SKKN sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THPT LÊ LAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN THƯỜNG GẶP VÀ CÁC BÀI
TỐN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC

Người thực hiện: Phạm Chí Đạt
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2021


Mục lục

Trang

1. Mở đầu………………………………………………………………………1
1.1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………….….1
1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………….…..1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………….…….1
1.4.Phương phpas nghiên cứu………………………………………...……….1
1.5.Những điểm mới của SKKN………………………………………..……..2
2.Nội dung……………………………………………………………………..2
2.1.Cơ sở lý luận của SKKN…………………………………………………..2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dung SKKN..…………………………….4

2.3.Các SKKN áp dụng…………………………………………………..……4
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp
và nhà trường…………………………….…………….………..…..………..15
3. Kết luận, kiến nghị……………………….………………………….…….15
3.1. Kết luận…………………………………………………………………..15
3.2. Kiến nghị…………………………………….............................……….15


1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan như
kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, tìm tham số để phương trình lượng
giác có nghiệm trên miền là các nội dung cơ bản nhất và quan trọng trong bài
tốn giải phương trình lượng giác. Tuy nhiên hiện nay học sinh thường sử dung
máy tính cầm tay để giải các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp,
nhưng cách này làm mất bản chất toán học, thậm chí học sinh khơng cịn biết gì
về giá trị lượng giác của một cung và những vấn đề liên quan như việc kết hợp
các họ nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên miền .
Sử dụng đường tròn lượng giác để lấy nghiệm giúp học sinh hiểu rõ bản chất
của việc lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản, từ đó có thể mở rộng, nâng
cao cho bài toán kết hợp nghiệm trên đường lượng giác và tìm tham số để
phương trình lượng giác có nghiệm trên miền . Đó chính là lí do tơi viết SKKN
“Sử dụng đường trịn lượng giác để giải phương trình lượng giác cơ bản thường
gặp và các bài toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác”
1.2.

Mục đích nghiên cứu.

Mục đích tổng quát là làm rõ bản chất giá trị lượng giác của các cung(góc)
lượng giác. Mục đích cụ thể giúp học sinh hiểu được và giải được nhanh chóng,

chính xác, dễ dàng phương trình lượng giác cơ bản thường gặp. Biết kết hợp các
họ nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn ở mẫu),biết viết gọn
các họ nghiệm của một phương trình lượng giác, biết tìm được tham số để
phương trình lượng giác có nghiệm trên miền .
1.3.

Đối tượng nghiên cứu.

Là cách lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác.
Hiện tượng thuộc phạm vi nghiên cứu là cách viết số đo cung lượng giác khi
biết điểm cuối của cung, cách kết hợp các họ nghiệm, cách đếm số nghiệm của
một phương trình lượng giác cơ bản trên miền .
1.4.

Phương pháp nghiên cứu.

Trong đề tài có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu như phương pháp quan
sát khoa học, phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm.
3


1.5.

Những điểm mới của SKKN.

Bằng trực giác cụ thể khi nhìn vào đường trịn lượng giác ta lấy được nghiệm
phương trình lượng giác cơ bản thường gặp một cách nhanh chóng, kết hợp
được các họ nghiệm với nhau để đưa ra nghiệm gọn nhất và chính xác nhất (đối
với những phương trình lượng giác có điều kiện) hay căn cứ đường tròn lượng
giác sẽ biết cách đếm số nghiệm của một phương trình lượng giác cơ bản trên

miền , từ đó giải được bài tốn tìm tham số để phương trình lượng giác có đúng
nghiệm trên .
2. Nội dung SKKN
2.1. Cơ sở lý luận của SKKN.
2.1.1. Đường tròn định hướng, cung và góc lượng giác.
a)Đường trịn định hướng: Là đường trịn trên đó đã chọn một chiều chuyển
động là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước ngược chiều kim
đồng hồ là chiều dương.
b)Cung và góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng tâm cho 2 điểm . Một
điểm di chuyển trên đường tròn theo một chiều từ đến tạo nên cung lượng giác
có điểm đầu(điểm gốc) là , điểm cuối là . Kí hiệu
Như vậy với 2 điểm trên đường trịn định hướng có vơ số cung lượng giác lượng
giác khác nhau nhận là điểm đầu, là điểm cuối.
Khi đó tia tạo ra góc lượng giác, tia đầu , tia cuối . Kí hiệu:
2.1.2. Đường trịn lượng giác.
Trên mặt phẳng , đường tròn lượng giác là đường trịn định hướng có tâm , bán
kính bằng . Giao giữa đường tròn lượng giác với các trục là và đường tròn được
chia thành cung phần tư thứ như hình vẽ.

