sử dụng phương pháp đồ thị - bảng biến thiên giải các bải tóan liên quan đến tham số

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

Chuyên đề

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN
GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ

Huỳnh Chí Hào

I. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cơ sở của phương pháp này là ý nghĩa hình học của việc giải phương trình, bất phương trình được thể
hiện trong các tính chất sau.
Xét các hệ thức

(
)
(
)
f x g x
=
(1) ;
(
)
(
)
f x g x
>
(2) ;
(
)
(

)
f x g x
<
(3)
Gọi
,
f g
G G
lần lượt là đồ thị hàm số
(
)
(
)
,
y f x y g x
= =
. Trên cùng một mặt phẳng tọa độ
(
)
Oxy
vẽ
f
G

và
g
G
. Ký hiệu
f g
D D D

= ∩
là tập xác định của hệ thức, ta có:
1. Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ điểm chung của
f
G
và
g
G

2. Nghiệm của bất phương trình (2) là khoảng các giá trị của
x
mà trong đó
f
G
nằm ở phía trên
g
G

3. Nghiệm của bất phương trình (3) là khoảng các giá trị của
x
mà trong đó
f
G
nằm ở phía dưới
g
G

Nhận xét 1
1. Phương trình (1) có nghiệm
⇔

f
G
và
g
G
có điểm chung
2. Phương trình (1) vô nghiệm
⇔
f
G
và
g
G
không có điểm chung
3. Phương trình (1) có
k
nghiệm
⇔
f
G
và
g
G
có
k
điểm chung
4. Phương trình (1) có
k
nghiệm phân biệt
⇔

f
G
và
g
G
có
k
điểm chung khác nhau.
Nhận xét 2
1. Bất phương trình (2) có nghiệm
⇔
có điểm thuộc
f
G
nằm ở phía trên
g
G

2. Bất phương trình (2) vô nghiệm
⇔
không có điểm nào thuộc
f
G
nằm ở phía trên
g
G

3. Bất phương trình (2) luôn đúng với mọi
x D
∈

⇔
toàn bộ
f
G
nằm ở phía trên
g
G

Nhận xét 3
1. Bất phương trình (3) có nghiệm
⇔
có điểm thuộc
f
G
nằm ở phía dưới
g
G

2. Bất phương trình (3) vô nghiệm
⇔
không có điểm nào thuộc
f
G
nằm ở phía dưới
g
G

3. Bất phương trình (3) luôn đúng với mọi
x D

∈

⇔
toàn bộ
f
G
nằm ở phía dưới
g
G

Chú ý 1
Đối với hệ thức dạng

(
)
0
f x
=
(1) ;
(
)
0
f x
>
(2) ;
(
)
0
f x
<

(3)
thì
g
G
có phương trình
0
y
=
nên
g
G
là trục hoành.
Chú ý 2
Đối với hệ thức dạng

(
)
f x m
=
(1) ;
(
)
f x m
>
(2) ;
(
)
f x m
<
(3)

thì
g
G
có phương trình
y m
=
nên
g
G
là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tọa độ
(
)
0;
m

• Trong trường hợp này ta có thể thay việc vẽ
g
G
trên
D
bằng việc lập BBT của hàm số
(
)
y f x
=

trên
D
. Các hệ thức trên còn được gọi là có dạng “tách ẩn” hoặc dạng “cô lập”.

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

II. ÁP DỤNG



Thí dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2 2
1 1
x x x x m
+ + − − + =
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
D
=
»

•
Xét hàm số
( )
2 2
1 1
y f x x x x x
= = + + − − +

trên
»
.
Phương trình
(
)
1
có nghiệm
⇔
đường thẳng
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị hàm số

(
)
y f x
=
vẽ trên
»
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f x
=
trên
D
. Ta có:

( )
2 2
2 1 2 1
'
2 1 2 1
x x
f x
x x x x
+ −
= −
+ + − +


( ) ( ) ( )
2 2
' 0 2 1 1 2 1 1
f x x x x x x x
= ⇔ + − + = − + +
(2)
Bình phương hai vế (2), ta được phương trình hệ quả

