điển hình, từ bài toán đó ta có thể
phát triển thêm các bài toán khác mang các thuộc tính tổng quát hơn. Những
bài này thường chứa đựng nhiều nội dung, nhiều mối liên kết lôgíc. có thể coi
là phần tử đại diện cho một lớp các bài toán có tính bản chất chung. Vì vậy
trong quá trình dạy theo tôi người dạy phải biết đâu là những bài toán mấu
chốt, đâu là những bài toán đại diện và vấn đề cơ bản của các bài toán ấy là vấn
đề gì. Từ đó học sinh có thể dễ dàng nắm bài toán một cách tổng quát. Chính
vì vậy theo tôi “Tổng quát hoá các bài toán trong dạy học toán” là việc hết
sức cần thiết đối với việc phát triển năng lực tư duy cho học sinh khi dạy học
đặc biệt là năng lực tư duy của học sinh lớp 6 đầu cấp học.
II. Mục đích nghiên cứu:
“Tổng quát hoá các bài toán trong dạy học toán” giúp học sinh hiểu
được tổng quát hoá là chuyển từ trường hợp đặc biệt sang trường hợp tổng
quát. Nhờ tổng quát hoá mà ta có thể đi đến công thức tổng quát, có thể sáng
tạo ra các bài toán mới, từ đó vận dụng để thực hiện những bài toán liên quan.
Qua đó học sinh được rèn luyện phương pháp, thói quen tìm lời giải
cho một bài toán cụ thể xét bài toán trong trường hợp tổng quát từ đó rèn
luyện cho học sinh phương pháp suy luận, tư duy để chuyển từ việc khảo sát
một tập hợp đối tượng đến tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu.

1

III. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Trước khi viết sáng kiến này tôi đã kiểm tra và
khảo sát việc giải các bài toán tính tổng, việc tổng quát hoá các bài toán tính
tổng, khả năng vận dụng ở học sinh lớp 6 trường THCS Ái Thượng với phân
môn số học.
- Phương pháp nghiên cứu: Thông qua khảo sát việc giải các bài toán
tính tổng, việc các em tư duy để tìm cách tổng quát hoá bài toán và với kinh
nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học, ôn thi học sinh giỏi, nghiên cứu
sách giáo khoa, các loại sách nâng cao cùng với sự giúp đỡ của đồng nghiệp
tôi đã viết thành sáng kiến kinh nghiệm này.
PHẦN B: NỘI DUNG
I: Cơ sở lý luận :
Tư duy là một thuộc tính tâm lý, tư duy hình thành và phát triến theo
từng giai đoạn, trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt
phát triến mạnh ở giai đoạn thanh thiếu niên. Việc thực hiện các phương pháp
giảng dạy như thế nào để phát triển năng lực tư duy một cách tốt nhất cho học
sinh là việc mà mọi giáo viên đều cần quan tâm. Trong toán học, nhất là trong
dạy học toán theo chương trình đổi mới thì việc dạy học theo phương pháp tích
cực hoá hoạt động học tập của học sinh, học sinh được tiếp cận kiến thức một
cách chủ động sáng tạo, từ những hình ảnh, mô hình, ví dụ ... để hình thành các
khái niệm trừu tượng, tổng quát hơn từ đó năng lực tư duy của học sinh được
phát triển hơn không chỉ ở môn toán mà trong các môn học khác.
Là người giáo viên, chúng ta cần biết gây hứng thú học tập của các em
thông qua các lời giải bởi đằng sau mỗi lời giải của các bài toán luôn ẩn chứa
nhiều bất ngờ dành cho các em say sưa tìm tòi.
II. Thực trạng của vấn đề :
- Học sinh: Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy đa phần học sinh chỉ

2

chú trọng việc giải thế nào để đi đến kết quả, bài toán có lời giải ngắn gọn.
Thực tế, đó cũng là việc làm rất cần thiết đối với học sinh, tuy nhiên chỉ dừng
lại ở đó thì học sinh không thể phát huy được tính sáng tạo qua các bài toán,
không mở rộng được bài toán, từ bài toán đó ta có thể phát triển thêm từ các
bài toán dễ đến các bài toán khác khó hơn, mang các thuộc tính tổng quát.
- Giáo viên: Vì thời gian trên lớp hạn chế và một số yếu tố khác nên
giáo viên thường là giải mẫu sẵn các bài toán từ dễ đến khó cho học sinh đa
phần chưa tổng quát hoá lên, chưa phát triển bài toán, chưa chỉ ra cho học
sinh sự liên quan ở các bài toán từ đó chưa sâu chuỗi kiến thức từ đó chưa
phát huy hết khả năng tư duy toán học của các em.
Để góp phần giải quyết thực trạng trên tôi đã mạnh dạn viết thành sáng
kiến kinh nghiệm. “Phát triển tư duy học sinh lớp 6 thông qua tổng quát
hoá các bài toán tính tổng trong số học”
III. Một số giải pháp tiến hành hướng dẫn học sinh tư duy trong dạy
học các bài toán tính tổng ở phần số học lớp 6
1.Hướng dẫn học sinh phân loại các bài toán:
Phân loại để định hướng lập kế hoạch giải bài toán là khâu hết sức quan
trọng. Do đó trong quá trình giảng dạy môn số học lớp 6 tôi đã hướng dẫn học
sinh phân loại các bài toán tính tổng các số tự nhiên và các bài toán liên quan
thành các dạng như sau:
1.1. Dạng toán liên quan đến tính tổng các số tự nhiên.
1.2. Dạng toán liên quan đến tính tổng các luỹ thừa với các cơ số và số
mũ là những số tự nhiên:
1.3. Dạng toán liên quan đến tính tổng các phân số với tử số và mấu số là
các số tự nhiên.
2. Hướng dẫn học sinh tóm tắt kiến thức cần vận dụng.
Trong quá trình hướng dẫn học sinh, tôi đã cho học sinh nhắc lại và
yêu cầu học sinh ghi nhớ các tính chất sau:.