4


y
1 B
(II)
A'
-1

(I)
A

O

1

(III)

x

(IV)
-1

B'

Mọi cung lượng giác khi vẽ trên đường tròn lượng giác luôn luôn nhận điểm
đầu(điểm gốc) là điểm .
2.1.3. Đơn vị đo cung(góc) lượng giác.
Ngồi đơn vị đo là độ, ta có đơn vị đo rađian với . Khi viết đơn vị đo là ta không
ghi chữ đằng sau, chẳng hạn cung được hiểu là .
2.1.4. Giá trị lượng giác của một cung lượng giác.
Trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác (điểm gốc cung ở , điểm cuối ở ),
khi đó cung lượng giác có 4 giá trị lượng giác là:
+) = tung độ điểm = (độ dài đại số đoạn )
+) = hoành độ điểm = (độ dài đại số đoạn )
+) (độ dài đại số đoạn ), điều kiện .
Tiếp tuyến là trục .
+) = (độ dài đại số đoạn ), điều kiện .
Tiếp tuyến s là trục .

5

t
y
s'

B
K

T

S

s
M
A

O

H

x

t'

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN.
Thực tế gần đây thi TNKQ nên để cho nhanh khi tìm đáp số của phương trình
lượng giác cơ bản thường gặp học sinh thường dùng máy tính cầm tay,vì vậy khơng
hiểu rõ bản chất khi lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản dẫn đến khi cần kết
hợp nghiệm hoặc gặp bài tốn tìm nghiệm có điều kiện, bài tốn cần đếm đủ số
nghiệm trên miền thì học sinh gặp khó khăn khơng làm được. Khi các em ghi nhớ

được hình ảnh đường tròn lượng giác với đầy đủ các giá trị lượng giác của các cung
thường gặp thì việc lấy nghiệm phương trình lượng giác rất dễ dàng, nhanh chóng
và dùng hình ảnh đường trịn lượng giác đó để giải quyết các bài tốn nâng cao hơn
như giải phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn ở mẫu) hay bài tốn tìm tham
số để phương trình lượng giác có nghiệm trên miền .
2.3. Các SKKN áp dụng.
2.3.1. Viết số đo cung lượng giác khi biết vị trí điểm cuối của cung.
Bài tốn1: Cho một điểm trên đường trịn lượng giác, hãy viết số đo các
cung lượng giác nhận là điểm cuối.
Bước 1: Tính số đo của 1 cung lượng giác có điểm đầu là , điểm cuối là , giả sử là
cung (nên tính là cung dễ tìm nhất, thường là đó là cung được xác định khi di
chuyển một điểm từ đến lần thứ nhất, chọn chiều di chuyển hoặc sao cho ngắn
nhất)
Bước 2: Khi đó số đo các cung lượng giác luôn nhận là điểm cuối là:

VD1: Cho các cung lượng giác có điểm cuối như hình vẽ, biết điểm ở vị trí cung
thứ gần .
6


y
M
A x

O

Hãy viết số đo các cung lượng giác đó.
- Giải: Số đo của 1 cung lượng giác nhận là điểm cuối là ( được xác định khi di
chuyển một điểm trên đường tròn theo chiều từ đến lần thứ nhất rồi dừng)
Khi đó (hoặc sđ)

VD2: Viết số đo các cung lượng giác nhận là điểm cuối.
- Giải: Số đo của 1 cung lượng giác nhận là điểm cuối là ( được xác định khi di
chuyển một điểm trên đường trịn theo chiều từ đến lần thứ nhất). Khi đó .
VD3: Viết số đo các cung lượng giác có điểm cuối là điểm .
- Giải: Số đo của 1 cung lượng giác nhận là điểm cuối là ( được xác định khi di
chuyển một điểm trên đường tròn từ đến lần thứ nhất)
Khi đó.
Bài tốn 2(bài tốn tổng qt): Cho các điểm …, nằm cách đều nhau trên đường
tròn lượng giác, hãy viết số đo các cung lượng giác nhận …, là điểm cuối.
Bước 1: Tính số đo của 1 cung lượng giác có điểm cuối là một trong các
điểm
…,trên, giả sử là cung (nên tính là cung dễ tìm nhất như bài tốn 1) Bước 2: Khi
đó số đo các cung lượng giác cần tìm là:
VD4: Cho 2 điểm trên đường trịn lượng giác như hình vẽ
y
M1
M2