(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2

4 4 1 1 4 4 1 1 0
x x x x x x x x x
+ + − + = − + + + ⇔ =

Thử lại, ta thấy
0
x
=
không thỏa (2). Vậy
(
)
' 0
f x
=
vô nghiệm
Do
(
)
' 0
f x
=
vô nghiệm
⇒

(
)
'
f x
không đổi dấu trên
»

, mà
(
)
' 0 1 0
f
= >


⇒

(
)
' 0, f x x
> ∀ ∈
»

⇒

(
)
f x
đồng biến trên
»
.
Giới hạn:
( )
2 2
2
lim lim 1
1 1

x x
x
f x
x x x x
→+∞ →+∞
= =
+ + + − +
và
(
)
lim 1
x
f x
→−∞
= −

Bảng biến thiên

x

-
∞
+
∞

(
)
'
f x

+
(
)
f x

1

-1

• Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm
⇔

1 1
m
− < <
. 

MINH HỌA ĐỒ THỊ


Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP



Thí dụ 2. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

2
2 2 2
m x x x
− + = +

(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
D
=
»

Khi đó:
( )
2
2
1
2 2
x
m
x x
+
⇔ =
− +
(2)
•
Xét hàm số
( )
2
2
2 2
x
y f x
x x

+
= =
− +
trên
»
.
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
x
∈
»
⇔
đường thẳng
y m
=
có hai điểm chung khác
nhau với đồ thị hàm số
(
)
y f x
=
vẽ trên
»
.
•
Lập BBT của hàm số trên trên
D
. Ta có:
( )
( )
2 2

4 3
'
2 2 2 2
x
f x
x x x x
−
=
− + − +


( )
4
' 0
3
f x x
= ⇔ =

Gi
ớ
i h
ạ
n:
2
2
lim ( ) lim 1
2 2
x x
x
f x

x x
→−∞ →−∞
+
= = −
− +
và
2
2
lim ( ) lim 1
2 2
x x
x
f x
x x
→+∞ →+∞
+
= =
− +

Bảng biến thiên

x

−∞

4
3

+∞

(
)
'
f x

+
0
̶̶

(
)
f x


10



1
−

1


•
D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (2) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
x
∈
»
⇔
1 10
m< <
.



MINH HỌA ĐỒ THỊ




Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP



Thí dụ 3. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

2
2 2 1

x mx x
+ + = +
(1)

Lời giải.
• Do
0
x
=
không phải là nghiệm của phương trình (1) nên

( )
2
2
2 2
3 4 1
1
3 4 1
(2)
1
2
1
1
2 4 4 1
2
2
x x
x x mx
m
x

x
x
x mx x x
x

+ −
 
+ − =
=

≥ −
  
⇔ ⇔ ⇔
  
≥ −
  
+ + = + +
≥ −
 



• Xét hàm số
( )
2
3 4 1
x x
y f x
x
+ −

= =
trên
1
;
2
D
 
= − +∞


 
.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔
Phương trình (2) có hai nghiệm phân
biệt
1
;
2
x
 
∈ − +∞


 

⇔
đường thẳng
y m
=

có hai điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số
(
)
y f x
=
vẽ trên
1
;
2
 
− +∞


 
.
• Lập BBT của hàm số trên trên
D
. Ta có:
( ) { }
2
2
3 1 1
' , ; \ 0
2
x
f x x
x
+
 
= > ∀ ∈ − +∞



 


Giới hạn:
2
3 4 1
lim ( ) lim
x x
x x
f x
x
→+∞ →+∞
+ −
= = +∞

Bảng biến thiên

x

1
2
−

0

+∞

(

)
'
f x

+

+

(
)
f x


+∞

+∞


9
2

−∞


•
D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔
9
2
m
≥
.