3


2.1. Tinh chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên.

(a;b;c∈ N)

a+b=b+a
a + (b + c) = (a + b) + c
a(b + c) = ab + ac
2.2. Tính chất cơ bản của phép cộng phân số. (a;c∈ N; b;d;q∈ N*)
a c c a
+ = + .
b d d b
a c  p a  c p
 +  + = +  +  .
b d  q b d q 

2.3. Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng.
a c p a c a p
 + = . + .
b  d q  b d b q

2.4 Quan hệ chia hết
a + m; b+ m ⇒ (a± b)+ m ;
a + m; b + m (a± b) + m
2.5. Một số tính chất khác. Với (n∈ N*)
1
1

1
= −
.
n(n + 1) n n + 1

Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau
cùng 1 số đơn vị , ta có thể dùng công thức:
Số số hạng = ( số cuối – số đầu) : ( khoảng cách ) + 1
3. Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán:
3.1.Dạng 1: Dạng toán liên quan đến tính tổng các số tư nhiên
Ở số học lớp 6 thì việc làm các bài toán thực hiện phép tính tổng rất
thân quen với các em, tuy nhiên thông thường thì các em chỉ dừng lại ở việc
tính toán mà ít tư duy để khái quát các bài toán đó, đưa bài toán về dạng tổng
quát, vận dụng kết quả bài toán. Chính vì vậy khi dạy giáo viên cần hướng
các em đi từ những ví dụ nhỏ, quen thuộc để từ đó hình thành cách tính tổng
quát, vận dụng nó một cách hiệu quả trong các dạng toán liên quan.

4


Ví dụ 1. Tính nhanh (Bài tập 31c trang 17 SGK toán 6 tập 1)
20 + 21 + 22 +…+ 29 + 30
Tuy đây là bài toán quen thuộc nhưng học sinh vẫn hay bị vướng mắc
trong cách giải như: Nhóm các cặp số không logic, nhầm lẫn số lượng hạng
tử, lạm dụng máy tính bỏ túi một cách máy móc không khoa học...vì vậy khi
thực hiện ví dụ này giáo viên có thể định hướng cho học sinh cách giải như
sau:
Đặt S = 20 + 21 + 22 +…+ 29 + 30 (1)
S = 30 + 29 + ...+ 21 + 20

(2)

Từ (1) và (2) 2S= (30+20)+(29 + 21)+...+ (21 + 29)+ (20 +30)
2S = 50 + 50 +...+ 50; Có (30 – 20):1 + 1 = 11 số 50
⇒ 2S = 50.11 = 550 S = 275

Thay số hạng đầu tiên của dãy bằng một số tự nhiên bất kỳ giáo viên
cho học sinh phát triển thành bài toán tính tổng các số tự nhiên liên tiếp. Từ
đó hướng dẫn học sinh hình thành bài toán tổng quát.
Bài toán tổng quát 1: Tính tổng
S = m + (m +1) + (m + 2) +...+ (m + k)

(m;k ∈ N)

Với cách thực hiện tương tự ví dụ trên giáo viên hướng dẫn học sinh
hình thành cách giải bài toán
2S = (2m + k) + (2m + k) +...+ (2m + k)
Có: (m + k - m):1 +1 = k +1 cặp hạng tử (2m + k)
⇒ 2S = (2m + k)(k + 1)
⇒ S=

(2m + k )(k + 1)
2

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh.
Từ cách giải, kết quả trên ta có thể cho học sinh vận dụng thực hiện
những bài toán liên quan chẳng hạn:
Bài 1: Tính tổng S = 15 +16 +...+ 99 +100.
5

Trước hết giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện tìm ra được số hạng
đầu tiên m = 15, khoảng cách giữa số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng
k=85 từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả của bài toán tổng quát 1 ta
tính được tổng S =

(2.15 + 85)(85 + 1)
= 105.43 = 4945
2

Từ việc tính tổng này giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh tự tư
duy để khai thác bài toán bằng những câu hỏi liên quan khác.
Ví dụ: Chứng minh S + 43, sử dụng máy tính bỏ túi tính