O

A x

Biết ở vị trí cung thứ gần .Viết số đo các cung lượng giác nhận

là điểm cuối.
7


- Giải:
Ta xác định là một cung lượng giác khi di chuyển một điểm trên đường tròn lượng

giác từ đến lần thứ nhất theo chiều.
Khi đó số đo các cung lượng giác cần tìm là:
( điểm cuối là , điểm cuối là , điểm cuối là ,…)
VD5: Cho 3 điểm cách đều nhau trên đường trịn lượng giác như hình vẽ sau đây.
y

M2

O
M3

A x
M1

Biết ở cung thứ gần , hãy viết số đo các cung lượng giác nhận là điểm cuối.
- Giải:
Ta xác định là một cung lượng giác khi di chuyển một điểm trên đường tròn lượng
giác từ đến lần thứ nhất theo chiều.
Khi đó số đo các cung lượng giác cần tìm là:
2.3.2. Xác định vị trí điểm cuối khi biết số đo của các cung lượng giác.
Bài tốn: Tìm điểm cuối các cung lượng giác )
Lần lượt thay , tìm các điểm cuối các cung tương ứng trên đường tròn cho đến khi
điểm cuối trùng lại các điểm đã tìm thì thơi. Lưu ý với các cung có điểm cuối là
các đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường trịn lượng giác.
VD6: Tìm các điểm cuối của các cung
- Giải:
Các cung có điểm cuối trùng nhau(ở chính giữa cung
VD7: Tìm các điểm cuối của các cung

8

- Giải: Ta có: nên các cung đã cho có 4 điểm cuối là 4 đỉnh hình vng nội tiếp
đường trịn lượng giác, 4 đỉnh hình vng ở vị trí chính giữa các cung .
2.3.3. Sử dụng đường trịn lượng giác để giải các phương trình lượng giác cơ bản
thường gặp.
a) Giải phương trình
- Với là các giá trị thường gặp: , khi đó các cung lượng giác có hồnh độ hoặc tung
độ của điểm cuối bằng được ghi trên đường trịn lượng giác như hình vẽ.
s in

1
2π

π
2

π

3

3

3

2

3π

π

2

4

4

2

5π

π

1

6

6

2
A

π

-1

- 3

- 2

-1

2

2

2

O

2

1

2

2

3
2

1

-5π

-1

-π

6

2

6

- 2
-3π

-π

2

4

cos

4

- 3
-2π
3

-π

2

-1

-π

3

2

Hình 1
Để giải phương trình và học sinh cần ghi nhớ hình ảnh của đường trịn lượng giác
trên cùng với tất cả các thơng tin trên đường trịn, sau đó theo định nghĩa giá trị
lượng giác và kết hợp với bài toán viết số đo cung lượng giác khi biết vị trí điểm
cuối(bài tốn 1 và bài tốn 2) để tìm nghiệm.
VD8: Giải phương trình
9


- Giải: Trên hình 1 có 2 điểm trên đường trịn có tung độ bằng (2 điểm này khơng
cách đều nhau trên đường trịn) nên ta có 2 họ nghiệm:
VD9: Giải phương trình
- Giải: Trên hình 1 có 2 điểm trên đường trịn có tung độ bằng 0(đó là điểm và
cách đều nhau trên đường trịn) nên theo bài tốn 2(bài tốn tổng qt) ta có 1 họ
nghiệm là: .
VD10: Giải phương trình .
- Giải: Trên hình 1 có 1 điểm trên đường trịn có hồnh độ bằng -1(điểm nên ta có
1 họ nghiệm:
VD11: Giải phương trình:
- Giải: Trên hình 1 ta thấy có hai điểm cuối có hồnh độ bằng cách cung và nên
ta có 2 họ nghiệm:
b) Giải phương trình
- Với là các giá trị thường gặp: , khi đó các cung lượng giác có giá trị và bằng
được ghi trên đường trịn lượng giác như hình vẽ.