MINH HỌA ĐỒ THỊ



Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP



Thí dụ 4. Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

4 4
2 2 2 6 2 6
x x x x m
+ + − + − =
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
0;6
D =

• Xét hàm số
(
)
4 4
2 2 2 6 2 6
y f x x x x x
= = + + − + −
trên
[
]
0;6
.
Phương trình
(
)
1
có nghiệm trên
[
]
0;6
⇔
đường thẳng

y m
=
có điểm chung với phần đồ thị
hàm số
(
)
y f x
=
vẽ trên
[
]
0;6
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f x
=
trên
D
. Ta có:
( )
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1
'
2 6
2 2 2 6

f x
x x
x x
= + − − =
−
−


( ) ( )
( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1 1
, 0;6
2 2
2 6
2 6
x
x x
x x
 
 
 
= − + − ∀ ∈
 
 
−
   
−
 

Đặ
t
( )
( ) ( )
( )
3 3
4 4
1 1 1 1
,
2 6
2 6
u x v x
x x
x x
= − = −
−
−
. Ta th
ấ
y
(
)
(
)
2 2 0
u v
= =
nên
(

)
' 2 0
f
=

M
ặ
t khác
(
)
(
)
,
u x v x
cùng d
ươ
ng trên
(
)
0;2
, cùng âm trên
(
)
2;6
nên ta có
Bảng biến thiên

x 0 2 6
f’(x) + 0 ̶̶

f(x)

6 3 2
+



4
2 6 2 6
+

4
12 2 3
+


• Dựa vào BBT ta suy ra:
Phương trình
(
)
1
có nghiệm trên
[
]
0;6
⇔
4
2 6 2 6 3 2 6
m
+ ≤ < +

.

MINH HỌA ĐỒ THỊ


Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP



Thí dụ 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( )
3
2 2
1
x x m
+ − =
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
1;1
D = −

• Đặt
2
1
t x
= −

với
[
]
1;1
x ∈ −
. Tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
1;1
x ∈ −
là :
[
]
' 0;1
D =

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
2 3
1
t t m
− + =

⇔

3 2
1
t t m
− + =
(2)
Phương trình (1) có nghiệm

[
]
1;1
x ∈ −
⇔
Phương trình (2) có nghiệm
[
]
0;1
t ∈

• Xét hàm số
(
)
3 2
1
y f t t t
= = − +
với
[
]
0;1
t ∈
.
Phương trình
(
)
2
có nghiệm
[

]
0;1
t ∈
⇔
đường thẳng
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị
hàm số
(
)
y f t
=
vẽ trên
[
]
0;1
.
•
Lập BBT của hàm số trên
(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
(
)

2
' 3 2
f t t t
= −


( )
0
' 0
2
3
t
f t
t
=


= ⇔

=


Bảng biến thiên

t

0

2
3

1

(
)
'
f t

̶̶




0
+
(
)
f t

1
−

1


23
27


•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
]
1;1
x ∈ −
⇔
23
1
27
m
≤ ≤
.





Thí dụ 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

( )( )
(

)
6 2 4 2 2 4 4 2 2
x x x m x x
+ + − − = + − + −
(1)
Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
1;4
D =

• Đặt ẩn phụ
4 2 2
t x x
= − + −
với
[
]
1;4
x ∈
. Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
1;4
x ∈

Ta có:
1 1 2 2 2 4
'

2 4 2 2 2 4 . 2 2
x x
t
x x x x
− − − + −
= + =
− − − −
,
(
)
1;4
x∀ ∈


(
)
' 0 2 4 2 2 4 4 2 2 3
t x x x x x
= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ =

Bảng biến thiên

x

1 3 4
'
t

+ 0 ̶̶

t


3



3

6


Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của
t
là :
' 3;3
D
 
=
 

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
2
4 4
t t m
− + =
(2)
Phương trình (1) có nghiệm
[

]
1;4
x ∈
⇔
Phương trình (2) có nghiệm
3;3
t
 
∈
 

• Xét hàm số
(
)
2
4 4
y f t t t
= = − +
với
3;3
t
 
∈
 
.
Phương trình
(
)
2
có nghiệm

3;3
t
 
∈
 
⇔
đường thẳng
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị
hàm số
(
)
y f t
=
vẽ trên
3;3
 
 
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:

(
)
' 2 4
f t t
= −
;
(
)
' 0 2
f t t
= ⇔ =

Bảng biến thiên

t

3
2 3
(
)
'
f t

̶̶
0
+
(
)
f t

7 4 3
−

1



0


•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
]
1;4
x ∈
⇔
0 1
m
≤ ≤

.


Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm tập giá trị của ẩn phụ và chuyển phương trình sang phương trình theo
ẩn phụ với tập xác định là tập giá trị của ẩn phụ tìm được. Cụ thể
• Khi đặt
(
)
,
t u x x D
= ∈
, ta tìm được
'
t D
∈
và phương trình
(
)
; 0
f x m
=
(1) trở thành
(
)
; 0
g t m
=
(2) . Khi đó (1) có nghiệm
x D
∈

⇔
(2) có nghiệm
'
t D
∈

• Để tìm miền giá trị của
t
ta nên lập BBT của hàm số
(
)
t u x
=
trên
D
(có thể sử dụng bất đẳng
thức để đánh giá hoặc tính chất của hàm số)
• Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa
x
và
t
. Tức là mỗi
giá trị
'
t D
∈
thì phương trình
(
)
u x t

=
có bao nhiêu nghiệm
x D
∈
? (có thể xem là một bài toán
nhỏ về xét sự tương giao)



Thí dụ 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

(
)
2
4 6 3 2 2 3
x x x m x x
+ − − = + + −
(1)
Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
2;3
D = −

• Đặt
2 2 3
t x x
= + + −
với

[
]
2;3
x ∈ −
. Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
2;3
x ∈ −

Ta có:
1 2 3 2
'
2 2 2 3 2 2. 3
x x
t
x x x x
− − +
= − =
+ − + −


(
)
' 0 3 2 2 3 4 2 1
t x x x x x
= ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = −

Bảng biến thiên

x

-2 -1 3
'
t

+ 0 ̶̶

t


5



2 5

5


Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của
t
là :
' 5;5
D
 
=
 

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
2
14
t t mt
− =

⇔

14
t m
t
− =
(2)
Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
]
2;3
x ∈ −
⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
5;5
t

 
∈
 

•

Xét hàm s
ố

( )
14
y f t t
t
= = −
v
ớ
i
5;5
t
 
∈
 
.
Ph
ươ
ng trình
(
)
2
có nghi

ệ
m
5;5
t
 
∈
 
⇔

đườ
ng th
ẳ
ng
y m
=
có
đ
i
ể
m chung v
ớ
i ph
ầ
n
đồ
th
ị

hàm s
ố

(
)
y f t
=
v
ẽ
trên
5;5
 
 
.
•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố
trên
(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
( )
2

14
' 1 0
f t
t
= + >
,
5;5
t
 
∀ ∈
 

Bảng biến thiên

t

5

5

(
)
'
f t

+
(
)
f t

11
5

9 5
5
−


•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
]
2;3
x ∈ −
⇔
9 5 11
5 5
m
− ≤ ≤

.




Thí dụ 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

(
)
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1
m x x x x x
+ − − + = − + + − −
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
1;1
D = −

• Đặt
2 2
1 1
t x x
= + − −

[
]

1;1
x ∈ −
. Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
1;1
x ∈ −

Ta có:
2 2 2 2
1 1
'
1 1 1 1
x x
t x
x x x x
 
= + = +
 
+ − + −
 
,
' 0 0
t x
= ⇔ =


Bảng biến thiên

x

-1 0 1

'
t

̶̶ 0 +

t


2

2


0

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của
t
là :
' 0; 2
D
 
=
 

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành:
(
)

2
2 2
m t t t
+ = − + +

⇔

2
2
2
t t
m
t
− + +
=
+
(2)
Phương trình (1) có nghiệm
[
]
1;1
x ∈ −
⇔
Phương trình (2) có nghiệm
0; 2
t
 