S
, tìm 3
S + 55

ước lớn hơn 40 của S, hoặc so sánh S và 5000;....
Ngoài việc vận dụng tính tổng trực tiếp giáo viên có thể hướng dẫn học
sinh sử dụng kết quả của bài toán tổng quát 1 thực hiện các bài toán liên quan
khác đến dãy số một cách dễ dàng, chẳng hạn:
Bài 2: Tìm x biết 15 +16 + ... + 99 + x = 5000
Để thực hiện bài toán này trước hết giáo viên hưóng dẫn cho học sinh
tính tổng

15+16+...+98+99 =

(2.15 + 84)(84 + 1)
= 4845

2

Lúc này việc tìm x là công việc đơn giản với học sinh:
4845 + x = 5000 ⇒ x = 5000 - 4845 = 155
Bài 3. Tìm số tự nhiên x biết x +(x +1) +(x + 2) +...+ (x + 48) +(x+49) = 1275
Theo như bài toán tổng quát 1 giáo viên cho học sinh tìm ra được m =x;
k=49 từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả bài toán tổng quát 1 tính
được

(2 x + 49).50
=1275 ⇒ x = 1
2
Tiếp tục khai thác kết quả của bài toán tổng quát 1 giáo viên cho học

sinh thực hiện những dạng toán chứng minh mà nếu không sử dụng kết quả
của bài toán tổng quát này có thể là bài toán khó đối với các em chẳng hạn:
Bài 4. Cho S= 1+2+3+...+ 99+100. Chứng minh rằng 2S là tích của 2 số tự
nhiên tiên tiếp.
6


Giáo viên hướng dẫn học sinh tính tổng S bằng việc áp dụng trực tiếp kết quả
bài toán tổng quát 1 học sinh tính được S =

100.101
. Lúc này học sinh nhận
2

ra ngay được 2S = 100.101 và kết luận bài toán.
Qua bài toán trên học sinh tính được tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên

liên tiếp (Bài toán gau-xơ trang 19 SGK toán 6 tập 1). Vấn đề nảy sinh lúc
này chính là cách tính tổng n số tự nhiên đầu tiên liên tiếp, từ đây giáo viên
hướng dẫn học sinh hình thành trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát 1.
Tính tổng: S = 1 + 2 +3 + ...+ (n-1) + n.

(n∈ N)

Với cách giải như ví dụ 1 học sinh có thể dễ dàng thực hiện được. Tuy
nhiên ngoài cách giải trên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải bằng
những cách khác chẳng hạn:
S = 1 + 2 +3 + ...+ (n-1) + n
⇒ 2S = 1.2 + 2.2 +3.2 + ... + n.2

⇔ 2S = 1.2 + 2.(3 – 1) +3.(4 – 2) + ... + n.[(n+1) – (n – 1)]
⇔ 2S = 1.2 – 1.2 + 2.3 – 2.3 + 3.4 - … - (n – 1)n + n (n + 1)
⇔ 2S = n ( n + 1) ⇒ S =

n( n + 1)
2

Nếu khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là số m bất kỳ (m ∈ N) thì
cách thực hiện bài toán như thế nào. Từ vấn đề đó giáo viên hướng dẫn học
sinh tìm ra bài toán mới và tổng quát bài toán lên.
Bài toán tổng quát 2: Tính tổng
S = m+(m+k)+(m + 2k)+...+{m +(n-1)k}+(m + nk)

(m;n;k∈ N)

Với cách thực hiện tương tự cách giải của ví dụ 1 giáo viên hướng dẫn
cho học sinh tính được.

2S = (m + nk + m) + {(m + k) + m + (n-1)k} + ...+ (nk + m + m)
⇔ 2S = (2m + nk) + (2m + nk) +...+ (2m + nk)
Có: {(m + nk - m) : k} + 1 = n + 1 cặp hạng tử (2m + nk)

7


⇒ S=

(2m + nk )(n + 1)
2

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài việc cho học sinh vận dụng thực hiện những bài toán liên quan
như định hướng ở bài tổng quát 1. Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh
vận dụng thực hiện các dạng liên quan khác chẳng hạn:
Cho dãy số S = 5+9+13+ 17+ ...
Tìm số hạng thứ 15 của dãy rồi thực hiện tính tổng S
Học sinh có thể lúng túng trong cách tìm lời giải, thay cho việc mò mẫn
có thể là liệt kê từng hạng tử của học sinh, giáo viên hướng dẫn học sinh vận
dụng bài toán tổng quát 2 bằng việc tìm ra số hạng đầu m = 5, khoảng cách
k = 4, n = (15-1) khi đó số hạng thứ 15 xẽ là m+(15-1)k = 5+(15-1).4 = 61.
Lúc này việc tính tổng dãy số xẽ trở nên đơn giản đối với học sinh.
Bằng việc áp dụng kết quả bài toán tổng quát 2 học sinh tính được:
S=