10

tan

- 3
- 3

-1

3

3

B

3

3

1

3
π

3

cot

π
4
π

6

3
3
A

π

O
-π
6

- 3

-π

3

4
-π
3

-1

- 3

Hình 2.
- Xét phương trình : Trên trục ta tìm điểm sao cho , đường thẳng cắt đường tròn
tại cách đều nhau trên đường tròn lượng giác.
tan

M1 T
a
A
O
M2

Ta có: , suy ra điểm cuối của phải ở vị trí Theo bài tốn 2 ta có là nghiệm phương
trình( là một cung lượng giác tính từ đến hoặc đến
- Xét phương trình : Trên trục ta tìm điểm sao cho , đường thẳng cắt đường tròn
tại

11


B

cot

a C
M1
O

M2

Tương tự như trên ta có nghiệm phương trình là .
( là một cung lượng giác tính từ đến hoặc từ đến )
VD12: Giải phương trình:
- Giải: Theo hình 2 ta có nghiệm phương trình là
VD13: Giải phương trình:
- Giải: Theo hình 2 ta có nghiệm phương trình là

VD14: Giải phương trình: .
- Giải: Theo hình 2 ta có nghiệm phương trình là
2.3.4. Kết hợp các họ nghiệm trên đường trịn lượng giác.
Khi giải phương trình lượng giác dạng tích có nhiều họ nghiệm hoặc phương trình
lượng giác có điều kiện(chứa dưới mẫu):Ta tìm các họ nghiệm của phương trình
lượng giác cơ bản thường gặp trong các phương trình dạng tích, dạng thương đó,
xác định các điểm cuối của các họ nghiệm đó trên đường trịn lượng giác, từ đó kết
hợp các họ nghiệm để thỏa mãn bài tốn hoặc làm gọn cơng thức nghiệm.
VD15: Giải phương trình:
-Giải:
π M1
3

A

'

A
O
-π
3

cos

M2

12


Vì cách đều nhau trên đường trịn lượng giác nên theo bài tốn 2 ta có thể viết gộp

3 họ nghiệm trên lại thành 1 họ nghiệm là: .
VD16: Giải phương trình:
- Giải: ĐK (điểm cuối của khác )
Khi đó phương trình
:điểm cuối của ở vị trí hoặc .
Kết hợp với ĐK thì điểm cuối của chỉ lấy được ở , vậy nghiệm phương trình là:
VD17: Giải phương trình:
- Giải: ĐK:

Khi đó ta có:

Đối chiếu ĐK thì ta có 3 họ nghiệm là và . Vì 3 điểm cuối của 3 họ nghiệm này
nằm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác nên theo bài toán 2 ta gộp lại thành
1 họ nghiệm là: .
VD18: Giải phương trình:
- Giải: ĐK:
Khi đó ta có phương trình:

Đối chiếu với ĐK thì bị loại(vì trên đường trịn lượng giác điểm cuối họ nghiệm
khơng thỏa mãn ĐK). Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là và .
13


2.3.5.Sử dụng đường trịn lượng giác tìm tham số để phương trình có đúng nghiệm
trên miền
Bài tốn: Biện luận theo số nghiệm của phương trình: trên miền .
- Phương pháp giải:
TH1: : trên đường trịn lượng giác có 2 điểm và có tung độ bằng 0, khi đó một
điểm chạy trên miền qua và bao nhiêu lần thì phương trình trên miền có bấy
nhiêu nghiệm.

TH2: (hoặc ) : trên đường trịn lượng giác có điểm có tung độ bằng 1(hoặc điểm
có tung độ bằng -1), khi đó một điểm chạy trên miền qua (hoặc ) bao nhiêu lần thì
phương trình trên miền có bấy nhiêu nghiệm.
TH3: hoặc : trên đường trịn lượng giác ln có 2 điểm có tung độ bằng , khi đó
một điểm chạy trên miền qua 2 điểm bao nhiêu lần thì phương trình trên miền có
bấy nhiêu nghiệm.
Hồn tồn tương tự khi xét phương trình trên miền .
VD19: Cho phương trình:
Tìm để phương trình trên thỏa mãn:
a)Có đúng 6 nghiệm khác nhau thuộc khoảng
b)Có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng .
- Giải: Nhận xét: Khoảng trên đường tròn lượng giác được sinh ra khi ta cho một
điểm di chuyển trên đường tròn theo chiều (+) từ ( vịng trịn. Khi đó:
+) : Mỗi phương trình chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng (vì điểm chỉ qua mỗi điểm 1
lần)
+) có 3 nghiệm thuộc khoảng (có 2 điểm trên đường tròn lượng giác thuộc cung
phần tư thứ và ) có hồnh độ bằng và điểm chạy qua các điểm đó tất cả 3 lần)
+) có 2 nghiệm thuộc khoảng (có 2 điểm trên đường trịn lượng giác thuộc cung
phần tư thứ và có hồnh độ bằng và điểm chạy qua các điểm đó tất cả 2 lần)
Từ phương trình đã cho, ta có:
14