∈
 

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
• Xét hàm số
( )
2
2
2
t t
y f t
t
− + +
= =
+
với
0; 2
t
 
∈
 
.
Phương trình
(
)
2
có nghiệm
0; 2
t
 
∈
 
⇔

đường thẳng
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị
hàm số
(
)
y f t
=
vẽ trên
0; 2
 
 
.
• Lập BBT của hàm số
(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
( )
( )
2
2
4
' 0 , 0; 2
2

t t
f t t
t
− −
 
= ≤ ∀ ∈
 
+

Bảng biến thiên

t

0

2

(
)
'
f t

̶̶
(
)
f t

1

2 1
−


•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
]
1;1
x
∈ −
⇔
2 1 1
m
− ≤ ≤
.





Thí dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

( )
( )
4
1
1 1 1
1
x x m x x x
x
 
+ − + + − =
 
−
 
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
(
)
0;D
= +∞

• Khi đó:
( )
( )
( )
4

1
1 1 1 1
1
x x m x x x
x
 
⇔ + − + + − =
 
−
 


( )
4
1
1 1
1
m x x x x x
x
⇔ + + − = − −
−


( ) ( )
4
1
1 1 1
1
x x x m x
x

⇔ − + + − = −
−


4
1
1
1
x x
m
x
x
−
⇔ + = −
−
(2)
• Đặt
4
1
x
t
x
−
=
, do
1
x
>
nên
1

0 1 0 1
x
t
x
−
< < ⇒ < <
. T
ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a t là:
(
)
' 0;1
D =

•

V
ớ
i
ẩ
n ph
ụ
trên thì ph
ươ
ng trình (1) tr
ở

thành:
2 2
1 1
1 1
t m m t
t t
+ = − ⇔ = − − +
(2)
Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
(
)
1;x
∈ +∞
⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
(
)
0;1
t ∈

•

Xét hàm s
ố

( )
2
1
1
y f t t
t
= = − − +
v
ớ
i
(
)
0;1
t ∈
.
Ph
ươ
ng trình
(
)
2
có nghi
ệ
m
(
)
0;2

t ∈
⇔

đườ
ng th
ẳ
ng
y m
=
có
đ
i
ể
m chung v
ớ
i ph
ầ
n
đồ
th
ị

hàm s
ố
(
)
y f t
=
v
ẽ

trên
(
)
0;2
.
•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố

(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
( ) ( )
2
2
' 1 0, 0;1
f t t
t
= − > ∀ ∈

Bảng biến thiên
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

t

0

1

(
)
'
f t

+
(
)
f t


1
−


−∞


•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
(
)
1;
x
∈ +∞
⇔
1
m
< −
.




Thí dụ 10. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2
4
3 1 1 4 1
x m x x

− + + = −
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
)
1;D
= +∞

• Khi đó:
( )
( )
2
4
2
1 1
1 3 2
1
1
x x
m
x
x
− −
⇔ + =
+
+

4

1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ + =
+ +

• Đặt
4
1
1
x
t
x
−
=
+
, do
1
x
≥
nên
1
0 1 0 1
1
x
t

x
−
≤ < ⇒ ≤ <
+
. T
ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a t là:
[
)
' 0;1
D =

•

V
ớ
i
ẩ
n ph
ụ
trên thì ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành:
2

3 2
t t m
− + =
(2)
Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
)
1;x
∈ +∞
⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
[
)
0;1
t ∈

•

Xét hàm s
ố

(

)
2
3 2
y f t t t
= = − +
v
ớ
i
[
)
0;1
t ∈
.
Ph
ươ
ng trình
(
)
2
có nghi
ệ
m
[
)
0;1
t ∈
⇔

đườ
ng th

ẳ
ng
y m
=
có
đ
i
ể
m chung v
ớ
i ph
ầ
n
đồ
th
ị

hàm s
ố
(
)
y f t
=
v
ẽ
trên
[
)
0;1
t

∈
.
•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố

(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
(
)
' 6 2
f t t
= − +
,
( )
1
' 0
3
f t t

= ⇔ =

Bảng biến thiên

t

0

1
3

1

(
)
'
f t

+
0
̶̶
(
)
f t


1
3

0
1
−


•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
)
1;
x
∈ +∞
⇔
1
1
3
m
− < ≤
.