(2.5 + 14.4)(14 + 1)
= 495
2

Với cách thực hiện như bài trên những bài toán liên quan đến tính tổng
dãy số tự nhiên với khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là số m bất kỳ,
tìm số hạng thứ k của một dãy số trở nên đơn giản đối với các em.
Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh tư duy theo hướng thay đổi hạng
tử trong dãy thành tích của 2 số tự nhiên liên tiếp để học sinh tìm ra bài toán
mới từ đó hình thành bài tổng quát.
Ví dụ 2: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 98.99
Vấn đề đặt ra cho học sinh lúc này là hướng giải quyết bài toán. Với
cách giải ở trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát ta nhân 2 vế với 2 (số
số hạng +1). Với ví dụ này số số hạng trong mỗi tổng là 2 từ đó giáo viên
hướng dẫn học sinh nhân 2 vế với 3(số số hạng +1) và thực hiện tương tự ta
có được.
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + ... + 98.99.3

8


⇔ 3A = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) +...+98.99.(100 – 97)
⇔ 3A = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 +...- 97.98.99 + 98.99.100
⇔ 3A = 98.99.100 ⇒ A =

98.99.100
= 323400
3

Từ ví dụ trên học sinh dễ dàng tổng quát được bài toán
Bài toán tổng quát 3: Tính tổng
S = 1.2 + 2.3 +3.4 + ... + n.(n+1)

(n∈ N)

Với cách giải hoàn toàn tương tự học sinh tính được:
3S = n.(n+1)(n + 2) ⇒ S =

n.(n + 1)(n + 2)
3

Với cách giải tương tự như trên giáo viên có thể tiếp tục phát triển bài
toán bằng cách tăng các thừa số trong mỗi tổng là tích của 3; 4; …m số tự
nhiên liên tiếp ta xẽ có bài toán tính tổng với tính tổng quát mạnh hơn.
Tính tổng: S = 1.2... m+2.3.4…(m+1)+ ...+ n.(n+1).(n+2)…(n+m – 1);

(m ∈ N ; n ∈ N )
Với cách thực hiện như trên nhân cả 2 vế với (m+1) và thực hiện cách
tách tương tự ta cũng xẽ có được
S=

n( n + 1)(n + 2)......(n + m)
m +1

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài việc cho học sinh sử dụng kết quả trên để thực hiện những bài
toán liên quan tương tự như phần vận dụng cho bài toán tổng quát 1 giáo viên
có thể định hướng thêm cho học sinh vận dụng kết quả bài toán tổng quát 3 để
thực hiện một số bài toán liên quan khác chẳng hạn:
Bài 1. Cho S = 1.2 + 2.3 +3.4 + ... + n.(n+1)

(n∈ N)

Chứng minh rằng 3S là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

Để thực hiện bài toán này giáo viên hướng dẫn cho học sinh áp dụng
trực tiếp kết quả của bài toán tổng quát 3 có ngay được:

9


S=

n.( n + 1)(n + 2)
từ đó học sinh nhận ra ngay 3S = n(n+1)(n+2)
3

Từ kết quả trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh khai thác tìm
ra những câu hỏi liên quan từ đó tìm ra hướng vận dụng cho những bài toán
cụ thể khác
Ví dụ: Với n < 3 So sánh S và (n+1)(n+2); chứng minh S < (n+1)(n+2)
Bài 2. Cho A =5.6+6.7+7.8+...+19.20+20.21; C= A+21.22; Tính giá trị C.
Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận ra được
C = 5.6+6.7+7.8+...+19.20+20.21+21.22
Vấn đề đặt ra ở đây là dãy số không bắt đầu từ 1.2 mà là từ 5.6 vì vậy
giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thực hiện từng bước theo như cách giải
ở ví dụ 2.
3C = 5.6.3+6.7.3+...+20.21.3+21.22.3.
Tách và biến đổi tương tự ví dụ 2 học sinh tính ra được
3C = 5.6.7-4.5.6+6.7.8-5.6.7+...+20.21.22-19.20.21+21.22.23-20.21.22
⇒C =

21.22.23 − 4.5.6
= 3502
3

Từ bài toán này giáo viên tiếp tục tổng quát lên cho học sinh:
Tính tổng: S = m(m+1)+(m+1)(m+2)+...+(m+k-1)(m+k)
Thực hiện tự có được S =

(m;k∈ N)

(m + k − 1)(m + k )(m + k + 1) − (m − 1) m(m + 1)
3

Thay đổi các thừa số trong mỗi tổng theo một quy luật khác giáo viên
hướng dẫn cho học sinh hình thành bài toán mới tự đó tổng quát bài toán lên.
Ví dụ 3 : Tính tổng S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + ...+ 98.2 + 99.1
Dựa vào cách tách như trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát 1
giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện tách một cách hợp lý
S = 1.99 + 2(99 - 1) + 3(99 - 2) + ...+ 98(99 - 97) + 99(99 - 98)
⇔ S =(1.99 + 2.99+ ...+98.99 + 99.99)–(1.2 + 2.3 + ...+ 97.98 + 98.99)
⇔ S = 99(1 + 2 + ...+ 97 + 98 + 99) - (1.2 + 2.3 + ...+ 97.98 + 98.99)
10


Lúc này bài toán trở nên khá quen thuộc đối với học sinh. Giáo viên
hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả bài toán tổng quát 1 và kết quả ví dụ 2
dễ dàng thực hiện được.