Ta có phương trình (1) ln có 1 nghiệm như nhận xét trên.
a) Yêu cầu bài toán được thỏa mãn nếu phương trình (2) có đúng 5 nghiêm khác
nhau thuộc khoảng và .
Đặt , từ phương trình (2) ta có phương trình:
phải có 2 nghiệm thỏa mãn:

b)u cầu bài tốn được thỏa mãn nếu phương trình (2) có 6 nghiêm khác nhau

thuộc khoảng và . Khi đó phương trình (3) phải có 2 nghiệm thỏa mãn:

2.4.

Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp
và nhà trường.

Khi áp dụng SKKN này cho học sinh lớp 11 trường THPT Lê Lai tơi thấy các em
thích thú, hào hứng hơn hẳn khi giải các phương trình lượng giác cơ bản thường
gặp,việc lấy nghiệm trở nên rất nhanh và nhẹ nhàng khi đã thuộc hình 1 và hình 2
trong SKKN các em có thể đọc ngay các họ nghiệm của phương trình lượng giác
cơ bản thường gặp, hai hình này cũng dễ thuộc vì có quy luật để nhớ nên học sinh
nắm khá nhanh. Đặc biệt thông qua giải phương trình lượng giác cơ bản thường
gặp trên hai hình ảnh đường trịn lượng giác học sinh hiểu được bản chất tốn học
của giải phương trình lượng giác, các em giải thích được vì sao lại có nghiệm như
vậy, chứ khơng như khi giải bằng máy tính nhiều em khơng hiểu gì về lượng giác.
Bên cạnh đó SKKN giúp các em học khá có điều kiện phát triển hơn trong giải
quyết các bài toán nâng cao như bài toán kết hợp các họ nghiệm, bài tốn tìm tham
số để phương trình lượng giác có đúng nghiệm trên miền , giúp các em phát triển
tư duy lập luận, logic, khả năng cụ thể hóa, tổng quát hóa.
3. Kết luận, kiến nghị.

15


3.1. Kết luận: SSKN “Sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng
giác cơ bản thường gặp và các bài tốn liên quan đến số nghiệm phương trình
lượng giác” giúp học sinh hiểu rõ bản chất của giải phương trình lượng giác, giúp
các em giải nhanh, dễ dàng các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp, giúp
các em học sinh khá có điều kiện giải quyết các bài toán nâng cao như bài toán kết

hợp các họ nghiệm, bài tốn tìm tham số để phương trình lượng giác có đúng
nghiệm trên miền .
3.2. Kiến nghị: Đề nghị nhà trường, đồng nghiệp phổ biến rộng rãi SKKN này cho
học sinh, giúp các em học tốt hơn nữa phần phương trình lượng giác.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15/05/2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Phạm Chí Đạt

16


Danh mục tài liệu tham khảo
1) ĐOÀN QUỲNH-NGUYỄN HUY ĐOAN-NGUYỄN XUÂN LIÊM-ĐẶNG
HÙNG THẮNG-TRẦN VĂN VUÔNG (2006) ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO,
Nhà xuất bản Giáo Dục, Hà Nội.
2) ĐOÀN QUỲNH-NGUYỄN HUY ĐOAN-NGUYỄN XUÂN LIÊMNGUYỄN KHẮC MINH-ĐẶNG HÙNG THẮNG(2007) ĐẠI SỐ VÀ GIẢI
TÍCH 11 NÂNG CAO, Nhà xuất bản Giáo Dục, Hà Nội.

DANH MỤC


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Phạm Chí Đạt
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Tổ phó chun mơn tổ Tốn Tin

TT
1.

2.

Tên đề tài SKKN
Một số kinh nghiệm khi dạy
phần nguyên hàm cho học
sinh trường THPT Lê LaiNgọc Lặc.
Luyện tập cho học sinh giải
bài tốn viết phương trình
đường thẳng và phương trình
mặt phẳng thường gặp theo
cách chia thành các dạng cơ
bản.

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)

Năm học

đánh giá
xếp loại

Ngành GD cấp
C
tỉnh; Tỉnh Thanh
Hóa

2016-2017

Ngành GD cấp
C
tỉnh; Tỉnh Thanh
Hóa

2014-2015

----------------------------------------------------