Thí dụ 11. Tìm m để phương trình sau nghiệm
3
1;3
x
 
∈
 


2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
(1)

Lời giải.
•
T
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a ph
ươ

ng trình :
3
1;3
D
 
=
 

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
• Đặ
t
2
3
log 1
t x
= +
v
ớ
i
3
1;3
x
 
∈
 
. Tìm t
ậ
p giá tr
ị
c

ủ
a
ẩ
n ph
ụ
t khi
3
1;3
x
 
∈
 


3
1;3
x
 
∈
 
⇔

3
1 3
x≤ ≤

⇔
2
3
1 log 1 4

x
≤ + ≤
⇔
2
3
1 log 1 2
x
≤ + ≤
⇔
1 2
t
≤ ≤
⇔

[
]
1; 2
t ∈

Tập giá trị của ẩn phụ t khi
3
1;3
x
 
∈
 
là
[
]
' 1; 2

D =

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành:
2
2 2
t t m
+ − =
(2)
Phương trình (1) có nghiệm
3
1;3
x
 
∈
 
⇔
phương trình (2) có nghiệm
[
]
1;2
t ∈

• Xét hàm số
(
)
2
2
y f t t t
= = + −
với

[
]
1;2
t ∈
.
Phương trình (2) có nghiệm
[
]
1;2
t ∈
⇔
đường thẳng
2
y m
=
có điểm chung với phần đồ thị hàm
số
(
)
y f t
=
vẽ trên
[
]
1;2
.
Lập BBT của hàm số
(
)
y f t

=
trên
'
D
. Ta có:
(
)
[
]
' 2 1 0 , 1;2
f t t t= + > ∀ ∈


Bảng biến thiên

t

1 2

(
)
'
f t

+
(
)
f t

4

0

• Dựa vào BBT ta suy ra:
Phương trình (1) có nghiệm
3
1;3
x
 
∈
 
⇔

0 2
m
≤ ≤
.





Thí dụ 12. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

4 5
x x m
− + + ≥
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
5;4
D = −

• Xét hàm số
(
)
4 5
y f x x x
= = − + +
trên
[
]
5;4
−
.
Bất phương trình (1) có nghiệm
[
]
5;4
x
∈ −
⇔
có điểm thuộc đường thẳng
y m
=
nằm phía dưới

đồ thị hàm số
(
)
y f x
=
vẽ trên
[
]
5;4
−
.
•
Lập BBT của hàm số trên trên
D
. Ta có:
( )
( )( )
1 1 4 5
'
2 4 2 5
2 4 5
x x
f x
x x
x x
− − − +
= + =
− +
− +

( )
1
' 0 4 5
2
f x x x x
= ⇔ − = + ⇔ = −


x

-5
1
2
−
4
'
t

+
0
̶̶

t


3 2

3 3

• Dựa vào BBT ta suy ra:
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
Bất phương trình (1) có nghiệm
[
]
5;4
x ∈ −

⇔
3 2
m ≤
.



Thí dụ 13. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

3 1
mx x m
− − ≤ +
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
)
3;D
= +∞

Khi đó:
( )
3 1
1
1
x
m
x
− +
⇔ ≤
−
(2)
• Xét hàm số
( )
3 1
1
x
y f x
x
− +
= =
−
trên
[
)
3;
+∞
.
Bất phương trình (2) có nghiệm

[
)
3;x
∈ +∞
⇔
có điểm thuộc đường thẳng
y m
=
nằm phía dưới
đồ thị hàm số
(
)
y f x
=
vẽ trên
[
)
3;
+∞
.
•
Lập BBT của hàm số trên
D
. Ta có:
( )
( )
2
5 3
'
2 3 1

x x
f x
x x
− − −
=
− −


(
)
' 0 3 5 4
f x x x x
= ⇔ − = − ⇔ =

Giới hạn
3 1
lim ( ) lim 0
1
x x
x
f x
x
→+∞ →+∞
− +
= =
−


Bảng biến thiên

x

3

4

+∞

(
)
'
f x

+ 0 ̶̶

(
)
f x


2
3



1
2

0

•
D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

B
ấ
t ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
[
)
3;
+∞

⇔
2
3
m
≤
.