S = 99.

99.100 98.99.100 99.100.101
−
=

= 166650
2
3
6

Từ đây cho học sinh tự tư duy để tổng quát hoá bài toán
Bài toán tổng quát 4: Tính tổng:
S = 1.n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ...+ (n – 1)2 + n.1

(n∈ N)

Với cách thực hiện như ví dụ 3 học sinh dễ dàng thực hiện được
S = (1.n + 2.n + 3.n +...+ n.n) – [1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ (n -1)n]
⇔ S = n(1 + 2 +3 +...+ n) - [1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ (n -1)n]
Sử dụng kết quả bài toán tổng quát 1, tổng quát 3 ta được.
S= n

n( n + 1) (n − 1)n(n + 1)
n( n + 1)( n + 2)
⇒S =
3
6
2

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài những dạng toán vận dụng đã nêu trên ta có thể hướng dẫn cho
học sinh vận dụng kết quả thực hiện những dạng liên quan phức tạp hơn.
Chẳng hạn:
Bài 1. Tìm số tự nhiên x biết: 1.20 + 2.19 + ... + 19.2 + 20.2 −

x( x + 1)( x + 2)
=0
6

Bước đầu tiên giáo viên hướng dẫn cho học sinh tính tổng
S = 1.20+2.19+...+19.2+20.1
Áp dụng kết quả của bài toán tổng quát 4 cho học sinh tìm được:
S=

20.21.22
; Từ đây giáo viên hướng dẫn cho học sinh nhân thấy
6

20.21.22 x( x + 1)( x + 2)
=
; Lúc này học sinh dễ dàng tìm được x = 20
6
6

Bài 2. Chứng minh rằng A = (1.2+2.3+...+8.9+9.10) - (1+2+...+8+9) có thể
viết được dưới dạng tổng bình phương của các số tự nhiên liên tiếp.
Nhóm một cách hợp lý giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện được.
11


A = (1.2-1)+(2.3-2)+...+(8.9-8)+(9.10-9).
⇔ A = 1(2-1)+2(3-1)+...+8(9-1)+9(10-1) = 12+22+32+...+82+92
Từ kết quả của bài tập này giáo viên hướng dẫn học sinh phát triển
thêm với nhiều số hạng từ đó hình thành dạng toán mới.
3.2. Dạng 2: Dạng toán liên quan đến tính tổng các luý thừa với các

cơ số và số mũ là những số tự nhiên:
Ví dụ 1: Tính tổng
S = 12 + 22 + 32 + ...+972 + 982
Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện bước giải theo chiều ngược lại
với bài toán vừa nêu trên để đưa bài toán xuất hiện những dạng quen thuộc.
S = 1(2 -1) + 2(3 - 1) + 3(4 - 1) + ...+ 97(98 - 1) + 98(99 - 1)
⇔ S = (1.2 + 2.3 + ...+ 97.98 + 98.99) - (1 + 2 + ...+ 97 + 98)
Lúc này bài toán đã trở nên quen thuộc đối với học sinh. Sử dụng kết
quả ví dụ 2 ở dạng 1 và bài toán tổng quát 1 hoặc trường hợp đặc biệt của
boặctongr quát 1 học sinh tự mình thực hiện được
S=

98.99.100 98.99
−
= 323400 – 4851 = 318549
3
2

Từ ví dụ này học sinh có thể dễ dàng tổng quát bài toán.
Bài toán tổng quát 1: Tính tổng
S = 12 + 22 + 32 + ... + n2

(n ∈ N )

Thực hiện tương tự ví dụ trên học sinh tính được
S=

n(n +1)(2n +1)
n( n + 1)( n + 2) n( n + 1)
−

=
3
2
6

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài những vận dụng đã nêu như trên ta có thể cho học sinh thực hiện
một số bài toán bằng việc vận dụng nhiều kết quả của những bài trước từ đó
tiếp tục tổng quát bài toán thêm một bước nữa chẳng hạn:
Tính tổng S = 52+62+72+...+192+202

12


Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào cách thực hiện như ví dụ 1 và
dựa vào kết quả bài vận dụng 2 của bài tổng quát 3 và kết quả bài toán tổng
quát 1 học sinh xẽ tính được.
S = (5.6+6.7+7.8+...+20.21)- (5+6+7+...+19+20)
⇔S=

20.21.22 − 4.5.6 (2.5 + 15)(15 + 1)
−
=2840
3
2

Sau khi học sinh thực hiện song bài toán này giáo viên có thể hướng
dẫn học sinh tổng quát bài toán này lên và nêu rõ đấy chính là bài toán tổng
quát của bài tổng quát 1 ở trên.
Tiếp tục hướng dẫn học sinh tư duy theo một hướng khác bằng việc

hoán đổi vị trí giữa luỹ thừa và cơ số của bài toán từ đó giáo viên hình thành
cho học sinh bài toán mới và tổng quát bài toán lên.
Ví dụ 2: Tính tổng S = 2 + 22 + 23+ 24
Học sinh có thể có nhiều lựa chọn cho lời giải. Để thực hiện nhanh
hiệu quả và cách giải không chỉ bó hẹp trong mình ví dụ này giáo viên có thể
hướng cho thực hiện lập tổng 2S tương tự như ví dụ 1 ở dạng 1. Ta có
2S = 22 + 23+ 24+ 25
⇔ 2S – S = 25 – 2 = 30 ⇒ S = 30
Từ đây học sinh có thể dễ dàng tổng quát được bài toán
Bài toán tổng quát 2: Tính tổng S = 2 + 22 + 23+…+ 2n (n∈ N*)
Với cách thực hiện tương tự học sinh dễ dàng tính được.
2S = 22 + 23+…+ 2n + 2n+1
⇔ 2S – S = 2n+ 1- 2 ⇒ S = 2n+ 1- 2
* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài những dạng trên giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả
bài toán tổng quát thực hiện một vài dạng toán liên khác quan chẳng hạn:
Bài 1: Tính tổng: S = 24+25+...+29+210
Điểm khác với bài toán tổng quát là trong bài toán trên luỹ thừa không

13


bắt đầu từ mũ 1. Vẫn cách thự hiện như trên giáo viên cho học sinh tự thực
hiện bài toán.
2S = 25+26+...+210+211 ⇒ S = 2S -S = 211-24.
Qua bài toán trên giáo viên có thể tiếp tục cho học sinh tự mình tổng
quát bài toán lên,
Bài 2. Tính tổng S = 2m + 2m+ 1 + …+ 2n-1 + 2n

(m;n∈ N*)

Với cách thực hiện hoàn toàn tương tự học sinh tự thực hiện và tìm
được kết quả. S = 2n+1-2m
Cần lưu ý với học sinh đây chính là bài tổng quát của bài tổng quát 1
với hạng tử đầu tiên là cơ số 2 và số mũ là số tự nhiên bất kỳ.
Theo hướng này giáo viên tiếp tục cho học sinh tổng quát hoá lên thêm
một bước nữa bằng việc thay cơ số 2 bằng một số tự nhiên bất kỳ khác,
Bài 3: Tính tổng S = km + km+ 1 + …+ kn-1 + kn

(k ; m; n ∈ N ; k ≠ 1)

Với cách thực hiện tương tự giáo viên cho học sinh lập tích kS
kS = km+ 1 +km+2 …+ kn +kn+1
⇒ S(k-1) = kn+1-km ⇒ S =

k n+1 − k m
k −1

Bài toán này giáo viên có thể không yêu cầu học sinh giải mà cho học
sinh xem cách giải, sử dụng kết quả cho những dạng toán liên quan. Giáo viên
nhấn mạnh thêm cho học sinh là kết quả bài toán trên cũng đúng với một số
dương k ( (k ≠ 1) ) bất kỳ.
Bài 4. Tính tổng:
a. A = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+

b. B = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... +
Đây là một dạng toán khó đối với học sinh ngay cả khi học sinh sử
dụng máy tính trực tiếp thì cũng rất khó khăn, rất dễ nhầm lẫn. Vì vậy giáo

14

viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi để đưa bài toán về dạng quen thuộc từ
đó học sinh tư duy và tính ra được.
A = 101–1+102 – 1 + 03 – 1+ ... +1010 –1
= ( 101+ 102 + 103+ 104 + ... + 1010 ) – 10. Áp dụng kết quả của bài 3
1010+1 − 101
học sinh dễ dàng thực hiên được A =
− 10
10 − 1
Bằng việc sử dụng máy tính hoặc tính toán thông thường thì bài toán
lúc này cũng trở nên đơn giản hơn đối với các em.
A=

0 – 10 =

00

Trước khi thực hiện câu b giáo viên có thể chỉ ra cho học sinh thấy
được mối liên hệ giữa câu a và câu b từ đó hướng dẫn cho học sinh thực hiện
bước sau:
9B = 9.(1+11+111+1111+ ...+

9B =

) = 9+ 99 + 999 + ... +

00 ( Theo kết quả của câu a)

Vậy B = = 1234567900

Từ hai kết quả trên giáo viên có thể cho học sinh tự tư duy thực hiện
những câu tính tổng tương tự khác chẳng hạn:
Tính các tổng sau :
C = 2 + 22 + 222 + 2222 + ... +

D = 3 + 33 + 333 + 3333 + ... +
Nếu học sinh chưa tìm ra cách thực hiện giáo viên chỉ cần hướng dẫn
2 + 22 + 222 + 2222 +... = 2(1+11+111+1111+...)
3 + 33 + 333 + 3333 + ... =3(1+11+111+1111+...)
Kết hợp với vận dụng bài 4 học sinh hoàn toàn dễ dàng thực hiện được
và mở rộng cho nhiều bài toán tượng tự khác.

15


Khi dạy giáo viên cần biết cách hướng dẫn học sinh tự khái quát bài
toán, từ 1 bài toán hay từ 1 cách giải ta có thể phát triển thành nhiều bài toán
khác cũng như xây dựng bài toán tổng quát này dựa trên bài toán tổng quát
khác có như vậy các em mới khắc sâu kiến thức và vận dụng kiến thức đó để
thực hiện các bài toán liên quan một cách dễ dàng hiệu quả.
3.3 Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tính tổng các phân số với tử
số và mẫu số là những số tự nhiện
Ví dụ 1: Tính tổng :
B=

1
1
1
1
+ 2. 3 + 3. 4 + ... + 99.100

2

(Câu 2b đề 13 trang 51 kiểm tra

đánh giá thường xuyên và định kỳ toán 6)
Giáo viên hướng dẫn học sinh tư duy và nhận thấy được :
1
1
1
1
1
1
1
=
=
;
=
; Từ đây giáo viên hướng dẫn học sinh
2 1. 2
1
2 2. 3
2
3

tổng quát lên được: Với n ∈ N ; n ≠ 0 . Thì

1
1
1
= −

. Từ đó giáo viên
n(n + 1) n n + 1
1

1

1

yêu cầu học sinh áp dụng phân tích tiếp được 3. 4 = - ....;
3 4
1
1
1
=
. Lúc này học sinh dễ dàng lập được
99.100
99 1000

B =

1 1
1
1
1
1
1
1
- + - + - + ... + ; Thực hiện đơn giản học
3
3

4
1 2
2
19 20

sinh tính được B =

1
1
99
=
1 100 100

Từ đây học sinh có thể dễ dàng tổng quát được bài toán
Bài toán tổng quát 1:
1

1

1

Tính tổng : S = 1. 2 + 2.3 + ... + n(n + 1) .

(n ∈ N * )

Với cách thực hiện tương tự như ví dụ 1 học sinh xẽ tính được.

16

1
1
n
S= −
=
1 n +1 n +1

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài việc vận dụng kết quả vào các dạng toán liên quan như đã nêu
trên ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả thực hiện một số bài toán
khác chẳng hạn.
Tính tổng S =

1
1
1
1
+
+ ... +
+
5 .6 6 .7
48.49 49.50

Với cách thực hiện như ví dụ 1 học sinh dễ tính được:
S=

1 1 1 1
1
1
1

1
1 1
9
⇒S= −
− + − + ... + − + −
=
5 50 50
5 6 6 7
48 49 49 50

Trong bài toán này số hạng đầu tiên không phải

1
nên nếu học sinh
1 .2

tính được n = 49 và áp dụng kết quả bài toán tổng quát thì kết quả xẽ sai lệch.
Vì vậy giáo viên cần lưu ý cho học sinh và tổng quát bài toán lên cho học
sinh ở một mức cao hơn nữa mà hạng tử đầu tiên là
S=

1
; (m ∈ N * )
m( m + 1)

1
1
1
+
+ ... +

m.(m + 1) (m + 1)(m + 2)
(m + k )(m + k + 1)

(m∈ N*; k∈ N)

Giáo viên thực hiện bài toán tương tự như cách giải trên tính ra kết quả
cho học sinh S =

k +1
1
1
−
= m(m + k + 1)
m m + k +1

Vấn đề nảy sinh lúc này là nếu tích của hai thừa số ở mẫu số mỗi hạng
tử không phải là 2 số tự nhiên liên tiếp nữa thì hướng giải quyết như thế nào.
Từ vấn đề này học sinh tự tư duy đặt ra ví dụ mới.
Ví dụ 2 Tính nhanh (Bài tập 95 trang 19 SBT toán 6 tập 2)
M =

2
2
2
+
+ .... +
3.5 5.7
97.99

Giáo viên hướng dẫn học sinh tư duy tìm ra mối liên hệ

2
1 1 2
1 1
2
1
1
= − ;
= + ;....
=
−
3.5 3 5 5.7 5 7
97.99 97 99

17


Từ đây học sinh tự lập được
M =

1 1 1 1
1
1
1 1 32
⇒M = −
− + − + ... +
−
=
3 5 5 7
97 99
3 99 99

Qua 2 ví dụ 1; 2; giáo viên hướng dẫn cho học sinh thấy được mối liên
hệ giữa khoảng cách của 2 thừa số ở mẫu số và tử số từ đó tìm ra quy luật
chung cho bài toán và tổng quát lên.
Bài toán tổng quát 2: Tính tổng
S=

k
k
k
+
+ ... +
; (m ∈ N * ; n ∈ N * ; k ∈ N * )
m.(m + k ) (m + k )(m + 2k )
[m + nk ][m + (n + 1)k ]
k

1

1

k

1

1

Ta có: m.(m + k ) = −
;
=

...
m m + k (m + k )(m + 2k ) m + k m + 2k
k
1
1
=
−
[m + nk ][m + (n + 1)k ] m + nk m + (n + 1)k
S=

1
1
(n + 1)k
−
=
m m + (n + 1)k
m[m + (n + 1)k ]

*Hướng phát triển tư duy cho học sinh:
Ngoài những dạng toán đã nêu trên ta hướng cho học sinh thực hiện
thêm những dạng liên quan khác chẳng hạn:
Tính tổng S =

3
3
3
+
+ ... +
5.9 9.13
21.25

Yêu cầu học sinh chỉ ra được k = 4; n =4; m = 5. Để tử số cũng bằng 4
giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện bước sau
4.S = 3(

4
4
4
+
+ ... +
)
5.9 9.13
21.25

Cho học sinh áp dụng kết quả bài toán tổng quát có được
4S = 3

(4 + 1)4
4
1
=
⇒S=
⇒ 4S = 3.
5[5 + (4 + 1)4] 25
25

Từ bài toán trên ta có thể tổng quát lên cho học sinh với tử số là một số
bất kỳ:
Tính tổng: S =

a
a
a
+
+ ... +
m.( m + k ) (m + k )(m + 2k )
[m + nk ][m + ( n + 1) k ]
(m ∈ N * ; n ∈ N * ; k ∈ N * ; a ≠ 0)

18


Với cách thực hiện như bài toán trên ta có.
kS = a{

k
k
k
+
+ ... +
}
m.(m + k ) (m + k )(m + 2k )
[m + nk ][m + (n + 1)k ]

Áp dụng kết quả bài toán tổng quát 2 ta có được
kS = a.

( n + 1) k
(n + 1)
S=a

⇒
m[m + (n + 1)k ]
m[m + (n + 1)k ]

Cần lưu ý với học sinh đây cũng chính là bài toán tổng quát của bài
tổng quát 2
Qua ba dạng toán trên học sinh thấy được mối liên hệ giữa các bài toán,
cách phát triển bài toán, vận dụng kết quả bài toán cho những bài tập liên
quan cụ thể từ đó hình thành cho học sinh cách tư duy logic, cách nhìn nhận
một bài toán ở dạng tổng quát. Vận dụng các cách tính tổng đó để thực hiện
các dạng toán khác có liên quan từ đó phát triển thêm năng lực tư duy cho học
sinh.

4. Kết quả đạt được:
Trong quá trình tìm hiểu và áp dụng chuyên đề này vào thực tế dạy học
bản thân tôi được trang bị thêm về phương pháp dạy học, có thêm kĩ năng dẫn
dắt, hướng dẫn học sinh phát triển tư duy trong học tập, tự chiếm lĩnh kiến
thức, các em hứng thú học tập hơn, tính tích cực, tính chủ động sáng tạo trong
học tập được nâng lên đáng kể.
Nhìn chung qua chuyên đề này các em học sinh đã phần nào biết tự tư
duy, tìm cách tổng quát hoá bài toán và trình bày lời giải tốt hơn. Các em biết
cách vận dụng những phương pháp đã học để làm bài tập liên quan và phát
triển bài toán tính tư duy logic không chỉ trong những bài toán liên quan đến
tính tổng mà ở các bài toán dạng khác được cải thiện rõ rệt hơn.
Năm học 2009- 2010 trước và sau khi áp dụng chuyên đề này tôi có
khảo sát học lực của học sinh khối 6 ở phần số học. Kết quả thu được như
sau:

19

Học lực
Giỏi
Khá
TB
Yếu

Trước khi vận dụng SKKN
0%
18%
74%
8%

Sau khi vận dụng SKKN
6%
26%
64%
4%

20


PHẦN C. KẾT LUẬN:
I. Bài học kinh nghiệm
Với sự hỗ trợ của tài liệu và từ vài kinh nghiệm nhỏ rút ra qua quá trình
giảng dạy cũng như sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp, bản thân nhận thấy:
- Khi dạy cần cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ
động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng được các bài
toán, tổng hợp và khái quát bài toán, sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc
điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự

liên hệ được và hình thành những bài toán đặc trưng rồi từ đó đi đến các bài
toán tổng quát cho từng dạng bài, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là
không có quy tắc giải tổng quát. Qua đó rèn luyện cho học sinh năng lực tư
duy, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng
toán này thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học
bộ môn này.

II. Ý kiến đề xuất
Trong khuôn khổ có hạn của sáng kiến tôi chỉ đưa ra một số ví dụ, lời
giải dạng tổng quát và vận dụng của chúng, tuy nhiên nếu có thể ta phát triển
được đề tài rộng hơn, khai thác các bài toán khó hơn, và đưa ra các dạng tổng
quát hơn nữa của từng ví dụ, từ những bài tổng quát đó phát triển thành các
bài toán mang tính tổng quát hơn nữa, không chỉ bó hẹp với tập số tự nhiên
mà mở rộng tập hợp số với những dạng toán cụ thể.
Bản thân tôi rất mong được sự quan tâm đóng góp, ủng của đồng
nghiệp để ý tưởng sáng kiến này được mở rộng đào sâu, phát triển hoàn thiện
hơn, áp dụng có hiệu quả hơn trong quá trình dạy học.
ngày 02 tháng 03 năm 2011
Người thực hiện

21