Thí dụ 14. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
[
]
2;4
x ∈ −


(
)
(
)
2
4 4 2 2 18
x x x x m
− − + ≤ − + −
(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
[
]
2;4
D = −

• Đặt
2
2 8
t x x
= − + +
với

[
]
2;4
x ∈ −
. Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi
[
]
2;4
x ∈ −

Ta có:
2
1
'
2 8
x
t
x x
− +
=
− + +
,
' 0 1
t x
= ⇔ =

Bảng biến thiên
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

x

-2 1 4

'
t

+ 0 ̶̶

t


3



0

0


Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của
t
là :
[
]
' 0;3

D =

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành:
2
4 10
m t t
≥ − +
(2)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
[
]
2;4
x ∈ −
⇔
Bất phương trình (2) nghiệm đúng với
mọi
[
]
0;3
t ∈

• Xét hàm số
(
)
2
4 10
y f t t t
= = − +
với
[

]
0;3
t ∈
.
Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi
[
]
0;3
t ∈
⇔
đường thẳng
y m
=
nằm hoàn toàn ở phía
trên phần đồ thị hàm số
(
)
y f t
=
vẽ trên
[
]
0;3
.
•
Lập BBT của hàm số
(
)
y f t
=

trên
'
D
. Ta có:
(
)
' 2 4
f t t
= −
,
(
)
' 0 2
f t t
= ⇔ =

Bảng biến thiên

t

0

2 3
(
)
'
f t

̶̶
0

+
(
)
f t

10 7


6


•

D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

B
ấ
t ph
ươ
ng trình (1) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ

i
[
]
2;4
x
∈ −
⇔
10
m
≥






Thí dụ 15. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
x
∈
»


(
)
2
.4 1 2 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >

(1)

Lời giải.
• Tập xác định của phương trình :
D
=
»

• Đặt
2
x
t
=
với
x
∈
»
. Tập giá trị của ẩn phụ t khi
x
∈
»
là
(
)
' 0;D
= +∞

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành:

( )

2
2
4 1
4 1 1
4 1
t
mt m t m m
t t
+
+ − + − ⇔ >
+ +
(2)
B
ấ
t ph
ươ
ng trình (1) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
[
]
2;4
x ∈ −
⇔

B
ấ
t ph
ươ
ng trình (2) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i
m
ọ
i
(
)
0;t
∈ +∞

•

Xét hàm s
ố

( )
2
4 1
4 1
t
y f t

t t
+
= =
+ +
v
ớ
i
(
)
0;t
∈ +∞
.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình (2) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
(
)
0;t
∈ +∞
⇔

đườ
ng th
ẳ
ng
y m
=
n
ằ
m hoàn toàn
ở

phía trên ph
ầ
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
(
)
y f t
=
v
ẽ
trên
(
)
0;

+∞
.
•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố

(
)
y f t
=
trên
'
D
. Ta có:
( )
( )
( )
2
2
2
4 2
' 0 , 0;
4 1
t t
f t t

t t
− −
= < ∀ ∈ +∞
+ +
,
Gi
ớ
i h
ạ
n:
(
)
lim 0
t
f t
→+∞
=

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP
Bảng biến thiên

t

0

+∞

(
)
'

f t

̶̶
(
)
f t

1


0


• Dựa vào BBT ta suy ra:
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
x
∈
»
⇔
1
m
≥




Thí dụ 16. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

(
)

3 2
2
2 2
1 2
x y x xy m
x x y m

− + + =


+ − = −


(1)
Lời giải.
• Ta có :
( )
(
)
( )
( )
( )
2
2
2
1
2 1 2
x x x y m
x x x y m


− − =

⇔

− + − = −



• Đặt
2
2
u x x
v x y

= −

= −

. Điều kiện của
u
là
1
4
u
≥ −

•

H
ệ

ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
(
)
(
)
2
2 1 0 2
1 2
1 2
uv m
u m u m
u v m
v m u

=
+ − + =


⇔
 
+ = −
= − −




H
ệ
ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
⇔
(2) có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
1
4
u
≥ −


•

V
ớ
i
1
4
u
≥ −
, ta có:
( ) ( )

2
2
2 2 1
2 1
u u
m u u u m
u
− +
⇔ + = − + ⇔ =
+

•

Xét hàm s
ố

( )
2
2 1
u u
f u
u
− +
=
+
v
ớ
i
1
;

4
u
 
∈ − +∞


 
.
Ph
ươ
ng trình
(
)
2
có nghi
ệ
m
1
;
4
u
 
∈ − +∞


 
⇔

đườ
ng th

ẳ
ng
y m
=
có
đ
i
ể
m chung v
ớ
i ph
ầ
n
đồ

th
ị
hàm s
ố
(
)
f u
v
ẽ
trên
1
;
4
 
− +∞



 
.
•

L
ậ
p BBT c
ủ
a hàm s
ố
trên
D
. Ta có:

( )
( )
2
2
2 2 1
'
2 1
u u
f u
u
+ −
= −
+
;

( )
1 3
' 0
2
f u u
− +
= ⇔ =

Bảng biến thiên

u

1
4
−

1 3
2
− +
+
∞

(
)
'
f u



+

0
̶̶


(
)
f u


2 3
2
−




5
8
−

−∞

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

•
D
ự
a vào BBT ta suy ra
:

H
ệ
ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
⇔
2 3
2
m
−
≤





BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài tập rèn luyện 1
Tìm m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
1)
2

3 1
x x m
+ + =

Đ
S:
6
3
m ≥

2)
2
4
1
x x m
+ − =

Đ
S:
0 1
m
< ≤

3)
4
4
13 1 0
x x m x
− + + − =

Đ
S:
3
2
m
≥ −

4)
(
)
12 5 4
x x x m x x
+ + = − + −

Đ
S:
(
)
2 3 5 2 12
m
− ≤ ≤


Bài tập rèn luyện 2
Tìm m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ

m
1)
( ) ( )
2 3
2 4 1 4
x m x m x x
+ + + = − +

Đ
S:
7
m
≥

2)
2
4
3 1 1 2 1
x m x x
− + + = −

Đ
S:
1
1
3
m
− < ≤

3)

( )
( )
4
1
1 16 1 1
1
x x m x x x
x
 
+ − + + − =
 
−
 
ĐS:
12
m
≥

4)
2
9 9
x x x x m
+ − = − + +
ĐS:
37
3
4
m
− ≤ ≤

5)
(
)
(
)
3 6 3 6
x x x x m
+ + − − + − =

Đ
S:
6 2 9
3
2
m
−
≤ ≤

6)
(
)
2 2
4 4
2 2 4 2 2 4
m x x x x
− + − − + = −

Đ
S:
1

m
>


Bài tập rèn luyện 3
1) Tìm m
để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m

(
)
2 1 4
x m x m
− − − ≤ −


Đ
S:
2
m
≥

2) Tìm m
để

b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
[
]
4;6
x ∈ −


(
)
(
)
2
4 6 2
x x x x m
+ − ≤ − +

Đ
S:

6
m
≥

3) Tìm m
để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m

2
1 2
m x x m
+ ≤ + −


Đ
S:
5
4
m
≤

4) Tìm m
để
b

ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
0;1 3
x
 
∈ +
 


(
)
( )
2
2 2 1 2 0
m x x x x
− + + + − ≤


Đ
S:
2
3
m
≤

5) Tìm m

để
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
»


(
)
9 2 1 3 2 3 0
x x
m m
− + − − >

Đ
S:
3
2

m
< −


H
ế
t

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP